不定積分的概念

1、第四章第四章 不定積分不定積分 4.1 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì) 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo): :1、理解原函數(shù)和不定積分的概念、理解原函數(shù)和不定積分的概念2、熟練掌握不定積分的性質(zhì)和基本積分公式、熟練掌握不定積分的性質(zhì)和基本積分公式教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)： 綜合運(yùn)用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式求綜合運(yùn)用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式求 不定積分。不定積分。4.14.1 不定積分的概念不定積分的概念一、一、不定積分的概念不定積分的概念二、二、不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)三、直接積分法 早在兩千多年前，數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)開始注意到早在兩千多年前，數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)開始注意到累累積計(jì)算積計(jì)算的重要性，隨著

2、生產(chǎn)的發(fā)展，這類問題不斷有的重要性，隨著生產(chǎn)的發(fā)展，這類問題不斷有人提出，如求某塊平面圖形的面積，某條定曲線的長(zhǎng)人提出，如求某塊平面圖形的面積，某條定曲線的長(zhǎng)度等等度等等 其中某些問題甚至得到了解決其中某些問題甚至得到了解決 例如，阿例如，阿基米得基米得(archimedes)(archimedes)、開普勒、開普勒( (keplerkepler) )、卡瓦列里、卡瓦列里( (cavalierecavaliere) )都在具體問題中得到了后來用積分計(jì)算都在具體問題中得到了后來用積分計(jì)算得到的相同結(jié)果得到的相同結(jié)果 費(fèi)馬費(fèi)馬(fermat)(fermat)與巴洛與巴洛(barrow)(barro

3、w)已已初步意識(shí)到某些問題與微分之間存在互逆關(guān)系初步意識(shí)到某些問題與微分之間存在互逆關(guān)系 但但當(dāng)時(shí)并沒有一般地引入積分概念，他們的方法也不具當(dāng)時(shí)并沒有一般地引入積分概念，他們的方法也不具有普遍意義有普遍意義 直到十七世紀(jì)，直到十七世紀(jì)，牛頓和萊布尼茲牛頓和萊布尼茲各自各自獨(dú)立地看到了積分問題是微分問題的逆問題，并從微獨(dú)立地看到了積分問題是微分問題的逆問題，并從微分 逆 運(yùn) 算 的 角 度 提 了 簡(jiǎn) 潔 的 一 般 解 決 辦 法 分 逆 運(yùn) 算 的 角 度 提 了 簡(jiǎn) 潔 的 一 般 解 決 辦 法 前言前言例例xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù).xln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的

4、原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù).一、不定積分的概念 sincos ,xx 1ln(0),xxx .xfxf，xfxfi，ixfxf在在區(qū)區(qū)間間上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是則則稱稱上上若若在在上上都都有有意意義義是是在在區(qū)區(qū)間間及及設(shè)設(shè) 定 義定 義 4 . 14 . 1p99p99問題：?jiǎn)栴}：(1) 在什么條件下，一個(gè)函數(shù)的原在什么條件下，一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在？如果存在，是否唯一？函數(shù)存在？如果存在，是否唯一？(2)在已知某函數(shù)的原函數(shù)存在，怎在已知某函數(shù)的原函數(shù)存在，怎樣將這個(gè)原函數(shù)求出來。樣將這個(gè)原函數(shù)求出來。定理定理4.14.1（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理） . ix,xfxf,x，fi，i

5、xf 即即存存在在原原函函數(shù)數(shù)上上那那么么在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)即連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)！即連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)！初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)一定有原函數(shù)。初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)一定有原函數(shù)。p99p99定理定理4.24.2 。，cxfcxf，ixfxf為為任任意意常常數(shù)數(shù)的的原原函函數(shù)數(shù)也也是是則則上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間是是設(shè)設(shè) xcosxsin 為任意常數(shù)為任意常數(shù)cxcoscxsin 例例p99p99任意常數(shù)任意常數(shù)積分號(hào)積分號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù)(不定積分的定義不定積分的定義)cxfdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量 定義定義4.24

6、.2 xfc，xfxf稱稱為為的的全全部部原原函函數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù) p100p100 例1 因?yàn)橐驗(yàn)閟in x 是是cos x 的原函數(shù)的原函數(shù), , 所以所以 如果如果f f( (x x) )是是f f( (x x) )的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù), , 則則3: 4x dx 例例如如4xcxe dx 211dxx arctgxccotarcx c cex cxsinxdxcos的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是因因?yàn)闉閤21xcxdxx21 所以所以 cxfdxxf 如果如果f f( (x x) )是是f f( (x x) )的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù), , 則則 cxfdxxf 例例2 2.dxx1 求

7、求 所所以以因因?yàn)闉闀r(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)解解，x1xln，0 x: 0 xcxlndxx1 所所以以時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x1xx1xln, 0 x，0 x 0 xc) xln(dxx1 得得到到合合并并上上面面兩兩式式 ， 0 xcxlndxx1 不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義：. 函數(shù)函數(shù)f(x)的不定積分的不定積分 表示表示f(x)的一簇的一簇積分曲線，而積分曲線，而f(x)正是積分曲線的正是積分曲線的斜率斜率. . p100p100不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義2x的積分曲線通常把函數(shù)通常把函數(shù)f(x)的原函數(shù)的原函數(shù)y= f(x)的圖形叫做的圖形叫做f(x)的的一條一條積分曲線積分曲線。那么。那么

8、f(x)的所有積分曲線構(gòu)成的曲線族的所有積分曲線構(gòu)成的曲線族y=f(x)+c稱為稱為f(x)的的積分曲線族積分曲線族. dxxf)(. 設(shè)通過點(diǎn)設(shè)通過點(diǎn)(1, , 3), , 且且其切線斜率為其切線斜率為 2x2x的曲線方程的曲線方程. 練 習(xí)練 習(xí) p 1 0 3 . 2p 1 0 3 . 2 例例3 3 而而且且的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是即即由由題題意意知知設(shè)設(shè)所所求求曲曲線線方方程程為為解解,x2xf, x2xf,xfy： 2xy，2c，3y, 1xc，xyx222 故故所所求求的的曲曲線線方方程程為為得得代代入入將將的的積積分分曲曲線線族族為為即即cxxdx22 p103-2p103

9、-2：解解 。，3 ,e2試試求求該該曲曲線線的的方方程程該該點(diǎn)點(diǎn)橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)的的倒倒數(shù)數(shù)等等于于且且在在任任一一點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線率率一一曲曲線線通通過過點(diǎn)點(diǎn) 而而且且的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是即即由由題題意意知知設(shè)設(shè)所所求求曲曲線線方方程程為為解解,x1xf,x1xf,xfy： cxlndxx1 1xlny，1c，3y,exc，xlnyx12 故故所所求求的的曲曲線線方方程程為為得得代代入入將將的的積積分分曲曲線線族族為為即即4.4.1.2 1.2 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)一、不定積分的性質(zhì)一、不定積分的性質(zhì)二、基本積分公式二、基本積分公式由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可

10、知( )( )fx dxf xc ( )( )df xf xc ，或或 ，或或 ( )( )f x dxf x ( )( )df x dxf x dx 性質(zhì)性質(zhì)4.1：p101 p101 一、一、 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)4.24.2：性質(zhì)性質(zhì)4.34.3 dxxgdxxfdxxgxf 性質(zhì)性質(zhì)4.44.4 0k，kdxxfkdxxkf 且且是是常常數(shù)數(shù)4.1.3 直接積分法直接積分法(1)ckxkdx(2)cxdxx111(3)cxdxx|ln1(4)cedxexx(5)caadxaxxln(6)cxxdxsincos(7)cxxdxcossin(8)cxxdxtansec2(9

11、)cxxdxcotcsc2(10)cxdxxarctan112(11)cxdxxarcsin112(12)cxxdxxsectansec(13)cxdxxcsccotcscckxkdx(k 是常數(shù)), cxdxx111, cxdxx|ln1, cedxexx, caadxaxxln, cxxdxsincos, cxxdxcossin, cxxdxtansec2, cxxdxcotcsc2, cxdxxarctan112, cxdxxarcsin112, cxxdxxsectansec, cxdxxcsccotcsc, p 1 0 1p 1 0 1例 5 dxxdxxx252cx1251251c

12、x 2772 例例5 5 例例4 4 例例6 6 例 4 dxxdxx331cxcx21321131cxx372. 例 6 dxxxxdx343cx134134cx313cx33dxxdxx331cxcx21321131dxxdxx331cxcx21321131dxxdxx331cxcx21321131. dxxdxxx252cx1251251cx 2772dxxdxxx252cx1251251cx 2772dxxdxxx252cx1251251cx 2772. dxxxxdx343cx134134cx313cx33dxxxxdx343cx134134cx313cx33dxxxxdx343cx

13、134134cx313cx33dxxxxdx343cx134134cx313cx33. (2)cxdxx111, dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5() 5(cxxdxxdxx23272125325725 堂上練習(xí): dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5() 5(dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5() 5(cxxdxxdxx23272125325725. 例 8 dxxxxdxxxxxdxxx)133(133) 1(222323cxxxxdxxdxxdxdxx1|ln3321113322dxxxxdxxxxxdxxx)133(133) 1(2

14、22323dxxxxdxxxxxdxxx)133(133) 1(222323 cxxxxdxxdxxdxdxx1|ln3321113322. 例 11 dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1 ()1 ()1 (122222 堂上練習(xí): p102例例5 5 例 10 ceceedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2cxxdxxdxx|lnarctan1112ceceedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2ceceedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2ceceedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2. cxx

15、dxxdxx|lnarctan1112. dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1 ()1 ()1 (122222dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1 ()1 ()1 (122222 dxxsin2ex dxxsin2dxex cxcos2ex 例 12 dxxxxdxxxdxxx222242411) 1)(1(1111 p102例例6 6 dxxdxdxxdxxx222211)111(cxxxarctan313. dxxxxdxxxdxxx222242411) 1)(1(1111dxxxxdxxxdxxx222242411) 1)(1(1111 dxxdxdxxdxxx222211)111( 例 14 dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2 p102-例例7 7 cxx)sin(21. dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2 p102-p102-例例8 8例 13 dxxdxdxxdxx222sec) 1(sectantan x