武昌楊家灣校區(qū)616高數(shù)專升本Chapter12極限

1、高等數(shù)學（二）高等數(shù)學（二）第二節(jié)第二節(jié) 極限極限第一章第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)、極限與連續(xù)2012013 3. .6 6. .2/6.162/6.16（一）數(shù)列的極限（一）數(shù)列的極限1 1、數(shù)列、數(shù)列 12:,1 2 32 4 622 3 41nnnxx xxxnnn數(shù)列常表示為其中稱為數(shù)列的通項。例如：， ， ， ， ， ；， ，單調數(shù)列：單調數(shù)列：為單調增數(shù)列，則稱若nnnxxxn1,為單調減數(shù)列，則稱若nnnxxxn1,有界數(shù)列：有界數(shù)列：mxnmn有使得若,0一、考點梳理一、考點梳理2、數(shù)列的極限、數(shù)列的極限（1 1）定義）定義如果當n無限增大時, 數(shù)列xn 無限地接近于常數(shù)a，

2、則稱a為數(shù)列xn的極限極限。lim()nnnxaxan 記作：或表示 n 很大時， xn 幾乎都凝聚在點 a 的近旁。（2 2）幾何解釋（不要求掌握）幾何解釋（不要求掌握）lim00nnnxannnxa，當時，總有有極限的數(shù)列稱為收斂數(shù)列收斂數(shù)列，反之稱為發(fā)散數(shù)列發(fā)散數(shù)列。()a -n na +a 定理2（有界性）收斂數(shù)列必有界；()ab( (二二) ) 收斂數(shù)列的性質收斂數(shù)列的性質定理1（唯一性）若數(shù)列xn收斂，則其極限值唯一；3 (lim0 (0)0 (0 )nnnnxaaannnxx定理保號性)若且或則必存在 ，當時恒有或0 (0 )lim0 (0)nnnnxxxaaa推論：若或且，則或

3、0a() （三）極限存在準則準則1.單調有界數(shù)列必有極限?！咀ⅰ俊咀ⅰ坑薪缡菙?shù)列收斂的必要條件，單調有界是 數(shù)列收斂的充分條件。2.(), xyznnn準則夾逼準則 設有三個數(shù)列滿足條件：2) lim , limnnnnyazalimnnnxxa那么數(shù)列的極限存在，且1) (1,2,)nnnyxzn （四）數(shù)列極限的運算法則1.limlimlim()nnnnnnnxaybxyab法則若， 則2.limlimlim()nnnnnnnxaybxya b法則若， 則3.limlim0limnnnnnnnxaxaybbyb法則若，且， 則1.limlimnnnnxaccxca推論若， 為常數(shù)，則（五）

4、 函數(shù)的極限 lim( )( )()xf xaf xax 或lim( )( )()xf xaf xax或1 1、當、當 x 時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限(1)定義定義 對于函數(shù) f (x)，如果當 x 時， f (x) 無限趨近于常數(shù)a，則稱a為函數(shù) f (x) 當當 x 時的極限時的極限，記為：(3)定義定義 對于函數(shù) f (x)，如果當 x- 時， f (x) 無限趨近于常數(shù)a，則稱a為函數(shù) f (x) 當當 x -時的極限時的極限，記為：lim( )( )()xf xaf xax 或(2)定義定義 對于函數(shù) f (x)，如果當 x+ 時，f (x) 無限趨近于常數(shù)a，則稱a為函數(shù) f (x)

5、 當當 x +時的極限時的極限，記為：無極限舉例：無極限舉例：均存在且相等。及存在的充要條件是定理)(lim)(lim )(lim.xfxfxfxxx1( )f xx ，( )sinf xx，xxfarctan)(2、 當當 x x0 時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限00lim( )( )()xxfxafxaxx或(1)定義定義 對于函數(shù) f (x)，如果當 x 無限地趨近于 x0 時，函數(shù) f (x)無限地趨近于一個常數(shù)a，則稱a為函數(shù) f (x)當當 x x0時的極時的極限限，記為：00lim( )( )()xxf xaf xaxx或00lim( )( )()xxf xaf xaxx或(3)定義定

6、義 對于函數(shù) f (x)，如果當 x 從x0右邊無限地趨近于 x0 時，函數(shù) f (x)無限地趨近于一個常數(shù)a，則稱a為函數(shù) f (x)當當 x x0時的時的右極限右極限，記為：(2)定義定義 對于函數(shù) f (x)，如果當 x 從x0左邊無限地趨近于 x0 時，函數(shù) f (x)無限地趨近于一個常數(shù)a，則稱a為函數(shù) f (x)當當 x x0時的時的左極限左極限，記為：0002. lim( )lim( ) lim( )xxxxxxf xf xf x定理存在，均存在且相等?！咀ⅰ俊咀ⅰ吭谟懻摲侄魏瘮?shù)的分割點的極限時，一定要考慮左、右極限。無極限舉例：無極限舉例：11)( )0f xxx，2)( )0

7、 xfxxx，( (六六) ) 函數(shù)極限的性質函數(shù)極限的性質004 ()lim( )0 (0 )( )0 ( )0 )xxf xaaaxf xf x定理保號性 若且或，則在點的某個鄰域內，有或。0( )0 ( )0 )lim( )0 (0)xxf xf xf xaaa推論：若或且，則或。03()lim( )xxf x定理唯一性 若存在，則極限值必唯一。000005()( )( )( )()( )( )( )lim( )lim ( )lim( )xxxxxxf xg xh xxxg xf xh xg xh xaf xa定理夾逼定理 設函數(shù)，在點的某個鄰域內可除外 滿足條件：且有，則。002.li

8、m( )lim( )nnxxxxf xaf xa推論若， 則 （七）函數(shù)極限運算法則0001.lim( )lim ( )lim ( )( )xxxxxxf xag xbf xg xab法則 若， 則0002.lim( )lim ( )lim ( )( )xxxxxxf xag xbf xg xa b法則若， 則0003.lim( )lim( )0( )lim( )xxxxxxf xag xbbf xag xb法則若，且，則001.lim( )lim( )xxxxf xaccf xca推論若， 為常數(shù)，則 “0”是作為無窮小的唯一的常數(shù)。(八) 無窮小(量)和(無窮大量)1 1、無窮小、無窮小(

9、 (量量) )定義：定義：極限為零的數(shù)列和函數(shù)稱為無窮小無窮小。 為無窮小。，則稱數(shù)列如果nnnxx0lim時的無窮小。為，則稱函數(shù)如果xxfxfx)(0)(lim時的無窮小。為，則稱函數(shù)如果0)(0)(lim0 xxxfxfxx。為小為了討論方便，記無窮0lim1210uu定理若 為無窮大，則 為無窮小，若為無窮小且，則為無窮大。定義：定義：絕對值無限增大的數(shù)列或函數(shù)稱為無窮大。2、無窮大、無窮大 ()limlim0uaua定理1 極限與無窮小的關系的充要條件是， 其中。 3、無窮小與無窮大的關系、無窮小與無窮大的關系定理定理2 2. 設 為無窮小，u 有界，則 u 也是無窮小。推論1. 常

10、數(shù)乘以無窮小仍是無窮小。推論2. 無窮小乘以無窮小仍是無窮小。推論. 有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小。有限個無窮小的乘積仍是無窮小。3.limuau推論若為無窮小， 則也為無窮小lim(0)ua au若為無窮小， 則也為無窮小。定理定理1 1. 設 和 為無窮小，則 也是無窮小。4 4、無窮小、無窮小( (量量) )的基本性質的基本性質3000sin1 coslim1 lim0 limxxxxxxxxx 而，【注】兩個無窮小的商實際反映了在變化過程中趨于零的速度快慢程度。為此引入以下定義：等都是無窮小。時例如：當3,cos1 ,sin,0 xxxxx【思考】【思考】兩個無窮小的代數(shù)和、積仍為無

11、窮小，那么兩個無窮小的商會是什么呢？2、無窮小的比、無窮小的比較較lim(0)kc ck如， 稱為 的 階無窮小。1.lim0 lim0定義 設，lim0( ) 如， 則稱為 的高階無窮小，記作，或稱為 的低階無窮小。lim(0)( )c co如， 則稱為 的同階無窮小，記作。lim1特別當， 則稱為 的等價無窮小，記作。3、無窮小的主部、無窮小的主部2.()lim0( )( ) 定義 給定無窮小 ，若存在無窮小 ，使得為 的高階無窮小，即或，則稱 為 的主部，此時。4、等價無窮小的代換定理、等價無窮小的代換定理.limlimlim定理1 如果 、 、均為無窮小，且存在，則。2.lim0定理如

12、果 、為無窮小，且，則。當當 x 0 時，常見的等價無窮小時，常見的等價無窮小xxxxxxxxarctan,tan,arcsin,sin21cos,ln(1) ,12xxxxx ex1ln , 11,(1)1xnxaxaxxxn1sinlim10 xxx：重要極限(九) 兩個重要極限12lim(1)xxex重要極限 ：，10lim(1)xxxennnmmmxbxbxbaxaxa110110lim)()(0)(00時當時當時當nmnmnmba)0,0,0(11000nnnbxbxbba重要極限3：二、題型解析二、題型解析 題型一題型一 求數(shù)列的極限求數(shù)列的極限【方法】【方法】1、夾逼定理；（p2

13、3例1；p35二、2） 2、先求和再求極限；（p24例4-5） 3、對于求通項的極限，根據(jù)通項形式進行代數(shù)恒等變形，常用方法有拆分重組、有理化、對拆分重組、有理化、對數(shù)恒等式數(shù)恒等式等；（p24-25例3、9、10） 4、利用重要極限（第三個常用極限）；（p25例6-8）【2007，1】 5、定積分定義；（以后章節(jié)會講到） 題型二題型二 求函數(shù)的極限求函數(shù)的極限00（一）求未定式的極限（一）求未定式的極限 1 1、 ， 型未定式極限的求法型未定式極限的求法【方法】（1）洛必達法則；（先“三處”）（p26-27例1，2，3，4，7；p28例1,2）（2）利用等價無窮小量替換；（洛必達中的“高處”

14、）（p35三、5） （3）用因式分解或根式有理化消去零因子；（p27例3、4、7；p35三、4） （4）變量替換法。（p27例5）【歷年試題歷年試題】l【2002，7，16】；【2003，2，16，17】；【2004，17】；【2005，1，21】；【2006，12，21】；【2007，12，21】；【2008，12，21】；【2009，11，21】；【2010，21】；【2011，1，12】；【2012，1，12，21】l【2003，8】；【2008，1】；【2010，11】2、，0 0型未定式極限的求法型未定式極限的求法型。型或00【方法】【方法】運用通分、根式有理化恒等變形等方法轉化為

15、（p29例1，3(4)；p31例2；p35一、4。） 3、1 1，0 00 0，0 0型未定式極限的求法型未定式極限的求法【方法】【方法】利用對數(shù)恒等式n=elnn轉換成0型，對于1型極限也可以用第二個重要極限來求。（p31-32例1-2；p35一、5；二、1,5；三、3） 【歷年試題歷年試題】l【2003，6】；【2004，16】；【2005，12】；【2006，1】；【2009，12】；【2011，21】（二）無窮小的比較（二）無窮小的比較無窮小階的定義型極限的求法00【方法】 （p34一、3，二、3；p35二、3）【歷年試題歷年試題】：【2002，2】；【2004，8】；【2010，12】（三）求分段函數(shù)的極限（三）求分段函數(shù)的極限【方法】【方法】函數(shù)在某一點x0處極限存在的充要條件（左右極限存在且相等）（p34，例1，p36，三、8）【歷年試題歷年試題】：【2003，7】；【2004，6】；【2007，11】；【2009，13】【2010，13】（四）利用導數(shù)定義求極限（四）利用導數(shù)定義求極限l【方法方法】詳見第二章。l【歷