2022年平面向量的線性運(yùn)算及練習(xí)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載平面對(duì)量的線性運(yùn)算學(xué)習(xí)過程學(xué)問點(diǎn)一：向量的加法r rrr（ 1）定義已知非零向量a, b ，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)a ，作 ab a ，bc b ，就向量 acrrrrrr叫做 a 與 b 的和，記作 ab ，即 ab ab bc ac 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做叫向量的加法這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法就說明：運(yùn)用向量加法的三角形法就時(shí)，要特殊留意“首尾相接” ，即其次個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，就由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向其次個(gè)向量終點(diǎn)的向量即為和向量.兩個(gè)向量的和仍舊是一個(gè)向量，其大小、方向可以由三角形法就確定位移的合成可以看作向量加法三角形法就的物理模型（ 2）向

2、量加法的平行四邊形法就以點(diǎn) o 為起點(diǎn)作向量 oauuurra ， obb ，以 oa,obuuru為鄰邊作y oacb ，就以 o 為起點(diǎn)的對(duì)角線所在向量ocr rrruuru就是 a, b的和，記作 ab = oc ；說明：三角形法就適合于首尾相接的兩向量求和，而平行四邊形法就適合于同起點(diǎn)的兩向量求和，但兩共線向量求和時(shí)，就三角形法就較為合適.力的合成可以看作向量加法平行四邊形法就的物理模型r rrrrr對(duì)于零向量與任一向量a，a00aa（ 3）特殊位置關(guān)系的兩向量的和當(dāng)向量 a 與 b 不共線時(shí)， a + b 的方向不同向，且| a + b |<| a |+| b |；當(dāng) a 與

3、b 同向時(shí)，就 a + b 、 a 、 b 同向，且 | a + b |=| a |+|b |，當(dāng) a 與 b 反向時(shí)， 如| a |>|b |，就 a + b 的方向與 a 相同，且| a + b |=| a |-|b |；如| a |<| b |， 就 a + b 的方向與 b 相同，且 | a +b|=| b |-| a |.（ 4）向量加法的運(yùn)算律向量加法的交換律：a + b = b + a向量加法的結(jié)合律： a + b + c = a + b + c 學(xué)問點(diǎn)二：向量的減法rr（ 1）相反向量：與 a 長(zhǎng)度相同、方向相反的向量.記作a ；rrr（ 2）向量 a 和- a 互

4、為相反向量，即- a .零向量的相反向量仍是零向量rrrrr任一向量與其相反向量的和是零向量，即a - a - a a 0 r rrrrrrrr假如向量a, b互為相反向量，那么a - b ， b - a ， a b 0 rrrr（ 3）向量減法的定義：向量a 加上的 b 相反向量，叫做a 與 b 的差.rrrr即：ab =a + b 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.（ 4）向量減法的幾何作法uurr uuurr在平面內(nèi)任取一點(diǎn)o，作 oaa ,obbrruurrrrr，就 baab 即 ab可以表示為從向量b 的終點(diǎn)指向向量 a 的終點(diǎn)的向量，這就是向量減法的幾何意義rr說明： ab 表示

5、 ab.強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)rrrr用“相反向量”定義法作差向量，ab =a + b ， 明顯，此法作圖較繁，但最終作圖可統(tǒng)一.學(xué)問點(diǎn)三：向量數(shù)乘的定義r（1） 定義： 一般地， 我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量 a 的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘， r記作a ，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：rr |a | |a |rrrr當(dāng)0 時(shí)，ra 的r當(dāng)0 時(shí)， a 0（2） 向量數(shù)乘的運(yùn)算律方向與 a 的方向相同；當(dāng)0 時(shí)， a 的方向與 a 的方向相反依據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算律：設(shè)、 為實(shí)數(shù)，那么rr a a ；rrr a a a ；rrrr a b a b 學(xué)問點(diǎn)四：r向量

6、r 共線r 的條r件rr向量 a a學(xué)習(xí)結(jié)論0 與 b 共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯獨(dú)一個(gè)實(shí)數(shù)，使 b a （ 1）兩個(gè)向量的和仍舊是向量，它的大小和方向可以由三角形法就和平行四邊形法就確定，這兩種法就本質(zhì)上是一樣的共線向量加法的幾何意義，為共線向量首尾相連接， 第一個(gè)向量的起點(diǎn)與其次個(gè)向量的終點(diǎn)連接所得r 到的r 有向線段所表示的向量r r（ 2） ab 可以表示為從向量 b 的終點(diǎn)指向向量 a 的終點(diǎn)的向量（ 3）實(shí)數(shù)與向量不能相加減，但實(shí)數(shù)與向量可以相乘向量數(shù)乘的幾何意義就是幾個(gè)相等向量相加 rrrrrr（ 4）向量 a a練習(xí)0 與 b 共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯獨(dú)一個(gè)實(shí)數(shù)，使 b a ；r ruurr

7、r uuurrr uuurrr例 1 已知任意兩個(gè)非零向量a 、b、c 三點(diǎn)之uu間ur 的位置關(guān)系a, b，作oaab, oba2b, oca3b ，試判定解：ab uuru ob oa a+2ba+b b，且ac uuru oc oa a+3b a+b 2 b，uuurac 2 ab 所以， a 、b、c 三點(diǎn)共線例 2.如圖，平行四邊形 abcd 的兩條對(duì)角線相交于uuurruuurrrr點(diǎn) m ，且 ab a ， ad b ，試用 a ， b表示向量uuru uuru uuur uuruma, mb, mc , md uuuruuur解析 ：ammc1rr=ab， 所 以u(píng)uru1 r

8、ruuuuruuuru2uruuuur1rruuur1 rrmaab , dmmb2maab ab 所以 md2ba2例 3. 一艘船從長(zhǎng)江南岸a 點(diǎn)動(dòng)身以 5 km/h 的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的流速為向東 2 km/h 試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度（保留兩個(gè)有效數(shù)字）；求船實(shí)際航行速度的大小與方向用與江水速度間的夾角表示，精確到度.分析： 速度是一個(gè)既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示， 速度的合成也就是向量的加法 .解析： 如圖， 設(shè) ad 表示船向垂直于對(duì)岸行駛的速度，ab 表示水流的速度， 以 ad 、ab 作鄰邊作平行四邊形abcd ，就 ac

9、就是船實(shí)際航行的速度 .在 rt abc 中， | ab | 2， | bc | 5，uuur 2uuur 2 |ac | abbc2252295.4 tancab 5 ，2cab68答：船實(shí)際航行速度的大小約為5.4 km/h ，方向與水的流速間的夾角為約為 68° .1. 2006 上海理 如圖，在平行四邊形abcd中，以下結(jié)論中錯(cuò)誤選項(xiàng)（）（ a） ab dc ；（ b） ad ab ac ；dc（ c） ab ad bd ；（ d） ad cb 0 ab2（ 2007 湖南文） 如 o、e、f 是不共線的任意三點(diǎn)，就以下各式中成立的是（）a efofoeb.efofoec.e

10、fofoed.efofoe（）a abad,0,1b abbc ,0,c abad ,0,1d abbc ,0,3（ 2003 遼寧） 已知四邊形 abcd是菱形， 點(diǎn) p 在對(duì)角線 ac上（不包括端點(diǎn) a、c），就 ap2 2224. 2021 遼寧理 已知 o，a，b 是平面上的三個(gè)點(diǎn), 直線 ab上有一點(diǎn) c，滿意 2 accb0 ,就 oc（）a 2oaobboa2obc 2 oa1 obd1 oa2 ob335（ 2003 江蘇；天津文、理）o 是平面上肯定點(diǎn)，a、b、c33是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) p 滿意opoa abacabac,0,就,p的軌跡肯定通過abc 的（ a）外

11、心（ b）內(nèi)心（c）重心（ d）垂心6（ 2005 全國(guó)卷 理、文）已知點(diǎn)a3,1 ， b0,0， c3,0設(shè)bac 的平分線 ae與 bc 相交于 e ，那么有 bcce ，其中等于 （ a）（ b） 12（ c）（d） 137. 設(shè)a, b是兩個(gè)不共線的非零向量，如向量ka2b 與 8akb 的方向相反，就k=_.8. （ 2007 江西理）如圖，在 abc 中，點(diǎn) o是 bc的中點(diǎn)，過點(diǎn)o的直線分別交直線ab、ac于不同的兩點(diǎn) m、n，如 ab m am ，ac n an ，就 m n 的值為9（ 2005 全國(guó)卷理 ） abc 的外接圓的圓心為o，兩條邊上的高的交點(diǎn)為h，ohmoaob

12、oc，就實(shí)數(shù) m =10. （ 2007 陜西文、理） 如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量oa 、 ob 、 oc ，其中 oa 與ob 的夾角為 120°， oa 與 oc 的夾角為 30°，且 oa ob 1，oc 2為.2 . 如oc oaob ,r,就的值例 1.b例 2例 3 b.（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練：1. c； 2b.3a 4. a 5b6c； 7_4；8.29 1；10.26 .（四）拓展與探究：,11、d；12.,0 ， 1 3.2 2復(fù)習(xí)目標(biāo)：平面對(duì)量的線性運(yùn)算（復(fù)習(xí)課）.1、把握向量加、減法的運(yùn)算，并懂得其幾何意義.2、把握向量數(shù)乘運(yùn)算，并懂得其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線

13、的含義.3、明白向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.重點(diǎn):向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義.難點(diǎn) :應(yīng)用向量線性運(yùn)算的定義、性質(zhì)敏捷解決相應(yīng)的問題.一、學(xué)案導(dǎo)學(xué)自主建構(gòu)復(fù)習(xí) 1: 向量的加法復(fù)習(xí) 2:向量的減法已知向量 a 和向量 b ,作向量 a+ b.已知向量 a 和向量 b,作向量 a-b .復(fù)習(xí) 3： 向量的數(shù)乘復(fù)習(xí) 4：平面對(duì)量共線定理已知向量 a,作向量 3a 和- 3a .二、合作共享溝通提升1、填空：(1) adca-(2) abcbdc-(3) abacbdcd-(4) 在平行四邊形abcd中，如abadabad 就bad 2、判定題：（ 1）相反向量就是方向相反的向量（ 2）a

14、bba0（ 3） aboaob（ 4）在 abc 中，必有 abbcca0（ 5）如abbcca0 ，就 a 、b、 c 三點(diǎn)必是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；3 、如oa3ob2oc ,就a, b,c三點(diǎn)是否共線三、案例剖析總結(jié)規(guī)律例 1:依據(jù)條件判定以下四邊形的外形1adbc 2 a d1 b c 3 a3db c且,a ba d4 oaocobod ; o是四邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)） 5 a ca ba d6四邊形abcd的對(duì)角線ac與bd相交于點(diǎn)o，并且aooc, doob例 2、如圖， 在oab 中,延長(zhǎng) ba 到 c, 使 ac=ba, 在 ob 上取點(diǎn) d,使 bd=ob.dc與 oa 交于 e, 設(shè) oaa，obb，請(qǐng)用