集合中元素的個數(shù)推薦課件

1、2021/8/221閱讀材料閱讀材料 集合中元素的個數(shù)集合中元素的個數(shù)2021/8/222例例1 1 學校先舉辦了一次田徑運動會，某班有學校先舉辦了一次田徑運動會，某班有8名同學參賽，又舉辦了一次球類運動會。這個名同學參賽，又舉辦了一次球類運動會。這個班有班有12名同學參賽，兩次運動會都參賽的有名同學參賽，兩次運動會都參賽的有3人。兩次運動會中，這個班共有多少名同學參人。兩次運動會中，這個班共有多少名同學參賽？賽？分析：分析：設設A為田徑運動會參賽的學生的集合，為田徑運動會參賽的學生的集合，B為球類運動會參賽的學生的集合。那么為球類運動會參賽的學生的集合。那么AB就就是兩次運動會都參賽的學生的

2、集合。是兩次運動會都參賽的學生的集合。試分析試分析 AB、 A、B、AB中元素個數(shù)的關系中元素個數(shù)的關系.2021/8/223解：設解：設A=田徑運動會參賽的學生田徑運動會參賽的學生， B=球類運動會參賽的學生球類運動會參賽的學生，那么，那么，AB=兩次運動會都參賽的學生兩次運動會都參賽的學生，AB=參賽的學生參賽的學生。 card（AB）= card（A）+ card（B）card（AB）=8+123=17。答：兩次運動會中，這個班共有答：兩次運動會中，這個班共有17名同學參賽名同學參賽。)3(BA)5(AB)9(用圖來求解用圖來求解 ：2021/8/224例例2.某班學生參加數(shù)學課外小組的

3、人數(shù)是參加某班學生參加數(shù)學課外小組的人數(shù)是參加物理課外小組的人數(shù)的物理課外小組的人數(shù)的2倍，同時參加兩個課外倍，同時參加兩個課外小組的人數(shù)是小組的人數(shù)是5人，至少參加一個課外活動小組人，至少參加一個課外活動小組的人數(shù)為的人數(shù)為25人人.試求參加數(shù)學小組、物理小組的試求參加數(shù)學小組、物理小組的人數(shù)各是多少？人數(shù)各是多少？參加數(shù)學小組參加數(shù)學小組20人，參加物理小組人，參加物理小組10人人.card（AB）= card（A）+ card（B）card（AB）即即 25=2x+x-5 x=102021/8/225card（AB）= card（A）+ card（B）card（AB）能否推廣？試寫出三個

4、集合類似公式能否推廣？試寫出三個集合類似公式.2021/8/226例例3. 某校高三學生共某校高三學生共249人，畢業(yè)考試成績優(yōu)秀的人，畢業(yè)考試成績優(yōu)秀的人數(shù)及科目如下表人數(shù)及科目如下表;科目數(shù) 單科 兩科 三科 科目 語 數(shù) 外 語數(shù) 數(shù)外 語外 語數(shù)外 人數(shù) 131 117 152 61 79 62 53 表中，兩科優(yōu)秀者包括里包括三科全優(yōu)者，單科表中，兩科優(yōu)秀者包括里包括三科全優(yōu)者，單科優(yōu)秀者里也包括兩科以上的優(yōu)秀者。優(yōu)秀者里也包括兩科以上的優(yōu)秀者。有人說上面的統(tǒng)計表有誤，你認為呢？有人說上面的統(tǒng)計表有誤，你認為呢？由統(tǒng)計表計算高三年級共有由統(tǒng)計表計算高三年級共有131+117+152-

5、61-79-62+53=251(人人)，所以統(tǒng)計表有誤，所以統(tǒng)計表有誤.2021/8/227例例4. 在在100個學生中，有美術愛好者個學生中，有美術愛好者63人，音樂人，音樂愛好者愛好者75人（并非每個學生都有愛好），對美術人（并非每個學生都有愛好），對美術和音樂都愛好的學生最多有多少人？最少有多少人？和音樂都愛好的學生最多有多少人？最少有多少人？最多最多63人，最少人，最少38人人.2021/8/228中元素有多少個？,.5 , 4 , 3 , 2 , 1Z問題的提出：問題的提出：無限集中元素的個數(shù)？！無限集中元素的個數(shù)？！中元素有多少個？R中元素的個數(shù)？集合,.5 , 4 , 3 , 2

6、A是不是所有的無限集都有相同的個數(shù)呢？是不是所有的無限集都有相同的個數(shù)呢？2021/8/2291.無限無限（1）初識無限）初識無限（2）在有限集中，如何比較元素個數(shù)的多少？在有限集中，如何比較元素個數(shù)的多少？ 理解無限的關鍵理解無限的關鍵一一對應一一對應（3）無限集中元素的個數(shù)）無限集中元素的個數(shù)基數(shù)基數(shù)與此相關的一個定義：與此相關的一個定義：若在一個集合與全體正整數(shù)集合之間若在一個集合與全體正整數(shù)集合之間存在一一對應，則稱這個集合是可數(shù)的。存在一一對應，則稱這個集合是可數(shù)的。2021/8/2210（4）幾個令人吃驚的例子）幾個令人吃驚的例子 的基數(shù)相同嗎？與,.5 , 4 , 3 , 2,.

7、5 , 4 , 3 , 2 , 1Z全體正整數(shù)和全體有理數(shù)一樣多嗎？全體正整數(shù)和全體有理數(shù)一樣多嗎？全體正整數(shù)和全體整數(shù)一樣多嗎？全體正整數(shù)和全體整數(shù)一樣多嗎？部分整體？！部分整體？！2021/8/2211（5）問題的提出）問題的提出是不是所有的無限集都有相同的基數(shù)呢？是不是所有的無限集都有相同的基數(shù)呢？康托在康托在1973年年11月月29日給戴德金的信中提出：日給戴德金的信中提出：一對應的關系？之間是否存在著一個一和RZ11月月29日日12月月7日，康托給無限的理論奠定了日，康托給無限的理論奠定了基礎。他創(chuàng)造了一種適用于無限集的新數(shù)體基礎。他創(chuàng)造了一種適用于無限集的新數(shù)體系系超限數(shù)，以解決無

8、限集的基數(shù)比較問題。超限數(shù)，以解決無限集的基數(shù)比較問題。2021/8/2212實數(shù)集（實數(shù)集（0，1）是不可數(shù)的。）是不可數(shù)的。無理數(shù)集是不可數(shù)的（有理數(shù)集可數(shù)）。無理數(shù)集是不可數(shù)的（有理數(shù)集可數(shù)）。是不是還存在數(shù)量上多于實數(shù)集的集合呢？是不是還存在數(shù)量上多于實數(shù)集的集合呢？實數(shù)集是不可數(shù)的實數(shù)集是不可數(shù)的 。.,.5 , 4 , 3 , 2 , 10第一個數(shù)的基數(shù)被稱作超限數(shù)的Z11實數(shù)、一直線上的點、平面上的點實數(shù)、一直線上的點、平面上的點及高維空間的任一部分的點的基數(shù)。及高維空間的任一部分的點的基數(shù)。若在一個集合與全體正整數(shù)集合之間存在一若在一個集合與全體正整數(shù)集合之間存在一一對應，則稱

9、這個集合是可數(shù)的。一對應，則稱這個集合是可數(shù)的。2021/8/2213“數(shù)學中的無窮無盡，其誘人之處在于數(shù)學中的無窮無盡，其誘人之處在于它的最棘手的悖論能夠盛開出美麗的它的最棘手的悖論能夠盛開出美麗的理論之花。理論之花?！盓.Kasner and J.Newman集合論危機重重：集合論危機重重：2021/8/22142.羅素悖論羅素悖論 大多數(shù)集合不包含它自身為元素，這樣的集我們大多數(shù)集合不包含它自身為元素，這樣的集我們稱之為稱之為“普通的普通的”。有許多集可能包含它自身為元素，。有許多集可能包含它自身為元素，例如集例如集S定義如下：定義如下：“凡是可以用不超過三十個字來凡是可以用不超過三十個

10、字來定義的集合是定義的集合是S的元素。的元素?！笨梢钥吹?，可以看到，S是包含它自身是包含它自身為一元素的。這樣的集我們稱之為為一元素的。這樣的集我們稱之為“非普通集非普通集”。我們。我們考查考查“所有普通集組成的集所有普通集組成的集”，稱它為，稱它為C。那么。那么C本身本身是普通集還是非普通集？如果是普通集還是非普通集？如果C是普通集，由于是普通集，由于C定義定義為包含所有普通集，它包含了它本身作為一個元素。為包含所有普通集，它包含了它本身作為一個元素。這樣的話，這樣的話，C必須是非普通集。這是一個矛盾。因此必須是非普通集。這是一個矛盾。因此C必須是非普通集，但這時必須是非普通集，但這時C包含

11、了一個非普通集包含了一個非普通集（即（即C本身）為其元素，這與本身）為其元素，這與C只包含普通集的定義只包含普通集的定義相矛盾。因此，無論那一種情形，僅僅是相矛盾。因此，無論那一種情形，僅僅是C的存在，的存在，就已經使我們陷入矛盾。就已經使我們陷入矛盾。2021/8/2215羅素的理發(fā)師悖論羅素的理發(fā)師悖論2021/8/2216其他一些悖論其他一些悖論（1）芝諾悖論）芝諾悖論 1）二分法悖論）二分法悖論 2）阿基里斯和烏龜）阿基里斯和烏龜2021/8/22172021/8/22182021/8/2219代數(shù)悖論：代數(shù)悖論：2021/8/2220數(shù)理邏輯誕生2021/8/2221 數(shù)理邏輯這門學

12、科在第三次數(shù)學危機運動的過程中誕生，數(shù)理邏輯這門學科在第三次數(shù)學危機運動的過程中誕生，在十七世紀，算術因符號化促使了代數(shù)學的產生，代數(shù)使計算在十七世紀，算術因符號化促使了代數(shù)學的產生，代數(shù)使計算變得精確和方便，也使計算方法系統(tǒng)化。費爾馬和笛卡兒的解變得精確和方便，也使計算方法系統(tǒng)化。費爾馬和笛卡兒的解析幾何把幾何學代數(shù)化，大大擴展了幾何的領域，而且使得少析幾何把幾何學代數(shù)化，大大擴展了幾何的領域，而且使得少數(shù)天才的推理變成機械化的步驟。這反映了代數(shù)學作為普遍科數(shù)天才的推理變成機械化的步驟。這反映了代數(shù)學作為普遍科學方法的效力，于是笛卡兒嘗試也把邏輯代數(shù)化。與笛卡兒同學方法的效力，于是笛卡兒嘗試

13、也把邏輯代數(shù)化。與笛卡兒同時代的英國哲學家霍布斯也認為推理帶有計算性質，不過他并時代的英國哲學家霍布斯也認為推理帶有計算性質，不過他并沒有系統(tǒng)地發(fā)展這種思想。沒有系統(tǒng)地發(fā)展這種思想。 現(xiàn)在公認的數(shù)理邏輯創(chuàng)始人是萊布尼茲。他的目的是選出現(xiàn)在公認的數(shù)理邏輯創(chuàng)始人是萊布尼茲。他的目的是選出一種一種“通用代數(shù)通用代數(shù)”，其中把一切推理都化歸為計算。實際上這，其中把一切推理都化歸為計算。實際上這正是數(shù)理邏輯的總綱領。他希望建立一套普遍的符號語言，這正是數(shù)理邏輯的總綱領。他希望建立一套普遍的符號語言，這樣就可以象數(shù)字一樣進行演算，他的確將某些命題形式表達為樣就可以象數(shù)字一樣進行演算，他的確將某些命題形式表

14、達為符號形式，但他的工作只是一個開頭，大部分沒有發(fā)表，因此符號形式，但他的工作只是一個開頭，大部分沒有發(fā)表，因此影響不大。影響不大。 2021/8/2222 真正使邏輯代數(shù)化的是英國數(shù)學家布爾，他在真正使邏輯代數(shù)化的是英國數(shù)學家布爾，他在1847年出年出版了版了邏輯的數(shù)學分析邏輯的數(shù)學分析，給出了現(xiàn)代所謂的，給出了現(xiàn)代所謂的“布爾代數(shù)布爾代數(shù)”的原型。布爾確信符號化會使邏輯變得嚴密。他的對象是事的原型。布爾確信符號化會使邏輯變得嚴密。他的對象是事物的類，物的類，1表示全類，表示全類，0表示空類；表示空類；xy表示表示x和和y的共同分子所的共同分子所組成的類，運算是邏輯乘法；組成的類，運算是邏輯

15、乘法；xy表示表示x和和y兩類所合成的類，兩類所合成的類，運算是邏輯加法。運算是邏輯加法。 布爾看出類的演算也可解釋為命題的演算。當布爾看出類的演算也可解釋為命題的演算。當x、y不是不是類而是命題，則類而是命題，則x1表示的是命題表示的是命題 x為真，為真，x0表示命題表示命題x為假，為假，1x表示表示x的否定等等。顯然布爾的演算構成一個代的否定等等。顯然布爾的演算構成一個代數(shù)系統(tǒng)，遵守著某些規(guī)律，這就是布爾代數(shù)。數(shù)系統(tǒng)，遵守著某些規(guī)律，這就是布爾代數(shù)。2021/8/2223非數(shù)值運算的推廣非數(shù)值運算的推廣 集合運算集合運算 語句運算語句運算2021/8/2224康托的最大基數(shù)悖論、布拉里康托的最大基數(shù)悖論、布拉里.福蒂悖論、福蒂悖論、羅素悖論，動搖了整個數(shù)學的基礎。羅素悖論，動搖了整個數(shù)學的基礎。給數(shù)學提供一個可靠的基礎：給數(shù)學提供一個可靠的基礎：1）羅素的類型論）羅素的類型論2）策梅羅的公理集合論（）策梅羅的公理集合論（ZFS系統(tǒng)）系統(tǒng)） Z策