2022年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題十套

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載全國中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題（一）班級(jí)學(xué)號(hào)姓名得分 一、挑選題 （此題滿分 30 分，每道題 5 分）1. 設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，abc0，且a bc，就b2 c2 a22bcc2 a 2b22caa 2b2c 22ab的值為（）（a） 1（ b） 1（c） 2（d）32. 設(shè) x，y，z 為實(shí)數(shù)，且有 xyz，那么以下式子中正確選項(xiàng)（）（a）x yyz（ b） x yy z （c） xyyz（d）x y zz3. 在 abc中， bc3，內(nèi)切圓半徑 r 3 ，就 cot2b cot2c 的值為 （）2（a）3（ b）22（c） 3 332（d） 234. 已知 a31312 ，

2、就21 a 1 a的值為（）（a） 3 2（ b） 3 2（c） 2 3（d） 2 35. 已知 m、n為平面上相異的兩點(diǎn)，有 m條直線過 m而不過 n（稱為 m類直線）， 有 n 條直線過 n而不過 m（稱為 n類直線）如每條 m類直線與每條 n類直線均相交， 又每條直線被其上的交點(diǎn)連同m點(diǎn)或 n點(diǎn)分成如干段， 就這 mn 條直線被分成的總段數(shù)是（）（a）2mn（b） m 1 n 1（c）2 mn m n（d） 2 m1 n16 如 ab 1 ，且有5a2 2001a 9 0 及 9b2 2001b 5 0，就a 的值是b（）（a） 9（ b）55（c）92001（d）520019二、填空題

3、 （此題滿分 30 分，每道題 5 分）1. 化簡(jiǎn)a1a1（0a 1）的結(jié)果是a11a21a2 a12. 梯形 abcd中， ad bc（adbc），ad a， bcb，e，f 分別是 ad，bc的中點(diǎn)，且 af交 be于 p，ce交 df于 q，就 pq的長(zhǎng)為3. 如圖，梯形 abcd的對(duì)角線交于 o，過 o作兩底的平行線dcmno分別交兩腰于 m、n如 ab18， cd6，就 mn的長(zhǎng)為b a4設(shè) m2m10，就 m32m2 1999 225. 已知整數(shù) x、y 滿意 15xy 21x20y13，就 xy6. 已知 x 332 ，y 3232 ，那么2y x xy三、解答題 （此題滿分 6

4、0 分，每道題 20 分）1. 某新建儲(chǔ)油罐裝滿油后發(fā)覺底部勻速向外漏油，為安全并削減缺失，需將油抽干后進(jìn)行修理 現(xiàn)有同樣功率的小型抽油泵如干臺(tái)， 如 5 臺(tái)一起抽需 10 小時(shí)抽干， 7 臺(tái)一起抽需 8 小時(shí)抽干需在 3 小時(shí)內(nèi)將油罐抽干，至少需要多少臺(tái)抽油泵一起抽？2. 求二次函數(shù) yx2mxn 在 3 x 1 的最大值和最小值3. 從 1 到 n 的 n 個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積稱為 n 的階乘，記為 n?。ㄈ?5！ 5×4×3×2×1）問： 1999！的尾部有多少個(gè)連續(xù)的零？說明你的理由全國中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題（二）班級(jí)學(xué)號(hào)姓名得分 一、挑選題 （此題滿

5、分 30 分，每道題 5 分）1方程x19 3x95 12 的實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)為（）（a）0（ b） 1（c） 2（d）32設(shè) a 51 ，b 331 ，c 441 ，就 a，b，c 的大小關(guān)系是（）5y（a）a b c（ b） a cb（c） cba（d）bca13. 二次函數(shù) y ax2 bx c 的圖象的一部分如圖就 a 的取值范疇是（）（a） 1a0（ b） a 1（c） 1a0（ d） a 1o1x4. 在等腰 abc中， abac， a120o， d 點(diǎn)在 bc邊上，且 bd1，dc 2，就 ad的值為（）（a）0.5（ b） 1（c） 1.5（d） 25. 已知 、 是方程 x2 7x

6、 8 0 的兩根，且 ，就 2 32 的值為（）（a） 1 403 85 17 （b） 1 403 85 17 84（c）95（d） 176. 假如 a，b，c 是三個(gè)任意整數(shù)，那么a b ， b c ， c a（）222（a）都不是整數(shù)（b）至少有兩個(gè)整數(shù)（c）至少有一個(gè)整數(shù)（d）都是整數(shù)二、填空題 （此題滿分 30 分，每道題 5 分）1. 如 a、b 為整數(shù)，且 x2x1 是 ax17bx161 的因式，就 a2. 我國古算經(jīng)九章算術(shù)上有一題：有一座方形的城（見 右圖），城的各邊的正中心有城門， 出南門正好 20 步的地方有一棵樹假如出北門走14 步，然后折向東走 1775b 14 ed

7、201775cf步，剛好能望見這棵樹， 就城的每邊的長(zhǎng)為a3. 設(shè) abc的內(nèi)切圓 o切 bc于點(diǎn) d，過 d作直徑 de，連 ae，a并延長(zhǎng)交bc 于點(diǎn) f如 bf cd 1998，就 bf 2cdsr 4. 如右圖，設(shè) abc為正三角形，邊長(zhǎng)為1， p， q，r 分別在ab， bc，ac 邊上，且 ar bpcq 1 連 aq，br， cp3pmnbcqs兩兩相交得到 mns，就 mns的面積是 ad5. 如圖，正方形 abcd的邊 ab1， bd 和 ac 都是以 1 為半 徑 的 圓 弧 就 無 陰 影 的 兩 部 分 面 積 之 差 為 6如 x2 xy y 14， y2 xy x

8、28，就 x y 的值為 三、解答題 （此題滿分 60 分，每道題 20 分）s1s2sbc1. 如圖，矩形 abcd中，de bg，且 bec90o， sabcdsefghn（sabcd表示四邊形 abcdedahfgbcbc ，已知 n 為自然數(shù)，的面積，下同），ab然數(shù)為有理數(shù)求證： 也為自2. a、b、c 三人各有蘋果如干，要求相互贈(zèng)送，先由a 給 b、c，所給的蘋果數(shù)等于 b、c 原先各有的蘋果數(shù)；依同法再由b 給 a，c 現(xiàn)有個(gè)數(shù)，后由 c給 a、b現(xiàn)有個(gè)數(shù)互送后每人恰好各有64 個(gè)，問原先 a、b、c三人各有多少個(gè)蘋果？3. 設(shè) s 是由 1， 2， 3， 50 中的如干個(gè)數(shù)組成

9、的一個(gè)數(shù)集（數(shù)的集合） ，s 中任兩數(shù)之和不能被 7 整除試問 s 中最多能由 1，2，3， 50 中的幾個(gè)數(shù)組成（ s中含數(shù)的個(gè)數(shù)的最大值）？證明你的結(jié)論全國中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題（三）班級(jí)學(xué)號(hào)姓名得分 一、挑選題 （此題滿分 30 分，每道題 5 分）1. 如xyz x y zyz x y z xzx y z x y1 ，就 x、y、z 的取值情形是（）（a）全為零（ b）只有兩個(gè)為零（ c） 只有 一個(gè)為零（ d）全不為零2. 如 x，y， x y 都是有理數(shù)，就 x ， y 的值是（）（a）二者均為有理數(shù)（b）二者均為無理數(shù)（c）僅有一個(gè)為有理數(shù)（d）以上均有可能3. 設(shè) n 為自然數(shù)，

10、就 n2n2 的整除情形是（）（a）既不能被 2 整除，也不能被 5 整除（b）能被 2 整除，但不能被 5 整除（c）不能被 2 整除，但能被 5 整除 （d）既能被 2 整除，又能被 5 整除4. 某同學(xué)上學(xué)時(shí)步行，回家時(shí)坐車，路上一共要用一個(gè)半小時(shí)；如來回都坐車，全部行程就只需半個(gè)小時(shí)假如來回都步行，那么需用的時(shí)間是（）（a）1 小時(shí)（ b） 2 小時(shí)（c） 2.5 小時(shí)（d）3 小時(shí)dc5. 如圖，正方形 abcd及正方形 aefg，連接 be、cf、dg就 be cfdg等于（）g（a）1 1 1（ b） 1 2 1fb（c）1 3 1（ d） 1 2 1ae6假如 a， b 是質(zhì)數(shù)

11、，且 a213a m 0， b2 13bm0，那么b a 的值為ab（）（a） 123（ b） 125 或 2（c） 125（d） 123 或 222222222二、填空題 （此題滿分 30 分，每道題 5 分）1. 已知實(shí)數(shù) x 滿意x 2x3 x1x ，就 x 的取值范疇是2. 假如對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，有 f x 1 x2 3x 5，就 f x 1 的解析式是 3. 已知實(shí)數(shù)x、y 滿意條件 2x2 6x y2 0 ，就 x2 y2 2x的最大值是 4. 方程2 33 x 3 y3 的有理數(shù)解 x，y5. 如圖，從直角 abc的直角頂點(diǎn) c作斜邊 ab的三等分c點(diǎn)的連線 ce、cf已知 ces

12、in ， cfcos（ 為銳角），就 abbefa6 用長(zhǎng) 為 1 ， 4 ， 4 ， 5 的線段為邊 作梯 形， 那 么這 個(gè)梯形的面積等于 三、解答題 （此題滿分 60 分，每道題 20 分）1. 如圖， d為等邊 abc的 bc邊上一點(diǎn)，已知 bd1，cd 2， chad于點(diǎn) h，連結(jié) bh試證： bhd60oahb dc2. 已知函數(shù) y1 x2 13 的自變量在 a xb 時(shí)，2a y2b，試求 a、b 之值223. 一個(gè)自然數(shù)如能表示成兩個(gè)自然數(shù)的平方差， 就稱這個(gè)自然數(shù)為“聰慧數(shù)”例22如， 165 3 就是一個(gè)“聰慧數(shù)”試問：（ 1） 1998 是不是“聰慧數(shù)”？說明理由（ 2

13、）從小到大排列，第 1998 個(gè)“聰慧數(shù)”是哪一個(gè)自然數(shù)？全國中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題（四）班級(jí)學(xué)號(hào)姓名得分 一、挑選題 （此題滿分 30 分，每道題 5 分）199 個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和等于 abcd如 a、b、c、d 皆為質(zhì)數(shù)，就 abcd 的最小值等于（）（a）63（ b） 702設(shè) p、q 分別是單位正方形（c） 86bc、cd邊上的點(diǎn)，且（d）97apq是正三角形，那么正三角形的邊長(zhǎng)為（）（a）6 2（ b）6 23（c）5 2（d）5 233. 實(shí)數(shù) a、b、c 兩兩不等，且三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為： a（ab，c），b（ b c， a）， c（ca，b），就這三點(diǎn)的位置關(guān)系是（）（a）組成鈍角三

14、角形（b）組成直角三角形（c）組成等邊三角形（d）三點(diǎn)共線4. 對(duì)任意給定的 abc，設(shè)它的周長(zhǎng)為 l ，外接圓半徑為 r，內(nèi)切圓的半徑為 r ，就（）（a）l r r（ b） l r r（c）l rr 6l（d）以上均不對(duì)65. 平面上有 p、q兩點(diǎn)，以 p為外心、 q為內(nèi)心的三角形的數(shù)量為（）（a）只能畫出一個(gè)（b）可以畫出 2 個(gè) （c）最多畫出 3 個(gè)（ d）能畫很多個(gè)6. 如圖，如將正方形分成 k 個(gè)全等的矩形， 其中上、下各橫排兩個(gè)，中間豎排如干個(gè)，就k 的值為12（）（a）6（ b） 8（ c） 10（d）1234二、填空題 （此題滿分 30 分，每道題 5 分）dc1如圖，梯形

15、 abcd中， dcab，dc ab12，mnnbd且平分 ac如梯形 abcd的面積等于 ab ，samn ba ，就 ab ba b2不等式 x7x 2 3 的解是am3. 如自然數(shù) n 能使 n 整除 n，就 n 的全部表達(dá)式為4. 小李用 5000 元買了一年期的某種債券，到期后從本利和中支取2000 元用于購物，把剩下的錢又買了這種一年期債券，如這種債券的利率不變，到期后得本利和為 3498 元，那么這種債券的年利率是5. 圓內(nèi)接凸四邊形 abcd的邊 abbccdda1998，ac交 bd于 p，就spab s pbcs pcdspda 6. 銷售某種商品，假如單價(jià)上漲m%，就售出

16、的數(shù)量就將削減m 為了使該商150品的銷售總金額最大，那么 m的值應(yīng)當(dāng)確定為三、解答題 （此題滿分 60 分，每道題 20 分）1. 如圖， cab abd90o， abac bd，ad交 bc于 p，作 p 使其與 ab相切試問：以 ab為直徑作出的 o與 p 是相交？是內(nèi)切？仍是內(nèi)含？請(qǐng)作出判定并加以證明dc paob2. 設(shè) 、 是整系數(shù)方程 x2 axb0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且 22 4，試求整數(shù)對(duì)（ a，b）的全部可能值3. a、b、c 為互不相等的數(shù)，如以下三個(gè)等式中有任意兩個(gè)等式成立，求證： 第三個(gè)等式也成立 b2bc c2 x2 bc b c xb2 c20； c2ca a2 x2

17、 ca c a xc2 a20； a2ab b2 x2 ab a b xa2 b20全國中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題（五）班級(jí)學(xué)號(hào)姓名得分 一、挑選題 （此題滿分 30 分，每道題 5 分）1. 邊長(zhǎng)都是質(zhì)數(shù)的凸四邊形 abcd，且 abcd， abbcad cd20，abbc，就 bcad（）（a）6 或 14（ b） 6（c） 14（d）102. 直角梯形的一條對(duì)角線將它分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)是等邊三角形，假如它的中位線的長(zhǎng)為 12 3 ，那么它的下底的長(zhǎng)為（）（a）16 3（ b） 18 3（c） 20 3（d）22 33. 在等腰 rt abc的斜邊ab 所在的直線上有點(diǎn)p 滿意 s ap2

18、 bp2，就（）2（a）對(duì) p有無限多個(gè)位置，使得 s2cp置，使得 s2cp2（b） 對(duì) p 有有限個(gè)位（c） 當(dāng)且僅當(dāng) p為 ab的中點(diǎn)，如 p與頂點(diǎn) a， b之一重合時(shí)，才有 s 2cp2（d） 對(duì)直線 ab上的全部點(diǎn) p，總有 s2cp24. 如x4 3 x1x3 ，就正整數(shù) x 的值是（）x（a）3（ b） 4（c） 5（d）65. 如方程 3xby c 0 與 cx 2y120 的圖形重合， 設(shè) n 為滿意上述條件的（b，c）的組數(shù)，就 n 等于（）（a）0（ b） 1（c） 2（ d）有限多個(gè)但多于26. 如圖，如 pa pb， apb 2 acb，ac與 pb交于點(diǎn) d，且 p

19、b4，pd3，就 ad·dc等于（a）6（ b） 7（ c） 12（d）16a二、填空題 （此題滿分 30 分，每道題 5 分）pcd（）b1. 如自然數(shù) a， x， y 滿意a26 x y ，就 a 的最大值是f2. 如右圖，已知 abcde是f 正六邊形， m，n 分別是邊 cd和 de的中點(diǎn)，線段 am與 bn相交于 p，就abp pnbe3. 關(guān)于自變量 x 的二次函數(shù) yx2 4ax5a23a 的最小值 mp是 a 的函數(shù)，且 a 滿意不等式 0 a24a210，就 m的ncmd最大值等于4. 方程 xy3x2y10 的正整數(shù)解為5. 甲、乙二人在圓形跑道上從同一點(diǎn)a 同時(shí)

20、動(dòng)身，并按相反方向跑步，甲的速度為每秒 5m，乙的速度為每秒 7m，到他們第一次在 a 點(diǎn)處再度相遇時(shí)跑步就終止，就從他們開頭相遇到終止共相遇了n 次，這里 n6. 在直角坐標(biāo)系 xoy中， x 軸上的動(dòng)點(diǎn) m（x，0）到定點(diǎn) p（5，5），q（2，1）的距離分別為 mp 和 mq，那么當(dāng) mp mq取最小值時(shí)，點(diǎn) m 的橫坐標(biāo) x 三、解答題 （此題滿分 60 分，每道題 20 分）1. 在銳角三角形 abc中，bac， abc，acb的平分線分別與 abc的外接圓交于 d，e，f連 ef，fd，de分別交 ad，be，cf于 a1，b1，c1求證： abc的內(nèi)心 i 也是 a1b1c1 的

21、內(nèi)心afa 1eibb1c1cd2. 設(shè)有三個(gè)相像三角形，且較小的兩個(gè)三角形可以互不重合地放在大三角形的 內(nèi)部試證明，兩個(gè)小三角形的周長(zhǎng)之和不超過大三角形的周長(zhǎng)的2 倍3. 如不等式組x2 x20， 2x252k x5k0的整數(shù)解只有 x 2，求實(shí)數(shù) k 的取值范疇全國中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題（六）班級(jí)學(xué)號(hào)姓名得分 一、挑選題 （此題滿分 30 分，每道題 5 分）1某校初三（ 1）班的同學(xué)準(zhǔn)備在星期天去登山，他們方案上午 8 30 動(dòng)身，盡可能去登圖中最遠(yuǎn)處的山，到達(dá)山頂后開展 1 個(gè)半小時(shí)的文娛活動(dòng)，于下午 3 點(diǎn)以前必需回到駐地假如去時(shí)的平均速度是 3.2 千米時(shí)，返回時(shí)的平均速度是 4.5

22、 千米時(shí)，就能登a 7 千 b 8 千c 10 千d 9 千駐地 m上的最遠(yuǎn)的那個(gè)山頂是（）（a）a（ b） b（c） c（d）d2方程 2x27x 2152x 27 x15 的有所實(shí)根之和為（）（a） 11（ b） 7（c） 1122（d） 723 設(shè) a 0，就方程ax 2 x 有不等實(shí)根，那么a 的取值范疇是（）（a）a 0（ b） 0 a 1（c） a1（d）a1 4三角形 abc的三條邊長(zhǎng)為連續(xù)的自然數(shù)，且它的最大角是最小角的兩倍，那么它的最大邊與最小邊的比值是（）（a）2（ b）5（c）33（d） 7255. 某廠一只計(jì)時(shí)鐘要 69 分鐘才能使分針與時(shí)針相遇一次 假如每小時(shí)付給工人

23、計(jì)時(shí)工資 4 元，超過規(guī)定時(shí)間的加班每小時(shí)應(yīng)對(duì)計(jì)時(shí)工資6 元，工人按此鐘做完規(guī)定的 8 小時(shí)工作，應(yīng)對(duì)工資（）（a）34.4 元（ b） 34.6 元（c） 34.8 元（d）35 元6. 如 a， b 是正數(shù)，且滿意 12345 111 a111 b ，就 a 與 b 之間的大小關(guān)系是（）（a）a b（ b） a b（c） ab（d）不能確定二、填空題 （此題滿分 30 分，每道題 5 分）1. 已知實(shí)數(shù) a，b，c 滿意 abc0，abc0，且 xa bc ， y a b ca 1 1 b 1 1 c 1 1 ，就代數(shù)式 x1996xy y3 bccaab2. 如圖，在長(zhǎng)為 9，寬為 8

24、的矩形紙片上緊貼三條邊剪下一個(gè)o1o圓，在剩下的紙片上假如再剪兩個(gè)小圓o1 ，o2，那么這兩個(gè)小圓的最大直徑 d3. 已知 ， 是方程 x2x10 的兩個(gè)實(shí)根，就 4o23c4. 如圖，四邊形 abcd中， e 為 bc的中點(diǎn)， ae與 bd相交de于 f，如 df bf， af 2ef，就 s acds abc s abdfba abc5. 已知拋物線 yx2kx 4k 交 x 軸于整點(diǎn) a，b，與 y 軸交于點(diǎn) c，就 s6. 已知實(shí)數(shù) a， b 滿意 a2 ab b21，且 t aba2 b2，那么 t 的取值范疇是 三、解答題 （此題滿分 60 分，每道題 20 分）1. 四邊形 ab

25、cd中， o是 ab的中點(diǎn)，以 o為圓心的半圓（其直徑小于 ab）與邊ad， dc，cb分別相切于 e，f，g求證： ab2 4ad·bccdfegoba2. 設(shè)直角三角形的兩直角邊分別是a，b，斜邊為 c，且 a，b，c 均為自然數(shù)， a為質(zhì)數(shù)證明： 2 a b 1 必是一個(gè)完全平方數(shù)319 支足球隊(duì)舉辦單循環(huán)賽，已知每支球隊(duì)至少和其余13 支球隊(duì)進(jìn)行過競(jìng)賽， 求證：必可找到四個(gè)球隊(duì)，它們之間任何兩隊(duì)都已賽過全國中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題（七）班級(jí)學(xué)號(hào)姓名得分 一、挑選題 （此題滿分 30 分，每道題 5 分）1已知 a 1 a1 b3，且 a b 0，就ba b 的值是（）b3a 3（

26、a） 21 5（ b） 21 13（c） 33 5（d） 33 132. 在 abc中， f 分 ac為 1 2， g是 bf的中點(diǎn)， e 是 ag與 bc的交點(diǎn)，那么 e分 bc所成的比為（）（a） 3（b）82（c）51（ d） 1a43f3. 如圖， abc為銳角三角形， be ac，cfeab，就 s aefsabc的值為（）（a）sin a（b）cosa（c）sin 2a（ d） cosb2ac12124. o和o 的半徑分別是 r和 r ，ood，如關(guān)于 x 的方程 x22rxr 2 2rdd2 0 有兩個(gè)相等的實(shí)根，那么此兩圓（）（a）相交（ b）內(nèi)切（c）外切（d）內(nèi)切或外切5

27、p 為 abc內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié) pa，pb，pc，把三角形的面積三等分，就p 點(diǎn)是 abc的（）（a）內(nèi)心（ b）外心（c）垂心（d）重心6某商場(chǎng)對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠，規(guī)定：如一次購物不超過 200 元，就不予折扣；如一次購物超過 200 元但不超過 500 元的，按標(biāo)價(jià)賜予九折優(yōu)惠；如一次購物超過 500 元，就其中 500 元按第條賜予優(yōu)惠，超過 500 元部分就賜予八折優(yōu)惠某人兩次去購物，分別付款168 元與 423 元假如他只去一次購買同樣的商品，就應(yīng)對(duì)款是（）（a）522.8 元（ b） 510.4 元（c） 560.4 元（d）472.8 元二、填空題 （此題滿分 30 分，每道題 5 分）

28、1. 已知四個(gè)實(shí)數(shù)的乘積為1，其中任意一個(gè)數(shù)與其余三個(gè)數(shù)的積的和都等于1000就此四數(shù)的和是2. 某學(xué)校新造 5 個(gè)教室后，每個(gè)班級(jí)的平均人數(shù)削減6 人，再造 5 個(gè)教室后，每個(gè)班級(jí)的平均人數(shù)又削減 4 人在這個(gè)變化過程中，學(xué)校人數(shù)保持不變，這個(gè)學(xué)校有名同學(xué)3. 假如 xya，xzb，yzc，而且它們都不等于 0，那么 x2 y2z2 4. 已知二次函數(shù) y 2x2 4mxm2 的圖像與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn) a，gb，頂點(diǎn)為 c如 abc的面積為 42 ，那么 ma5. 如圖，圓與正三角形 abc的三邊交于六個(gè)點(diǎn)， 假如 ag2，hgf 13，fc1，hi 7，就 dei6. 一個(gè)正整數(shù)，如分別

29、加上 100 與 168，就可得到兩個(gè)完全bde fc平方數(shù)這個(gè)正整數(shù)為三、解答題 （此題滿分 60 分，每道題 20 分）1. 如圖，已知 ab， cd是半徑為 5 的o中相互垂直的弦，垂足為 p，e 為 ab的caepb o中點(diǎn)， pd ab，且 oe 3，試求 cpce的值2. 試問周長(zhǎng)為 6，面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？請(qǐng)說出你的理由3. 證明：在任意 11 個(gè)整數(shù)中必有 6 個(gè)整數(shù)的和能被 6 整除，但任意 10 個(gè)整數(shù)未必有此性質(zhì)全國中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題（八）42班級(jí)學(xué)號(hào)姓名得分 一、挑選題 （此題滿分 30 分，每道題 5 分）1如 x 23 4695，就 25x 1996x

30、 144（）（a）0（ b） 1（c） 469（d）1996 2作兩條直線將正方形分成四個(gè)全等的圖形的作法有（）22（a）1 種（ b） 2 種（c） 3 種（d）無窮多種3. 已知a3b3 c33abc abc 3，就a b bc a bb c 的值為 （）（a）1（ b） 2（c） 3（d）44. 凸五邊形 abcde中，有 a b120o， ea abbc2，cdde4，就五邊形的面積為（）（a）10（ b） 7 3（c） 155. 梯形 abcd的對(duì)角線相交于 o，oaoc， obod在 ao上取點(diǎn) e，使 aeoc，又在 bo上取點(diǎn) f，使 bf od，就 afc的面積 s1 與be

31、d的面積 s2 的關(guān)系為d（d）c 93oefba（）（a）s1 s2（ b） s1s2（c） s1s2（d）不能確定6. 在實(shí)數(shù)范疇內(nèi)，一元二次方程ax2bxc0 的根為x bb24ac；2a在 abc中，如 ac2bc2ab2，就 abc是銳角三角形；在 abc和 a1b1c1 中， a、b、c 分別為 abc的三邊， a1、b1、c1 分別為 a1b1c1 的三邊如 aa1、bb1、cc1 ，就 abc的面積 s 大于 a1b1c1 的面積 s1以上三個(gè)命題中，假命題的個(gè)數(shù)是（）（a）0（ b） 1（c） 2（d）3 二、填空題 （此題滿分 30 分，每道題 5 分）1n（n3）邊形的內(nèi)

32、角中，銳角最多有個(gè)2. 在凸四邊形 abcd中， bc8，cd 1， abc30o， bcd60o假如四邊形abcd的面積是13 32，那么 ab3. 正數(shù) a，b，c 滿意abc10 ，就 ab 的最大值為a 2b2 c24. 正三角形 abc內(nèi)接于圓 o， m， n分別是 ab， ac的中點(diǎn)，延長(zhǎng) mn交圓 o于點(diǎn)d，連結(jié) bd交 ac于點(diǎn) p，就pc pan5. 有兩條大路 om， on相交成 30o角，沿大路 om方向 80 米 a處有一所學(xué)校，當(dāng)拖拉機(jī)沿 on方向行駛時(shí)，路兩旁 50o米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響 已知拖拉機(jī)的速度為 18 千米am小時(shí)，那么拖拉機(jī)沿 on方向行駛將給學(xué)校帶

33、來噪音影響時(shí)間為秒6已知 x，y 是正整數(shù)，并且 xyxy23，x2 yxy2 120，就 x2y2 三、解答題 （此題滿分 60 分，每道題 20 分）1. 梯形 abcd中， abcd，ab125，cdda 80問對(duì)角線 bd能否把梯形分成d80cb80兩個(gè)相像的三角形？如不能，給出證明；如能，求出bc，bd的長(zhǎng)2. 已知關(guān)于 x 的方程 x2 pxq0 有兩個(gè)不相等的實(shí)根，證明：當(dāng) k0 時(shí)， 方程 x2pxqk2 xp 0 也有兩個(gè)不等實(shí)根，且有一根在 x2pxq0 的兩根之間3. 在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，而頂點(diǎn)均為整點(diǎn)的多邊形稱為整點(diǎn)多邊形求證：整點(diǎn)凸五邊形上必可

34、找到一個(gè)四邊形至少掩蓋5 個(gè)整點(diǎn)全國中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題（九）班級(jí)學(xué)號(hào)姓名得分 一、挑選題 （此題滿分 30 分，每道題 5 分）119961996 的十位上的數(shù)字是（）（a）1（ b） 3（c） 5（d）92. 假如凸 n 邊形 f（n4）的全部對(duì)角線都相等，那么（）（a）f 是四邊形（ b） f 是五邊形 （c） f 是四邊形或五邊形（d）f 是邊相等或內(nèi)角相等的多邊形3. 已知 a，b，c 為不全相等的實(shí)數(shù)，那么關(guān)于 x 的方程 x2 abc x a2 b2c2 0（）（a）有兩個(gè)負(fù)根 （ b）有兩個(gè)正根 （c）有兩個(gè)同號(hào)實(shí)根（d）無實(shí)根4. 使得正 n 邊形的每個(gè)內(nèi)角都是整數(shù)度數(shù)的n

35、的個(gè)數(shù)是（）（a）16（ b） 18（c） 20（d）225. 在 1，2， 100這 100 個(gè)整數(shù)中，任取 k 個(gè)數(shù)，使得在這 k 個(gè)數(shù)中，總有兩個(gè)數(shù)字之和等于另兩個(gè)不同的數(shù)字之和那么，滿意條件的最小的 k 的取值是（ ）（a）21（ b） 24（c） 27（d）306. 如圖，在 abc中， d 是邊 ac上一點(diǎn)下面四種ad情形中， abd acb不肯定成立的情形是（）2（a）ad·bcab· bd（b）abad· acef（c） abd acb（d）ab·bcac·bdb二、填空題 （此題滿分 30 分，每道題 5 分）xy1 2 x

36、y1如 360 3，360 5，就 7231 ycdb1 b2 b 3 b 42如下列圖， abcd，a1b1 a2 b2a3 b3a4b4bc，c1 d1c2d2 ab，把a(bǔ)bcd共劃分成 15 個(gè)小平行四邊c1d1qpdc2mn2形，如四邊形 c2a4d1b1 面積為 s1，s mnpqs0，就 sabcdbaa 1 a 2 a 3 a 43如 x 1 21 ，12x 22 x223x324x4 21995x1995 的值為4x4. 在 rt abc中， b90o， ab4，bc2，d 為 rt abc內(nèi)任意一點(diǎn)，過 d分別作三角形三邊的平行線 ef、mn、pt，設(shè) s 為 dep、 dm

37、f和 dnt的面積之和，就 s 的最小值是5. 如圖， b是半徑為 3 的o的直徑 ac上的一點(diǎn)， bc2，以 ab，bc為直徑作 o1， o2， p 分別與 o1，o2， o相切，就 p的半徑 r 的長(zhǎng)為 6. 已知半徑分別為 1 和 2 的兩個(gè)圓外切于點(diǎn) p就點(diǎn) papo1obo2 c到兩圓外公切線的距離為三、解答題 （此題滿分 60 分，每道題 20 分）1. 如圖，o是 abc內(nèi)任意一點(diǎn)， 直線 ao，bo，co分別與三邊相交于 p，q，r 如 abc，求證： op oqoraarqobpc2. 設(shè)方程 x2 ax1b 的兩個(gè)根均是自然數(shù)，證明： a2 b2 是合數(shù)3. 在一個(gè) 8×8 棋盤中，定義一種“跳棋”的規(guī)章如下：走子之前