BB87格林公式及其應(yīng)用

1、1主講教師主講教師: 王升瑞王升瑞高等數(shù)學(xué) 第三十講2第七節(jié)一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的 等價(jià)條件等價(jià)條件格林公式及其應(yīng)用 第八章 3引例：引例：計(jì)算ydxexdyeiyxlyx33積分路徑沿著圓周1:22 yxl的正向。解法：解法：應(yīng)用格林公式由于二重積分和平面的曲線那么它們兩者之間能否通過定積分而聯(lián)系起來？本節(jié)介紹格林公式將指出，二重積分可以化為沿區(qū)域 d 的邊界曲線 l 正向的曲線積分，在平面閉區(qū)域 d 上的這就溝通了曲線積分和二重積分之間的聯(lián)系。x0y積分都是化為定積分來計(jì)算的，4ld區(qū)域 d 分類單連通區(qū)域 ( 無“洞”區(qū)域

2、)多連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 )域 d 邊界l 的正向正向: 域的內(nèi)部靠左域的內(nèi)部靠左定理定理1. 設(shè)區(qū)域 d 是由分段光滑正向曲線 l 圍成,則有, ),(yxp),(yxqldyqxpyxypxqdddd( 格林公式格林公式 )函數(shù)在 d 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),一、一、 格林公式格林公式證明：即要證ydxdxqydxdyplxdplydq5證明證明: 1) 若d 既是 x - 型區(qū)域 , 又是 y - 型區(qū)域 , 且bxaxyxd)()(:21dycyxyd)()(:21則yxxqddddcyyyqd),(2)()(21dyyxxqcbeyyxqd),(caeyyxqd),(cbeyyx

3、qd),(eacyyxqd),(dcyyyqd),(1dcyddcyxoecbabad6即yxxqdddlydyxq),(同理可證yxypdddlxdyxp),(、兩式相加得:ldyqxpyxypxqdddd7yxol2) 若d不滿足以上條件, 則可通過加輔助線將其分割1dnd2dnkdyxypxqk1ddyxypxqdddnkdkyqxp1ddlyqxpdd為有限個(gè)上述形式的區(qū)域 , 如圖)(的正向邊界表示kkdd證畢8引例：引例：計(jì)算ydxexdyeiyxlyx33積分路徑沿著圓周1:22 yxl的正向。解法解法：應(yīng)用格林公式d3,xeyxqyx23yeypyx23xexqyxydxdyp

4、xqidlydxdyxd223201033rdrd23x0y113,yeyxpyx9例例1：利用格林公式計(jì)算lydyxdyxi22l由曲線的正向邊界曲線。所圍成的區(qū)域直線和dxyxy230 xdy1 , 1m解：解：畫出閉曲線及其所圍成的區(qū)域d。22yqyxp02xqxypdydxdxi210232xxydxdx10322xdxxx44141113104311xxxy 32xy 1. 1. 簡化曲線積分簡化曲線積分簡單應(yīng)用簡單應(yīng)用10,)()(22222dyxexdxxeyiyly計(jì)算.4)2(22的正向?yàn)殚]曲線其中yxl:解22222),(,),(xexyxqxeyyxpyy所以由格林公式

5、yxypxq22 ddxdyyxi)22( 16ddxdyx2422例例2利用了對(duì)稱區(qū)間上的偶倍奇零和形心公式。d11例例3 3. 設(shè) l 是一條分段光滑的閉曲線, 證明0dd22yxxyxl證證: 令,22xqyxp則ypxq利用格林公式 , 得yxxyxldd22022xxdyxdd0012例例4：計(jì)算：lyxydexxdeyi11其中l(wèi) 為折線 oabo, o(0,0) a(1,0) b(1,2)xay0b解：解：yxexqeypydeexdxxy)(1020102)21(xdxeexx7212edxyldee)(xyob2:13例例5. 計(jì)算,dd22lyxxyyx其中l(wèi)為一無重點(diǎn)且不

6、過原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解解: 令,022時(shí)則當(dāng) yx22222)(yxxyxq設(shè) l 所圍區(qū)域?yàn)閐,)0 , 0(時(shí)當(dāng)d由格林公式知0dd22lyxxyyx,22yxyp22yxxqypyxol.:條件應(yīng)用格林公式要注意其注意14dsincos2022222rrr2,)0 , 0(時(shí)當(dāng)d在d 內(nèi)作圓周,:222ryxl取逆時(shí)針方向,1d, 對(duì)區(qū)域1d應(yīng)用格lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddllyxxyyx22dd0dd01yxdllyxxyyxyxxyyx2222ddddl1dloyx記 l 和 l 所圍的區(qū)域?yàn)榱止?, 得15格格林林公公式式: : ldqdypdxdxdy

7、ypxq)( 取取 ,xqyp 得得 ldydxxdydxdy2閉閉區(qū)區(qū)域域d的的面面積積 lydxxdya21. 取取, 0 xqp 得得 lxdya 取取, 0, qyp 得得 lydxa 2. 2. 計(jì)算平面面積計(jì)算平面面積16推論推論: 正向閉曲線 l 所圍區(qū)域 d 的面積lxyyxadd21格林公式格林公式ldyqxpyxypxqdddd例如例如, 橢圓20,sincos:byaxl所圍面積lxyyxadd212022d)sincos(21ababab17例例7：用兩種方法計(jì)算lydxxdyi220 xyxy1l由曲線nab解法一：解法一：1:22 yxanb其中101:xxyba2

8、033cossintdtt10221xdxx323234baanbi20sincosttytx所圍成。和1122yxyx18例例7：用兩種方法計(jì)算lydxxdyi22l由曲線解法二：解法二：22xqypyxypxq2dydxdyxi2dydxdx432421110 xxydxdx)4(dydxdy輪換對(duì)稱法d0 xyxy1ab所圍成。和1122yxyx19例例8. 計(jì)算,dd2dyyxe其中d 是以 o(0,0) , a(1,1) , b(0,1) 為頂點(diǎn)的三角形閉域 . 解解: 令, 則2, 0yexqpypxq利用格林公式 , 有dyyxedd2dyyexd2yexoayd2yeyyd10

9、2)1(211exy oyx) 1 , 1 (a) 1 , 0(bd2ye3. 3. 簡化二重積分簡化二重積分20例例9. 計(jì)算yxo,dd22yxxyxl其中l(wèi)為(1) 拋物線 ; 10:,:2xxyl(2) 拋物線 ;10:,:2yyxl(3) 有向折線 .:aboal解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式y(tǒng)yy222yy d5104(3) 原式y(tǒng)xxyxoadd221)0, 1(a)1 , 1(b2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxabdd2211102d)002(xxx10d)102(yy此題的特點(diǎn)：22xqyxpxqxyp221二、平面上曲

10、線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件定理定理2. 設(shè)d 是單連通域 ,),(),(yxqyxp在d 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(2) 沿d 中任意光滑閉曲線 l , 有.0ddlyqxp(3) 對(duì)d 中任一分段光滑曲線 l, 曲線積分(4)yqxpdd ),(yxuyqxpyxudd),(dlyqxpdd與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在 d 內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即 (1) 在 d 內(nèi)每一點(diǎn)都有.xqyp22證明證明 (1) (2)設(shè)l為d中任一分段光滑閉曲線,dd (如圖) ,上因此在dxqyp利用格林公式格林公式 , 得yxxqxqyqxp

11、lddd)(ddddl0所圍區(qū)域?yàn)樽C畢23說明說明: 積分與路徑無關(guān)時(shí), 曲線積分可記為 證明證明 (2) (3)設(shè)21, ll21ddddllyqxpyqxp1ddlyqxp2ddlyqxp21ddllyqxp0ab1l2l2ddlyqxp1ddlyqxp為d 內(nèi)任意兩條由a 到b 的有向分段光滑曲線, 則(根據(jù)條件(2)bayqxpddabyqxpdd24證明證明 (3) (4)在d內(nèi)取定點(diǎn)),(00yxa因曲線積分),(),(00dd),(yxyxyqxpyxu),(),(yxuyxxuux則),(yxpxuxuxx0lim),(lim0yxxpx),(),(ddyxxyxyqxp),(

12、),(dyxxyxxpxyxxp),(同理可證yu),(yxq因此有yqxpuddd和任一點(diǎn)b( x, y ),與路徑無關(guān),),(yxxc),(yxb),(00yxa有函數(shù) 25證明證明 (4) (1)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得yqxpuddd則),(),(yxqyuyxpxup, q 在 d 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),xyuyxu22所以從而在d內(nèi)每一點(diǎn)都有xqypxyuxqyxuyp22,26yx說明說明: 根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi),xqyp則2) 求曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡化計(jì)算,3) 可用積分法求d u = p dx + q dy在域 d 內(nèi)的原函數(shù):dyx),(00

13、及動(dòng)點(diǎn),),(dyxyyxqxyxpyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxp0d),(0或yyyyxqyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為yyyyxq0d),(xxxyxp0d),(若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點(diǎn)1) 計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑;27ya xol例例1. 計(jì)算,d)(d)3(22yxyxyxil其中l(wèi) 為上半24xxy從 o (0, 0) 到 a (4, 0).解解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,aod它與l 所圍yxyxyxiaold)(d)3(22dyxdd4oayxyxyxd)(d)3(22402dxx36

14、48 圓周區(qū)域?yàn)閐 , 則431ypxq0:yoa28例例2：計(jì)算ydxexxdyexiyly22421 , 1:2，到由baxyl0 xy 11，a42，b12，c解：解：yeypy2xexqy2ydexxdexiylyydxxdyl2221ii xqypi中1cbaci121412)(ydexdexy1:yac2:xcbee232421342)2(xdxxi積分與路徑無關(guān)53131011524ee統(tǒng)一變量化成定積分29cccdyxoaac例例3： 設(shè) c 為沿yxaxyxaxxaycd)ln(2d22222222ayx從點(diǎn)), 0(a依逆時(shí)針), 0(a的半圓, 計(jì)算解解: 添加輔助線如圖

15、 ,利用格林公式 .原式 =321aaayayd)ln2(d222xaya222xayyxddc到點(diǎn)30例例4. 驗(yàn)證yyxxyxdd22是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出這個(gè)函數(shù). 證證: 設(shè),22yxqyxp則xqyxyp2由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx31例例5： 驗(yàn)證ydyyxxdyxx)23()23(2232在整個(gè)yx0平面內(nèi)是全微分式，并求出它的一個(gè)原函數(shù)。解：解：yyxqyxxp23232232x

16、qxyyp26在整個(gè)yx0平面上都成立則所給出的微分式是全微分式。 利用公式：),(),(223200)23()23(),(yxyxydyyxxdxyxyxu取000,yxm0 , 0o為起點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)為yxm,0 xyyxm,)0 ,(xbxyydyyxxdxx022032)23()023(方法一：方法一：yxu,2323yyxx32方法二：方法二：0 xyyxm,), 0(yayxu,2323yyxx例例6： 驗(yàn)證ydyyxxdyxx)23()23(2232在整個(gè)yx0平面內(nèi)是全微分式，并求出它的一個(gè)原函數(shù)。yxxdyxxydy0032)23(233方法三：方法三：取 000,yxm1 , 1

17、0mxyydyyxxdxx122132)23()123(32323yyxxyxu,注：注：積分的起點(diǎn)不同，結(jié)果相差一個(gè)常數(shù)。應(yīng)該選擇某些特殊的點(diǎn)方便計(jì)算。例例5： 驗(yàn)證ydyyxxdyxx)23()23(2232yx0平面內(nèi)是全微分式，并求出它的一個(gè)原函數(shù)。123xxx 1232yyyx343223,yxxpxuyxu滿足xxxdxyxyxu0)23(),(32 yyxx323 yyxyu223qyyx2322 cyy2cyyxxyxu2323,方法四：方法四： 例例6： 驗(yàn)證ydyyxxdyxx)23()23(2232在整個(gè)yx0平面內(nèi)是全微分式，并求出它的一個(gè)原函數(shù)。35例例6. 驗(yàn)證22

18、ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函數(shù) , 并求出它. 證證: 令2222,yxxqyxyp則)0()(22222xyqyxxyxp由定理定理 2 可知存在原函數(shù)),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx36oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy37例例7. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場作用下沿曲線 l :xycos2由)2, 0(a移動(dòng)到, )0,2(b求力場所作的功w解解:)dd(2lyxxyrk令,22rxkqrykp則有)0()(22422yxryxkypxq可見, 在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān). )(22yxr其中l(wèi)bayox),(2xyrkfsfwld38:ab)dd(2yxxyrkwabd)cos(