高一數學精品教案等差數列

1、學習必備歡迎下載高一數學精品教案（二）等差數列一、學問點提要：1等差數列定義： an+1 an=d（常數），即從第 2 項起， 每一項與它前一項的差等于同一常數， 叫等差數列，此常數用d 表示，稱為公差.當 d=0 時，數列為常數列.2通項公式： an=a1+n 1d3前 n 項的和： snn a12an na1n n21d d0snna1（ d=0 ）4等差中項：如a， a ， b 成等差數列，就a 叫 a,b 的等差中項，且5等差數列的性質：（ 1）數列 a n 成等差數列，就 an=am+n mdm,n n*如 m+n=p+q ，就 am+an=ap +aqm,n,p,q n*特殊地：如

2、2t=p+q，就 2at=ap +aq（ 2）證明數列 a n 成等差數列的方法： 定義法： an+1 an=d（常數）中項法： 2an+1=an+an+2.二、重點難點突破：aab 21由等差數列的通項公式an=a1+n 1d 可知an 是 n 的一次函數，所以a n 成等差數列ananb .2由等差數列的前n 項的和公式snna1n n21 可知 a n成等差數列san 2bn.n3等差數列的前n 項的和 sn 仍有如下特點：（ 1）前 m 項的和記為s1，次 m 項的和記為s2，再 m 項的和記為s3就數列 s n 也成等n差數列 .（ 2）如 n 為奇數，就sn三、熱點考題導析na n

3、 12；n 為偶數就 nn a 22a n ； s偶s奇121 nd .2例 1在等差數列中，a6+a9+a12+a15=20，求 s20.思路一：比較s20 與已知條件 .解法一： a6+a9+a12+a15=20， 4a1+5+8+11+14d=20 ， 2a1+19d=10 ，又s2020 2a1219 d , s20=100.思路二：利用等差數列的性質. a6+a15=a9+a12=a1+a20，又由 a6+a9+a12+a15=20， a1+a20=10 ，s2020 a12a20 100 .老師點評：在公式snna1nn21 d中有 4 個字母已知其中三個就以求出另一個.已知兩個條

4、件也可以列出方程組解.由于 snn a12an 假如求到1+an，也可以免去求a1 和 d.本例中就無法確定a1 和 d 的值 .有時仍可以設出sn=an2+bn ，利用已知條件確定兩個系數a 和 b.再學習必備歡迎下載看例 2四個數成等差數列，把它們分別加上 4， 3，3， 5 后又依次成等比數列，求這四個數 . 分析：四個數成等差數列，可依次設為 a 3d、 a d、a+d、a+3d，然后列出 a、d 的方程組求解 .解：設此四個數依次為 a 3d、ad、a+d、a+3d，依題意，得adad3 232a3dad4 ad33 a3d54d 24d 2ad302a2d60或a0ad1d03（不

5、合舍去）此四個數為3， 1， 1， 3.老師點評： 這里使用了對稱設元法，類似地，如三個數成等差數列，就可設三數為ad，a,a+d， 這種對稱設元法可以簡化運算.例 3設等差數列 a n 的前 n 項和為 sn，已知 a3=12 ， s12>0， s13<0.（ 1）求公差d 的取值范疇 .（ 2）指出 s1， s2，s3， s12 中那個值最大，并說明理由.解：（ 1）依題意，有s12012 a11211d022a111d0s13013a11312 d02a16 d0將 a3=a1+2d=12 代入得：24d3 7（ 2）由 s12=6 （ a6+a7） >0 ， s13=

6、13a7 <0. 即 a6+a7>0， a7<0，故 a6 >0， s6 最大 .老師點評：等差數列的結構是：單調遞增，單調遞減或常數列.如遞減且a1>0,就前 n 項的和sn 存在最大值，前多少項和最大，就是數列中前如干個正項的個數，因此這種題型就是要找出數列中的正、負的分界線處.類似地如a1<0 且遞增，就sn 存在最小值 .同學演板（ 1） a n 為等差數列，且an>0n n*s 3=s11，問此數列的前多少項的和最大？（n=7 ）（ 2）已知等差數列a 中， s =s m n，求 samn1 d0, s0nmnm n1m n2例 4兩個等差數

7、列a n ， b n 它們的前n 項和之比為5n2n3 求這個兩個數列第9 項之比 .1分析：可直把sn 代入，把分子、分母變成通項的形式.sna1nnn21n1add12n1解：（法一）snnb1n n21) n1bdd12令8 n=172 s17s17a9s1751738a9821713b93而5173821713b9s17a9（法二）b9a1a17b1b1717a117b1a17 / 2 b17 / 2s17 s17老師點評：解法二較一奇妙，主要是敏捷地運用了等差數列的性質2從而溝通了an 與 s2n1的關系 .此題其實求任何的ak bk 都可以 .2s2例 5已知數列 a n 中， a

8、1=1， annnsn12) 求這個數列的前n 項的和 sn.22sn學習必備歡迎下載解：當 n 2 時，ansn1snsn 1 ，n 2s 22 sn1 snsn 1 2 s 22sn sn 1snsn1 ， 2sn sn 1sn 1sn ，n即112, 數列 1 是首項為111 公差為 2 的等差數列，snsn 1sns1a111sns1n122n1，故 sn12n1老師點評：（ 1）n 2 時， an=sn sn 1 反映通項與前n 項的和的聯系；（ 2）留意 1 sn是等差數列利用性質求出sn .例 6是否存在常數k 和等差數列 a n ，使 ka2 1=s2n sn+1，其中s2n，

9、 sn+1 分別是等差數n列a n 的前 2n 項，前 n+1 項的和 .如存在，試求出常數k 和a n 的通項 an；如不存在，請說明理由 .解：這是一個探干脆問題，一般先假設存在k.n假設存在 .設 an=pn+qp,q 為常數 ，就 ka2 1=kp2n2+2kpqn+kq 2 1,sn1 pn n12qn, s2nsn 13 pn2 q 2p n 2 pq,就 kp2 n 22 kpqnkq 213 pn 2qp n pq , 故有kp23 p2p222kpqqpkq212q33由得 p=0 或 kp當 p=0 時，由得 q=0 ，而 p=q=0 不適合， 故 p 0 把 kp代入，得

10、 qp ; 把 q 42p代入，又kp43 , 得p232 從而 q278 , k27281故存在常數64n= 81 及等差數列a 64328n2727滿意題意四、課堂練習（ 1）在等差數列 a n 中， a3+a7 a10=8,a11 a4=4. 記 sn=a1+a2+an，求 s13（ 156）（ 2）數列 a n 的前 n 項和是 sn，假如 sn=3+2a nnn* ，就這個數列肯定是（）a 等比數列b等差數列c除去第一項后是等比數列d除去第一項后是等差數列（ a ）（ 3）設等差數列 an 前 n 項的和為sn3，已知1s3 與1s4 的等比中項為1s5 ，1 s 與 1 s 的等3

11、4差中項為1，求數列的通項公式.5344a（n1或an12 n532 ）5五、高考試題（ 1）（2000 年春季北京、安徽，13）已知等差數列a n 滿意 a1+a2+a101=0 ，就有（）a a1+a101>0b a2+a100<0c a3+a99=0d a51=51答案：選c分析：a1a2a1011010即 a32a99 0,a3a90.學習必備歡迎下載（ 2）（ 20xx 年全國理， 3）設數列 a n 是遞增等差數列，前三項的和為12，前三項的積為48，就它的首項是（）a 1b 2c 4d 6答案：選bs3分析：前三項的和為12， a1+a2+a3=12 ，a23a1a2

12、a3=48 ， a2=4， a1a3 =12，a1+a3=8，把 a1,a3 作為方程的兩根且a1<a3， x2 8x+12=0 ， x1=6， x 2=2 ， a1 =2， a3=6.（ 3）（ 2000 年全國文， 18）設 a n 為等差數列， sn 為數列 a n 的前 n 項的和，已知 s7=7，s15=75 ，tn 為數列 sn n的前 n 項的和，求t n.s解：設等差數列a n 的公差為d，就nna11 nn21d,s77, s1575,7a121d7即 a13d1解得a2,d1.sna1 n1d15a1105d75a17d51n1221 n21.sn 1sn1n1n2t

13、1 n2n49 n.4評注：此題主要考查等差數列的基礎學問和基本技能；運算才能.六、考點檢測（ 1）一個等差數列的前12 項的和為 354，前 12 項中偶數項與奇數項的和之比為差 d=a 3b 4c 5d 632 ，就公27（ 2）等差數列 a n 的前 m 項的和為30，前 2m 項的和為100，就它的前 3m 項的和為 （）a 130b 170c 210d 260（ 3） 100 與 200 之間全部是7 的倍數但不是2 的倍數的自然數之和為.（ 4）二數列 a n ， b n 滿意 an+am=am+n， bnbm=b n+m,m,n n* 、如 a1=1，就 an=.如b1=2,就 bn=.（ 5）數列 a n 的通項為an=33 2n；證明數列 a n 為等差數列；求 |a1|+|a2|+|a40|.n（ 6）已知等差數列a n 的前 n 項的和為sn, b1 且 a b1 , ss21,s2求 b n 的通項公式；求證： b1+b 2+bn<2.3 33