高三文科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解三角形知識(shí)要點(diǎn)

1、解三角形學(xué)問正弦定理解三角形應(yīng)用舉例余弦定理一公式與結(jié)論1角與角關(guān)系：a+b+c = ；2邊與邊關(guān)系：（ 1）大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角（ 2）兩邊之和大于第三邊，兩邊只差小于第三邊解三角形問題可能顯現(xiàn)一解、兩解或無解的情形，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來幫忙懂得3正弦定理：正弦定理：a sin ab sin bc sin c2 r （其中 r 是三角形外接圓的半徑）變形：角化邊a2r sin ab2r sin bc2 r sin c邊化角sin aasin b2rbcsin c2 r2 r a : b : csina : sin b : sin c已知兩角和一邊；解三角形已知兩邊

2、和其中一邊的對(duì)角如： abc 中，a cos ab cos b ，就 abc 是等腰三角形或直角三角形 b cos aa cos b ，就 abc 是等腰三角形；4. 余弦定理：a2b 2c22bc cos acos a222bca2bcb2a 2c22ac cos bcos ba 2c2b 22ac222cab2ab cos ccosca 2b2c22ab留意整體代入，如：a 2c2b 2ac1cos b2（ 1）如 c= 90 ，就 cosc，這時(shí) c2a2b2由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例（ 2）余弦定理及其推論的基本作用為：已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就

3、可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角五.三角形面積 5面積公式1. s abc1 absin c21 bc sin a 21 ac sin b 22. s abc1 a2b cr,其中 r 是三角形內(nèi)切圓半徑.注:由面積公式求角時(shí)留意解的個(gè)數(shù)6 相關(guān)的結(jié)論：1角的變換在 abc 中， a+b+c= ，所以 sina+b=sinc ；cosa+b= cosc； tana+b= tanc；sin ab 2cos c , cos ab 22sin c ；2. 2.三角形的外形如 a 2b 2c 2 時(shí),角 c 是銳角如 a 2b 2c 2 時(shí),角 c 是直角22如 abc 時(shí),角 c

4、是鈍角2（ 3）在 abc 中， a ， b， c 成等差數(shù)列的充分必要條件是b=60 °；（ 4）三角學(xué)中的射影定理：在abc中， bacos cccos a ，（ 5）兩內(nèi)角與其正弦值：在abc中， absin asin b ，二.應(yīng)用題 1.步驟：由已知條件作出圖形，在圖上標(biāo)出已知量和要求的量；將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；答2.留意方位角；俯角；仰角；張角；張角等如：方位角是指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的角；北俯角張角方位角三、思維總結(jié)1解斜三角形的常規(guī)思維方法是：（ 1）已知兩角和一邊（如a、b、c），由 a+b+c = 求 c，由正弦定理求a、b；（ 2）已知兩邊和夾角（如a

5、、b、c），應(yīng)用余弦定理求c 邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用a+b+c = ，求另一角；（ 3）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、 a），應(yīng)用正弦定理求b， 由 a+b+c = 求 c，再由正弦定理或余弦定理求c 邊，要留意解可能有多種情形；（ 4）已知三邊a、b、c，應(yīng)余弦定理求a、b，再由 a+b+c = ，求角 c；2三角形內(nèi)切圓的半徑：r2 sabc，特殊地，abc斜r直；23三角學(xué)中的射影定理：在abc中， bacos cccos a ，4兩內(nèi)角與其正弦值：在abc中， absin asin b ，5解三角形問題可能顯現(xiàn)一解、兩解或無解的情形，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大

6、邊對(duì)大角定理及幾何作圖來幫忙懂得”；解三角形（一）在abc 中，已知以下條件，解三角形：（ 1） c10, a45 , c30 , 求 a ；（兩角一邊）（ 2） a23, b6, a45 ，求 b ；（兩邊一對(duì)角）（ 3） a2,b6, a45 ，求 b ；（兩邊一對(duì)角）（ 4） a（ 5） a2,b 10,b6, a20, a13560，求 b ；（兩邊一對(duì)角），求 b ；（兩邊一對(duì)角）（ 6） a2, b2, a45 ，求 b ；（兩邊一對(duì)角）（ 7） a7, b3,c5 ，求 a ；（三邊）（ 8） b（二）3,c8, a60 ，求 a ；（兩邊一夾角）1在 abc 中，已知 c10

7、， a=45 ， c=30 ，解此三角形 （兩角一邊）2.在abc 中，已知b45 ， c60 ， a12 cm，解三角形 （兩角一邊）3.已知 abc 中， ab 6， a 30°， b 120，解此三角形 （兩角一邊）4在 abc 中，已知b3 ，c 1， b 60°，求 a 和 a， c（兩邊一對(duì)角）5.在abc中， c6, a45 , a2, 求b和b, c（兩邊一對(duì)角）6. 在 abc 中，已知 a3 ， b2 ， b45 ，求a,c 和 c （兩邊一對(duì)角） 三21.在abc 中，如 a22bcbc ，求角 a2. 在 abc 中，已知三邊長(zhǎng)a3 ， b4 ， c

8、37，求三角形的最大內(nèi)角3. 在abc 中， a60， b1 ， c2 ，求sin aa bc sin bsin c的值4、在 abc 中， a、b、c 相對(duì)應(yīng)的邊分別是a、b、c，就 acosb bcosa .5. 在 abc 中， sina sinb sinc 2 34，就 abc 的余弦值為 . 題型 6：正、余弦定理判定三角形外形1.在 abc 中，如 2cosbsina sinc，就 abc 的外形肯定是（）a. 等腰直角三角形b.直角三角形c.等腰三角形d. 等邊三角形2. 已知 abc中,acosb=bcosa, 就 abc為13. 判定c 的外形：（ 1）a cos ab co

9、s b ；（ 2） ab5, bc6, ac8 ；解三角形基礎(chǔ)訓(xùn)練11. 在 abc中,a=1,b=3 ,a=30 °, 就 b 等于 a.60 °b.60°或 120° c.30 °或 150°d.120 °2. 在 abc中,a=60 ° ,c=45 °,b=2, 就此三角形的最小邊長(zhǎng)為a.2b.23 -2c.3 -1d.22 -13. 在c 中，a : b : c1: 2 : 3 ,就 a : b : c等于（）a . 1: 2 : 3b. 3: 2 :1c. 1:3 : 2d. 2:3 :14已知

10、在c 中，sin a sin b sin c 3 5 7，那么這個(gè)三角形的最大角是 a 135°b 90°c 120°d 150°5. 在c 中， a30 , a3 ，就c 的外接圓半徑為a . 3b . 3c. 33d. 626. 在c 中， a 2b2c2bc ，就 a 等于 a . 60b. 45c. 120d . 307. 在 abc中, 如sin aacos b=b, 就 b 的值為a.30 °b.45°c.60°d.90°8. abc 中，如3a2bsin a ，就 b 為（）a. b.36c.或 2d

11、.或 533669. abc 的三邊滿意ab c abc3ab ，就c 等于（）a.15b.30c.45d.6010. abc 中，“ sinasinb ”是“ a=b ”的（）條件a. 充分不必要b. 必要不充分c.充要d.既不充分也不必要11. abc 中，sin 2 asin 2 bsinb sin csin 2 c，就 a 等于（）a.30b.60c.120d.15012. abc 中， b30， b503 ， c150 ，就這個(gè)三角形是（）a. 等邊三角形b.rt 三角形c. 等腰三角形d.等腰或直角三角形13. 在abc 中，a sin ab sin bcsin c 1k ，就 k

12、 =（）a. 2rb. rc. 4rd.r2014、在 abc 中，如 b=30， ab23 ，ac=2，就 abc 的面積為 ；解三角形基礎(chǔ)訓(xùn)練21己知三角形三邊之比為5 7 8，就最大角與最小角的和為 a 90°b 120°c 135°d 150°2在 abc 中，以下等式正確選項(xiàng) a a b a bb a b sin asin bca b sin b sin ad asin a bsin b 3如三角形的三個(gè)內(nèi)角之比為1 2 3，就它們所對(duì)的邊長(zhǎng)之比為 a 1 2 3b 13 2c1 4 9d 12 34 在 abc 中，如sinasinb ，就

13、a 與 b 的大小關(guān)系為 a. abb. abc. a bd.大小關(guān)系不定5. 在abc 中， a2, b3, c60 ，就s abc（） .a.23b.32c.3d.3 26在 abc 中，如 a2 b2 c2 0，就 abc 是 a 銳角三角形b 直角三角形c鈍角三角形d 外形不能確定 7在 abc 中，如 b3 ， c 3， b 30°，就 a a 3b 23c3 或 23d 28 已知 abc 中， ab 6， a 30°， b120°，就 abc 的面積為a 9b 18c 93d 1839某人朝正東方向走了x km 后，向左轉(zhuǎn)150°，然后朝此

14、方向走了3 km，結(jié)果他離動(dòng)身點(diǎn)恰好3 km，那么 x 的值是 a 3b 23c3 或 23d 3 10有一電視塔，在其東南方a 處看塔頂時(shí)仰角為45°，在其西南方b 處看塔頂時(shí)仰角為 60°，如 ab 120 米，就電視塔的高度為 a 603 米b 60 米c 603 米或 60 米d 30 米解三角形基礎(chǔ)訓(xùn)練31. 在abc 中，肯定成立的等式是（）a. a sin ab sin bb. a cos ab cos bc. a sin bb sin ad. a cos bb cos a2在 abc 中，以下式子不正確選項(xiàng)a a 2b 2c22bc cos ab a : b

15、 : c1sina : sin b : sin cc sabcabbc2sina d b2 r sin b3. 在abc 中，如cos a cos bb ，就abc 是（）aa. 等腰三角形b. 等邊三角形c.直角三角形d.等腰或直角三角形4已知 abc中， a 4， b43 ， a30°，就 b等于 a 30°b 30°或 150°c 60°d 60°或 120°5. 在 abc 中， a32 ， b23 ，cosc1 ，就3s abc 6在 abc 中， a150 ，就3sin acosb c的值為7. 在abc 中，s

16、in a2 cos b sin c，就三角形為；8. 如 s122bc43a 2 ，就 a=；9在 abc 中， a 60°，a 3，就sinabasin bcsin c b c ，且 sin c22210在 abc 中，如 a3 ，就 c211在 abc 中，如 sin asin b sin c 23 4，就最大角的余弦值12、在 abc中，角a 、b、c 所對(duì)的邊分別是 a 、b 、 c ，如三角形的面積s1 a 2b 24c2 ，就 c 的度數(shù)是 ；13、已知 a、b、c 分別是 abc中角 a、b、c 的對(duì)邊，且a 2c2b 2ac （）求角b 的大??；（）如 c3a ，求

17、tan a 的值解三角形基礎(chǔ)訓(xùn)練41. 在abc 中， a45 , b60 , a10 , 就 b（）a. 52b.102c.1063d.562. 在abc 中, a1,b2,a30 , 就 b（）a45b45 或 135c135d無解3. 在abc 中，如 a2b2c23bc,就a 為（）a75b120c150d304在abc 中， a6 ， b30， c120，就abc 的面積是（）a 9b 18c 93d 1835在abc 中，如 b2a sinb ，就角 a 等于（）a 30, 或60b 45 , 或60c 120 , 或60d 30 , 或1506在 abc中，如sin a2 cos

18、b cosc,就 tan btan c ；7在 abc中，如 a9,b10,c12, 就 abc的外形是 ；8. 在c 中，已知 b45 ， c60 , c1 ,就最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度為.9. 在c 中，如 ab ，就 sin asin b 填不等號(hào) 10某船開頭觀察燈塔在南偏東30°方向，后來船沿南偏東60°的方向航行30 nmile后觀察燈塔在正西方向，就這時(shí)船與燈塔的距離是.11在塔底的水平面上某點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，由此點(diǎn)向塔沿直線行走30 米，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫? ，再向塔前進(jìn)103 米，又測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫? ，就塔高是米.12. 在 abc中, 已知 tana=(1) 角

19、 c 的大小 ;(2) abc最短邊的長(zhǎng) .1,tanb=21, 且最長(zhǎng)邊為1, 求:3作業(yè)1. 在abc 中，如 cos ab ，就abc 是（） .cos baa 等腰三角形b等腰三角形或直角三角形 c直角三角形d等邊三角形2. 已知 abc 中， a bc 1 1 4， 就 a b c 等于（） .a 1 1 4b 1 1 2c 1 13 d 2 233. 在 abc 中，如 sin asin b ，就 a 與 b 的大小關(guān)系為（） .a. abb.abc.a bd.a 、 b 的大小關(guān)系不能確定4. 已知abc 中， sin a : sin b : sin c1: 2 : 3 ，就a : b : c =2. 已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、5、7，就最大角為（） . a 60b 75c 120d 1503