定積分的概念94279

1、v定積分的概念定積分的概念v定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) 中值定理中值定理v微積分基本公式微積分基本公式v定積分的換元積分定積分的換元積分v定積分的分部積分定積分的分部積分v廣義積分與廣義積分與 函數(shù)函數(shù)v定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用第五章第五章 定積分定積分第一節(jié) 定積分概念定積分概念定定 積積 分分引例：曲邊梯形的面積引例：曲邊梯形的面積設(shè) y=f(x)在區(qū)間a,b上非負(fù)、連續(xù)。求由 曲線y=f(x)與直線x=a,x=b(ag(x)與直線x=a,x=b(ab)所圍圖形的面積。aby=f(x)y=g(x)xx+ dx,bax(i)取x為積分變量，則(ii)相應(yīng)于a,b上任一小區(qū)間x,x+dx的小窄條

2、面積近似值，即面積元素(iii)所求面積dxxgxfda)()(badxxgxfa)()(i)求交點(diǎn)(ii)相應(yīng)于0,1上任一小區(qū)間x,x+dx的小窄條面積的近似值，即面積元素(iii)所求面積解解y110022yxyxxyxydxxxda)(2dxxxa)(210yxo例例求由拋物線所圍22,xyxy圖形之面積。xy 22xyx x+dx31(i)求交點(diǎn)(ii)相應(yīng)于-2,4上任一小區(qū)間y,y+dy的小窄條面積的近似值，即面積元素(iii)所求面積解解y4822422yxyxyxxydyyyda)24(2dyyya)24(422yxo例例求由拋物線與直線所圍圖形面積。xy224 yxxy22

3、4yxyy+dy18方法方法1yxoxy224yx(i)取x為積分變量，則 8 , 0 x(ii)面積元素2 , 0)2(21xdxxxda8 , 2)4(22xdxxxda(iii)所求面積822120dadaa18方法方法2比較方法比較方法1 1和方法和方法2 2知：知：適當(dāng)選擇積分變量可適當(dāng)選擇積分變量可以簡化計(jì)算過程。以簡化計(jì)算過程。(i)兩切線交點(diǎn)為(ii)面積元素(iii)所求面積解解ydxxxxdadxxxxda)34() 3( 2)34() 34(2221493201212323dadaaaayxo練習(xí)練習(xí)求由拋物線及其在點(diǎn)(0,-3)和(3,0)處的切線所圍圖形面積。342x

4、xy42 xy則2)3(, 4)0(yy點(diǎn)(0,-3)和(3,0)處的切線方程分別為y=4x-3 y=-2(x-3)3,23(3/2,3)1)2(2xy二、極坐標(biāo)情形(ii)面積元素(iii)所求面積dda2)(21da2)(21設(shè)由曲線 與射線，)(r圍成一圖形,求該圖形的面積。(i)取極角為積分變量，則,xo)(rd面積元素所求面積ydadrda22)(21)(21daa202222,0例例求由阿基米得螺線上相應(yīng)于的一段弧與極軸所圍圖形面。ar 解解023232a3234axoar 設(shè)曲線弧由參數(shù)方程給出，)(),(),(21ttttytx求由這曲線弧所圍圖形的面積。(i)取 t 為積分變

5、量，則,21tttydxdadttt)()(dtttatt21)()(iii) 所求面積(ii) 面積元素三、 參數(shù)方程情形橢圓參數(shù)方程為面積元素所求面積y)20(sincosttbytaxdttatbydxda)sin(sindttaba2022cos1例例求由橢圓所圍圖形面。12222byax解解02)2sin21(2ttababxyo-aa-bbycos3ar練習(xí)練習(xí)1 .求由曲線 所圍圖形面積。 2.求由曲線 及 所圍圖形的公共部分的面積taytax33sin,coscos1rxyoaa-a-a0.511.52-1-0.50.51xs1s2y2220242202420233083)22

6、1436522143(12)sin1 (sin12cossin12)cos(sin44aadtttatdttatatdaydxaa答案答案 1.所求面積 2.所求面積)(221ssa所求面積y)3,23(cos1cos3的極坐標(biāo)得點(diǎn)解方程組arr16394)cos1 (213021ds45)(221ssa0.511.52-1-0.50.51s1s2ax163983cos9212322ds體積定積分幾何應(yīng)用之二旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體：由一平面圖形繞該平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，稱為旋轉(zhuǎn)體。一、旋轉(zhuǎn)體的體積定直線旋轉(zhuǎn)軸,baxdxxfdv2)(baxdxxfv2)(旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算(i)取x為積分變量

7、，則(ii)相應(yīng)于a,b上任一小區(qū)間x.x+dx的小旋轉(zhuǎn) 體體積近似值，即體積元素(iii)所求體積旋轉(zhuǎn)軸為x軸： 曲邊梯形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積。)(0 ,xfybxayabxoxx+dx)(xfy例例求由連接坐標(biāo)原點(diǎn)o及p(h,r)的直線及x=h,x軸所圍三角形繞x軸所成旋轉(zhuǎn)體之體積。(i)取x為積分變量，則(ii)相應(yīng)于a,b上任一小區(qū)間x,x+dx的小旋轉(zhuǎn) 體體積近似值，即體積元素(iii)所求體積解解op的方程為y, 0hxxhrydxxhrdv2)(dxxhrvh20)(yxop(h,r)32hr旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算(i)取y為積分變量，則(ii)相應(yīng)于c,d上任一小區(qū)間y,y

8、+dy的小旋轉(zhuǎn) 體體積近似值，即體積元素(iii)所求體積旋轉(zhuǎn)軸為y軸： 曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積。)(0 ,yxdyc,dcydyydv2)(dcydyyv2)(yxocd)(yxdy解解 （）取y為積分變量，則 1 , 0y（）相應(yīng)于0,1上任一小區(qū)間y, y+dy的體積元素dyydv)1 (22（）所求體積10210)21()1 (hyyrdyyv例例求由曲線 和 及x軸所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。2xy 1x2(1,1)yo1x解解（）旋轉(zhuǎn)軸為x軸體積元素：dxxdxxdv623)(（）旋轉(zhuǎn)軸為y軸564)4(8032dyyvy例例求由曲線 和直線所圍圖形分別繞x軸

9、和y軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體的體積。3xy 0, 2yx所求體積:體積元素：7128206dxxvxdyydv)(22322y3xy oxdyy )4(32所求體積： 如圖，在距坐標(biāo)原點(diǎn)為x處取一底邊長為dx的小曲邊梯形abcd,易知它繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積近似值，即體積元素dxxfxvba)(2dxxxfvba)(2例例4證明：由平面圖形 繞 y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為)(0 ,0 xfybxa于是,所求體積為：)(2dxxfxdv（這是一個(gè)底面積為 ，高為的圓柱體的體積）dxxf)(x2a bc d)(xfy xyoabbadxxxf)(2證明證明解解:（）旋轉(zhuǎn)軸為 x 軸dxeedvxx)

10、()(22（）旋轉(zhuǎn)軸為 y 軸edxeexvxxy4)(210練習(xí)練習(xí)求由曲線 和直線 x=1 所圍圖形分別繞 x 軸和 y 軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體的體積。xxeyey,所求體積：22)(221022eedxeevxxxeydyydyyve122221)(ln1 )ln(1 1xey 所求體積：yox1xey或(1,1/e)(1,e)體積元素：體積定積分幾何應(yīng)用之二二、平行截面面積已知的立體體積若立體不是旋轉(zhuǎn)體，但立體垂直于某定軸的各截面面積已知，該立體體積亦可用定積分計(jì)算。)( )(bxaxabadxxav)(. 過點(diǎn)x而垂直于x軸的平面截立體得截口面積為則立體體積為)(dycybdcdyybv)

11、(2. 過點(diǎn)y而垂直于y軸的平面截立體得截口面積為則立體體積為yocdyb(y)222222)(xrxrxrxa在所圍立體上，作平行于坐標(biāo)面 yoz 的截面klmn，由于nm=ml，所以klmn為正方形，其面積為dxxrdxxavrr)(8)(80220例例5求 及 兩圓柱面所圍立體的體積。222ryx222rzx所求體積:nlmkyoz222ryx222rzxx3316r解解: tan)(21tan21)(22xryyxadxxrdxxavrrrr)(21)(22所求立體體積為222ryx例例6一平面經(jīng)過半徑為的圓柱體的底圓中心，并與底面成交角（如圖）。計(jì)算這平面截圓柱體所得立體的體積。如圖

12、建立坐標(biāo)系，則底圓的方程為 tan323r截面積為xyyxr-ro立體中過點(diǎn) x 且垂直于 x 軸直角的截面為直角三角形，直角邊長分別 y 為及ytana，解解一、平面曲線弧長的概念bmmmmann 110定理：定理：若 且 均縮為一點(diǎn)時(shí)n),2, 1(1nimmii xy0m1m1nm定積分幾何應(yīng)用之三平 面 曲 線 的 弧 長定義：定義：設(shè)a、b為曲線弧上兩端點(diǎn)，在ab上任取分點(diǎn)光滑曲線弧是可求長的。niiimm11的極限存在，稱此極限 為曲線弧的弧長；并稱該曲 線弧是可求長的。. 直角坐標(biāo)情形,bax22)()(dydxdsdxy21dxydssbaba21xx+dxdy定積分xyoab

13、y=f(x)曲線弧由方程y=f(x) 給出，其中f(x)在a,b上具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，求該曲線(如圖)的長度。(i) 取x為積分變量,則(iii)所求弧長(ii)弧長元素（弧微分）二、光滑曲線弧長的計(jì)算設(shè)曲線弧由參數(shù)方程給出，)(),(),(ttytx其中、 在 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求這曲線)(t)(t,(i)取 t 為積分變量，則,t22)()(dydxdsdttt)()(22dttts)()(22(iii) 所求弧長(ii) 弧長元素 參數(shù)方程情形的長度。曲線弧由極坐標(biāo)方程)()(xrr給出，其中在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，)(rr ,利用)(,sin)(,cos)(ryrxdyxds)()(22drrs)()(22所求弧長drr)()(22極坐標(biāo)情形有求該曲線弧長。解解,1xy 從而弧長元素dxxxdxxds221)1(1所求弧長8321dxxxsdtt)111(232例例1求由曲線 相應(yīng)于 的一段弧（如圖）的長度。 83 xxylntx 21令dttt3222123ln211xyln38yox3211ln211tt解解dtttds)()(22所求弧長dtttas20222cossin9