定積分的概念96184

1、一.引例曲邊梯形面積1.曲邊梯形:由連續(xù)曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的圖形y=f(x)ab0 xy怎樣求面積呢？2.思想方法（想象圓的面積的求法）（1）分割：將曲邊梯形分成許多細(xì)長(zhǎng)條在區(qū)間a,b中任取若干分點(diǎn)：bxxxxxxxannii11210把曲邊梯形的底a,b分成n個(gè)小區(qū)間：), 3 , 2 , 1(1nixxxiii的長(zhǎng)度記為小區(qū)間,1iixx 過(guò)各分點(diǎn)作垂直于x軸的直線段，把整個(gè)曲邊梯形分 成n個(gè)小曲邊梯形，其中第i個(gè)小曲邊梯形的面積記為iaxy0y=f(x)0 xa1x3x1ixix1nxbxn2x（2）取近似：將這些細(xì)長(zhǎng)條近似地看作一個(gè)個(gè)小矩形iiiiiiii

2、iiixfafxfxxxxi)()(,).(),11曲邊梯形的面積，即面積來(lái)近似代替這個(gè)小的小矩形長(zhǎng)為用相應(yīng)的寬為它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是（上任取一點(diǎn)個(gè)小曲邊梯形的底在第xy0y=f(x)0 xa1x2x1ixix1nxbxnf()（3）求和：小矩形的面積之和是曲邊梯形面積的一 個(gè)近似值。把n個(gè)小矩形的面積相加得和式iniixf)(1它就是曲邊梯形面積a的近似值，即.)(1iniixfaxy0y=f(x)0 xa1x2x1ixix1nxbxnf()（4）取極限：當(dāng)分割無(wú)限時(shí)，所有小矩形的面積之 和的極限 就是曲邊梯形面積a的精確值。小區(qū)間長(zhǎng)度最大值趨近于零，即| | 0（| |表示iniixf)(1

3、ixixiniixf)(1這些小區(qū)間的長(zhǎng)度最大者）時(shí)，和式 的分割越細(xì)， 就越接近于曲邊梯形的面積a，當(dāng)極限就是a，即iniixxfai)(lim10|可見(jiàn)，曲邊梯形的面積是一和式的極限xy0y=f(x)0 xa1x2x1ixix1nxbxnf()二、定積分的定義定義： 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上有定義。在區(qū)間 a,b中任取分點(diǎn),113210bxxxxxxxxannii將區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)間 ，其長(zhǎng)度為1iixx，的和式：乘積作上，任取一點(diǎn)，在每個(gè)小區(qū)間), 2 , 1()()(11nixfxxxxiiiiiiii1iiixxx), 2 , 1ni（.)(1iniixf,)(dxxf

4、badxxfxfbainiixi)()(lim10|如果不論對(duì)區(qū)間a,b采取何種分法及 如何選取，當(dāng)n個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度最大的趨于零，即 時(shí)，和式（1）的極限存在，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積，并稱此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分，記作0|ixi即（1）1.dxxf)(與badxxf)(的差別3定積分的值與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)，即有bababaduufdttfdxxf)()()(4規(guī)定： abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxfdxxf)(是)(xf的全體原函數(shù) 是函數(shù)badxxf)(是一個(gè)和式的極限 是一個(gè)確定的常數(shù)注：2 .當(dāng)xfini)(1的極限存在時(shí)，其極限值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與區(qū)間ba,的分法及i點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)。f(x)a,ba.與區(qū)間及被積函數(shù)有關(guān)；b.與區(qū)間無(wú)關(guān)與被積函數(shù)有關(guān)c.與積分變量用何字母表示有關(guān)；d.與被積函數(shù)的形式無(wú)關(guān) )(xfy 在ba,上連續(xù)，則定積分badxxf)(的值4.(b)223sin tdt中，積分上限是 積分下限是 積分區(qū)間是 2.(a) 及x軸所圍成的曲邊梯形的面積，用定積分表示為 12 xy與直線3, 1xx1. 由曲線(b)舉例dxx) 1(2312