蘇科版八年級上冊數(shù)學(xué)線段的垂直平分線知識點與同步訓(xùn)練講義

1、第6頁線段的垂直平分線8知識精講2.1 垂直平分線的概念和性質(zhì)垂直平分線的概念：定義1:經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線(中垂線)定義2:中垂線可以看成到線段兩個端點距離相等的點的集合，中垂線是線段的一條對稱軸。垂直平分線的性質(zhì)1 .垂直平分線垂直且平分其所在線段.2 .垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等.2.2 垂直平分線的判定在同一平面內(nèi)，到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上.2.3 與垂直平分線有關(guān)的作圖問題作法：如圖(1) 分別以點A、B為圓心，以大于 IaB的長為半徑作弧，兩弧相交于 C、D兩點；(2)作直線CD , CD

2、為所求直線三點剖析重難點：垂直平分線的性質(zhì)和判定，垂直平分線的畫法考點：垂直平分線的性質(zhì)和判定，垂直平分線的畫法易錯點：垂直平分線的畫法和角平分線的畫法進(jìn)行區(qū)分垂直平分線垂直平分的一定是線段，不能是射線或直線，這根據(jù)射線和直線可以無限延長有關(guān)，再看后面的，垂直平分線是一條直線。題模一：垂直平分線的概念和性質(zhì)例2.1.1 如圖， ABC中，AC=8, BC=5, AB的垂直平分線 DE交AB于點D,交邊 AC于 點E,則 BCE的周長為 .【答案】13【解析】DE是AB的垂直平分線，EA=EB ,貝U BCE 的周長=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13例2.1.2 如圖，在 A

3、BC中，BC邊上的垂直平分線 DE交邊BC于點D,交邊AB于點E.若 EDC的周長為24, ABC與四邊形AEDM周長之差為12,則線段DE的長為 .【答案】6【解析】 DE是BC邊上的垂直平分線，BE=CE .EDC的周長為24, . ED+DC+EC=24 ,.ABC與四邊形AEDC的周長之差為12,( AB+AC+BC ) - ( AE+ED+DC+AC ) = (AB+AC+BC ) - ( AE+DC+AC ) - DE=12 , .BE+BD - DE=12 , BE=CE , BD=DC ,:-得,DE=6例2.1.3 如圖，等腰三角形 ABC中，已知 AB=AC / A=30&

4、#176; , AB的垂直平分線交 AC于D, 貝U/ CBD的度數(shù)為 :【答案】45【解析】 此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；利用三角形外角的性質(zhì)求得求得/ BDC=60是解答本題的關(guān)鍵.本題的解法很多，用底角75。-30。更簡單些.根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理， 求出/ C,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)， 推得/ A=/ABD=30 由外角的性質(zhì)求出/ BDC的度數(shù)，從而得出/ CBD=45 . . AB=AC , / A=30° ,/ ABC= / ACB=75 ,.AB的垂直平分線交 AC于D,.AD=BD ,/ A= / ABD=30 ,/ BDC=60 ,

5、./ CBD=180 -75 -60 =45° . 故填45.例2.1.4 已知 ABC / BAC=110 , DE, FG分別是 AB, AC的垂直平分線且 DE交BC于M 點，F(xiàn)G交BC于N點，求/ MAN勺度數(shù)?！敬鸢浮恳娊馕觥窘馕觥吭O(shè)/ B=x , / C=y. . / BAC+ / B+ZC=180° , .110° +/ B+/ C=180° , -x+y=70 ° . AB、AC的垂直平分線分別交 BA于E、交AC于G, DA=BD , FA=FC , ./ EAD= /B, / FAC=/C. . / DAF= / BAC-

6、(x+y) =110° -70° =40° .(2) AB、AC的垂直平分線分別交 BA于E、交AC于G, DA=BD , FA=FC , DAF 的周長為：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10 (cm) 題模二：垂直平分線的判定例 2.2.1 如圖，已知 AC=AD BC=BD 貝U ()A.CD平分/ ACBB.CD垂直平分 ABC.AB垂直平分CDD.CD與AB互相垂直平分【答案】C【解析】 M D心A,C所以可推出 AD AOA C A, O可推出O C= O D/ AOC =/AOD =90 >題模三：與垂直平分線有關(guān)的作圖問題已知求作作

7、法（1） （2）（3）例2.3.1下面是“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程: 直線l和l外一點P.（如圖1）直線l的垂線，使它經(jīng)過點 P.如圖2在直線l上任取兩點A, B;Q;【答案】到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上（垂直平分線上），理由：如圖，: PA=AQ , PB=PB, 點A、點B在線段PQ的垂直平分線上， 直線AB垂直平分線段 PQ, PQXAB .【解析】到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上（垂直平分線上），理由：如圖，: PA=AQ , PB=PB, 點A、點B在線段PQ的垂直平分線上， 直線AB垂直平分線段 PQ, PQXAB .例

8、2.3.2閱讀“作線段的垂直平分線”的作法，完成填空及證明.已知：線段AB,要作線段 AB的垂直平分線.作法：（1）分別以A B為圓心，大于1AB的同樣長為半徑作弧,2A、B都在線段PQ的A、B都在線段PQ的兩弧分別交于點C D;分別以點A, B為圓心，AP, BP長為半徑作弧，兩弧相交于點 作直線PQ 所以直線PQ就是所求的垂線. 請回答：該作圖的依據(jù)是（2）作直線CD.直線CD即為所求作的線段 AB的垂直平分線.根據(jù)上述作法和圖形，先填空，再證明.已知：如圖，連接 AG BG AD BD, AC=AD=【答案】 BC; BD;證明見解析【解析】本題考察的是尺規(guī)作圖.由以上做法知 AC =A

9、D =BC =BD設(shè) CD、AB 交于 E,那么 AACDA BCD ,從而 ZACE =/BCE ,再由 AC =BC、CE =CE ,那么 ZCEABCE, 從而 AE =BE 且 CE _L AB 即 CD _L AB .這就證明了 E是線段AB的中垂線.例2.3.3有公路li同側(cè)、l 2異側(cè)的兩個城鎮(zhèn) A, B,如下圖.電信部門要修建一座信號發(fā)射塔，按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A, B的距離必須相等，到兩條公路li, l 2的距離也必須相等，發(fā)射塔 C應(yīng)修建在什么位置？請用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點，注明點 C 的位置.（保留作圖痕跡，不要求寫出畫法）【答案】見解析【解析】 作圖如

10、下：Ci, C2就是所求的位置.園隨堂練習(xí)隨練2.1 如圖，在 RtABC中，/ B=90° , ED是AC的垂直平分線，交 AC于點D,交BC 于點E.已知/ BAE=10 ,則/ C的度數(shù)為()A.30°B.40°C,50°D,60°【答案】B【解析】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余、三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角和.利用線段的垂直平分線的性質(zhì)計算.通過已知條件由/ B=90° , / BAE=10 ? Z AEB , / AEB= / EAC+ / C=2 / C.ED是AC的垂直平分線，.AE

11、=CE ./ EAC= ZC,又. / B=90° , / BAE=10 ,/ AEB=80 ,又. / AEB= / EAC+ / C=2 / C,/ C=40 .故選：B.隨練2.2如圖，已知線段 ab,分別以點a和點b為圓心，大于Nab的長為半徑作弧，兩2弧相交于 C D兩點，作直線CD交AB于點E,在直線CD上任取一點F,連接FA, FB.若FA=5, 貝U FB=.答案j5【解析】由題意直線CD是線段AB的垂直平分線，點F在直線CD上，F(xiàn)A=FB ,FA=5 ,.FB=5.隨練2.3 如圖，銳角三角形 ABC中，BC>AB>AC,小靖依下列方法作圖：(1)作/

12、A的角平分線交BC于D點.(2)作AD的中垂線交AC于E點.(3)連接DE.根據(jù)他畫的圖形，判斷下列關(guān)系何者正確？ .A.DEI ACB. DE/ ABC.CD=DED. CD=BD【答案】B【解析】依據(jù)題意畫出右圖可得知/ 1 = 7 2, AE=DE , / 2=/3, / 1 = /3,即 DE / AB .故選B.隨練2.4 如圖，兩條公路OA和OB相交于。點，在/ AOB的內(nèi)部有工廠 C和D,現(xiàn)要修建一 個貨站P,使貨站P到兩條公路 OA OB的距離相等，且到兩工廠 G D的距離相等，用尺規(guī) 作出貨站P的位置.(要求：不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)論)【答案】 見解析【解析】如圖所示：作CD的垂直平分線，/ AOB的角平分線的交點 P即為所求，此時貨站P到兩條公路 OA、OB的距離相等.隨練2.5閱讀“作線段的垂直平分線”的作法，完成填空及證明.已知：線段 AR要作線段 AB的垂直平分線.1作法：(1)分別以A B為圓心，大于1AB的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點C D；2(2)作直線CD直線CD即為所求作的線段 AB的垂直平分線.根據(jù)上述作法和圖形，先填空，再證明.已知：如圖，連接 AC BC