2022年全等三角形證明中考題選

1、新人教版八年級(jí)上學(xué)期全等三角形中考證明題一解答題（共10 小題）1 （2013?泉州）如圖，已知ad 是 abc 的中線，分別過點(diǎn)b、c 作 be ad 于點(diǎn) e，cfad 交 ad的延長線于點(diǎn)f，求證： be=cf 2（2013?河南）如圖 1， 將兩個(gè)完全相同的三角形紙片abc 和 dec 重合放置，其中 c=90 ， b=e=30 （1）操作發(fā)現(xiàn)如圖 2，固定 abc ，使 dec 繞點(diǎn) c 旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)d 恰好落在 ab 邊上時(shí)，填空： 線段 de 與 ac 的位置關(guān)系是_； 設(shè)bdc 的面積為s1，aec 的面積為s2，則 s1與 s2的數(shù)量關(guān)系是_（2）猜想論證當(dāng)dec 繞點(diǎn) c 旋

2、轉(zhuǎn)到如圖3 所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中 s1與 s2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了 bdc 和aec 中 bc、ce 邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想（3）拓展探究已知 abc=60 ，點(diǎn) d 是角平分線上一點(diǎn)，bd=cd=4 ，de ab 交 bc 于點(diǎn) e（如圖 4） 若在射線ba上存在點(diǎn)f，使 sdcf=sbde，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的bf 的長精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁

3、，共 19 頁 - - - - - - - - -3 （2013?大慶）如圖，把一個(gè)直角三角形acb （acb=90 ）繞著頂點(diǎn)b 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 ，使得點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)到 ab 邊上的一點(diǎn)d，點(diǎn) a 旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)e 的位置 f，g 分別是 bd， be 上的點(diǎn)， bf=bg ，延長 cf 與dg 交于點(diǎn) h（1）求證： cf=dg ；（2）求出 fhg 的度數(shù)4 （2012?阜新）（1）如圖，在 abc 和ade 中， ab=ac ，ad=ae ，bac= dae=90 當(dāng)點(diǎn) d 在 ac 上時(shí)，如圖1，線段 bd、ce 有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你猜想的結(jié)論； 將圖 1 中的 ade 繞點(diǎn)

4、a 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（ 0 90 ） ，如圖 2，線段 bd、ce 有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由（2）當(dāng) abc 和 ade 滿足下面甲、乙、丙中的哪個(gè)條件時(shí)，使線段bd、ce 在（ 1）中的位置關(guān)系仍然成立？不必說明理由甲： ab ：ac=ad ：ae=1 ，bac= dae 90 ；乙： ab ：ac=ad ：ae 1，bac= dae=90 ；丙： ab ：ac=ad ：ae 1，bac= dae 90 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f

5、- - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -5 （2009?仙桃）如圖所示， 在abc 中，d、e 分別是 ab、ac 上的點(diǎn)， debc，如圖 ，然后將 ade繞 a 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖 ，然后將bd、ce 分別延長至m、n，使 dm=bd ，en=ce，得到圖 ，請(qǐng)解答下列問題：（1）若 ab=ac ，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系： 在圖 中， bd 與 ce 的數(shù)量關(guān)系是_； 在圖 中，猜想am 與 an 的數(shù)量關(guān)系、 man 與bac 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）若 ab=k ?ac（k1） ，按上述操作方法

6、，得到圖 ，請(qǐng)繼續(xù)探究：am 與 an 的數(shù)量關(guān)系、 man與bac 的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證明6 （2008?臺(tái)州） cd 經(jīng)過 bca 頂點(diǎn) c 的一條直線，ca=cb e，f分別是直線cd 上兩點(diǎn)，且bec= cfa= （1）若直線cd 經(jīng)過 bca 的內(nèi)部，且e，f 在射線 cd 上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題： 如圖 1，若 bca=90 ， =90 ，則 be_cf； ef_|beaf|（填 “ ” ，“ ” 或“ =” ） ； 如圖 2，若 0 bca 180 ，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于與bca 關(guān)系的條件_，使 中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立（2）如圖 3，若直線cd 經(jīng)過

7、 bca 的外部， =bca ，請(qǐng)?zhí)岢鰁f，be，af 三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明） 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -7 （2007?紹興）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，許老師出示了如下問題：如圖1，己知四邊形abcd 中， ac 平分dab ，dab=60 ，b 與 d 互補(bǔ)，求證：ab+ad=ac 小敏反復(fù)探索，不得其解她想，若

8、將四邊形 abcd 特殊化，看如何解決該問題（1）特殊情況入手添加條件：“ b=d” ，如圖 2，可證 ab+ad=ac； （請(qǐng)你完成此證明）（2）解決原來問題受到（1）的啟發(fā)，在原問題中，添加輔助線：如圖3，過 c 點(diǎn)分別作ab、ad 的垂線，垂足分別為e、f （請(qǐng)你補(bǔ)全證明）8 （2007?常德）如圖，已知ab=ac ，（1）若 ce=bd ，求證： ge=gd ；（2）若 ce=m?bd（m 為正數(shù)），試猜想ge 與 gd 有何關(guān)系（只寫結(jié)論，不證明）9 （2006?泰安）（1）已知：如圖 ，在 aob 和cod 中， oa=ob ，oc=od ，aob= cod=60 ，求證： ac=

9、bd ； apb=60 度；（2）如圖 ，在 aob 和 cod 中，若 oa=ob ，oc=od ，aob= cod= ，則 ac 與 bd 間的等量關(guān)系式為_；apb 的大小為_；（3）如圖 ，在 aob 和cod 中，若 oa=k ?ob，oc=k?od（ k1） ， aob= cod= ，則 ac 與bd 間的等量關(guān)系式為_；apb 的大小為精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，

10、共 19 頁 - - - - - - - - -10 （2005?南寧） （a 類）如圖， deab、dfac垂足分別為e、f請(qǐng)你從下面三個(gè)條件中，再選出兩個(gè)作為已知條件，另一個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確的命題（只需寫出一種情況） ab=ac ； bd=cd ； be=cf 已知： deab、dfac ，垂足分別為e、f，ab=ac ， bd=cd 求證： be=cf 已知： deab、dfac ，垂足分別為e、f，ab=ac ， be=cf 求證： bd=cd 已知： deab、dfac ，垂足分別為e、f，bd=cd ， be=cf 求證： ab=ac （b 類）如圖， egaf，請(qǐng)你從下面三個(gè)

11、條件中，再選兩個(gè)作為已知條件，另一個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確的命題（只需寫出一種情況） ab=ac ； de=df ； be=cf 已知： egaf，ab=ac ，de=df 求證： be=cf 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -參考答案與試題解析一解答題（共10 小題）1 （2013?泉州）如圖，已知ad 是 abc 的中線，分別過點(diǎn)b、

12、c 作 be ad 于點(diǎn) e，cfad 交 ad的延長線于點(diǎn)f，求證： be=cf 考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)專題 ： 證明題分析： 根據(jù)中線的定義可得bd=cd ，然后利用 “ 角角邊 ” 證明 bde 和cdf 全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證解答： 證明： ad 是abc 的中線，bd=cd ，bead ，cfad ， bed= cfd=90 ，在 bde 和 cdf 中， bdecdf（ aas ） ，be=cf 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用三角形全等證明邊相等是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運(yùn)用2（2013?河南）如圖 1， 將兩個(gè)完全相同的三角形紙片

13、abc 和 dec 重合放置，其中 c=90 ， b=e=30 （1）操作發(fā)現(xiàn)如圖 2，固定 abc ，使 dec 繞點(diǎn) c 旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)d 恰好落在 ab 邊上時(shí)，填空： 線段 de 與 ac 的位置關(guān)系是deac； 設(shè)bdc 的面積為s1，aec 的面積為s2，則 s1與 s2的數(shù)量關(guān)系是s1=s2（2）猜想論證精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 19 頁 - - - - - -

14、 - - -當(dāng)dec 繞點(diǎn) c 旋轉(zhuǎn)到如圖3 所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中 s1與 s2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了 bdc 和aec 中 bc、ce 邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想（3）拓展探究已知 abc=60 ，點(diǎn) d 是角平分線上一點(diǎn)，bd=cd=4 ，de ab 交 bc 于點(diǎn) e（如圖 4） 若在射線ba上存在點(diǎn)f，使 sdcf=sbde，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的bf 的長考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)專題 ： 幾何綜合題；壓軸題分析： （1） 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ac=cd ，然后求出 acd 是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得 acd=60 ，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

15、解答； 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得ac=ad ，再根據(jù)直角三角形30 角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出 ac=ab，然后求出ac=be ，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)c 到 ab 的距離等于點(diǎn)d 到 ac的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；（2） 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得bc=ce ， ac=cd ， 再求出 acn= dcm ， 然后利用 “ 角角邊 ” 證明 acn和 dcm 全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得an=dm ，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；（3）過點(diǎn) d 作 df1be，求出四邊形bedf1是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)邊相等可得be=df1，然后根據(jù)等底等高的三角形的面

16、積相等可知點(diǎn)f1為所求的點(diǎn)，過點(diǎn)d 作 df2 bd，求出 f1df2=60 ，從而得到 df1f2是等邊三角形，然后求出df1=df2，再求出 cdf1=cdf2，利用 “ 邊角邊 ” 證明cdf1和 cdf2全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)f2也是所求的點(diǎn)，然后在等腰bde中求出 be 的長，即可得解解答： 解： （1） dec 繞點(diǎn) c 旋轉(zhuǎn)點(diǎn) d 恰好落在ab 邊上，ac=cd ， bac=90 b=90 30 =60 ， acd 是等邊三角形， acd=60 ，又 cde=bac=60 ， acd= cde，deac ； b=30 ，c=90 ，cd=ac=ab，bd=ad=ac

17、 ，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，acd 的邊 ac 、ad 上的高相等， bdc 的面積和 aec 的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即 s1=s2；故答案為： deac；s1=s2；（2）如圖， dec 是由 abc 繞點(diǎn) c 旋轉(zhuǎn)得到，bc=ce ，ac=cd ， acn+ bcn=90 ， dc

18、m+ bcn=180 90 =90 ， acn= dcm ，在 acn 和dcm 中， acn dcm （aas ） ，an=dm ， bdc 的面積和 aec 的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即 s1=s2；（3）如圖，過點(diǎn)d 作 df1be，易求四邊形bedf1是菱形，所以 be=df1，且 be、df1上的高相等，此時(shí) sdcf=sbde，過點(diǎn) d 作 df2 bd， abc=60 ， f1df2=abc=60 ， df1f2是等邊三角形，df1=df2，bd=cd ，abc=60 ，點(diǎn) d 是角平分線上一點(diǎn)， dbc= dcb= 60 =30 ， cdf1=180 30 =1

19、50 ，cdf2=360 150 60 =150 ， cdf1=cdf2，在 cdf1和cdf2中， cdf1 cdf2（sas） ，點(diǎn) f2也是所求的點(diǎn)， abc=60 ，點(diǎn) d 是角平分線上一點(diǎn)，deab， dbc= bde= abd= 60 =30 ，又 bd=4，be= 4 cos30 =2=，bf1=， bf2=bf1+f1f2=+=，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共

20、19 頁 - - - - - - - - -故 bf 的長為或點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵，（3）要注意符合條件的點(diǎn)f 有兩個(gè)3 （2013?大慶）如圖，把一個(gè)直角三角形acb （ acb=90 ）繞著頂點(diǎn)b 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 ，使得點(diǎn)c 旋轉(zhuǎn)到 ab 邊上的一點(diǎn)d，點(diǎn) a 旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) e 的位置 f，g 分別是 bd ，be 上的點(diǎn)， bf=bg ，延長 cf 與 dg交于點(diǎn) h（1）求證： cf=dg ；（2）求出 fhg

21、 的度數(shù)考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)分析： （1）在 cbf 和dbg 中，利用sas 即可證得兩個(gè)三角形全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得；（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，即可證得dhf= cbf=60 ，從而求解解答： （1）證明： 在cbf 和dbg 中， cbfdbg （sas） ，cf=dg ；（2）解： cbfdbg ， bcf= bdg ，又 cfb=dfh， dhf= cbf=60 ， fhg=180 dhf=180 60 =120 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明三角形全等是關(guān)鍵精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - -

22、- - - - - 第 9 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -4 （2012?阜新）（1）如圖，在 abc 和ade 中， ab=ac ，ad=ae ，bac= dae=90 當(dāng)點(diǎn) d 在 ac 上時(shí)，如圖1，線段 bd、ce 有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你猜想的結(jié)論； 將圖 1 中的 ade 繞點(diǎn) a 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（ 0 90 ） ，如圖 2，線段 bd、ce 有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由（2）當(dāng) abc 和

23、ade 滿足下面甲、乙、丙中的哪個(gè)條件時(shí)，使線段bd、ce 在（ 1）中的位置關(guān)系仍然成立？不必說明理由甲： ab ：ac=ad ：ae=1 ，bac= dae 90 ；乙： ab ：ac=ad ：ae 1，bac= dae=90 ；丙： ab ：ac=ad ：ae 1，bac= dae 90 考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)專題 ： 幾何綜合題；壓軸題分析： （1） bd=ce ，bd ce根據(jù)全等三角形的判定定理sas 推知 abd ace ，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得bd=ce 、對(duì)應(yīng)角相等 abf= eca ；然后在 abd 和cdf 中，由三角形內(nèi)角和定理可以求得cfd=90

24、，即 bd cf； bd=ce ，bd ce根據(jù)全等三角形的判定定理sas 推知 abd ace ，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得bd=ce 、對(duì)應(yīng)角相等 abf= eca；作輔助線（延長bd 交 ac 于 f，交 ce于 h）bh 構(gòu)建對(duì)頂角 abf= hcf，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證得bhc=90 ；（2）根據(jù)結(jié)論 、 的證明過程知，bac= dfc （或 fhc=90 ）時(shí)，該結(jié)論成立了，所以本條件中的 bac= dae 90 不合適解答： 解： （1） 結(jié)論： bd=ce ，bd ce； 結(jié)論： bd=ce ，bd ce 1 分理由如下： bac= dae=90 bac dac= d

25、ae dac ，即 bad= cae 1 分在 abd 與 ace 中， abd ace （sas）bd=ce 1 分延長 bd 交 ac 于 f，交 ce 于 h在 abf 與hcf 中， abf= hcf，afb= hfc chf= baf=90 bd ce 3 分（2）結(jié)論：乙 ab ：ac=ad ：ae， bac= dae=90 2 分精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共

26、 19 頁 - - - - - - - - -點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)sss，sas，asa，aas ，hl 均可作為判定三角形全等的定理注意：在全等的判定中，沒有aaa （角角角）和ssa（邊邊角）（特例：直角三角形為hl ，因?yàn)楣垂啥ɡ?，只要確定了斜邊和一條直角邊，另一直角邊也確定，屬于sss） ，因?yàn)檫@兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀；另外三條中線（或高、角平分線）分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形也全等5 （2009?仙桃）如圖所示， 在abc 中，d、e 分別是 ab、ac 上的點(diǎn)， debc，如圖 ，然后將 ade繞 a 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖 ，然后將bd、ce 分

27、別延長至m、n，使 dm=bd ，en=ce，得到圖 ，請(qǐng)解答下列問題：（1）若 ab=ac ，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系： 在圖 中， bd 與 ce 的數(shù)量關(guān)系是； 在圖 中，猜想am 與 an 的數(shù)量關(guān)系、 man 與bac 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）若 ab=k ?ac（k1） ，按上述操作方法，得到圖 ，請(qǐng)繼續(xù)探究：am 與 an 的數(shù)量關(guān)系、 man與bac 的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證明考點(diǎn) ： 全等三角形的判定專題 ： 壓軸題；探究型分析： （1） 根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知aec adb ，所以 bd=ce ； 根據(jù)題意可知cae=bad ，ab=ac ，ad=ae ，

28、所以得到 bad cae ，在abm 和acn中， dm=bd ，en=ce，可證 abm acn ，所以 am=an ，即 man= bac （2）直接類比（1）中結(jié)果可知am=k ?an ，man= bac 解答： 解： （1） bd=ce ； am=an ，man= bac ， dae= bac ，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 19 頁 - - - - - - -

29、- - cae= bad ，在 bad 和 cae 中cae bad （sas） ， ace= abd ，dm=bd，en=ce，bm=cn ，在 abm 和acn 中， abm acn （sas） ，am=an ， bam= can ，即 man= bac ；（2）am=k ?an，man= bac 點(diǎn)評(píng)： 本題考查三角形全等的判定方法和性質(zhì)判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：sss、sas、asa、aas 、hl判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件本題還要會(huì)根據(jù)所求的結(jié)論運(yùn)用類比的方法求得同類題目6 （2008?

30、臺(tái)州） cd 經(jīng)過 bca 頂點(diǎn) c 的一條直線，ca=cb e，f分別是直線cd 上兩點(diǎn)，且bec= cfa= 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -（1）若直線cd 經(jīng)過 bca 的內(nèi)部，且e，f 在射線 cd 上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題： 如圖 1，若 bca=90 ， =90 ，則 be=cf；ef=|beaf|（填 “ ” ，“

31、” 或“ =” ） ； 如圖 2，若 0 bca 180 ，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于與bca 關(guān)系的條件 +bca=180 ，使中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立（2）如圖 3，若直線cd 經(jīng)過 bca 的外部， =bca ，請(qǐng)?zhí)岢鰁f，be，af 三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明） 考點(diǎn) ： 直角三角形全等的判定；三角形內(nèi)角和定理專題 ： 幾何綜合題；壓軸題分析： 由題意推出 cbe=acf ，再由 aas 定理證 bce caf，繼而得答案解答： 解： （1） bca=90 ， =90 ， bce+ cbe=90 ，bce+ acf=90 ， cbe= acf ，ca=cb ，bec=

32、cfa； bcecaf，be=cf ；ef=|be af| 所填的條件是： + bca=180 證明：在 bce 中， cbe+bce=180 bec=180 bca=180 ， cbe+ bce= bca 又 acf+ bce=bca ， cbe= acf ，又 bc=ca ，bec= cfa， bcecaf（ aas ）be=cf ，ce=af ，又 ef=cfce，ef=|beaf|（2）ef=be+af 點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查全等三角形、等邊三角形和四邊形的有關(guān)知識(shí)注意對(duì)三角形全等，相似的綜合應(yīng)用7 （2007?紹興）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，許老師出示了如下問題：如圖1，己知四邊形abcd

33、中， ac 平分dab ，dab=60 ，b 與 d 互補(bǔ)，求證：ab+ad=ac 小敏反復(fù)探索，不得其解她想，若將四邊形 abcd 特殊化，看如何解決該問題（1）特殊情況入手添加條件：“ b=d” ，如圖 2，可證 ab+ad=ac； （請(qǐng)你完成此證明）（2）解決原來問題受到（1）的啟發(fā)，在原問題中，添加輔助線：如圖3，過 c 點(diǎn)分別作ab、ad 的垂線，垂足分別為e、f （請(qǐng)你補(bǔ)全證明）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - -

34、- - - - - - - - 第 13 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -考點(diǎn) ： 直角三角形全等的判定專題 ： 證明題；壓軸題；開放型分析： （1）如果： “ b= d” ，根據(jù) b 與d 互補(bǔ)，那么 b= d=90 ，又因?yàn)?dac= bac=30 ，因此我們可在直角三角形adc 和 abc 中得出 ad=ab=ac ，那么 ad+ab=ac （2）按（ 1）的思路，作好輔助線后，我們只要證明三角形cfd 和 bcd 全等即可得到（1）的條件根據(jù)aas 可證兩三角形全等，df=be 然后按照（ 1）的解法進(jìn)行計(jì)算即可解答： 證明：（1）b 與 d 互補(bǔ)， b=d， b=

35、d=90 ，cad= cab=dab=30 ，在 adc 中， cos30 =，在 abc 中， cos30 =，ab=ac ，ad=ab+ad=（2）由（ 1）知， ae+af=ac ，ac 為角平分線， cfcd， ceab ，ce=cf而 abc 與 d 互補(bǔ)，abc 與cbe 也互補(bǔ)， d=cbe 在 rtcdf 與 rtcbe 中，rtcdfrtcbedf=be ab+ad=ab+（af+fd ）=（ab+be ）+af=ae+af=ac 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直角三角形全等的判定及性質(zhì)；通過輔助線來構(gòu)建全等三角形是解題的常用方法，也是解決本題的關(guān)鍵8 （2007?常德）如圖，已知ab=

36、ac ，（1）若 ce=bd ，求證： ge=gd ；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -（2）若 ce=m?bd（m 為正數(shù)），試猜想ge 與 gd 有何關(guān)系（只寫結(jié)論，不證明）考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)專題 ： 證明題；壓軸題；探究型分析： （1）要證 ge=gd ，需證 gdf gec，由已知條件可根據(jù)aas 判定（2）若

37、 ce=m?bd （m 為正數(shù)），那么 ge=m ?gd解答： 證明：（1）過 d 作 dfce，交 bc 于 f，則 e=gdfab=ac ， acb= abc dfce， dfb= acb ， dfb= acb= abc df=db ce=bd ，df=ce ，在 gdf 和 gec 中， gdfgec（aas ） ge=gd （2）ge=m?gd點(diǎn)評(píng)： 本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：sss、sas、asa 、aas、hl 本題的輔助線是解決題目的關(guān)鍵9 （2006?泰安）（1）已知：如圖 ，在 aob 和cod 中， oa=ob ，oc=od ，aob=

38、cod=60 ，求證： ac=bd ； apb=60 度；（2）如圖 ，在 aob 和 cod 中，若 oa=ob ，oc=od ，aob= cod= ，則 ac 與 bd 間的等量關(guān)系式為ac=bd； apb 的大小為 ；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -（3）如圖 ，在 aob 和cod 中，若 oa=k ?ob，oc=k?od

39、（ k1） ， aob= cod= ，則 ac 與bd 間的等量關(guān)系式為ac=k ?bd；apb 的大小為180 考點(diǎn) ： 全等三角形的判定；三角形內(nèi)角和定理專題 ： 探究型分析： （1）分析結(jié)論ac=bd 可知，需要證明aoc bod ，圍繞這個(gè)目標(biāo)找全等的條件；（2）與圖 比較，圖形條件發(fā)生了變化，仍然可以證明aoc bod，方法類似；（3）轉(zhuǎn)化為證明aoc bod解答： 解： （1） aob= cod=60 ， aob+ boc=cod+boc即： aoc= bod又 oa=ob ，oc=od ， aocbod ac=bd 由 得： oac= obd ， aeo= peb，apb=180 （ bep+obd ） ，aob=180 （ oac+ aeo ） ， apb= aob=60 （2）ac=bd ，（3）ac=k ?bd，180 點(diǎn)評(píng)： 三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件10 （2005?南寧） （a 類）如圖， deab、dfac