計量經(jīng)濟學：第八章 虛擬變量回歸

1、第八章 虛擬變量回歸第一節(jié) 虛擬變量的概念一、問題的提出計量經(jīng)濟學模型對變量的要求可觀測、可計量。但在現(xiàn)實經(jīng)濟問題中，存在定性影響因素，比如1、屬性（品質(zhì)）因素的表達。在經(jīng)濟活動中，有的經(jīng)濟變量的變動要受到屬性因素（或品質(zhì)因素）的影響。如收入在形成過程中，不同的性別所得到的收入是不一樣的；在城鄉(xiāng)、不同地區(qū)等收入存在差距；再比如，在我國，經(jīng)濟的發(fā)展水平對于不同的區(qū)域有不同的表現(xiàn)。2、異常值現(xiàn)象。當經(jīng)濟運行過程中，可能會受到突發(fā)事件的影響，那么，其值有可能出現(xiàn)異常，偏離正常軌跡很遠，對這類現(xiàn)象需要加以修正。3、季節(jié)因素的影響。有的經(jīng)濟現(xiàn)象存在明顯的季節(jié)特征，如啤酒的消費。那么，在建模過程中，季節(jié)變

2、動這一因素怎樣考慮？4、離散選擇現(xiàn)象的描述。如公共交通與私人交通的選擇、商品購買與否的決策、求職者對職業(yè)的選擇等。第1、2、3種情況屬于解釋變量為定性變量，第4情況為被解釋變量屬于定性變量。稱前一種情況為虛擬解釋變量，后一種為虛擬被解釋變量。本章主要介紹虛擬解釋變量的內(nèi)容。二、虛擬變量的定義1、定義。設(shè)變量D表示某種屬性，該屬性有兩種類型，即當屬性存在時D取值為1；當屬性不存在時D取值為0。記為 2、虛擬變量引入的規(guī)則。（1）在模型里存在截距項的條件下，如果一個屬性存在m個相互排斥類型（非此即彼），則在模型里引入m-1個虛擬變量。否則，會出現(xiàn)完全的多重共線性。但要注意，在模型無截距項的情況下，

3、如果一個屬性存在m個類型，即便引入m個變量，不會出現(xiàn)多重共線性問題。（ 請思考為什么？）（2）虛擬變量取值為0，意味著所對應(yīng)的類型是基礎(chǔ)類型。而虛擬變量取值為1，代表與基礎(chǔ)類型相比較的類型，稱為比較類型。例如“有學歷”D為1，“無學歷”D為0，則“無學歷”就是基礎(chǔ)類型，“有學歷”為比較類型。（3）當屬性有m個類型時，不能把虛擬變量的取值設(shè)成如下情況 D=0， 第一個類型； D=1， 第二個類型； D=m-1， 第m個類型。原因是上述情況沒有反映出屬性類型的相互排斥性。 第二節(jié) 虛擬解釋變量的回歸一、加法引入規(guī)則1、加法引入規(guī)則，虛擬解釋變量與別的解釋變量以相加的關(guān)系出現(xiàn)在模型里。加法引入虛擬變

4、量對模型產(chǎn)生的結(jié)果是只改變截距項。設(shè)模型為 式中，為虛擬變量，它與其它解釋變量是相加的關(guān)系。如果虛擬變量按這種方式引入模型，則稱虛擬變量按加法類型引入。2、加法引入虛擬變量的應(yīng)用。（1）模型中只有一個定性解釋變量。設(shè)模型形式為 其中，為具有兩個屬性類型的定性變量，如在教材第217頁，設(shè)為居民的年可支配收入，為虛擬變量，其取值表示為：=1表示城鎮(zhèn)居民；=0表示農(nóng)村居民。即，該方程的意義在于，在其它因素不變的條件下，城鎮(zhèn)居民與農(nóng)村居民的收入是否具有顯著性差異。由此得到城鎮(zhèn)居民的年平均收入：。農(nóng)村居民的年平均收入為：為了檢驗城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民的差異對年平均收入的影響是否具有顯著性，可構(gòu)造假設(shè)： 對上

5、述模型進行回歸，利用樣本統(tǒng)計量對假設(shè)作出判斷（t檢驗）。只有一個定性解釋變量往往可用于檢驗一個屬性因素對被解釋變量的影響是否顯著性存在。（2）模型中有一個定量解釋變量和一個定性解釋變量。設(shè)模型形式為 式中，為消費支出；為收入；為虛擬變量，即，上述表達式的意義在于，在收入不變的條件下，研究城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民對消費的不同影響，即判斷城鄉(xiāng)居民在消費上是否存在顯著性差異。農(nóng)村居民年平均消費： 城鎮(zhèn)居民年平均消費： 可以看出，城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民兩種收入類型的斜率系數(shù)一樣，但截距不同。說明兩種類型的居民在收入的水平上存在的規(guī)模差異。這一假定也可通過對的顯著性檢驗來判斷。（3）模型中有一個定量解釋變量和一個

6、定性解釋變量，但有多個屬性類型。 設(shè)模型形式為 式中，為年醫(yī)療保健費支出；為居民年可支配收入；如果將受教育程度分為三種類型：高中以下、高中、大專及大專以上，則引入虛擬變量為如下兩個 高中以下的年平均醫(yī)療保健費支出：高中的年平均醫(yī)療保健費支出：大專及大專以上年平均醫(yī)療保健費支出： 對于模型 有類型假定高中以下高中大專及大專以上（4）模型中有一個定量解釋變量和兩個以上定性解釋變量，每個定性解釋變量有兩個或以上屬性類型。設(shè)模型形式為 式中，為卷煙需求量；為居民可支配收入，考慮兩種不同屬性：不同區(qū)域的居民，即城鎮(zhèn)居民與農(nóng)村居民；不同性別，即男與女。因此各引入一個虛擬變量 農(nóng)村女性居民：農(nóng)村男性居民：城

7、鎮(zhèn)女性居民：城鎮(zhèn)男性居民：（5）對模型中存在異常值的修正。設(shè)模型形式為 由于某種突發(fā)因素的干擾，使得在時刻隨機誤差產(chǎn)生系統(tǒng)性偏離，即這時，可引入虛擬變量則 其中，對求數(shù)學期望，有 表明新的隨機誤差項滿足零均值假定，從而可用OLS法對引入虛擬變量的模型求參數(shù)的估計。當時，當時，還有一種情況，研究消費行為，認為消費水平C主要受到收入水平Y(jié)的影響，但對于正常年份和反常年份，消費行為的表現(xiàn)是不同的，這時可考慮引入虛擬變量 則有當正常年份時，當反常年份時，進一步對參數(shù)估計，利用樣本統(tǒng)計量對總體參數(shù)作檢驗，從而可判斷正常年份消費行為與反常年份消費是否存在差異。（6）對季節(jié)因素的修正。 假設(shè)是具有某種季節(jié)特

8、征的消費行為（如啤酒、汗衫等商品的消費），這時需要對季節(jié)波動進行調(diào)整，下面介紹利用虛擬變量來調(diào)整季節(jié)變化。設(shè)模型形式為 季節(jié)為屬性因素，按自然屬性有4個不同的季節(jié)（春、夏、秋、冬），即4個屬性類型。因此，在有截距項的前提下，可引入3個虛擬變量，即引入季節(jié)虛擬變量的模型為第1季度，第2季度，第3季度，第4季度，二、乘法引入規(guī)則1、以乘法形式引入虛擬變量，是在所設(shè)定的模型里，將虛擬解釋變量與其它解釋變量用乘積作為新的解釋變量。乘法引入虛擬解釋變量將改變模型中的斜率系數(shù)。設(shè)模型為 或者其中，為定量解釋變量，均為虛擬變量。按上述形式引入虛擬變量即為乘法引入。2、乘法引入虛擬解釋變量的應(yīng)用。（1）檢驗?zāi)?/p>

9、型的結(jié)構(gòu)是否發(fā)生了變化。設(shè)模型形式為 式中，為儲蓄總額，為收入總額，為虛擬變量，即改革開放后，平均儲蓄額為改革開放前，平均儲蓄額為在上式中被稱為截距差異系數(shù)，被稱為斜率差異系數(shù)，它們分別代表改革開放前后儲蓄函數(shù)的截距與斜率存在的差異。結(jié)構(gòu)變化的專門檢驗鄒氏檢驗（在EViews里的記號為CHOW檢驗，該內(nèi)容自學）。（3）交互效應(yīng)。在實際經(jīng)濟活動中，多個定性解釋變量對被解釋變量的影響可能存在一種交互影響，即一個變量的邊際效應(yīng)可能要依賴于另外變量的變動（即由于變量間的交互作用而對解釋變量的影響）。這時可用乘法引入虛擬變量的方法來表示。設(shè)模型形式為 其中 ，為農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)總收益，為農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)投入，為

10、油菜籽生產(chǎn)虛擬變量，為養(yǎng)蜂生產(chǎn)虛擬變量。 但上述模型不能反映發(fā)展油菜生產(chǎn)，同時又發(fā)展養(yǎng)蜂生產(chǎn)，而在它們中間存在著一定的交互作用，這種交互作用對農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)總收益可能會帶來更大的影響。因此，反映交互作用可通過按乘法引入虛擬變量來解決。 不發(fā)展油菜生產(chǎn)，也不發(fā)展養(yǎng)蜂生產(chǎn)： 同時發(fā)展油菜生產(chǎn)和養(yǎng)蜂生產(chǎn)： 在實證分析中，可利用交互效應(yīng)虛擬解釋變量系數(shù)的顯著性來加以判斷。（4）分段線性回歸。在經(jīng)濟活動中，有時會存在影響因素在達到某個臨界值時發(fā)生結(jié)構(gòu)性變化，這時可利用虛擬變量來區(qū)分這種結(jié)構(gòu)性變化，即用虛擬變量表示來不同的截距和斜率的回歸。以研究銷售額對提取獎金的影響為例。設(shè)模型的形式為 式中，為獎勵額度，

11、為銷售額，為銷售公司按銷售額的一定比例計提獎勵的目標水平值，即銷售額在以下和以上計提的獎勵的方法不同（或計提的額度不同），則引入虛擬解釋變量為 當銷售額度低于時，當銷售額度高于時， 第三節(jié) 虛擬被解釋變量一、問題的提出虛擬被解釋變量的出現(xiàn)，其主要作用是對某一經(jīng)濟現(xiàn)象或活動作出選擇或決策。這一類問題的特征是被研究對象在收到多因素影響時，它的取值只有兩種（可能的）狀態(tài)：是與否。在計量經(jīng)濟學建模中，稱這類模型為二元型響應(yīng)模型或離散選擇模型。本小節(jié)側(cè)重介紹這類模型參數(shù)的估計及專門分析這類問題的模型。二、線性概率模型1、線性概率模型的概念。設(shè)家庭購買住房的選擇主要受到家庭的收入水平，則用如下模型表示 其

12、中為家庭的收入水平，為家庭購買住房的選擇，即 由于y是取值為0和1的隨機變量，并定義y取值為1的概率是p，則y的分布為y 0 1概率 1-p p這樣y的數(shù)學期望為顯然從而上述數(shù)學描述的經(jīng)濟學解釋是，因為選擇購買住房變量取值是1，其概率是p，并且這時對應(yīng)p的表示是一線性關(guān)系，因此，選擇家庭購買住房的概率是家庭收入x的一個線性函數(shù)。稱這一關(guān)系式為線性概率函數(shù)。 2、線性概率函數(shù)的估計。 對線性概率函數(shù)的估計存在以下困難： （1）隨機誤差項的非正態(tài)性表現(xiàn)。表明服從兩點分布。 （2）的異方差性。事實上，上式中，p隨著i的變動是一個變動的量，則的方差不是一個固定常數(shù)。（3）利用加權(quán)最小二乘法修正異方差。

13、取權(quán)數(shù)為 可以證明具有同方差。在具體估計線性概率模型時，用作為p的估計來計算權(quán)數(shù)的估計。3、0E(yixi)1不成立?？朔@一問題可直接從對線性概率模型的估計，求出，用人工的方法定義當>1時，取=1；當<0時，取=0。但要比較好地解決這類問題，只能考慮采用新的估計方法，如Logit模型和Probit模型等。三、Logit模型1、產(chǎn)生Logit模型的背景。對于線性概率模型來說，存在的問題是：（1）經(jīng)濟意義不能很好地得到體現(xiàn)。（2）在線性概率模型中，對于不滿足的情況，用人工的方法處理，即 當>1時，取=1 當<0時，取=0盡管能夠彌補不足，但仍然具有較強的主觀因素。2、Logit模型的含義。（1）想法是：應(yīng)與呈非線性關(guān)系，具體表現(xiàn)是隨著的減小，趨近0的速度會越來越慢；反過來隨著的增大，接近1的速度也越來越慢。并且的變化始終在0和1之間。（2）怎樣表達： 從幾何圖形看，根據(jù)上述想法繪制的曲線具有S型特征，這與隨機變量的分布函數(shù)曲線的特征相似。因此，分布函數(shù)即可作為研究這一類問題計量經(jīng)濟學模型的設(shè)定。