第四章級(jí)數(shù)7849038

1、1第四章 級(jí)數(shù) 本章主要講述復(fù)數(shù)序列，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，復(fù)平面上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)，羅朗級(jí)數(shù)。為何學(xué)習(xí)這一章？為何學(xué)習(xí)這一章？原因原因： （1）自然規(guī)律數(shù)理方程積分方程，偏微分方程，微分積分方程。 解方程求解，往往比較復(fù)雜，如果將函數(shù) 展開(kāi)為級(jí)數(shù)，如 的形式則微積分變得簡(jiǎn)單了，而邊界條件往往限制了求和的項(xiàng)數(shù)，這樣可直接得到解當(dāng)然也可取前幾項(xiàng)做為方程的近似結(jié)果這樣復(fù)雜的函數(shù)的微積分變成了簡(jiǎn)單函數(shù)xn 的微積分了（2）有些函數(shù)往往比較復(fù)雜，這有將其分解為簡(jiǎn)單函數(shù)的級(jí)數(shù)和，便于對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行直觀的研究。0nnna x24.1 4.1 收斂序列和收斂級(jí)數(shù)收斂序列和收斂級(jí)數(shù)： 定義：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)每一項(xiàng) wk=u

2、k+ivk復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題4.1.1 收斂序列 若對(duì)任意給定的0，總存在正整數(shù)n，當(dāng)nn時(shí)， 成立則稱復(fù)數(shù)序列 收斂于復(fù)數(shù)z，記為 也稱z為zn在 時(shí)候的極限否則稱 是發(fā)散的。第四章 級(jí)數(shù)121kkkwwww111kkkkkkwuivnzz nz nzn nzlimnnzz3第四章 級(jí)數(shù)4.1.2 收斂級(jí)數(shù) 稱為級(jí)數(shù)和 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件【一一】柯西收斂判據(jù)柯西收斂判據(jù)對(duì)于任一給定的小正整數(shù)0，必有n存在，使得當(dāng)nn時(shí)，式中p為任意正整數(shù)則稱此級(jí)數(shù)是收斂的，即【二二】絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的模組成的級(jí)數(shù)收斂 叫絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 原因原因： 1nnnn

3、sw1limnpnn nw1nnnnsw2211nnnnnwuv1212zzzz4第四章 級(jí)數(shù)【三三】函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 其余各項(xiàng)都是z的函數(shù)如果在某個(gè)區(qū)域b上的所有點(diǎn)，級(jí)數(shù)都收斂 叫在區(qū)域區(qū)域b b上收斂上收斂表述：如果n跟z無(wú)關(guān)，就把級(jí)數(shù)叫做在在b b上一致收斂上一致收斂如 收斂叫區(qū)域區(qū)域b b上絕對(duì)一致收斂上絕對(duì)一致收斂 121( )( )( )( )kkkw zw zw zw z1lim( ), ( )npnn nw znn zzb1lim( )nnw zb54.2 4.2 冪冪級(jí)數(shù)數(shù)：【概念概念】：如果級(jí)數(shù)各項(xiàng)都是冪級(jí)數(shù)，即這樣的級(jí)數(shù)叫做以z0為中心的冪級(jí)數(shù)【收斂問(wèn)題收斂問(wèn)題】 （

4、1 1）達(dá)朗貝爾判別法）達(dá)朗貝爾判別法則 收斂即（1）式絕對(duì)收斂引入記號(hào)就可說(shuō)如 則冪級(jí)數(shù)（1）絕對(duì)收斂第四章 級(jí)數(shù)000(),(1)kkkkazzz a都是復(fù)常數(shù)0zzr11010k0limlim1kkkkkkkazzazzaazz00()kknazz1limkkkara6第四章 級(jí)數(shù) (2)(2)收斂半徑收斂半徑 由上式可知，以z0為圓心，r為半徑做一個(gè)圓,則冪級(jí)數(shù)在圓內(nèi)部絕對(duì)收斂，圓外發(fā)散,這個(gè)圓叫做冪級(jí)數(shù)的收斂圓，r就叫收斂半徑至于收斂圓上（r1）各點(diǎn)，冪級(jí)數(shù)是否收斂，需要根據(jù)具體情況判斷。（3 3）根式判別法）根式判別法 如則（1）式絕對(duì)收斂此時(shí) 結(jié)論：冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)部不僅絕對(duì)而且

5、一致收斂證明：r1是圓內(nèi)任一點(diǎn)0lim1kkkka zz1limkkkra11111111limlim1kkkkkkkkararra rarrz07第四章 級(jí)數(shù)【三三】?jī)缂?jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)“和函數(shù)和函數(shù)”的性質(zhì)的性質(zhì)定理：冪級(jí)數(shù) 的“和函數(shù)”f(z)在它的收斂圓內(nèi)是解析的，且收斂圓內(nèi)可以逐級(jí)求導(dǎo)，逐次積分證明： 在收斂圓內(nèi)任取一點(diǎn) ，取一個(gè)以z0為圓心的圓，半徑為r1，稍小于r用有界函數(shù) 遍乘上式，z為邊界上的點(diǎn)00()nnnazz00( )()nnnf zazz112 i z201020111()()( )()22aa zzazzf zi zi zzzr1z0 r8第四章 級(jí)數(shù)這級(jí)數(shù)仍在cr1上一致

6、收斂，可以沿cr1 逐項(xiàng)積分應(yīng)用柯西公式得到即冪級(jí)數(shù)的和可以表示為連續(xù)函數(shù)的回路積分，按照柯西公式導(dǎo)數(shù)法則，必可以任意階求導(dǎo)。因?yàn)槭諗繄A的內(nèi)部是單通區(qū)域，所以冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分。11201020()()111( )()22rrccaa zzazzf z dzdzdzdzizizzz12010200011( )( )212()()2()rcnnnf z dzfizaiazaziazr1z0 r9第四章 級(jí)數(shù) 4.3 泰勒級(jí)數(shù) 任意階導(dǎo)數(shù)都存在的實(shí)變函數(shù)可以展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，既然解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)都存在，自然可以期望把解析函數(shù)展開(kāi)為復(fù)變項(xiàng)的泰勒級(jí)數(shù)定理定理： 設(shè)f(z)在以z0為圓心的圓

7、cr內(nèi)解析，則對(duì)圓內(nèi)任意z點(diǎn)，函數(shù)可以展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)其中 cr1為圓cr內(nèi)包含z且與cr同心的圓（目的是為了避開(kāi)級(jí)數(shù)在cr上邊界發(fā)散的問(wèn)題）00( )()nnnf zazz1( )0101( )()2!rnnncffzadinzz0z10第四章 級(jí)數(shù)證明：證明： 根據(jù)柯西公式，對(duì)圓內(nèi)任一點(diǎn)z，有 對(duì)上式利用導(dǎo)數(shù)形式的柯西公式，得到 11( )( )2crff zdiz00100000000001111()()()()()()()(1)()nnnnnzzzzzzzzzzzzzzz101001( )( )()2rnncnff zzzdiz( )( )00010()!( )(),2()!nnnnlfz

8、nffzdazzriznz0z11第四章 級(jí)數(shù)定理：定理：若f(z)在 |z-z0|r內(nèi)解析，那么它在該圓內(nèi)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)對(duì)以z0為中心是唯一的。應(yīng)用應(yīng)用：在同一點(diǎn)展開(kāi)的兩個(gè)泰勒級(jí)數(shù)相等，則可以逐項(xiàng)比較系數(shù)由此可見(jiàn)，泰勒級(jí)數(shù)跟解析函數(shù)有著不可分的聯(lián)系證明：假定有別的的展開(kāi)方式 00( )()nnnf zczz20102000( )10( )0( )0( )()()()( )!(1)2()()!(1,2,)()!nnnnnnnf zcczzczzf zcfzn cn nczzfzn cnfzcn是唯一的z0z12第四章 級(jí)數(shù)例子： 求函數(shù) 以z00為中心的展開(kāi)式可直接利用公式由于 可以直接得到結(jié)

9、果注意注意：一個(gè)解析函數(shù)展開(kāi)為級(jí)數(shù)形式，一定要注明成立的條件，即解析函數(shù)只有在此收斂圓內(nèi)才與展開(kāi)級(jí)數(shù)等價(jià)例子： 記住幾個(gè)常見(jiàn)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式，便于計(jì)算 246211(1)1zzzzz 0021200101,1!1sin( 1),cos( 1),(21)!(2 )!ln(1)( 1),1kzkkkkkkkkkkkkzezzzkzzzzzzzkkzzzk ( )zf ze000()( )()!nnnfzf zzzn0( )0()1znfze13第四章 級(jí)數(shù) 可以利用常見(jiàn)的公式進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi) 例子： ?。▃1）冪展開(kāi)，即展開(kāi)中心為1利用公式( )2zf zz0022( )11223(1)212111(

10、 1)133313211()1,1333nnnnnnzf zzzzzzzz 01,11kkzzz14第四章 級(jí)數(shù) 4.4 4.4 羅朗級(jí)數(shù)羅朗級(jí)數(shù) 當(dāng)所研究的區(qū)域上存在函數(shù)的奇點(diǎn)時(shí)，就不再能夠?qū)⒑瘮?shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)這就需要考慮在除去奇點(diǎn)的環(huán)域上展開(kāi)即本節(jié)所要討論的洛朗級(jí)數(shù)【1 1】概念概念：什么是洛朗級(jí)數(shù)先考慮正冪項(xiàng)部分，它必有收斂半徑r1，即|z-z0|r1再看負(fù)冪項(xiàng)部分引入一個(gè)新的變量則負(fù)冪項(xiàng)部分變?yōu)樯鲜绞諗恳脖仨氂袀€(gè)收斂圓 如果 r2r1則在 r2|z-z0|r1內(nèi)絕對(duì)且一致收斂。 0( )()nnnf zczz01zz23123aaa01,22zzrr15第四章 級(jí)數(shù)其和為一解析函數(shù)此時(shí)

11、r2|z-z0|r1則，級(jí)數(shù)處處發(fā)散，下面討論環(huán)域上的級(jí)數(shù)展開(kāi)【2 2】解析函數(shù)的羅朗展開(kāi)解析函數(shù)的羅朗展開(kāi) 定理：設(shè)f(z)在環(huán)域的內(nèi)部單值解析，則對(duì)環(huán)域上任意一點(diǎn)z其中積分路徑l為位于環(huán)域內(nèi)按逆時(shí)針繞內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。 0( )()nnnf zczz101( )2()nnlfcdizz0clr1r216第四章 級(jí)數(shù)證明：證明： 應(yīng)用復(fù)通區(qū)域上的柯西公式，有 對(duì)cr1的積分可以直接利用以前的結(jié)果對(duì)于cr2上的積分 211( )1( )( )22crcrfff zddiziz1100011( )(),121( )2rrnncnnncfdazzzzrizfadiz220010002200001( )1( )2()2()()1( )()1()( )()2()2crcrnnncrcrnnffddizizzzfzdzzfzdizzzzi z0zz0r1r217第四章 級(jí)數(shù)令k=-n-1，則把兩部分合并起來(lái)c為環(huán)域內(nèi)沿逆時(shí)針?lè)较騼?nèi)圓周的任一閉合曲線，這個(gè)結(jié)果稱函數(shù)在環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)(1)00221001(1)021( )1()( )()2()2(),21( )()2kkcrcrkkkkkkcrfdzzfzdiziazzzzrafzdi 00( )(),21nnnf zczzrzzr101( )2()nnlfcdizz0zz0r1r218第四章 級(jí)數(shù)