2020與名師對話平面向量的概念及線性運算

1、第一節(jié)平面向量的概念及線性運算高考概覽： 1.平面向量的實際背景及基本概念： (1)了解向量的實際背景； (2)理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義； (3)理解向量的幾何表示； 2.向量的線性運算： (1)掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義； (2)掌握向量數(shù)乘的運算及其意義，理解兩個向量共線的含義； (3)了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義知識梳理 1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度 (或模 )(2)零向量：長度為0 的向量叫做零向量，其方向是任意的(3)單位向量：長度等于1 個單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量

2、平行向量又叫共線向量，任一組平行向量都可以移到同一條直線上規(guī)定： 0 與任一向量平行(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量2向量的線性運算13.兩個向量共線定理向量 b 與 a(a0)共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得 ba.辨識巧記 1兩個要點理解向量相關(guān)概念時，抓住兩個要點：大小、方向2兩種特殊向量(1)零向量的方向可任意2(2)任意方向上都有單位向量 雙基自測 1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)零向量與任意向量平行 ()(2)若 ab，bc，則 ac.()向量(3)AB與向量 CD是共線向量，則 A，B，C，

3、D 四點在一條直線上()(4)當兩個非零向量a，b 共線時，一定有 ba，反之成立() 答案 (1)(2)×(3)×(4)2若 A、B、C、D 是平面內(nèi)任意四點，給出下列式子：； AB CD BC DA AC BD BC AD AC BD DCAB.其中正確的有 ()A0 個 B1 個 C2 個 D3 個解析式的等價式是 ABBCDACD ，左邊 ABCB，右邊 DADC，不一定相等；式的等價式是ACBCADBD ， ACCBADDBAB成立；式的等價式是ACDCABBD，ADAD成立故選 C.答案 C3在 ABC 中，ABc，ACb.若點 D 滿足 BD2DC，則AD()

4、2152A. 3b3cB.3c3b2112C.3b3cD.3b3c解析 222如圖所示，可知 ADAB3(ACAB)c3(bc)3b1 3c.故選 A.3答案 A4(必修 4P92A 組 T11 改編 )在四邊形 ABCD 中，ABa2b，BC 4ab，CD 5a3b，其中 a，b 不共線，則四邊形 ABCD 為()A 平行四邊形B矩形C梯形D菱形解析 ADABBCCD(a2b)(4ab)(5a3b) 8a2b2BC，ADBC且|AD|2|BC|.四邊形 ABCD 為梯形故選 C.答案 C5(必修 4P78A 組 T5 改編 )已知三角形 ABC，用AB與AC表示 BC邊上的中線向量 AD，則

5、 AD_.解析11 1 ADABBD AB2BCAB2(AC AB)2(ABAC)答案 1 (ABAC)24考點一平面向量的基本概念【例 1】給出下列命題： 若 |a|b|，則 ab；若 A，B，C，是不共線的四點，則“ABCD 為平行四邊D DC”是“四邊形AB形”的充要條件；若 ab，bc，則 ac；“ ab”的充要條件是“ |a|b|且 ab”其中真命題的序號是 _ 解析 不正確，兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同正確，因為 ABDC，所以 |AB|DC|且ABDC，又因為 A，B，C，D 是不共線的四點，所以四邊形ABCD 為平行四邊形反之，若四邊形 ABCD 為平行四邊形，則

6、ABDC且|AB| |DC|，因此，ABDC.故“ ”是 “四邊形 ABCD 為平行四邊形 ”的充要條件ABDC正確， 因為 ab，所以 a，b 的長度相等且方向相同， 又 bc，所以 b，c 的長度相等且方向相同， 所以 a，c 的長度相等且方向相同，故 ac.不正確， 當 ab 且方向相反時，即使 |a|b|，也不能得到 ab，故“|a|b|且 ab”不是 “ab”的充要條件，而是必要不充分條件綜上所述，真命題的序號是.答案 向量概念的注意點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性5(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān)(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量a

7、a(4)非零向量 a 與|a|的關(guān)系是： |a|是 a 方向上的單位向量對點訓練 1若 mn，nk，則向量 m 與向量 k()A 共線B不共線C共線且同向D不一定共線解析 若 n0，則 m 與 k 共線；若 n0，則 m 與 k 不一定共線故選 D.答案 D2給出下列命題：零向量的長度為零，方向是任意的；若，都是單位向量，則 ；向量a與BA相等則所有真命題的a bbAB序號是()A BCD 解析 根據(jù)零向量的定義可知正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等，故錯誤；向量 與 互為相反向量，故錯誤故選ABBAA.答案A考點二平面向量的線性運算【例

8、 2】(1)(2018 全·國卷 )在 ABC 中， AD 為 BC 邊上的中)線， E 為 AD 的中點，則 EB(3 11 3A. 4AB4ACB.4AB4AC3 11 3C.4AB4ACD.4AB4AC6(2)(2019 河·北保定定州中學期中 )如圖，正方形 ABCD 中， M 是的中點，若BCAMBD，則 ()AC45A.3B.3C.15D281 解析 (1)E 是 AD 的中點， EA 2AD，EBEAAB1 ，又知 為的中點， 1 ，因此1 2ADABDBCAD2(AB AC)EB4(AB31AC)AB4AB4AC，故選 A.(2)ACABAD，71， AM

9、AB BM AB 2AD BD AD AB. 1 AB ADACAMBD22AD，1，41 解得 3，3.21，53，故選 B. (AD AB) ( )AB 答案 (1)A(2)B向量的線性運算規(guī)律(1)在向量線性運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何性質(zhì)， 把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解(2)結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，利用向量加、減法的運算法則進行向量的分解與合成運算，且要有目標意識，逐步向已知向量轉(zhuǎn)化，最終達到目標對點訓練 1(2019·云南曲靖一中月考 )在 ABC 中，點 D，

10、E 分別在邊 BC， AC 上，且 BD2DC，CE3EA，若 ABa，ACb，則 DE()15113A. 3a12bB.3a12b815113C3a12bD 3a12b解析 DEDCCE1 3 3BC4CA1 3 3(ACAB) 4AC1 515 3AB12AC3a12b，故選 C.答案 C2在?ABCD 中，ABa，ADb，AN3NC，M 為 BC 的中點，)則MN(1111A 4a4bB2a2b133Ca2bD4a4b解析 由AN3NC得 4AN3AC3(ab)， 1又 AMa2b，所以 3 MN AN AM 4(a b)111a2b 4a4b.故選 A.答案A考點三 共線向量定理及應(yīng)用

11、【例 3】 設(shè)兩個非零向量 a 與 b 不共線9(1)若ABab，BC2a8b，CD3(ab)求證： A，B，D 三點共線；(2)試確定實數(shù) k，使 kab 和 akb 共線思路引導(dǎo)求出 (1)BD 證明 BDAB(2) kabakb 由向量相等得 k，的方程組 求出 k 解(1)證明：ABab，BC2a8b，CD3(ab) BDBCCD2a8b 3(ab)5(ab)5AB.AB，BD共線，又它們有公共點， A，B，D 三點共線(2)kab 與 akb 共線，存在實數(shù) ，使 kab(akb)，即 (k)a(k1)b.又 a，b 是兩不共線的非零向量，kk10.k210，k±1.(1)

12、向量 b 與非零向量 a 共線的充要條件是存在唯一實數(shù)，使 ba.要注意通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運用(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系， 當兩向量共線且有公共點時， 才能得出三點共線對點訓練 ， ， ，則1已知向量 ABa3bBC5a3bCD3a3b()A A，B，C 三點共線BA，B，D 三點共線10CA，C， D 三點共線DB，C，D 三點共線解析 BDBCCD2a6b2AB，BD與AB共線，由于 BD與AB有公共點 B，因此 A，B，D 三點共線，故選 B.答案 B1 2.如圖所示，在 ABC

13、 中， AN3AC，P 是 BN 上的一點，若 AP2mAB11AC，則實數(shù) m 的值為 _解析 1 AN3AC2 APmAB11AC 6 mAB11AN6B、P、N 三點共線，m111.5m11.5答案 11課后跟蹤訓練 (二十七 )基礎(chǔ)鞏固練一、選擇題1給出下列命題：11向量 的長度與向量 的長度相等；ABBA向量 a 與 b 平行，則 a 與 b 的方向相同或相反； |a|b|ab|? a 與 b 方向相同；若非零向量 a 與非零向量 b 的方向相同或相反，則ab 與 a，b 之一的方向相同其中敘述錯誤的命題的個數(shù)為()A 1B2C3D4 解析 對于：當 a0 時，不成立；對于：當 a，

14、b 之一為零向量時，不成立；對于：當 ab0 時， ab 的方向是任意的，它可以與 a，b的方向都不相同故選 C.答案C2在矩形 ABCD 中，AB2AD，M，N 分別為 AB 與 CD 的中點，則在以 A，B，C，D，M ，N 為起點與終點的所有向量中，相等向量的對數(shù)為 ()A 9 B11 C18 D 24解析 由題意可得，ADMNBC，有 3對相等向量；AMMBDNNC，有 6 對相等向量，ANMC，有 1 對相等向量； BNMD，有 1 對相等向量， AB DC，有 1 對相等向量，總共 12 對同理，與它們的方向相反的相等向量也有12 對，總共 24 對，故選 D.答案 D在等腰梯形中

15、，3ABCD 2CD，M 為 BC 的中點，則 AMAB()1 1 3 1 A. 2AB2ADB.4AB2AD1231 1 3 C.4AB4ADD.2AB4AD解析 是 BC 的中點，因為AB 2CD，所以 AB2DC.又 M1 11 1 3所以 AM2(AB AC)2(ABADDC)2(ABAD2AB)4AB1 AD，故選 B.2答案 B4在平行四邊形 ABCD 中， AC 與 BD 交于點 O，E 是線段 OD的中點， AE 的延長線與CD 交于點 F，若ACa，BDb，則AF等于()1121A. 4a2bB.3a3b1112C.2a4bD.3a3b解析 11如圖所示， AFADDF，由題

16、意知， AD2a2b，AB1112a2b，DEBE13DFAB，所以 DF3AB.所以 AFADDF111 11212a2b3 2a2b 3a3b.故選 B.答案 B·河北三市聯(lián)考 )已知 1，e2 是不共線向量， ame12e2，5 (2019e1e2，且 mn0，若 ab，則m等于 ()bnen11A2B.2C 2 D213nm， 解析 ab，ab，即 me12e2(ne1e2)，則2，m故 n 2.故選 C.答案C二、填空題6(2019 ·河北邯鄲模擬 )設(shè)向量 a，b 不平行，向量 ab 與 a2b 平行，則實數(shù) _. 解析 由于 ab 與 a2b 平行，所以存在R

17、，使得 ab(a2b)，即 ()a(12)b0，因為向量 a，b 不平行，所以10,120，解得 2.答案 127(2018 ·四川成都期中 )在 ABC 中，CAa，CBb，M 是 CB的中點，N 是 AB 的中點，且 CN、AM 交于點P，則AP_(用a，b 表示 )解析 如圖所示， APACCP2 CA3CN21 CA3×2(CACB)1 1 CA3CA3CB142 1 3CA3CB2 1 3a3b.答案 213a3b 1 8在 ABC 中， AD2DB，CD3CACB，則 _.12解析 A、D、B 共線，31，3.答案 23三、解答題19如圖，在直角梯形ABCD 中

18、，DC4AB，BE2EC，且AE3s的值rABsAD，求 2r 解 2 解法一：根據(jù)圖形，由題意可得 AEABBEAB3BC21212 1 1 AB3(BAADDC)3AB3(ADDC)3AB3(AD4AB)2AB 2 3AD. AErABsAD，12r2，s3， 2r3s3.1 解法二：如圖，延長AD，BC 交于點 P，則由 DC4AB得 DC15AB，且 AB4DC，4又 BE2EC，所以 E 為 PB 的中點，且 AP3AD.于是， 1 1 4 12 AE 2(AB AP) 2(AB 3AD) 2AB 3AD.AErABsAD，12r2，s3， 2r3s3.10設(shè)1，e2 是兩個不共線向

19、量，已知AB2e18e2，CB e1e3e2，CD2e1e2.(1)求證： A，B，D 三點共線；(2)若BF3e1ke2，且 B，D，F(xiàn) 三點共線，求 k 的值 解 e2)(e1 3e2)(1)證明：由已知得 BDCDCB(2e1e14e2.因為，所以AB2e18e2AB2BD.又有公共點 B，所以 A，B，D 三點共線由可知，且，(2)(1)BDe14e2BF3e1ke2由 B，D，F(xiàn) 三點共線得 BF BD，即 3e1ke2e14e2，16得3，解得 k12.k 4，能力提升練·遼寧沈陽二中月考已知和點滿足)ABCMMAMB11 (2018)MC0.若存在實數(shù) m 使得 ABA

20、CmAM成立，則 m(A 2 B3 C4 D5解析 由MAMBMC0 知，點 M 為ABC 的重心，設(shè) D 為22 1 1 邊 BC 的中點，則AM3AD3×2(ABAC)3(ABAC)，所以有 ABAC3AM，故 m3.故選 B.答案 B·山東濰坊一模若是內(nèi)一點，且滿足12)MABCBABC(2019)4BM，則 ABM 與 ACM 的面積之比為 (111A. 2B. 3C.4D2解析 設(shè) AC 的中點為 D，則BABC2BD，于是 2BD4BM，SABMSABMBM 1從而BD2BM，即 M 為 BD的中點，于是2MD2.SACM2SAMD故選 A.答案 A1，e2 是平面內(nèi)兩個不共線的向量，13(2019 ·江西南昌調(diào)研 )設(shè)eAB(a1)e1e2，ACbe12e2(a>0，b>0)，若 A，B，C 三點共線，則 ab 的最大值是 _ 解析 若 A，B，C 三點共線，則存在一個實數(shù)，使得 ABAC，(a1)e1e2(be12e2)，17a1b，即b22a.1 2， 2a1212a)2a2 ，aba(22a2211當 a2，b1時