射影定理的證明

1、精品資源射影定理的推導證明直角三角形射影定理證法可以只用勾股定理來證明。CD2=AD BD;®ACA2=AB AB;BCA2=BB AB;ACX BC=AB CD射影定理（2張）證明：CDA2+ADA2=ACA2,CDA2+BDA2=BCA2 2CDA2+ADA2+BDA2=ACA2+BCA2 2CDA2=ABA2-ADA2-BDA2. 2CDA2=(AD+BD)A2-ADA2-BDA2 2CDA2=ADA2+2ADBD+BDAADA2-BDA2 2CDA2=2AD BDCDA2=AD BDCDA2=AD BD(已證)CDA2+ADA2=ADBD+ADA2：ACA2=AD(BD+AD

2、) .ACA2=ADAB BCA2=DCA2+BDAHDCA2+BDA2=ADBD+BDA2=(AD+BD)BD=AB BDBCA2=AB BD SAACB=1/2AC BC=1/2AB< CD1/2ACX BC=1/2AB< CDACX BC=AB CD歡迎下載證法二用三角函數(shù)證明直角三角形中的射影定理由等積法可知：ABX BC=BD AC在 RtAABDf口 RtAABC, tan / BAD=BD/AD=BC/AB故ABX BC=BD(AC兩邊各除以tan / BAD得：AB2=AX AC 同理可得 BC2=CD CA在 RtAABD口 RtABCDtan / BAD=BD/

3、AD cot / BCD=CD/BD又tan/BADFotZ BCD故 BD/AD=CD/BD得 BD2=AX CD任意三角形射影定理內容任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”：則有 ABC勺三角是A B、C,它們所對白邊分別是a、b、c,a=b - cosC+c cosB,b=c - cosA+a - cosC,c=a - cosB+b - cosAo注：以“ a=b cosC+c cosB”為例，b、c在a上的射影分別為 b - cosC、c - cosB,故名射影定理。定理證明證明1:設點A在直線BC上的射影為點D則AB AC在直線BC上的射影分別為BD CD且 BD=c- cosB,

4、CD=b- cosC a=BD+CD=b cosC+c - cosB同理可證其余射影定理的推廣證明證明2:使用正弦定理證明證法 b=asinB/sinA ,ssinBc=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=acosB+(asinB/sinA)cosA=a - cosB+b - cosA.同理可證其余。證法:在 ABC . sinA=sin(180 -A)sinA=sin(B+C)sin A = sinBxcosC + sinC xcosB *根據(jù)正弦定理，可得a = bx cosC + c x cos Bo同理可證其余。歐幾里得面積射影定理定理內容歐幾里得提出的面積射影定理規(guī)定“平面圖形射影面積等于被射影圖形的面積乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的余弦。（即COS =S 射影/S 原）?！盋OS0 =oringnal（平面多邊形及其射影的面積分別是aLtitudc和cringnal,它們所在平面所成的二面角為）正射影二面角的歐幾里得射影面積公式證明思路因為射影就是將原圖形的長度（三角形中稱高）縮放，所以寬度 是不變的，又因為平面多邊形的面積比=邊長的乘積比。所以就是圖 形的長度（三角形中稱高）的比。那么這個比值應該是平面所成角的余弦值。在兩平面中作一直角 三角形，并使斜邊和一直角邊垂直于棱（即原多