721復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義

1、7.2復(fù)數(shù)的四則運算7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義基礎(chǔ)過關(guān)練題組一復(fù)數(shù)的加、減運算1. 己知復(fù)數(shù) zi=3+4i,Z2=3-4i,貝ij Zi+Z2=()A. 8i B.6C.6+8i D.6-8i2. 若復(fù)數(shù)z滿足z+i-3=3-i,則z等于()A. 0B.2iC.6D.6-2i3. 己知lzl=3,且z+3i是純虛數(shù)，則z等于()A.-3i B.3iC.±3i D.4i4. 設(shè) mWR,復(fù)數(shù) z=(2m24-3i)+(m-m2i)+(-1 +2mi),若 z 為純虛數(shù)，則 m 等 于()A.-l B.3C.±D.-1 或 325. 若復(fù)數(shù) Z|=14-3i,Z2

2、=-2+ai,且 Zi+Z2=b+8i,Z2-Zj=-3+ci,則實數(shù)a=,b=,c=6己知 zi=(3x-4y)+(y-2x)i,Z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y 為實數(shù)，若 zi-Z2=5-3i,求 IZ1+Z2L7.己知i為虛數(shù)單位,計算：(l) (l+2i)+(3-4i)-(5+6i); 5i-(3+4i)-(-l+3i);(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b e R 皿折題組二復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義&己知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量如圖所示，則復(fù)數(shù)z+1所對應(yīng)的向量正確的是()ABCD9. (2020河南名校聯(lián)盟高二期末)己知歹為復(fù)數(shù)z的共覘復(fù)數(shù),z+l=i+

3、2N 則z在復(fù)平而內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10. 己知頁=(5廠1),喬=(3,2),廳對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則亥 =()11. A,B分別是復(fù)數(shù)z】,Z2在復(fù)平而內(nèi)對應(yīng)的點,O是坐標原點，若lz1+z2l=lzi-z2l,則厶AOB 一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形12. 己知z為復(fù)數(shù)，若lz-2l=lz+2l,則z-ll的最小值是.13. 復(fù)數(shù) Z1,Z2 滿足 lz1l=IZ2l=lJZi+Z2l=V2,則 Zi-Z2l=.深反解析14. 如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O,A,C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0,3+2i,

4、-2+4i,試求：(1) 而所對應(yīng)的復(fù)數(shù)，荒所對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2) 勵所對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(3) 喬所對應(yīng)的復(fù)數(shù)及喬的長度.能力提升練題組復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義的綜合應(yīng)用1. (*)在復(fù)平而內(nèi)Q是原點0瓦況麗對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為-2+i,3+2i,l+5i,則荒對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A.2+8iB.-6-6iC.4-4i D.-4+2i2. (* )AABC的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為Z1,z2,z3,若復(fù)數(shù)z滿足lz-zjl=lz-z2l=lz-z3l,則 z 對應(yīng)的點 Z 為AABC 的( )A.內(nèi)心B.垂心C.重心D.外心3. (*)如果復(fù)數(shù)z滿足lz+il+lz-il=2,那么lz+i+11的最小值

5、是如)A.1B.-C.2D.V524. (*)若復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yWR)滿足lz-4il=lz+2l,則2耳4'的最小值為( )A.2B.4C.4V2 D165. 侈選)(*)己知i為虛數(shù)單位，下列說法中正確的是()A. 若復(fù)數(shù)z滿足lzl=V5,RiJ復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在以原點為圓心，苗為半徑 的圓上B. 若復(fù)數(shù)z滿足z+lzl=2+8i,則復(fù)數(shù)z=15+8iC. 復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平而內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離,也就是 復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模D. 復(fù)數(shù)Z1對應(yīng)的向量為囲，復(fù)數(shù)Z2對應(yīng)的向量為匝，若lz1+z2l=lzi-z2l, 則函丄宓6. (多選)(*)已知復(fù)數(shù)z0=l+2i(

6、i為虛數(shù)單位)在復(fù)平而內(nèi)對應(yīng)的點為P(),復(fù)數(shù)z滿足lz-ll=lz-il,下列結(jié)論正確的是()A. 點Po的坐標為(1,2)B. 復(fù)數(shù)zo的共轆復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與點Po關(guān)于虛軸對稱C. 復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z在一條直線上D. P()與z對應(yīng)的點Z間的距離的最小值為空27. (*)若復(fù)數(shù)z滿足z-1 =cos 6+isin 9,0 eR,則Izl的最大值為.8. (*)己知 x e R,y 丘 R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(l-3xi),則x=,y=9. (2020湖南懷化高二期末*)若zee,且z+2養(yǎng)3+4i,則zl=.10. (*)己知復(fù)數(shù)Zi=l+2i,Z2=l-i,Z3=3-4

7、i在復(fù)平而內(nèi)對應(yīng)的點分別為e R),則九+口 的值是.11. (2019安徽合肥八中高二期末,*)己知復(fù)數(shù)z的模為1,則lz+21的最大值為12. (*)在復(fù)平面內(nèi),A,B,C三點分別對應(yīng)復(fù)數(shù)l,2+i,-l+2i.(1) 求而荒對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2) 判斷AABC的形狀.13. (2020北京通州高一月考,*)己知O為坐標原點，向量函、兩分 別對應(yīng)復(fù)數(shù) Zi、Z2,且 Z=丄+(10-a2)i,Z2=+(2a-5)i(aWR)N+Z2 是 a+S1a實數(shù).(1) 求實數(shù)a的值；(2) 求以巫、宓為鄰邊的平行四邊形的面積.答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1. B zi+Z2=3+4i+3-4i=(3+3)+

8、(4-4)i=6.2. D z=3-i-(i-3)=6-2i.3. B 設(shè) z=a+bi(a,b G R),則 z+3i二a+bi+3i二a+(b+3)i 為純虛數(shù)， a=0,b+3HO,又 lzl=3, /. Ibl=3,. b=3, z=3i.4. C z=(2m2+m- l)+(3-m2+2m)i.山題意，得5. 答案 5;-l;2解析 zi+Z2=(l -2)+(3+a)i=-1 +(3+a)i=b+8i,Z2-zi=(-2-1 )+(a3)i=3+(a3)i=3+ci,所以b = -lf (b = -1,3 + a = &解得 a = 5,a-3=cf 6 解析zi-Z2=(

9、3x-4y)+(y-2x)i-(-2x+y)+(x-3y)i=(3x-4y)-(-2x+y)+(y-2x)-(x-3y)i=(5x-5y)+(3x+4y)i=53i,所以 zi=3-2i,Z2=-2+i,則 zi+Z2=l-i,所以 IZi+Z2l=V2.7解析 (1)(1 +2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+6i)=-1 -8i.(2) 5i(3+4i)( 1 +3i)=5i(4+i)=4+4i.(3) (a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+b-(-3b)-3i=-a+(4b-3)i.方法技巧把復(fù)數(shù)的代數(shù)形式看成關(guān)于“i”的多項式，則復(fù)數(shù)的加、減法類似于多

10、項式的加、 減法，只需“合并同類項”就可以了.8. A曲題圖知z=-2+i,則z+l=-l+i,由復(fù)數(shù)的兒何意義可知,A正確.9. A 設(shè) z=a+bi(a,beR),WiJz=a-bi,代入 z+l=i+2Z可得 a+l+bi=2a+(l-2b)i,所以Q =b -故z=l£,所以Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,扌),位于第一3象限.故選A.10. D 因為喬二(5,1 ),麗二(3,2),所以喬二麗萬7=(23),所以z=2+3i,所以z=-2-3i.11. B 復(fù)數(shù)Z1對應(yīng)向量麗，復(fù)數(shù)Z2對應(yīng)向量而Z|+Z2l=l麗+而I,lzi-Z2l=0幾麗I,依題意有 104+051=104

11、-051,所以以麗,喬為鄰邊的平行四邊形是矩形，乂 1麗1與I喬I不一定相等，所以AAOB 定是直角三角形.故選B.12答案1解析 由lz2l=lz+2l,即lz2l=lz(2)l,知z對應(yīng)的點在以(2,0)和(-2,0)為端點的線段的垂直平分線上，即虛軸上.lz“l(fā)表示z對應(yīng)的點與(1,0)的距離， lz-1 lmin= 1 13.答案竝解析 解法一:山IZl=IZ2l=l,IZ+Z2l二返,知Z,Z2,Z1+Z2對應(yīng)的點是邊長為1的正方形的三個頂點，所以Izi-zd是這個正方形的一條對角線長，所以Izi-z2I=V2.解法二:設(shè) zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dER),則 z

12、i+Z2=(a+c)+(b+d)i,zi-Z2=(a-c)+(b-d)i,|l|題意可得 a2+b2= 1 ,c2+d2= 1 ,(a+c)2+(b+d)2=2,BJ(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+2ac+b2+d2+2bd=2,所以 2ac+2bd=0,所以 (a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=2,所以 Iz 1 -Z2l=7(-c)2 + (b-d)2=/2.解法三:易知 lzi+Z2l2+lzi-Z2l2=2(lzil2+lz2l2),將已知數(shù)值代入，可得Izi-z2I2=2,所以lzi-Z2l二近.深度剖析設(shè) zi=a+bi,Z2=c+di(a,

13、b,c,d 丘 R),則Izi +Z2l2+lz i -Z2l2=(a+c)2+(b+d)2+(a-c)24-(b-d)2=2(a2+c2+b2-Kl2)=2(lz 1P+IZ2I2).14解析(I)： 喬二萬7,麗所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3-2i.: BC=AO,：.BC所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3-2i.(2y：CA=0A-0C,麗所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3) O5=o7+OC, OB所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)= 1 +6i, 0BI=V12 + 62=.能力提升練1. C ? JC=OCOB=OC-(OA+AB),BC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 3+2i -(-2+i+l

14、+5i)=4-4i.2. D由題意知，點Z到AABC的三個頂點的距離相等，故z對應(yīng)的點Z是AABC 的外心.3. A設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Zi,Z2,Z3,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng) 的點為 Z,則 Zi(0,l),Z2(0,l),Z3(-l,l).根據(jù)lzzol的幾何意義，可知lz+il+lz-il=2表示點Z到點乙(0,1)和Z2(O,1)的距離之和 為2,又因為IZZI=2,所以點Z在線段ZiZ2上.問題轉(zhuǎn)化為動點Z在線段乙Z2上移動，求IZZH的最小值，因為 Z3Zj ±Z1Z2,且IZ3乙 1=1,所以 lz+i+llmin=l.知識拓展設(shè)復(fù)數(shù)z,zo在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分

15、別為A,B,則lz-zol(z,z<)eC)的兒何意義是點A到 點B的距離.4. C ill lz-4il=lz+2l,得lx+(y-4)il=lx+2+yil,所以 x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即 x+2y=3,所以 2斗4'丄2"+222/藥=2您=4逅，當且僅當x=2y=|時0+4'取得最小值4近.5. ACD滿足lzl=V5的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在以原點為圓心，曲為半徑的圓上,A正確; 設(shè) z=a+bi(a,bGR),則Izl二 J/ + 滬,由 z+lzl=2+8i,得 a+bi+Va2 + Z)2=2+8i,策汐+宀2,解得=嚴.z=i5+8i

16、,B錯誤;由復(fù)數(shù)的模的定義知C正 確；|I|IZH-Z2I=IZI-Z2IW兒何意義知，以函，宓為鄰邊的平行四邊形為矩形，從而兩 鄰邊垂直,D正確.故選ACD.6. ACD 復(fù)數(shù)zo=l+2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為P()(l,2),A正確;復(fù)數(shù)z0的共轆復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點與點Po關(guān)于實軸對稱,B錯誤;設(shè)z=x+yi(x,yWR),代入lz-lh=lz-il,得l(x-1 )+yil=lx+(y-1 )il,B|J7(%-1)2 +y2=yx2 + (y-1)2,整理得 y二x,即點 Z 在直線 y=x 上,C正確;易知點Po到直線y=x的垂線段的長度即為Po、Z之間距離的最小值， 結(jié)合平面兒何知識知

17、D正確.故選ACD.7. 答案2解析 因為 z-1 =cos 0+isin 0,所以 z=( 14-cos 0)+isiii 0,故lzl=J(l+cos&)2 + sin2&=j2(l + cos&) W2,即Izl的最大值為 2.8. 答案6;11解析 原式整理得 x+4+(x+y)i=(y-l)+(3x-l)i,:;爲;解隔筲.9答案V17解析 設(shè) z=x+yi(x,yG R),!4ljz=x-yi,z+2z=3x-yi=3+4i,所以 x= 1 ,y=-4,所以 z=l-4i,所 mzl=/l2 + (-4)2=V17.10答案1解析 由題意得 0C=(3,-4

18、),O4=(-1,2).05 =( 1,-1). l0C=WA+i0B,得(3,-4皿 1,2)+卩(1，-1 )*+卩,2加),所以肅 7=解得所以入+日11答案3解析 設(shè)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為Z(x,y),因為復(fù)數(shù)z的模為1，所以點Z的軌跡是以原點O為圓心,1為半徑的圓，由于lz+21的幾何意義是圓上的點(x,y)到點P(2,0)的距離, 因此lz+21的最大值為IOPI+1 =2+1 =3.12解析(1)因為ABC三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為l,2+i,-l+2i,所以O(shè)ABC對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為l,2+i,-l+2i(O為坐標原點)， 所以麗=(1,0),05=(2,1 ),0C=(-1,2).所以 AB=0B-0A=(l J ),AC=0C-0A=(-2,2),BC=dC-0S=(-3,1),所以麗對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+i屁對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+2i,BC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3+i.(2)因為 L4SI=/m=V2,l4CI=V(-2)2 + 22=2j5?