十一十二章總復(fù)習(xí)

1、1十一十一.無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一一般般項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)收收斂斂半半徑徑r r泰勒展開式泰勒展開式數(shù)或函數(shù)數(shù)或函數(shù)函函 數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)任任意意項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)傅氏展開式傅氏展開式傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)0)(xrn為常數(shù)為常數(shù)nu)(xuunn為函數(shù)為函數(shù)滿足狄滿足狄 氏條件氏條件0 xx 取取在收斂在收斂 級(jí)數(shù)與數(shù)級(jí)數(shù)與數(shù)條件下條件下 相互轉(zhuǎn)化相互轉(zhuǎn)化 2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正正 項(xiàng)項(xiàng) 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對(duì)收斂絕對(duì)

2、收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂若若ssn;, 0,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng) nun一般項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂3),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x(4) 常見函數(shù)展開式常見函數(shù)展開式4)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x其中其中 ), 2 , 1(,sin)(1),

3、 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann稱為傅里葉級(jí)數(shù)稱為傅里葉級(jí)數(shù).01(cossin)2nnnaanxbnx 5111(1)2 53 6(11)(.4)nn判別下列級(jí)數(shù)的判別下列級(jí)數(shù)的例例收斂性:收斂性:211(1)(4)nunnn解1解1(,21)pp 2 2n=1n=11 1而收斂級(jí)數(shù)而收斂級(jí)數(shù)n n,.由比較審斂法 原級(jí)數(shù)收斂由比較審斂法 原級(jí)數(shù)收斂21(21)(4)lim1nnnn解解2lim1(1)(4)nnnn(,21)pp 2 2n=1n=11 1而收斂級(jí)數(shù)而收斂級(jí)數(shù)n n,.由極限形式比較法 原級(jí)數(shù)收斂由極限形式比較法 原級(jí)數(shù)收斂61( 1)

4、sin22)nnnn n nn=1n=1考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)nsin考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)nsin2 2解解sin2lim102nnnnn , n nn n= =1 1由由極極限限審審斂斂法法 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)n ns si in n收收斂斂2 212nnn 又級(jí)數(shù)由比值法又級(jí)數(shù)由比值法11(1)2limlim2nnnnnnunun 112收斂收斂.即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂721cos(313()2)nnnnn 2cos32nnnnu 21cos3,2nnnn 解解 先考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)先考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)2nnnv1limnnnvv 而而11 2lim2nnnnn 11212nnn 由比值法收斂由比值法收斂21cos32

5、nnnn 再由比較審斂法收斂再由比較審斂法收斂.故故原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂81112ln).(.nnnn 判斷級(jí)數(shù)的收斂性判斷級(jí)數(shù)的收斂性例例1ln(1)nnun 解解1ln(1)1limlimln(1)1nnnnnn 由由1limln(1)nnnln1e321,nvn 取取321ln(1)limlimnnnnunnvn 1limln(1)10nnn321311,.2nppn 而為的 級(jí)數(shù) 收斂而為的 級(jí)數(shù) 收斂.故由極限審斂法知原級(jí)數(shù)收斂故由極限審斂法知原級(jí)數(shù)收斂913.(992!.)nnnnn 判判例例別級(jí)數(shù)的別級(jí)數(shù)的試題試題收斂性收斂性級(jí)級(jí)1112(1)!limlim(1)2!nn

6、nnnnnnunnunn 解解12(1)lim(1)nnnnnn 2lim1(1)nnn 21e級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂13.(2000.2)nnnn 例4級(jí)試?yán)?級(jí)試判別級(jí)數(shù)的收斂性判別級(jí)數(shù)的收斂性題題11132limlim(1)23nnnnnnnnunun 解解33lim12(1)2nnn 級(jí)數(shù)發(fā)散.級(jí)數(shù)發(fā)散.10.5. 2 22 2n nn=1n=1(n!)(n!)判別級(jí)數(shù)的收斂性判別級(jí)數(shù)的收斂性2 2例例222(1)12(1)!2limlim( !)2nnnnnnnuun 解解221(1)lim2nnn =01limlim1nnnunn 且且=0leibniz由定理知級(jí)數(shù)收斂由定理知級(jí)數(shù)收斂)

7、n n=1n=1考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)( n+1的部分和考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)( n+1的部分和( 21)( 32)( 43)(1)nsnn13( 21)( 32)( 43)(1)nsnn11()nn 1(1).nnn 發(fā)散發(fā)散故原級(jí)數(shù)條件收斂。故原級(jí)數(shù)條件收斂。211.(18)nnn 例例1limlim(1)nnnnnun解解11lim(1) nnn11e 故級(jí)數(shù)收斂。故級(jí)數(shù)收斂。14( 1)1.2nnn 例10例1021limlim()31nnnnnnnun 解解211.()31nnnn 例9例9211( )139（非不定式）（非不定式）故級(jí)數(shù)收斂。故級(jí)數(shù)收斂。( 1)limlim2nnnnnnnu 解解11

8、2.級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂151.()(0)2nnnaan 例11例11limlim2nnnnnauan 解解1,a 時(shí) 級(jí)數(shù)收斂時(shí) 級(jí)數(shù)收斂1,a 時(shí) 級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí) 級(jí)數(shù)發(fā)散1,a 時(shí) 根值法失效 此時(shí)時(shí) 根值法失效 此時(shí)1()22(1)nnnnunn 2212(1) nn 210e由必要條件，級(jí)數(shù)發(fā)散。由必要條件，級(jí)數(shù)發(fā)散。16nn=1(2x+1).12.n 例例求級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間求級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間121,nnttxn 設(shè)得級(jí)數(shù)設(shè)得級(jí)數(shù)解解111limlim1nnnnanan lim11nnn nn=1t11,1.nrt 當(dāng)時(shí)收斂當(dāng)時(shí)收斂111,.ntn 當(dāng)時(shí) 級(jí)數(shù)為發(fā)散當(dāng)時(shí) 級(jí)數(shù)為發(fā)散1( 1)1,

9、.nntn 當(dāng)時(shí) 級(jí)數(shù)為由萊布尼茲定理收斂當(dāng)時(shí) 級(jí)數(shù)為由萊布尼茲定理收斂當(dāng)-1t1,即-12x+11,亦即-1x0時(shí)級(jí)數(shù)收斂當(dāng)-1t1,即-12x+11,亦即-1x0時(shí)級(jí)數(shù)收斂 1,0) 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為1712111( 1).(21)(21.!3)nnnxnn 求的收斂區(qū)間求的收斂區(qū)間例例,r缺偶次冪項(xiàng) 不能用公式求 或缺偶次冪項(xiàng) 不能用公式求 或解解用比值法用比值法23121( )(21)(21)!limlim( )(21)(21)!nnnnnnxuxnnu xnnx 22(21)lim(21)2nnxnn 0,(,)x 對(duì)對(duì)r (,) 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為181211( 1).(21

10、)14.nnnxn 求的收斂區(qū)間求的收斂區(qū)間例例n+1n=1(-1)1,2n-1x 當(dāng)時(shí) 級(jí)數(shù)為由萊布尼茲定理收斂當(dāng)時(shí) 級(jí)數(shù)為由萊布尼茲定理收斂,r缺偶次冪項(xiàng) 不能用公式求 或缺偶次冪項(xiàng) 不能用公式求 或解解用比值法用比值法23121( )(21)limlim( )(21)nnnnnnxuxnu xnx 22(21)lim,(21)nnxxn 1x 時(shí)收斂時(shí)收斂nn=1(-1)1,2n-1x 當(dāng)時(shí) 級(jí)數(shù)為由萊布尼茲定理收斂當(dāng)時(shí) 級(jí)數(shù)為由萊布尼茲定理收斂 1,1 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為19111.( 1).15nnnnx 求收斂區(qū)間及和函數(shù)求收斂區(qū)間及和函數(shù)例例1limlim11nnnnanran

11、 解解111,( 1),0,.nnnxnu 時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散11,0,.nnxnu 時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散( 1,1).收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為111( )( 1),nnns xnx 設(shè)設(shè)0( )xs x dx 11( 1)nnnx 1xx ( )()1xs xx 21(1)x 20斂？斂？是條件收斂還是絕對(duì)收是條件收斂還是絕對(duì)收斂？如果收斂，斂？如果收斂，是否收是否收判斷級(jí)數(shù)判斷級(jí)數(shù) 1ln)1(nnnn例例1616解解,1ln1nnn ,11發(fā)散發(fā)散而而 nn,ln1ln)1(11發(fā)散發(fā)散 nnnnnnn即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂,ln)1(1級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是交交錯(cuò)錯(cuò) nnnn由萊布尼茨定理：由萊布尼

12、茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx21, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf,), 1(上單增上單增在在,ln1單減單減即即xx ,1ln1時(shí)單減時(shí)單減當(dāng)當(dāng)故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂故原級(jí)數(shù)是條件收斂22解解 拓廣的周期函數(shù)處處拓廣的周期函數(shù)處處連續(xù)，它的傅氏級(jí)數(shù)展開連續(xù)，它的傅氏級(jí)數(shù)展開式在式在 上收于上收于 .)(xf, xy0 2 2 所給函數(shù)在所給函數(shù)在 上滿足狄利克雷充分條件上滿足狄利克雷充分條

13、件., 23 nxdxxfancos)(1 00cos1cos)(1nxdxxnxdxx)1(cos22 nn1)1(22 nn dxxfa)(10 001)(1xdxdxx, 02201sincos1sincosxnxnxxnxnxnnnn 24 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(42kknkknk nxdxxfbnsin)(1 00sin1sin)(1nxdxxnxdxx, 0 12)12cos()12(142)(nxnnxf)( x所求函數(shù)的傅氏展開式為所求函數(shù)的傅氏展開式為), 3 , 2 , 1( n0011(cos)(cos)xdnxxdnxnn 2521(

14、)2( 11)21nf xxxn 將函數(shù)展開成以為周期的傅氏級(jí)數(shù)，并由此求級(jí)數(shù)的和例例1818解解,)11(2)(是偶函數(shù)是偶函數(shù) xxxf 100)2(12dxxa, 5 101cos)2(12dxxnxan 10cos2xdxnx 10sin2xnxdn1)1(222 nn26 12,42, 022knnkn), 2 , 1( k, 0 nb 122)12cos()12(4252kxkkx故故 122.)12()12cos(425kkxk)11( x), 2 , 1( n27, 0 x取取由上式得由上式得 122,)12(14252kk 122,8)12(1kk 121212)2(1)12

15、(11kknkkn而而,141)12(11212 kkkk3481212 nn.62 28十二十二.微分方程微分方程基本概念基本概念一階方程一階方程 類類 型型1.1.直接積分法直接積分法2.2.可分離變量可分離變量3.3.齊次方程齊次方程4.4.可化為齊次可化為齊次方程方程5.5.全微分方程全微分方程6.6.線性方程線性方程7.7.伯努利方程伯努利方程可降階方程可降階方程線性方程線性方程解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4歐拉方程歐拉方程二階常系數(shù)線性二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)方程解的結(jié)構(gòu)特征方程的根特征方程的根及其對(duì)應(yīng)項(xiàng)及其對(duì)應(yīng)項(xiàng)f(x)f(x)的形

16、式及其的形式及其特解形式特解形式高階方程高階方程待定系數(shù)法待定系數(shù)法特征方程法特征方程法29微分方程解題思路微分方程解題思路一階方程一階方程高階方程高階方程分離變量法分離變量法全微分方程全微分方程常數(shù)變易法常數(shù)變易法特征方程法特征方程法待定系數(shù)法待定系數(shù)法非全微分方程非全微分方程非變量可分離非變量可分離冪級(jí)數(shù)解法冪級(jí)數(shù)解法降降階階作作變變換換作變換作變換積分因子積分因子30通解為通解為 dxxpdxxpecdxexqy)()()(（常數(shù)變易法）（常數(shù)變易法） 伯努利伯努利(bernoulli)方程方程nyxqyxpdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n方程為線性微分方程方程為線性微分方程

17、.時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n 方程為非線性微分方程方程為非線性微分方程.時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n)()(xqyxpdxdy 形如形如一階線性微分方程一階線性微分方程31常見的全微分表達(dá)式常見的全微分表達(dá)式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可選用積分因子可選用積分因子.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 3202 qprr0 qyypy 特征根的情況特征根的情況 通解的表達(dá)式通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根21rr 實(shí)根實(shí)

18、根21rr 復(fù)根復(fù)根 ir 2, 1xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 特征方程為特征方程為二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程3301)1(1)( ypypypynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnprprpr特征方程的根特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)rk重重根根若若是是rxkkexcxcc)(1110 ik 復(fù)復(fù)根根重重共共軛軛若若是是xkkkkexxdxddxxcxcc sin)(cos)(11101110 推廣：推廣： 階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法n34二階常系數(shù)非齊次線性微分

19、方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程)(xfqyypy 型型)()()1(xpexfmx , )(xqexymxk 設(shè)設(shè)01,2k不是特征方程的根是特征方程的單根是特征方程的重根型型sin)(cos)()()2(xxpxxpexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxrxxrexymmxk 設(shè)設(shè)次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，是是其中其中mxrxrmm)(),()2()1( nlm,max 01iki不是特征方程的根時(shí)，是特征方程的單根時(shí)354. (1)0,.1 yxy dxdy例例求通解求通解5dyyxydx解解5dyyxydx伯努利方程伯努利方程54dyyyxdx45,4dydzzyydxdx 令

20、則令則1:4dzzxdx代入方程得代入方程得44 ,dzzxdx 一階線性方程一階線性方程 3644(4)xxzexe dxc 44()xxexdec 444()xxxexee dxc 4441()4xxxexeec 414xxce 44114xxcey 441()14xxcey 或?yàn)橥ń?或?yàn)橥ń?37.32343yxyyx 求通解求通解例例2 2解解原式可化為原式可化為,32342yxyxy ,3223134xyxyy 即即,31 yz令令原式變?yōu)樵阶優(yōu)?3232xzxz ,322xzxz 即即對(duì)應(yīng)齊方通解為對(duì)應(yīng)齊方通解為,32cxz 一階線性非齊方程一階線性非齊方程伯努利方程伯努利方程

21、38,)(32xxcz 設(shè)設(shè)代入非齊方程得代入非齊方程得,)(232xxxc ,73)(37cxxc 原方程的通解為原方程的通解為利用常數(shù)變易法利用常數(shù)變易法22233222332723333()()33()77dxdxxxzex edxcxxxdxcxxcxcx 解2解21233337yxcx 原方程的通解為原方程的通解為1233337yxc x 39. 0324223 dyyxydxyx求通解求通解例例3 3解解)2(3yxyyp ,64yx )3(422yxyxxq ,64yx )0( y,xqyp 方程為全微分方程方程為全微分方程.40(1) 利用原函數(shù)法求解利用原函數(shù)法求解:,2),

22、(3yxxuyxu 則則設(shè)原函數(shù)為設(shè)原函數(shù)為),(),(32yyxyxu ,求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊對(duì)兩邊對(duì) y),(33142422yyxyxyyu ,1)(2yy 解得解得,1)(yy 故方程的通解為故方程的通解為231.xcyy41(2) 利用分項(xiàng)組合法求解利用分項(xiàng)組合法求解:原方程重新組合為原方程重新組合為, 0)1()(32 ydyxd即得即得, 01)32(2423 dyydyyxdxyx故方程的通解為故方程的通解為231.xcyy42(3) 利用曲線積分求解利用曲線積分求解:,32422),()1 ,0(3cdyyxydxyxyx ,312142203cdyyxydxxyx 即即.11321

23、2cyxyxyy 故方程的通解為故方程的通解為231.xcyy43.212yyy 求通解求通解例例4 4解解.x方程不顯含方程不顯含,dydppypy 令令代入方程，得代入方程，得,212ypdydpp ,112ycp 解解得得，2121dypdpyp 2111ln(1)lnln22pyc44, 11 ycp, 11 ycdxdy即即故方程的通解為故方程的通解為.12211cxycc 11dydxc y 45. 1)1()1(,2 yyexeyyyxx求特解求特解例例5 5解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為.)(21x

24、exccy 設(shè)原方程的特解為設(shè)原方程的特解為,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 則則,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 1,2k是二重根是二重根46代代入入原原方方程程比比較較系系數(shù)數(shù)得得將將)(,)(,* yyy,21,61 ba原方程的一個(gè)特解為原方程的一個(gè)特解為,2623*xxexexy 故原方程的通解為故原方程的通解為.26)(2321xxxexexexccy , 1)1( y, 1)31(21 ecc,6)1()(3221xexxcccy 47, 1)1( y, 1)652(21 ecc,31121 ecc,651221 ecc由由解

25、得解得 ,121,61221ecec所以原方程滿足初始條件的特解為所以原方程滿足初始條件的特解為.26)121(61223xxxexexexeey 482s6.inyyx 例例cos2122xyy 解解0yy (1)(1)先求齊次方程的通解先求齊次方程的通解210,1rr 2xxyc ec e 1 1齊次方程通解為:齊次方程通解為:11(2)(0)2yyya 設(shè)的特解為不是特征根設(shè)的特解為不是特征根112y 代入方程得代入方程得492,1cos22cos2sin2 ,:iiyyxaxbx 2 2不不是是特特征征方方程程的的根根設(shè)設(shè)的的特特解解y y代代入入方方程程14 cos24 sin2co

26、s2sin2cos22axbxaxbxx ,:115102500aabb 比較兩端同類項(xiàng)系數(shù) 得比較兩端同類項(xiàng)系數(shù) 得21cos210yx 1211cos2210.yyyx 為原方程的特解為原方程的特解12:11cos2210 xxyc ec ex 原方程的通解為原方程的通解為501100(,)(,).(1),( )( )( ),(0,1),(1,2).7yb x ya xyfef yeyf y dxf y xdyya b 已知求使積分已知求使積分與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)進(jìn)而求出當(dāng)分別為時(shí)積分的值進(jìn)而求出當(dāng)分別為時(shí)積分的值例例( ),( )yepyf y qf y xy解解( ),( )( )yq

27、epf yf yyfyxyy 曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān)( )( )( )yef yf yyfyy22( )( ),yefyf yyy即即( )f y為的一階線性方程為的一階線性方程51222( )()ydydxyyef yeedycy 2()yye dyc 2()yyec (1)0,fec代入得代入得2( )yef yy(1,2)22(0,1)yyyeeeydxxdyyyy 1220111()yedxe dyyy（0，1）（1，1）（1，2）22222111yyyeeeedydyyyy221122eeee520( )sin() ( ) ,( ).8.xf xxxt f t dtff

28、 x 設(shè)設(shè)其中 為連續(xù)數(shù) 求其中 為連續(xù)數(shù) 求例例函函這是積分方程,通過一次或多次求導(dǎo)可化為這是積分方程,通過一次或多次求導(dǎo)可化為微分方程,且常隱含微分方程,且常隱含解解初始條件初始條件00( )sin( )( ):xxf xxxf t dttf t dt兩兩1)1)邊求導(dǎo)邊求導(dǎo)( (0( )cos( )( )( )xf xxf t dtxf xxf x 0( )cos(2)xf xxf t dt 兩邊再求導(dǎo)兩邊再求導(dǎo)( )sin( ),fxxf x ( )( )sin ,fxf xx 即即( )f x 的二階線性方程的二階線性方程53( ),sinyf xyyx 令則令則210,rri 12:cossinycxcx對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 cossin yx axbx 設(shè)設(shè)cossin(sincos )yaxbxxaxbx ()cos()sinabxxbaxx(2)cos(2)sin ,:ybaxxabxx 代代入入方方程程得得2 cos2 sinsinbxaxx 020,1212bbaa 1cos2yxx 121cossincos2cxcxxx原通解為:y=f(x)=原通解為:y=f(x)=54(1),(2):(0)0,(0)1ff 由得初始條件由得初始條件10c 代入通解得代入通解得121cossincos2cxcxxx原通解為: