上海交通大學(xué)大學(xué)物理A類第三章剛體力學(xué)基礎(chǔ).

1、第第 3 3 章章 剛剛 體體 力力 學(xué)學(xué) 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)剛體是一個理想模型，指物體受到力的作用時完全不剛體是一個理想模型，指物體受到力的作用時完全不會發(fā)生形變。因此運動過程中剛體內(nèi)部任意兩點之間會發(fā)生形變。因此運動過程中剛體內(nèi)部任意兩點之間的距離始終保持不變。的距離始終保持不變。自由度：完全描述運動所需的獨立坐標(biāo)數(shù)自由度：完全描述運動所需的獨立坐標(biāo)數(shù)（決定物體空間位置）（決定物體空間位置）3.1 3.1 剛體運動的描述剛體運動的描述一、剛體運動基本形式和自由度一、剛體運動基本形式和自由度1 1 平動（平移）：剛體內(nèi)任意兩質(zhì)點連線的平動（平移）：剛體內(nèi)任意兩質(zhì)點連線的 方向保持不變方向保持不變 2

2、 2 轉(zhuǎn)動：剛體上所有各點繞同一直線作圓周轉(zhuǎn)動：剛體上所有各點繞同一直線作圓周 運動，這一直線稱為轉(zhuǎn)軸。運動，這一直線稱為轉(zhuǎn)軸。ix y zccc 3 ()自由度自由度xpi 1 ()（1 1）定軸轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸固定于參考系）定軸轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸固定于參考系 如：門如：門 窗窗（2 2）定點轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸上有一點靜止于參考系）定點轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸上有一點靜止于參考系如：玩具陀螺如：玩具陀螺i 3（轉(zhuǎn)軸方向（轉(zhuǎn)軸方向2 2，繞軸轉(zhuǎn)角，繞軸轉(zhuǎn)角1 1）o o3 3 平面平行運動：剛體上每一質(zhì)元的運動都平面平行運動：剛體上每一質(zhì)元的運動都 平行于某一固定平面平行于某一固定平面可以分解為剛體隨質(zhì)心的平移（可以分解為剛體隨

3、質(zhì)心的平移（2 2）和繞質(zhì)心）和繞質(zhì)心垂直于運動平面的定軸轉(zhuǎn)動（垂直于運動平面的定軸轉(zhuǎn)動（1 1）i 3如：車輪滾動如：車輪滾動4 4 剛體的一般運動可以分解為隨質(zhì)心的平移剛體的一般運動可以分解為隨質(zhì)心的平移 和繞質(zhì)心的定點轉(zhuǎn)動和繞質(zhì)心的定點轉(zhuǎn)動i 33i 1 1力是滑移矢量，只能在力的方向上移動力是滑移矢量，只能在力的方向上移動FF二、剛體的受力二、剛體的受力力的三要素：大小、方向、作用線。力的三要素：大小、方向、作用線。3.2 3.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動一、定軸轉(zhuǎn)動的描述一、定軸轉(zhuǎn)動的描述xp 轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面22dd dd ttp角位移點：角位置22dd dd ttq角位移點：

4、角位置qoo角速度，角加速度角速度，角加速度的單位分別是按 ,SI2rad/srad/s,rad,對于勻角加度速轉(zhuǎn)動，則有：對于勻角加度速轉(zhuǎn)動，則有：t 022100tt )(20202 式中式中00 ,是是t=t=0 0時刻的角速度和角位置時刻的角速度和角位置角量與線量之關(guān)系角量與線量之關(guān)系rrttvaddddtrrva22nrv vr角速度矢量角速度矢量大小為大小為方向由右螺旋法則確定方向由右螺旋法則確定t dd規(guī)定順著剛體轉(zhuǎn)動的右螺旋前進方向為規(guī)定順著剛體轉(zhuǎn)動的右螺旋前進方向為角速度矢量的方向角速度矢量的方向在定軸轉(zhuǎn)動下，轉(zhuǎn)軸任取一點為坐標(biāo)原點在定軸轉(zhuǎn)動下，轉(zhuǎn)軸任取一點為坐標(biāo)原點rv v

5、rrsint dd角加速度矢量角加速度矢量定義角位移定義角位移是否矢量？是否矢量？OP角速度矢量再研究角速度矢量再研究12121221有限大角位移相加時不滿足交換律，不是矢量有限大角位移相加時不滿足交換律，不是矢量 剛體是一個質(zhì)點系剛體是一個質(zhì)點系, ,描述質(zhì)點系轉(zhuǎn)動的動力描述質(zhì)點系轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程學(xué)方程dtLdM 取慣性參考系取慣性參考系xyzoz軸為固定轉(zhuǎn)軸而言對、則oMLoxyz二、定二、定 軸軸 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 動動 定定 理理1、作用于定軸剛體的合外力矩、作用于定軸剛體的合外力矩Fi設(shè)第設(shè)第i個質(zhì)元受外力個質(zhì)元受外力Fi假定假定垂直于轉(zhuǎn)軸垂直于轉(zhuǎn)軸xyzooRiFiirmiiiiFRM i軸軸

6、z/iirooR oo iiiFrooM iiiFrFoo 軸軸z iiiiiizFrFrM sin 相對于定軸的合外力矩相對于定軸的合外力矩 iiiiiizzFrMM sin即作用在各質(zhì)元的力矩的即作用在各質(zhì)元的力矩的z分量之和分量之和xyzooRiFiirmiioo的力矩（簡稱力的力矩（簡稱力Fi 對轉(zhuǎn)軸的力矩）對轉(zhuǎn)軸的力矩）對參考點對參考點o 的力矩在的力矩在z軸上的分量軸上的分量就等于力就等于力Fi對對z 軸的垂足軸的垂足o o（轉(zhuǎn)心）（轉(zhuǎn)心）iF 由于剛體只能繞由于剛體只能繞z軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動, ,引起轉(zhuǎn)動的引起轉(zhuǎn)動的力矩只有力矩只有Mz，因此轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程，因此轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程dtdLM

7、zz xyzooRiriLivimi 2iiiiiizrmvmrL 由于由于ivoo垂直于垂直于z軸軸 iiiiiiivmroovmRL dtLdM 2、剛體定軸轉(zhuǎn)動定理、剛體定軸轉(zhuǎn)動定理 iiiiiizzvmrLLJrmiii)(2式中式中 iiirmJ2稱為剛體對轉(zhuǎn)軸稱為剛體對轉(zhuǎn)軸 z 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量代入代入dtdLMzz 得到得到 dtJdM JdtdJMJ = 為常量為常量xyzooRiriLivimi剛體定軸轉(zhuǎn)動定理剛體定軸轉(zhuǎn)動定理maF 00000ddJJJtMJJttttMdt0稱為在稱為在t0到到t時間內(nèi)作用在剛體上的沖量時間內(nèi)作用在剛體上的沖量矩矩tLMddJL JLt

8、Mddd推廣到推廣到 可變情形可變情形（保持所有質(zhì)點（保持所有質(zhì)點 相同）相同）J關(guān)于剛體角動量的補充說明關(guān)于剛體角動量的補充說明mmbb LR sinbvrvvmrL sin222mbmbvL 2222sin2sinmRmbLLzJ結(jié)論：結(jié)論：1、角動量和角速度一般并不在同一個、角動量和角速度一般并不在同一個方向上方向上2、角動量與角速度在數(shù)值上也并不是、角動量與角速度在數(shù)值上也并不是以轉(zhuǎn)動慣量為比例系數(shù)的正比關(guān)系以轉(zhuǎn)動慣量為比例系數(shù)的正比關(guān)系【例例 】定滑輪定滑輪:m r J 物體物體:m m12 輕繩不能伸長，與滑輪間無相對滑動。輕繩不能伸長，與滑輪間無相對滑動。求滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度和繩

9、的張力。求滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度和繩的張力。gm1gm21T1T2T2TaaamTgm111 amgmT222 JrTrT 21r ra 【解解】解得解得: Jrmmgrmma 221221 Jrmmrgmm 22121 JrmmgmJrmT 22112212 JrmmgmJrmT 22122122結(jié)論結(jié)論:1.由于考慮了滑輪的質(zhì)量由于考慮了滑輪的質(zhì)量,使得使得TT122121TTmm則若2.【例例 】“打擊中心打擊中心”問題問題細(xì)桿：細(xì)桿：m, l ，軸軸O，在豎直位置在豎直位置靜止靜止. .若在某若在某時刻有力作用在時刻有力作用在A處，求軸對桿的作用力。處，求軸對桿的作用力。解：解：如圖示，除

10、力如圖示，除力F外，外，系統(tǒng)還受重力、系統(tǒng)還受重力、軸的支反力等。軸的支反力等。 但這兩個力對軸的力矩但這兩個力對軸的力矩0。Fl0O.C . FxFyA.gm只有只有F對細(xì)桿的對細(xì)桿的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動有影響，對轉(zhuǎn)軸有影響，對轉(zhuǎn)軸O的力矩為的力矩為：可通過轉(zhuǎn)動定可通過轉(zhuǎn)動定理理求細(xì)桿的轉(zhuǎn)動，再求求細(xì)桿的轉(zhuǎn)動，再求質(zhì)心加速度。利用質(zhì)心運動定理求支反力。質(zhì)心加速度。利用質(zhì)心運動定理求支反力。FlM0JM c(am) jFiFgmFyx細(xì)桿遵從如下動力學(xué)方程：細(xì)桿遵從如下動力學(xué)方程：JFlJM0 203mlFl 質(zhì)心運動定律分量式：質(zhì)心運動定律分量式：cttmaFFFxcnnmamgFFy)2(lm)2(2

11、lmmgFyFllFx 1230Fll230Fl0OC . FxFyA.gm.JM c(am) jFiFgmFyxJFlJM0 203mlFl 0FllFx 1230Fl0OC . FxFyA.gm.llFx32 , 0)2(0llFx32 , 0)1 (0llFx32 , 0)3(0討論討論打擊中心打擊中心 網(wǎng)球拍the sweet spot【例例 】一半徑為一半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻圓盤平放在粗糙的的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度為水平面上。若它的初角速度為 0 0，繞中心，繞中心o o旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)過多長時間圓盤才停止？（設(shè)摩擦系數(shù)為過多長時間圓盤才停止？（設(shè)

12、摩擦系數(shù)為 ）drr解：解：rmgFrMdddrrRmmd2d222d2dRrgrmMmgRRrmgrMMR32d2d022Ro2d2RrmrtJMddtmRmgRdd21322000d43dgRttgRt430tmRmgRdd21322000d43dgR2083gR為其轉(zhuǎn)過的角度。為其轉(zhuǎn)過的角度。mgRM32tmRdddd212旋轉(zhuǎn)啞鈴。sinbvvBArv（1）vmrLLL2sin2sin22mbbbmL【例例 】求角動量及外力矩（o點）hzLLL22sin2sinmbLLzcossin2cos2mbLLhdtLddtLLdMhhzo)(cossin2220mbLdtdLMhhhLdcos

13、sin22220mbMRFcossin12220mbRRMFsin2sin22mbbbmLhdL3、 剛體的轉(zhuǎn)動慣量剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算物理意義：轉(zhuǎn)動慣量是對剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度，其大小物理意義：轉(zhuǎn)動慣量是對剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度，其大小反映了改變剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的難易程度。反映了改變剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的難易程度。與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的因素與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的因素剛體的質(zhì)量及其分布剛體的質(zhì)量及其分布; ; 轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置; ; 剛體的形狀。剛體的形狀。 剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)點的質(zhì)量與這一質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的距離平方的點的質(zhì)量與這一質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的距

14、離平方的乘積之和。乘積之和。iiirmJ21m 2m 2r1rdmrJ2若質(zhì)量連續(xù)分布若質(zhì)量連續(xù)分布dldm dsdm dVdm 質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布線分布線分布體分布體分布面分布面分布 為質(zhì)量的線密度為質(zhì)量的線密度 為質(zhì)量的體密度為質(zhì)量的體密度 為質(zhì)量的面密度為質(zhì)量的面密度注注意意 只有幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才用只有幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才用積分計算其轉(zhuǎn)動慣量積分計算其轉(zhuǎn)動慣量,一般剛體則用實驗求其轉(zhuǎn)動慣量。一般剛體則用實驗求其轉(zhuǎn)動慣量。平行軸定理平行軸定理剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量

15、J等于對通過質(zhì)心的平行等于對通過質(zhì)心的平行轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量Jc加上剛體質(zhì)量加上剛體質(zhì)量m乘以兩平行轉(zhuǎn)軸間乘以兩平行轉(zhuǎn)軸間距離距離d的平方的平方2mdJJc cdoirirmi iiiiiirrmrmJ2 iiiidrdrm2222mdJrmdmdrmciiiiiiiRizr0mrmrmmRmiiiiiziiii0iiirmJcJoxyzyixiirmiiiiiiiizyxmrmJ222 xyJJ 有一薄板，已知對板面內(nèi)兩垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為有一薄板，已知對板面內(nèi)兩垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為Jx，Jy，則板對，則板對z軸的軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量Jz 。垂直軸定理垂直軸定理xyJJ 【例例

16、 】求均質(zhì)圓盤求均質(zhì)圓盤(m,R)過圓心且與板面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量過圓心且與板面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量 ?！窘饨?】242121mRhR xyzrdr盤由許多環(huán)組成盤由許多環(huán)組成 mrJdd2mrJd2 rhrrd22 Rrrh03d2 【例例 】圓盤：圓盤：m，R，求以直徑為軸的轉(zhuǎn)動慣量求以直徑為軸的轉(zhuǎn)動慣量241mRJ 【例例 】掛鐘擺錘的轉(zhuǎn)動慣量掛鐘擺錘的轉(zhuǎn)動慣量m l1 om R2 2222212131RlmRmlmJ 【例例 】求球體對通過球心軸的求球體對通過球心軸的轉(zhuǎn)動慣量，球的半徑為轉(zhuǎn)動慣量，球的半徑為R體密度為體密度為 。【解解 】將球分為一系列的圓盤將球分為一系列的圓盤rRo

17、z任一圓盤的質(zhì)量：任一圓盤的質(zhì)量：2222222222252212121mRdz)zR(dJJdz)zR(dmrdJdz)zR(dzrdmRRV 2222222222252212121mRdz)zR(dJJdz)zR(dmrdJdz)zR(dzrdmRRV 22220222222252212121mRdz)zR(dJJdz)zR(dmrdJdz)zR(dzrdmRRJ 對與球體相切的軸的對與球體相切的軸的轉(zhuǎn)動慣量又為多少？轉(zhuǎn)動慣量又為多少？22222222222225752212121mRmRmRJdz)zR(dJJdz)zR(dmrdJdz)zR(dzrdmRRV 2dmr dzlr【例例

18、】圓柱體圓柱體：m，r，l，求轉(zhuǎn)動慣量求轉(zhuǎn)動慣量xoxldxmrmrJ2241d41dz222d1dddd4xxJmxJmxr mll124d41d222222mlmrlxmrxlxmJllz三、定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律三、定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動角動量定理：定軸轉(zhuǎn)動角動量定理：tJMdd0dd 0 tJM=有當(dāng)常量00JJ定軸轉(zhuǎn)動角動量守恒定律：剛體在定軸轉(zhuǎn)動中，當(dāng)對轉(zhuǎn)定軸轉(zhuǎn)動角動量守恒定律：剛體在定軸轉(zhuǎn)動中，當(dāng)對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時，剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量保持不變。軸的合外力矩為零時，剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量保持不變。 茹可夫斯基凳12解：兩輪對共同轉(zhuǎn)軸的角動量守恒解：兩輪對共同轉(zhuǎn)軸

19、的角動量守恒 2111JJJ 2111JJJ 摩擦離合器摩擦離合器 飛輪飛輪1：J1 1 1飛輪飛輪2: : J2 靜止靜止 兩輪沿軸向結(jié)合，結(jié)合后兩輪達到的共兩輪沿軸向結(jié)合，結(jié)合后兩輪達到的共 同角速度。同角速度?！纠?】 若系統(tǒng)由幾個物體組成，當(dāng)系統(tǒng)受到若系統(tǒng)由幾個物體組成，當(dāng)系統(tǒng)受到的外力對軸的力矩的矢量和為零，則系統(tǒng)的的外力對軸的力矩的矢量和為零，則系統(tǒng)的總角動量守恒：總角動量守恒：常常量量 iiiJ 【例例 】均質(zhì)細(xì)棒：均質(zhì)細(xì)棒：m1、 l ，水平軸水平軸O，小球：，小球：m2與棒與棒相碰，碰前相碰，碰前 碰后碰后 如圖，設(shè)碰撞時間很短，棒保如圖，設(shè)碰撞時間很短，棒保持豎直，求碰后

20、棒的角速度。持豎直，求碰后棒的角速度。v v系統(tǒng)對系統(tǒng)對O軸角動量守恒軸角動量守恒 221312v lmlmlvmlmvvm123注意：注意：系統(tǒng)總動量一般不守恒，因為軸承處的外力不能忽略。系統(tǒng)總動量一般不守恒，因為軸承處的外力不能忽略。只當(dāng)碰撞在打擊中心時，只當(dāng)碰撞在打擊中心時，Nx=0，系統(tǒng)的水平動量守恒：，系統(tǒng)的水平動量守恒：解：解：vmlmvmvmvm2121 2c12 3222131322)(v lmlmlvmvv O【例例 】 如圖，小球用細(xì)繩掛于如圖，小球用細(xì)繩掛于o，細(xì)棒掛于，細(xì)棒掛于o， 水平釋放，與棒相碰，問碰撞過程系統(tǒng)水平釋放，與棒相碰，問碰撞過程系統(tǒng) 對對o點及點及o點

21、角動量是否守恒？為什么？點角動量是否守恒？為什么？ooTmgMgN解：受力如圖，重力沖量矩解：受力如圖，重力沖量矩 可忽略，對可忽略，對o點外力矩點外力矩 為零，角動量守恒。對為零，角動量守恒。對 o點外力矩不為零，角動點外力矩不為零，角動 量不守恒。量不守恒。【例例 】兩圓盤形齒輪半徑兩圓盤形齒輪半徑r1 、 r2 ，對通過盤心垂直于盤對通過盤心垂直于盤面轉(zhuǎn)軸的面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)動慣量為J1 、 J2，開始開始 1 1輪以輪以 0 0轉(zhuǎn)動，然后轉(zhuǎn)動，然后兩輪正交嚙合，求嚙合后兩輪的角速度。兩輪正交嚙合，求嚙合后兩輪的角速度。兩輪繞不同軸轉(zhuǎn)動，故對兩軸分兩輪繞不同軸轉(zhuǎn)動，故對兩軸分別用角動量

22、定理：別用角動量定理：01111dJJtFr222dJtFr2211rr得：得：22121222011rJrJrJ22121221012rJrJrrJ解：解：0122F1【例例 】22122211121212221111)()(RmmRmRmRmmRmRm角動量守恒定律角動量守恒定律22112211JJJJ1N2N1F1N2F2N1、 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能2222212121JmvmEiiiiiikr2 mdJJc 由由 22222212121 mdJmdJEcckr 222121ccmvJ 可分解為剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能和質(zhì)心可分解為剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能和質(zhì)心攜總質(zhì)量繞定軸作圓

23、周運動的動能攜總質(zhì)量繞定軸作圓周運動的動能oc四、剛體的能量四、剛體的能量設(shè)作用在質(zhì)元設(shè)作用在質(zhì)元dmi上的外力上的外力Fi位于轉(zhuǎn)動平面內(nèi)位于轉(zhuǎn)動平面內(nèi)zpiFiddcos dcosddiiiiiiiiiFsFrFAdiM0diiMA 000dddMMMAAiiiiiird2、力矩的功、力矩的功iddddddddJtJtJM2022121dd00JJJM3、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體和地球系統(tǒng)的重力勢能：剛體和地球系統(tǒng)的重力勢能：以地面為零勢能點，質(zhì)元以地面為零勢能點，質(zhì)元i：iipigzmE ciiiiiipmgzmzmmggzmE gmi Zoicr4、剛體的重力勢

24、能、剛體的重力勢能5、剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理、剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理將重力矩作的功用重力勢能差表示將重力矩作的功用重力勢能差表示)(d00ccpmgzmgzM得得)21()21(d20020JmgzJmgzMcc其中，其中，M為除重力以外的其它外力矩為除重力以外的其它外力矩若若M=0, , 則則常量221Jmgzc即剛體的機械能守恒定律即剛體的機械能守恒定律【例例 】細(xì)桿細(xì)桿A：m，L， 軸軸O，水平靜止，水平靜止， 在豎直位置與靜止物塊在豎直位置與靜止物塊B：m 發(fā)生彈性碰撞，求碰后：發(fā)生彈性碰撞，求碰后： 1 vB232max212121) 1 (JmgL LgmLJ31231 解：解：B

25、AONm gAm gB 2222121212121 2BBmvJJLmvJJLggLvB321 3212 1 .41 43cos cos12121 3maxmaxmax22mgLJBAOk Rmm=2 千克,=370,光滑,靜止釋放(彈簧為原長),求： (滑輪無滑轉(zhuǎn)動)(1) 最大距離 Smax (2) 最大速度 vmax 與 對應(yīng)的S解：（1）機械能守恒彈重ppEEmax2max21sinkSmgS)(18. 12037sin8 . 922sin20max米kmgS（2）尋找 vS 關(guān)系，并求導(dǎo)求得極值設(shè)某時刻下滑 S 機械能守恒例例已知 k=20 牛/米，R=0.3 米，J=0.5 千克

26、米2kRkmppEEEE彈重 212121sin222JmvkSmgS22221sin)(21kSmgSvRJm)( Rv 求導(dǎo)：0sin)(2kSmgdSdvvRJm)(588. 0206 . 08 . 920sin米kmgS)/(92. 0/2/12/1sin22max秒米RJmkSmgSvkmR 0dSdv令 繞對稱軸高速旋轉(zhuǎn)的剛體稱為繞對稱軸高速旋轉(zhuǎn)的剛體稱為陀螺陀螺，或稱，或稱回轉(zhuǎn)儀回轉(zhuǎn)儀。 陀螺在運動過程中通常有一點保持固定，故屬剛體陀螺在運動過程中通常有一點保持固定，故屬剛體的定點運動。利用角動量定理和角速度的矢量性質(zhì)，的定點運動。利用角動量定理和角速度的矢量性質(zhì)，可以解釋陀螺的

27、運動?？梢越忉屚勇莸倪\動。五、五、陀螺的運動陀螺的運動1、玩具陀螺的進動、玩具陀螺的進動高速旋轉(zhuǎn)的陀螺為什么能夠立而不倒？高速旋轉(zhuǎn)的陀螺為什么能夠立而不倒？情況一：豎直時情況一：豎直時oM 守守恒恒L 不傾倒不變 JL ogm定向陀螺儀定向陀螺儀 安裝在導(dǎo)彈、飛機、坦克或艦船中，安裝在導(dǎo)彈、飛機、坦克或艦船中，隨時糾正導(dǎo)彈等的方向和姿態(tài)。隨時糾正導(dǎo)彈等的方向和姿態(tài)。cr情況二情況二gmrMcJL 0LtgmrtMLcd)(ddtLMddML/dLLdL時刻改變方向而大小不變發(fā)生進動時刻改變方向而大小不變發(fā)生進動 (Precession)設(shè)進動角速度為設(shè)進動角速度為tmgrtMLcdsinddJ

28、mgrc tLLtddddsinsinJLL無關(guān)與有關(guān)與,LMdLd)(tL)d(ttL投影圖投影圖crOz Lsin MLd 進動軸進動軸自轉(zhuǎn)軸自轉(zhuǎn)軸Ldoo改變方向，情況如何？改變方向，情況如何？M改變方向，情況如何？改變方向，情況如何？cr有周期性變化有周期性變化稱為章動稱為章動 (nutation)dLd)(tL)d(ttL投影圖投影圖od)(tL)d(ttLLdo投影圖投影圖進動進動章章動動進動進動2、杠桿陀螺的進動、杠桿陀螺的進動平衡時保持平衡時保持大小方向不變大小方向不變移動重物移動重物P，受力矩，受力矩M作用，出現(xiàn)進動現(xiàn)象作用，出現(xiàn)進動現(xiàn)象tMLJLdd JmglLMttMLL

29、dd dddLM回歸年回歸年: :太陽連續(xù)兩次直射于北回歸線的時間間隔太陽連續(xù)兩次直射于北回歸線的時間間隔 恒星年恒星年: :地球繞太陽一周實際所需的時間間隔地球繞太陽一周實際所需的時間間隔 3、地球的進動、地球的進動 歲差歲差地球進動周期 = 25770年 26000年織女星 北極星地球進動周期 = 25770年 26000年地球章動周期 = 18.6年 19年地球進動周期約為2.6萬年，章動周期約為19年。中國古代歷法以19年為一章，譯名“章動”即源于此。xyzLMdtdL MdtLd ML NNddL)(tL)(dttLo圖中所示為一船中的高速旋轉(zhuǎn)體圖中所示為一船中的高速旋轉(zhuǎn)體,如船帶著旋轉(zhuǎn)體繞如船帶著旋轉(zhuǎn)體繞z軸作逆時軸作逆時針轉(zhuǎn)動針轉(zhuǎn)動,則軸承將受到巨大壓力則軸承將受到巨大壓力,試指出其壓力的方向試指出其壓力的方向,為什么為什么?六、剛體的平面平行運動六、剛體的平面平行運動剛體的每一個點都在自己對應(yīng)的一個平面內(nèi)運動，所有剛體的每一個點都在自己對應(yīng)的一個平面內(nèi)運動，所有這些平面相互平行。這些平面相互平行。對質(zhì)心對質(zhì)心CiiamF定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動CzJM 加上初始條件、約束條件加上初始條件、約束條件, , , CCav平面平行運動平面平行運動質(zhì)心的運動質(zhì)心的運動+ +繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動C Cv1、運動方程、運動方程0