24隱函數(shù)與參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)

1、12.4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率相關(guān)變化率小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)2定義定義由二元方程由二元方程)(xfy 0),( yxf)(xfy 1. 隱函數(shù)的定義隱函數(shù)的定義)(xyy 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù)0),( yxf一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為稱為隱函數(shù)隱函數(shù)(implicit function).的形式稱為的形式稱為顯函數(shù)顯函數(shù).隱函數(shù)的隱函數(shù)的013 yx可確定顯函數(shù)可確定顯函數(shù);13xy 例例),10(sin

2、yxy開普勒方程開普勒方程開普勒開普勒( (j.kepler)1571-1630)1571-1630德國數(shù)學(xué)家德國數(shù)學(xué)家, ,天文學(xué)家天文學(xué)家. .xy關(guān)于關(guān)于的隱函數(shù)客觀存在的隱函數(shù)客觀存在, ,但無法將但無法將yx表達成表達成的的顯式顯式表達式表達式. .顯化顯化. .32. 隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則 用用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,并注意到其中并注意到其中將方程兩邊對將方程兩邊對x求導(dǎo)求導(dǎo).變量變量y是是x的函數(shù)的函數(shù).隱函數(shù)不易顯化或不能顯化隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)如何求導(dǎo)4例例1 1解解0 yxeexy設(shè)想把設(shè)想把.,00 xyxyyyeex

3、y的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程則得恒等式則得恒等式代入方程代入方程,)(xyy 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù)0 yxeexy將此恒等式兩邊同時對將此恒等式兩邊同時對x求導(dǎo)求導(dǎo),得得xxy)( xxe )( xye )( )0( 因為因為y是是x的函數(shù)的函數(shù), 是是x的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù),所以所以ye求導(dǎo)時要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)時要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,yyx xe ye y 0 xeyeyyx 0, 0 yx0 x0 y0 x0 y. 1 5 雖然隱函數(shù)沒解出來雖然隱函數(shù)沒解出來,但它的導(dǎo)數(shù)求出來但它的導(dǎo)數(shù)求出來了了,當(dāng)然結(jié)果中仍含有變量當(dāng)然結(jié)果中仍含有變量y.允許在允許在

4、 的表達式中含有變量的表達式中含有變量y.y y 一般來說一般來說,隱函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)求導(dǎo), 求求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,只要記住只要記住x是自變量是自變量,將方程兩邊同時對將方程兩邊同時對x求導(dǎo)求導(dǎo),就得到一個含有導(dǎo)數(shù)就得到一個含有導(dǎo)數(shù)從中解出即可從中解出即可.于是于是y的函數(shù)便是的函數(shù)便是x的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù),的方程的方程.y是是x的函數(shù)的函數(shù),6例例2 2解解, 0sin yxey設(shè)設(shè).xy 求求法一法一利用利用隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法.將方程兩邊對將方程兩邊對x求導(dǎo)求導(dǎo),得得ycosxy ye 1yex xy 0 yyxxeyey cos解出解出,xy 得得法二法二 從原方程中解

5、出從原方程中解出,x得得 yeyxsinyeysin 7yeeyxyysinsin 先求先求x對對y的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),得得 yx)sin(cosyyey yeyysincos 再利用再利用反函數(shù)求導(dǎo)法則反函數(shù)求導(dǎo)法則,得得yxxy 1yyxeye coscossin)1(yeyeyy 8例例32222,lnarctandxyddxdyyxxy求求設(shè)設(shè) 解解求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊對方程兩邊對x)(11122222 yxyxxyxy222222222221yxyyxyxxyxyyxx yyxyxy yxyxdxdy 9 yxyxdxddxyd222)()1)()(1(yxyyxyxy 2)(22yxyy

6、x 3)()()(2yxyxyyxx 322)()(2yxyx 10例例4 4.)1 , 0(, 144處的值處的值在點在點求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解得得求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩邊對,x34xy 得得求求導(dǎo)導(dǎo),x212x.161 34y y yx y 0 y y yx yyy 21234y y 0 )1 , 0(41 將上面方程兩邊再對將上面方程兩邊再對y )1 , 0(010101014141414111.)1 , 0(, 144處的值處的值在點在點求求設(shè)設(shè)yyxyx 或解或解得得求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩邊對,x04433 yyyxyx解得解得xyxyy 3344得得求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊再對兩邊再對將

7、將,4433xxyxyy yy )4(3xy )12(2xy )4(3xy ;41 )1 ,0(y )1 ,0(.161 23)4(xy )112(2 yy12例例5 求證拋物線求證拋物線ayx 上任一點的切線上任一點的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和等于在兩坐標(biāo)軸上的截距之和等于a證證求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊對兩邊對方程方程xayx 02121 dxdyyxxydxdy 故曲線上任一點故曲線上任一點),(00yx處切線的斜率為處切線的斜率為0 xxdxdyk 00 xy 130 xxdxdyk 00 xy 切線方程為切線方程為)(0000 xxxyyy 000000 xyyxxyyx )(0000yxyx

8、 00yxa 100 yayxax故在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為故在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為)(0000yxayaxa aaa1414 解解 例例 例例 3 求橢圓191622yx在)323 , 2(處的切線方程 把橢圓方程的兩邊分別對把橢圓方程的兩邊分別對x求導(dǎo)求導(dǎo) 得得 所求的切線方程為所求的切線方程為 從而 yxy169 當(dāng) x2 時 43|2xyk ) 2(43323xy 即) 2(43323xy 即03843 yx 當(dāng) x2 時 323y 代入上式得所求切線的斜率 323y 代入上式得所求切線的斜率 0928yyx 15016)(2 xxyexyyy由方程由方程已知函數(shù)已知函數(shù) )0(y則

9、則解解ye確定確定,y yx 6y6 x2 0 yexyxy 662 y )6(yex )62(y )6(yey )62(yx 2)6(yex 00, 0 x00000 y000000000 y02 16.)()2()(xvxu冪指函數(shù)冪指函數(shù)3. 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法作為隱函數(shù)求導(dǎo)法的一個簡單應(yīng)用作為隱函數(shù)求導(dǎo)法的一個簡單應(yīng)用, 介紹介紹(1) 許多因子相乘除、乘方、開方的函數(shù)許多因子相乘除、乘方、開方的函數(shù).,)4(1)1(23xexxxy 如如對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法,它可以利用對數(shù)性質(zhì)使某些函數(shù)的它可以利用對數(shù)性質(zhì)使某些函數(shù)的求導(dǎo)變得更為簡單求導(dǎo)變得更為簡單.sinxxy 適用于適用于方方

10、 法法先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), -對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法 然后利用隱函數(shù)的然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù).17例例6 6解解 yln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對 xy1.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)142)1(3111 xxxy 等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx)1ln( xx )1ln(31 x)4ln(2 x 隱函數(shù)隱函數(shù)對這類型的題用取對數(shù)求導(dǎo)法很方便哦！18)(xu)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 兩邊對兩邊對x

11、求導(dǎo)得求導(dǎo)得)(xf :冪指函數(shù)冪指函數(shù) )(xf)(xv)0)( xu等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得)()()(xuxuxv )(xf )(ln)(xuxv 19 對數(shù)求導(dǎo)法常用來求一些對數(shù)求導(dǎo)法常用來求一些復(fù)雜的乘除式、根式、冪指函數(shù)復(fù)雜的乘除式、根式、冪指函數(shù)等的導(dǎo)數(shù)等的導(dǎo)數(shù). .20例例7 7解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得21例例8dxdyaxaxaxynanaa求求設(shè)設(shè))()(

12、)(2121 解解兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得)ln()ln()ln(ln2211nnaxaaxaaxay 兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得nnaxaaxaaxayy 221112211nnaxaaxaaxayy 1121112()() naannnnaaaxaxaxaxaxa22注注復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù))0)()()( xuxuyxv改寫成改寫成)(ln)(xuxvey .),0(sinyxxyx 求求如上例如上例),0(sin xxyx將將則則xxeylnsinxx ln(cos )sinxx 只要將只要將,lnsinxxey 改寫成改寫成冪指函數(shù)也可以利用對數(shù)性質(zhì)化為冪指函數(shù)也可以利用對數(shù)性質(zhì)化為

13、:再求導(dǎo)再求導(dǎo),23有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法很方便有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法很方便. .例如例如, ,)1,0,0( babaaxxbbaybax兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù) yln兩邊對兩邊對x求導(dǎo)求導(dǎo) yybalnxa xbxabaaxxbbaybaxln baxln lnlnxbalnlnaxb xb 24.,1. 12sinyxxyx 求求設(shè)設(shè).,. 2yyxxy 求求設(shè)設(shè)25.,1. 12sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)解答解答求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對x)1ln(lnln2sinxxyx )1ln(lnsin2xxx 212sinlncosxxxxxxyy )12sinln(cos2xxxxxx

14、yy 等式兩邊取對數(shù)等式兩邊取對數(shù)26.,. 2yyxxy 求求設(shè)設(shè)解答解答,lnlnyxxy ,lnlnyyxyxyxy .lnln22xxxyyyxyy 27二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) )()(tytx 若參數(shù)方程若參數(shù)方程如如 ,22tytx2xt 2ty42x xy21 t 稱此為由稱此為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)參數(shù)方程所確定的函數(shù).22 x 消參數(shù)困難或無法消參數(shù)消參數(shù)困難或無法消參數(shù) 如何求導(dǎo)如何求導(dǎo).消去參數(shù)消去參數(shù),間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定xy28,)(),(都都可可導(dǎo)導(dǎo)再再設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)tytx xyddtydd )()(tt t

15、xtyxydddddd 即即,)()(中中在方程在方程 tytx 具有具有設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(tx 所以所以,tyddxtdd ),(1xt 單調(diào)連續(xù)的單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)反函數(shù)由由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得得txdd1 , 0)( t 且且 y)(1x 29的星形線 323232ayx33cos (0,2 )sinxattyat .ddxy求oxytaa參數(shù)方程為 星形線是一種圓內(nèi)擺線例例9 94dd小大30)cos()sin(dd33tataxyttattasincos3cossin322ttan),2(znnt解解31例例1010解解txtyxydddddd ttco

16、s1sin taatacossin 2cos12sindd2 txy. 1 .方程方程處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax,2時時當(dāng)當(dāng) t 所求切線方程為所求切線方程為),12( ax. ay )12( axay)22( axy即即32,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( 容易漏掉容易漏掉)(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即3322()()tdyddydxd ydtdxdxdxd xdtdt記22( )()( )( )ttd yt

17、d xt或( )( )dydytdtdxdxtdt34如如: 33ddxy注注求二階導(dǎo)數(shù)不必死套公式求二階導(dǎo)數(shù)不必死套公式,只要理解其含義只要理解其含義,這樣對求更高階的導(dǎo)數(shù)也容易處理這樣對求更高階的導(dǎo)數(shù)也容易處理. 22ddddxyxtxydddd22 dtxtxyddddd22 xtdd 35例例1111解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 taytaxtxtyxydddddd )sin(cos3cossin322ttatta ttan )dd(dddd22xyxxy )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3s

18、ec4 36例例12.3222,11ydxydyxdxdytytx 證明證明設(shè)設(shè)證證dtdxdtdydxdy tt 121121tt 11yx )(22dxdydxddxyd )(yxdxd 2yyxy 2yyxy 322yyx 32y )2(22 yx37221()1ttd ytdxd xdt或33211112 12 12211(1)2 1tttttytt 38四、小結(jié)四、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則工具工具: :復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則鏈導(dǎo)法則;對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法對方程兩邊取對數(shù)對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo).參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)注意注意: :變量

19、變量y是是x的函數(shù)的函數(shù).將方程兩邊對將方程兩邊對x求導(dǎo)求導(dǎo).工具工具: :復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則鏈導(dǎo)法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則.39思考與練習(xí)思考與練習(xí)求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) .,xexy1.1. 設(shè)設(shè))(xyy 由方程由方程eyxey確定確定 , , , )0(y 求求. )0(y 2. 設(shè)設(shè)3. ,cossin11 23232yxxxxxy求設(shè) 4. 已知已知 ，求，求32ttxeye 22d ydx2222arccotln(),ydy d yxyxdxdx5.設(shè)求40思考與練習(xí)思考與練習(xí)求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) .,xexy解解: :xyddyxdd方

20、法方法1 11xe1yxe11方法方法2 2 等式兩邊同時對等式兩邊同時對 求導(dǎo)求導(dǎo)y1ddxyxeddxyyxddxe111.1. 設(shè)設(shè)41)(xyy 由方程由方程eyxey確定確定 , , , )0(y解解: : 方程兩邊對方程兩邊對 x x 求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得0yxyyey再求導(dǎo)再求導(dǎo), , 得得2yey yxey)(02 y當(dāng)當(dāng)0 x時時, , 1y故由故由 得得ey1)0(再代入再代入 得得21)0(ey 求求. )0(y 2.設(shè)設(shè)42. ,cossin11 23232yxxxxxy求設(shè)運用取對數(shù)求導(dǎo)法兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)：xxxxxycosln2sinln3)1ln()1ln(ln3

21、2ln2解解xyy132x11212xxxxsincos3xxcossin2 3.43xxxxxy23232cossin11 tan2cot3121132 2xxxxxx整理得44 4. 已知已知 ，求，求32ttxeye 22d ydx解：解：2(2 )2(3)3( 1)23tttttdydtedxdyeedxeedt22222232233222433(3)3( 1)9tttttttdedydded ydxdtdxdxdxddteeeeex452222211()1yxyxxyyxx5.方程兩邊對 求導(dǎo)得2222112(22),21y xyxyxy yyxxyxyyx 23(12)(2 )(2

22、 )(1 2)(2 )(32 )(2 )(2 )(6 )(2 )yxyxyyyxyxy xyxy xyxy 22arccotln()yxyx5.466、sincoscos,sinsin lncos ,xxuxvxlnuxx令則兩邊對x求導(dǎo)得sin1sincos lncossincos(cos lncossintan )cos(cos lncossintan )xxuxxxuxuuxxxxxxxxx 6sincoscossin,xxyxxy設(shè)求47cossin( sin lnsincos cot )xvxxxxx 同理得sincossincos(cos)(sin)cos(cos lncossin