高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用課件4 新人教B版選修2-1

1、方向向量方向向量:法向量法向量:如果一個(gè)非零向量如果一個(gè)非零向量 與直線與直線 平行，平行，則稱(chēng)向量則稱(chēng)向量 為直線為直線 的方向向量的方向向量nana如果一個(gè)非零向量如果一個(gè)非零向量 與平面與平面 垂直，垂直，則稱(chēng)向量則稱(chēng)向量 為平面為平面 的法向量的法向量 nnann，已知),(),(222111zyxbzyxa，則的夾角為與設(shè)bacosbaba222222212121212121zyxzyxzzyyxx例例3如圖，已知長(zhǎng)方體如圖，已知長(zhǎng)方體 直線直線 與平面與平面 所成的所成的角為角為 ， 垂直垂直 于于 ， 為為 的中點(diǎn)的中點(diǎn). 1111,abcdabc d12,1,abaabd11a

2、ab b30aebdef11ab（i i）求異面直線）求異面直線aeae與與bfbf所成角所成角的余弦值。的余弦值。（iiii）求平面）求平面bdfbdf與平面與平面aaaa1 1b b所所成二面角的余弦值。成二面角的余弦值。ca1abd1bf1dec12130o例例3 如圖，已知長(zhǎng)方體如圖，已知長(zhǎng)方體 直線直線 與平面與平面 所成的所成的角為角為 ， 垂直垂直 于于 ， 為為 的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。1111,abcdabc d12,1,abaabd11aab b30aebdef11ab2abbbaaad11平面30dba與平面與平面 所成的角為所成的角為 11aab bbdo60bda332ad1

3、ae解：如圖，以解：如圖，以a為原點(diǎn)，建立為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系a-xyz2130oa1abd1bf1dec1xzya(0,0,0)b(2,0,0)e( , ,0)2321例例3 如圖，已知長(zhǎng)方體如圖，已知長(zhǎng)方體 直線直線 與平面與平面 所成的所成的角為角為 ， 垂直垂直 于于 ， 為為 的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。1111,abcdabc d12,1,abaabd11aab b30aebdef11ab（i i）求異面直線）求異面直線aeae與與bfbf所成角的余弦值。所成角的余弦值。分析分析:即求即求 與與 夾角余弦值的絕對(duì)值夾角余弦值的絕對(duì)值aebf)0 ,2321( ，ae) 1

4、, 0 , 1(bff (1, 0,1)x2130oz332a1abd1bf1dec1y（i i）求異面直線）求異面直線aeae與與bfbf所成角的余弦值。所成角的余弦值。 異面直線異面直線ae、bf所成角的余弦值為所成角的余弦值為 42bfaebfaebfae,cos42221)0 ,2321( ，ae) 1 , 0 , 1(bfx2130oz332a1abd1bf1dec1yb(2,0,0) d(0, ,0)332（iiii）求平面）求平面bdfbdf與平面與平面aaaa1 1b b所成二面角的余弦值。所成二面角的余弦值。易知平面易知平面1aab的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量 (0,1,0)m

5、( , , )nx y zbdf設(shè)設(shè)是平面是平面的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量 2 3( 2,0)3bd ) 1 , 0 , 1(bfxyxz3033220yxzxf (1, 0,1)分析分析:即求該二面角法向量余弦值的絕對(duì)值即求該二面角法向量余弦值的絕對(duì)值,再觀察二面角大小確定其值再觀察二面角大小確定其值00nbfn bfnbdn bd x2130oz332a1abd1bf1dec1y令令x=1得得1, 3,1n 所以平面所以平面bdfbdf與平面與平面aaaa1 1b b所成所成二面角的余弦值為二面角的余弦值為515515,cosnmnmnm由圖可知平面由圖可知平面bdfbdf與平面與平面aaa

6、a1 1b b所成二面角為銳角所成二面角為銳角（iiii）求平面）求平面bdfbdf與平面與平面aaaa1 1b b所成二面角的余弦值。所成二面角的余弦值。易知平面易知平面1aab的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量 (0,1,0)m 思考：若二面角思考：若二面角為鈍角則其余弦為鈍角則其余弦值為多少？值為多少？x2130oz332a1abd1bf1dec1y如圖所示，在正方體如圖所示，在正方體abcd-a1b1c1d1中，邊中，邊長(zhǎng)為長(zhǎng)為2，m、n分別是分別是a1b1 、b1b的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，（1）求異面直線）求異面直線a1b、ac所成的角。所成的角。（2）求二面角）求二面角b1-a1b-c1的余弦值。的

7、余弦值。abcda1b1c1d1mna(2,0,0)a1(2,0,2) b(2,2,0)yxz解解:如圖如圖,以以d為原點(diǎn)為原點(diǎn), 建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系d-xyzc(0,2,0)如圖所示，在正方體如圖所示，在正方體abcd-a1b1c1d1中，邊中，邊長(zhǎng)為長(zhǎng)為2，m、n分別是分別是a1b1 、b1b的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，（1）求異面直線）求異面直線a1b、ac所成的角。所成的角。分析分析:可由可由 與與 夾角余弦值的絕對(duì)值求夾角余弦值的絕對(duì)值求得得ba1ac)22 , 0(1，ba)0 , 2 , 2(ac41acba221ba22acabcda1b1c1d1mn如圖所示，在正方體如

8、圖所示，在正方體abcd-a1b1c1d1中，邊中，邊長(zhǎng)為長(zhǎng)為2，m、n分別是分別是a1b1 、b1b的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，（1）求異面直線）求異面直線a1b、ac所成的角。所成的角。41 acba221ba22ac21,cos111acbaacbaacba2, 0設(shè)異面直線設(shè)異面直線a1b、ac所成的角為所成的角為3yxzabcda1b1c1d1mn如圖所示，在正方體如圖所示，在正方體abcd-a1b1c1d1中，邊中，邊長(zhǎng)為長(zhǎng)為2，m、n分別是分別是a1b1 、b1b的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，yxz（2）求二面角）求二面角b1-a1b-c1的余弦值。的余弦值。易知平面易知平面的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量 bb

9、a11)0 , 0 , 1 (m),(zyxn 設(shè)平面設(shè)平面a1bc1的法向量為的法向量為)22 , 0(1，ba)20 , 2(1，bc0011bcnbanzxzy令令z=1得：得：) 1 , 1 , 1 (na1(2,0,2)b(2,2,0) c1(0,2,2)abcda1b1c1d1mn 平面平面的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量 bba11)0 , 0 , 1 (m（2）求二面角）求二面角b1-a1b-c1的余弦值。的余弦值。如圖所示，在正方體如圖所示，在正方體abcd-a1b1c1d1中，邊中，邊長(zhǎng)為長(zhǎng)為2，m、n分別是分別是a1b1 、b1b的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，yxz) 1 , 1 , 1 (n

10、 平面平面a1bc1的法向量為的法向量為33311,cosnmnmnm二面角二面角b1-a1b-c1的余弦值為的余弦值為33由圖可知由圖可知:二面角二面角b1-a1b-c1為銳角為銳角abcda1b1c1d1mn1 1、求異面直線所成的角、求異面直線所成的角2 2、求二面角、求二面角今天學(xué)習(xí)的主今天學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么要內(nèi)容是什么?作業(yè)：作業(yè)：如圖，在椎體如圖，在椎體p-abcd中，中，abcd是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為1的棱的棱形，且形，且dab=60， ,pb=2,e,f分別分別是是bc,pc的中點(diǎn)的中點(diǎn)（1） 證明：證明：ad 平面平面def；（2） 求二面角求二面角p-ad-b的余弦值。的余弦值。 2papd（2011年廣東高考）年廣東高考）作業(yè)：作業(yè)：如圖，在椎