初中數(shù)學(xué)最值系列之瓜豆原理

1、初中數(shù)學(xué)最值系列之瓜豆原理最值系列之瓜豆原理在輔助圓問(wèn)題中，我們了解了求關(guān)于動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題的方式之一求出動(dòng)點(diǎn)軌跡，即可求出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的最值本文繼續(xù)討論另一類動(dòng)點(diǎn)引發(fā)的最值問(wèn)題，在此類題目中，題目或許先描述的是動(dòng)點(diǎn)p，但最終問(wèn)題問(wèn)的可以是另一點(diǎn)q，當(dāng)然p、q之間存在某種聯(lián)系，從p點(diǎn)出發(fā)探討q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡并求出最值，為常規(guī)思路一、軌跡之圓篇引例1：如圖，p是圓o上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，a為定點(diǎn)，連接ap，q為ap中點(diǎn)考慮：當(dāng)點(diǎn)p在圓o上運(yùn)動(dòng)時(shí)，q點(diǎn)軌跡是【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓o有什么關(guān)系考慮到q點(diǎn)始終為ap中點(diǎn)，連接ao，取ao中點(diǎn)m，則m點(diǎn)即為q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑mq是op

2、一半，任意時(shí)刻，均有amqaop，qm:po=aq:ap=1:2【小結(jié)】確定q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由a、q、p始終共線可得：a、m、o三點(diǎn)共線，由q為ap中點(diǎn)可得：am=1/2aoq點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是p點(diǎn)軌跡成比例縮放根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系引例2：如圖，p是圓o上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，a為定點(diǎn)，連接ap，作aqap且aq=ap考慮：當(dāng)點(diǎn)p在圓o上運(yùn)動(dòng)時(shí)，q點(diǎn)軌跡是 【分析】q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將ap繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得aq，故q點(diǎn)軌跡與p點(diǎn)軌跡都是圓接下來(lái)確定圓心與半徑考慮apaq，可得q點(diǎn)軌跡圓圓心m滿足ama

3、o；考慮ap=aq，可得q點(diǎn)軌跡圓圓心m滿足am=ao，且可得半徑mq=po即可確定圓m位置，任意時(shí)刻均有apoaqm引例3：如圖，apq是直角三角形，paq=90°且ap=2aq，當(dāng)p在圓o運(yùn)動(dòng)時(shí)，q點(diǎn)軌跡是【分析】考慮apaq，可得q點(diǎn)軌跡圓圓心m滿足amao；考慮ap:aq=2:1，可得q點(diǎn)軌跡圓圓心m滿足ao:am=2:1即可確定圓m位置，任意時(shí)刻均有apoaqm，且相似比為2【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)p、q，可稱點(diǎn)p為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)q為“從動(dòng)點(diǎn)”此類問(wèn)題的必要條件：兩個(gè)定量主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（paq是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（ap:a

4、q是定值）【結(jié)論】（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：paq=oam；（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：ap:aq=ao:am，也等于兩圓半徑之比按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，q與p的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮古人云：種瓜得瓜，種豆得豆“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”【思考1】：如圖，p是圓o上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，a為定點(diǎn)，連接ap，以ap為一邊作等邊apq考慮：當(dāng)點(diǎn)p在圓o上運(yùn)動(dòng)時(shí)，q點(diǎn)軌跡是【分析】q點(diǎn)滿足（1）paq=60°；（2）ap=aq，故q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓：考慮paq=60°，可得q點(diǎn)軌跡圓圓心m滿足mao=60&#

5、176;；考慮ap=aq，可得q點(diǎn)軌跡圓圓心m滿足am=ao，且可得半徑mq=po即可確定圓m位置，任意時(shí)刻均有apoaqm【小結(jié)】可以理解aq由ap旋轉(zhuǎn)得來(lái)，故圓m亦由圓o旋轉(zhuǎn)得來(lái)，旋轉(zhuǎn)角度與縮放比例均等于ap與aq的位置和數(shù)量關(guān)系【思考2】如圖，p是圓o上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，a為定點(diǎn)，連接ap，以ap為斜邊作等腰直角apq考慮：當(dāng)點(diǎn)p在圓o上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何作出q點(diǎn)軌跡【分析】q點(diǎn)滿足（1）paq=45°；（2）ap:aq=：1，故q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓連接ao，構(gòu)造oam=45°且ao:am=：1m點(diǎn)即為q點(diǎn)軌跡圓圓心，此時(shí)任意時(shí)刻均有aopamq即可確定點(diǎn)q的軌跡圓【練習(xí)】如圖，點(diǎn)p（3

6、,4），圓p半徑為2，a（,0），b（,0），點(diǎn)m是圓p上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)c是mb的中點(diǎn)，則ac的最小值是_【分析】m點(diǎn)為主動(dòng)點(diǎn)，c點(diǎn)為從動(dòng)點(diǎn)，b點(diǎn)為定點(diǎn)考慮c是bm中點(diǎn)，可知c點(diǎn)軌跡：取bp中點(diǎn)o，以o為圓心，oc為半徑作圓，即為點(diǎn)c軌跡當(dāng)a、c、o三點(diǎn)共線且點(diǎn)c在線段oa上時(shí)，ac取到最小值，根據(jù)b、p坐標(biāo)求o，利用兩點(diǎn)間距離公式求得oa，再減去oc即可【2016武漢中考】如圖，在等腰rtabc中，ac=bc=，點(diǎn)p在以斜邊ab為直徑的半圓上，m為pc的中點(diǎn)，當(dāng)半圓從點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)b時(shí)，點(diǎn)m運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)【分析】考慮c、m、p共線及m是cp中點(diǎn)，可確定m點(diǎn)軌跡：取ab中點(diǎn)o，連接co取co中點(diǎn)d

7、，以d為圓心，dm為半徑作圓d分別交ac、bc于e、f兩點(diǎn)，則弧ef即為m點(diǎn)軌跡當(dāng)然，若能理解m點(diǎn)與p點(diǎn)軌跡關(guān)系，可直接得到m點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為p點(diǎn)軌跡長(zhǎng)一半，即可解決問(wèn)題【2018南通中考】如圖，正方形abcd中，o是bc邊的中點(diǎn)，點(diǎn)e是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，oe=2，連接de，將線段de繞點(diǎn)d逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得df，連接ae、cf求線段of長(zhǎng)的最小值【分析】e是主動(dòng)點(diǎn)，f是從動(dòng)點(diǎn)，d是定點(diǎn)，e點(diǎn)滿足eo=2，故e點(diǎn)軌跡是以o為圓心，2為半徑的圓考慮dedf且de=df，故作dmdo且dm=do，f點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)m為圓心，2為半徑的圓直接連接om，與圓m交點(diǎn)即為f點(diǎn)，此時(shí)of最小可構(gòu)造三垂直全等

8、求線段長(zhǎng)，再利用勾股定理求得om，減去mf即可得到of的最小值【練習(xí)】abc中，ab=4，ac=2，以bc為邊在abc外作正方形bcde，bd、ce交于點(diǎn)o，則線段ao的最大值為_(kāi)【分析】考慮到ab、ac均為定值，可以固定其中一個(gè)，比如固定ab，將ac看成動(dòng)線段，由此引發(fā)正方形bced的變化，求得線段ao的最大值根據(jù)ac=2，可得c點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)a為圓心，2為半徑的圓接下來(lái)題目求ao的最大值，所以確定o點(diǎn)軌跡即可，觀察boc是等腰直角三角形，銳角頂點(diǎn)c的軌跡是以點(diǎn)a為圓心，2為半徑的圓，所以o點(diǎn)軌跡也是圓，以ab為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)m即為點(diǎn)o軌跡圓圓心連接am并延長(zhǎng)與圓m交點(diǎn)即為所

9、求的點(diǎn)o，此時(shí)ao最大，根據(jù)ab先求am，再根據(jù)bc與bo的比值可得圓m的半徑與圓a半徑的比值，得到mo，相加即得ao此題方法也不止這一種，比如可以如下構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，當(dāng)a、c、a共線時(shí)，可得ao最大值或者直接利用托勒密定理可得最大值二、軌跡之線段篇引例：如圖，p是直線bc上一動(dòng)點(diǎn)，連接ap，取ap中點(diǎn)q，當(dāng)點(diǎn)p在bc上運(yùn)動(dòng)時(shí)，q點(diǎn)軌跡是【分析】當(dāng)p點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，q點(diǎn)軌跡也是一條直線可以這樣理解：分別過(guò)a、q向bc作垂線，垂足分別為m、n，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)閍p=2aq，所以qn始終為am的一半，即q點(diǎn)到bc的距離是定值，故q點(diǎn)軌跡是一條直線【引例】如圖，apq是等腰直角三角形，paq=90

10、76;且ap=aq，當(dāng)點(diǎn)p在直線bc上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求q點(diǎn)軌跡【分析】當(dāng)ap與aq夾角固定且ap:aq為定值的話，p、q軌跡是同一種圖形當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的q點(diǎn)的位置，連線即可，比如q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得q點(diǎn)軌跡線段【模型總結(jié)】必要條件：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（paq是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（ap:aq是定值）結(jié)論：p、q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于paq（當(dāng)paq90°時(shí)，paq等于mn與bc夾角）p、q兩點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比等于ap:aq（由abcamn，可得ap:aq=bc:mn）【2017姑蘇區(qū)二?！咳鐖D，在等邊abc中

11、，ab=10，bd=4，be=2，點(diǎn)p從點(diǎn)e出發(fā)沿ea方向運(yùn)動(dòng)，連結(jié)pd，以pd為邊，在pd的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊dpf，當(dāng)點(diǎn)p從點(diǎn)e運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)a時(shí)，點(diǎn)f運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是_【分析】根據(jù)dpf是等邊三角形，所以可知f點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)與p點(diǎn)相同，p從e點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到a點(diǎn)路徑長(zhǎng)為8，故此題答案為8【2013湖州中考】如圖，已知點(diǎn)a是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn)，acx軸于點(diǎn)m，交直線y=-x于點(diǎn)n，若點(diǎn)p是線段on上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，apb=30°，bapa，則點(diǎn)p在線段on上運(yùn)動(dòng)時(shí)，a點(diǎn)不變，b點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)求當(dāng)點(diǎn)p從點(diǎn)o運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)n時(shí)，點(diǎn)b運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是_【分析】根據(jù)pab=90°，apb=30

12、°可得：ap:ab=，故b點(diǎn)軌跡也是線段，且p點(diǎn)軌跡路徑長(zhǎng)與b點(diǎn)軌跡路徑長(zhǎng)之比也為，p點(diǎn)軌跡長(zhǎng)on為，故b點(diǎn)軌跡長(zhǎng)為【練習(xí)】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，a（-3,0），點(diǎn)b是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)c、d在x正半軸上，以ab為邊在ab的下方作等邊abp，點(diǎn)b在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求op的最小值【分析】求op最小值需先作出p點(diǎn)軌跡，根據(jù)abp是等邊三角形且b點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，故可知p點(diǎn)軌跡也是直線取兩特殊時(shí)刻：（1）當(dāng)點(diǎn)b與點(diǎn)o重合時(shí)，作出p點(diǎn)位置p1；（2）當(dāng)點(diǎn)b在x軸上方且ab與x軸夾角為60°時(shí)，作出p點(diǎn)位置p2連接p1p2，即為p點(diǎn)軌跡根據(jù)abp=60°可知：與y軸夾角

13、為60°，作op，所得op長(zhǎng)度即為最小值，op2=oa=3，所以op=【2019宿遷中考】如圖，正方形abcd的邊長(zhǎng)為4，e為bc上一點(diǎn)，且be=1，f為ab邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ef，以ef為邊向右側(cè)作等邊efg，連接cg，則cg的最小值為【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)，本題是求cg最小值，可以將f點(diǎn)看成是由點(diǎn)b向點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)，由此作出g點(diǎn)軌跡：考慮到f點(diǎn)軌跡是線段，故g點(diǎn)軌跡也是線段，取起點(diǎn)和終點(diǎn)即可確定線段位置，初始時(shí)刻g點(diǎn)在位置，最終g點(diǎn)在位置（不一定在cd邊），即為g點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡cg最小值即當(dāng)cg的時(shí)候取到，作ch于點(diǎn)h，ch即為所求的最小值根據(jù)模型可知：與a

14、b夾角為60°，故過(guò)點(diǎn)e作efch于點(diǎn)f，則hf=1，cf=，所以ch=，因此cg的最小值為三、軌跡之其他圖形篇所謂“瓜豆原理”，就是主動(dòng)點(diǎn)的軌跡與從動(dòng)點(diǎn)的軌跡是相似性，根據(jù)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線形成的夾角以及主、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比，可確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡，而當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)軌跡是其他圖形時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)軌跡必然也是【2016樂(lè)山中考】如圖，在反比例函數(shù)的圖像上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)a，連接ao并延長(zhǎng)交圖像的另一支于點(diǎn)b，在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)c，滿足ac=bc，當(dāng)點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)c始終在函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，若tancab=2，則k的值為（ ）a2b4c6d8【分析】aoc=90°且ao:oc=1:2，顯然點(diǎn)

15、c的軌跡也是一條雙曲線，分別作am、cn垂直x軸，垂足分別為m、n，連接oc，易證amoonc，cn=2om，on=2am，on·cn=4am·om，故k=4×2=8【思考】若將條件“tancab=2”改為“abc是等邊三角形”，k會(huì)是多少【練習(xí)】如圖，a（-1,1），b（-1,4），c（-5,4），點(diǎn)p是abc邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接op，以op為斜邊在op的右上方作等腰直角opq，當(dāng)點(diǎn)p在abc邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)q的軌跡形成的封閉圖形面積為_(kāi)【分析】根據(jù)opq是等腰直角三角形可得：q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡與p點(diǎn)軌跡形狀相同，根據(jù)op:oq=，可得p點(diǎn)軌跡圖形與q點(diǎn)軌跡圖形相似比為，故面積比為2:1，abc面積為1/2×3×4=6，故q點(diǎn)軌跡形成的