向量數(shù)量積329

1、平面向量數(shù)量積平面向量數(shù)量積的物理背景及其的物理背景及其含義含義教學目的教學目的 1 1、掌握平面向量數(shù)量積的物理、掌握平面向量數(shù)量積的物理背景；背景； 2 2、掌握平面向量數(shù)量積的定義、掌握平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；及幾何意義； 3 3、理解一個向量在另一個向量、理解一個向量在另一個向量方向上的投影的概念。方向上的投影的概念。cossfwfs一、向量數(shù)量積的物理背景一、向量數(shù)量積的物理背景 在物理課中，我們學過功的概念，在物理課中，我們學過功的概念，即如果一個物體在力即如果一個物體在力 的作用下產(chǎn)生的作用下產(chǎn)生位移位移 ，那么力，那么力 所做的功所做的功sffa 已知兩個非零向量已知兩

2、個非零向量a a和和b b，作，作oa=oa=a a， ob=ob=b b，則則aob=aob= （0 0 180180）叫做向量）叫做向量a a與與b b的的夾角夾角, ,記為記為a,b.二、向量之間的夾角二、向量之間的夾角obab注意：注意：1.當0時，a與b同向；oab2.當180時，a a與b b反向；oabb3.當90時，稱a a與b b垂直，記為a ab b.oaab4.零向量與任一向量垂直三、向量在軸上的正射影o1b1a1labo11111111coscoso aoalo aoao boblo bob 為在軸 上的正射影，為在軸 上的正射影, 00001.cos()ababa b

3、a babab 注意：向量在軸l上的正射影是一個向量.2.向量在軸l上正射影的數(shù)量（坐標）其中 為向量與軸的正方向成的夾角ba四、向量與的數(shù)量積的概念四、向量與的數(shù)量積的概念ab規(guī)定：規(guī)定：零向量和任一向量的數(shù)量積為零向量和任一向量的數(shù)量積為0 0a 已知兩個非零向量與，它們已知兩個非零向量與，它們的夾角為的夾角為 ，則我們把數(shù)量，則我們把數(shù)量 叫做叫做 與與 的數(shù)量積的數(shù)量積( (或或內(nèi)積內(nèi)積) )，記作：，記作：b, a b a b cos a,b a ba b cos a,b , a b 對的幾點說明：(1).,a ba ba b 是向量的夾角，規(guī)定0(2).,a bb a (3).,2

4、a ba bab 時， 互相垂直，記作(4).規(guī)定零向量與任意向量垂直。 思考：兩非零向量思考：兩非零向量 與與 的數(shù)量積的數(shù)量積是一個是一個實數(shù)實數(shù)，不是一個向量，不是一個向量，其值可以其值可以為正，也可以為負，還可以為零為正，也可以為負，還可以為零，請說，請說出什么時候為正，什么時候為負，什么出什么時候為正，什么時候為負，什么時候為零？時候為零？ab測一測：測一測：嗎？的結(jié)果還是一個向量對ba) 1 (對嗎？2|)2(aaa對嗎？| )3(baba對嗎？baba0)4(對嗎？0)5(baba對嗎？|/)6(bababa是非零向量與前提： ba結(jié)論：結(jié)論：|)2(babababababa反向

5、時，與當；同向時，與當aaaaaa|)3(2或baba0) 1 (|)4(baba是非零向量與前提： ba(5)ea ee a 如果是單位向量，則向量數(shù)量積性質(zhì)：22(1)| cos(2)0(3)|(4) cos|(5) | |(6)|;|;eaaeaababaaaaaaaabababababababababab 或當與同 向 時 ， 當與反 向 時 ，練習：判斷下列說法是否正確練習：判斷下列說法是否正確1 1若若a = =0，則對任一向量，則對任一向量b ，有，有a b= =02若若a 0，則對任一非零向量，則對任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 00，a b b = =0，則，則b

6、= =04 4若若a0，a b= = b c，則，則a=c5 5若若a b = = a c , ,則則bc, ,當且僅當當且僅當a= =0 時成立時成立6對任意向量對任意向量 a 有有22|aa 算一算：算一算：.1204|5|1bababa，求為的夾角與，、.8|6|2bababa求平行，與，、答案：答案：-10-10同向時，同向時，4848反向時，反向時，-48-48算一算：算一算：的夾角與求，、bababa284|4|3045224428|cos可得解：由baba五、向量數(shù)量積的運算律五、向量數(shù)量積的運算律 已知向量已知向量 與實數(shù)與實數(shù)，則向量，則向量的數(shù)量積滿足下列運算律：的數(shù)量積滿

7、足下列運算律：cba,)()()(2(bababa)()1 (交換律abbacabacba)() 3 (分配律分配律)ab0c oaabbcclab0c oaabbccl00oaoacac 00a babcbc 00()obob cabc 000()oboaa babca cb c ()cabca cb c 兩邊同乘以得，分配律000)(cbcacba., 0cbcabaa時，不一定有當 說明：向量數(shù)量積不滿足消去律，說明：向量數(shù)量積不滿足消去律，也就是說：也就是說：鞏固訓練鞏固訓練22222222(1)()2(2)()()1(3)()2abaabbabababababab例題：求證1題 ，求證菱形的兩條對角線互相垂直。,abcdac bdacbd已知：是菱形，為它的兩條對角線求證：22,0acabad bdadabac bdabadadabadababadac bdacbd 證明：abcd)3()2(604620babababa求，的夾角為與，已知、題.433互相垂直與何值時，向量為不共線與，且，已知、題bkabkakbaba-7243提高練習：提高練習：三角形三角形abcabc為正三角形，問：為正三角形，問：上的投影為在上的投影為在夾角為與夾角為與bcabacabbcaba