2022年一堂基于PISA的概念課實錄與點評初中數(shù)學七年級下冊《多邊形》

1、類比引路正反互助一堂基于 pisa 的概念課實錄與點評“類比是思維的引路人”，在概念教學中若適當利用類比的方式，能有效驅動學生的思維于最近發(fā)展區(qū)， 便于概念的初步構建， 然后借助正反例， 彼此依托，相互為用，能使概念的理解得到深入.當然這個歷程不會一揮而就，需要師生、生生的相互碰撞、 彼此爭論等成長過程， 在歷經(jīng)磨礪后修成 “正果”.這也是 pisa測試給我們教學的啟示 .以下以人教版 7 年級下多邊形第一課時為例做一闡述.一. 類比引路，辯駁中建構播放圖片，定格圖形，學生觀察，增進直觀.問題 1：圖中你能抽象出你認識的幾何圖形嗎？生全體：有，有三角形、四邊形、五邊形、八邊形師：四邊形、五邊形

2、可用一個名稱表達，叫？生眾：多邊形師：多邊形包含三角形嗎？生眾：包含，三角形屬于多邊形，問題 2：你能類比三角形的概念，給多邊形以定義嗎？精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -生 1：多條線段首尾順次相連所構成的圖形，叫多邊形生 2：不對，應該在同一平面內(nèi)師：為什么加這一個條件，而三角形概念中為什么沒加？生 2：因為三條線段只要首尾相接就會

3、在同一平面內(nèi)，而其它多邊形不行師：你能舉出一個反例嗎？生 2：能，你看（比劃著）a.dbc圖 1生 3：還不對，還得需要指明不在同一直線上的多條線段！師生：愕然！師：能舉一個反例說明嗎？生 3（請求板演畫圖說明） ：如圖 1，ab、bc、cd、da 四條線段順次連接，但沒有構成四邊形精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -全體同學鼓掌叫好！師

4、：這個反例舉得好，這樣多邊形該怎樣定義呢？生眾：在同一平面內(nèi)，由n 條不在同一直線上的線段首尾順次相接所組成的圖形稱為 n 邊形.三角形是最簡單的多邊形 .問題 3：根據(jù)三角形學習獲得的經(jīng)驗，同學們估計多邊形還需要明確哪些相關概念？生 4：多邊形的邊、多邊形的角、多邊形的外角圖 2圖 3師：說得好，這其實就是類比的思想在起著作用，由于三角形是一個最基本、最簡單的多邊形，三角形的相關概念也應該能體現(xiàn)在多邊形中師：如圖 2，五邊形 abcde （借此說明多邊形的表示法：用頂點字母順次書寫，不能跳躍），誰能借助圖形說明五邊形的頂點、邊、內(nèi)角、外角？生 5：頂點 5 個：a、b、c、d、e；邊有 5

5、條：ab、bc、cd、de、ae；內(nèi)角有 5 個： a、 b、c、d、e；外角在圖里面見不到，得需要做出來.師（示意上黑板板演）：精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -生 5：延長任何一條邊（如圖3），延長線與相鄰邊構成的角就是，這樣的角可以作出 5 個生 6：不對，應該做出10 個，不過其中的兩兩都分別相等問題 4：我們知道，五邊形的邊是

6、相鄰頂點間的線段，從完善的角度思考，還應該研究？生眾：不相鄰頂點之間的線段師：對，這也是我們思考問題的常用方式求和諧. 誰能命名這樣的線段應該叫什么合適？生 7：斜角線師（追問）：為什么？生 7：因為這些線都斜著師（發(fā)現(xiàn)，畫出來的這類線確實都是斜的，感覺有點誤導，重新把五邊形調整了一下，讓 be 成水平狀，來一個不斜的消除錯覺）：連接be，還斜嗎？生 8（撓撓頭，自己否定）：看來這個名字不合適師：誰再說說？生 9：可以叫對接線嗎？師：理由？精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -精品學習

7、資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -生 9：因為這些線所連結的兩個頂點不相鄰，而是相對，所以才這樣猜的師：同學們感覺如何？生眾：可行師：說法確實合理，但為了表述更加明確，數(shù)學上稱之為“對角線”生眾（心有靈犀，點頭稱是）師：這是一般多邊形不同于三角形的一個地方，自然也成了我們今天研究的重點.（師板書： 對角線 ）（點評：教學至此，多邊形的相關概念在類比的引領下已經(jīng)悉數(shù)出場了，執(zhí)教者營造環(huán)境，誘使學生觀察、表述、畫圖、舉例，相互辯駁，思維聯(lián)動，各個概念在執(zhí)教者的組織下形成并得以強化. ）問題 5

8、：從一個頂點出發(fā)， 4 邊形有多少條對角線？分成多少三角形？5 邊形？6 邊形？ n 邊形？（師組織小組討論）討論結果： 1 條，2 個三角形； 2 條，3 個三角形； 3 條，4 個三角形；從 n邊形的一個頂點可以引（n-3）條對角線，分成（ n-2）個三角形 .精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -師：你能確定一個n 邊形一共有多少條對

9、角線嗎？討論結果： n 邊形共有條對角線（點評：問題 5 不但鞏固、深化了對對角線的認識，揭示出多邊形對角線條數(shù)的一般結論， 更重要的是為下一節(jié)課探尋多邊形的內(nèi)角和作了孕伏，這種瞻前顧后的“大局”意識非常重要，彰顯出執(zhí)教者的教學“大氣”.）二、四條線段足以撐起四邊形嗎？問題 1：任意給出三條線段，能否構成三角形？生眾：不能，需要滿足三邊屬性任意兩條線段的和大于第三條線段，否則，不能構成師：舉個例子說明一下，好嗎？生 10：長分別 1，2，4 的三條線段就不行師：例子簡單但不失典型性，很好問題 2：那任何 4 條線段都能構成四邊形嗎？生：一時語塞師：具體的考察一下如何？生：開始試精品學習資料 可

10、選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -生 11：不一定，你看（板演：夸張地畫了一條長線段40，3 條短線段 5、10、15，形成反差，如圖 4）圖 4師：同學們看怎樣？能構成四邊形嗎？生眾（大笑）：肯定不行師：這說明什么問題？生眾：構成四邊形的線段也需要講條件！師：對，根據(jù)剛才同學的反例給予的啟示，結合三角形的構成條件，我們猜想一下構成四邊形的條件？生 1

11、2：任意三邊之和大于第四邊，生 13（反問）：這不和三邊關系一樣嗎？生 14：只要保證三條較短線段的和大于最長線段即可.師（點睛）：是的，它類似于三角形的構成條件，在識別時，可借助生14的說法去確定，可縮短求解歷程.有了這個發(fā)現(xiàn)，我們就不愁判斷任何4 條線段能否構成四邊形了！師（追問）： 5 邊形的構成條件我們能做出猜想嗎？6 邊形呢？ n 邊形呢？精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，

12、共 18 頁 - - - - - - - - -生眾：（部分學生）任意n-1 條邊之和大于第 n 邊；（部分學生）只要保證n-1 條較短線段的和大于最長的線段即可.師：同學們使用類比，獲得兩種說法，都說得非常好，通過以上我們再次體會了一般與特殊的辯證關系.小試牛刀：1長度為 1 cm、2 cm、3 cm、4 cm 的四條線段能構成四邊形嗎？2若一個四邊形的三邊長為2cm、3cm、11cm，則它第四條邊長 x 的取值范圍是 .3246圖 53.（臺灣中考題） 如圖 5，用四個螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依序為2、3、4、6，且相鄰兩木條的夾角均可調整。

13、 若調整木條的夾角時不破壞此木框，則任兩螺絲的距離之最大值為何？（ ）a. 5 b. 6 c. 7 d. 10 答案： 1. 能；2. 6 cmx16 cm；3. c.（點評：學生畫龍老師點睛，體現(xiàn)了教為主導、學為主體的和諧，教材中并無本段內(nèi)容，但類似的問題在后續(xù)學習中時有出現(xiàn)，故而執(zhí)教者“風物長宜放眼精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -

14、量”，以拓展為基發(fā)展學生的思維力，類比三角形構成的條件探得多邊形各邊之間的關系 .可見，執(zhí)教者組織的這段教學，一定程度地體現(xiàn)了“用教材教而不是教教材”的現(xiàn)代理念.其中小試牛刀中的3 很好地聯(lián)通了四邊形與三角形的互化關系，透出執(zhí)教者的良苦用心.）三：正反對照見真諦出示特殊多邊形圖片（圖6）圖 6問題 1：這些圖片集體呈現(xiàn)，較之前面的圖片有何差異？生 15：正規(guī)，順眼師：對，這些圖片長得比較勻稱，但同學們知道它們叫什么嗎？生 16：正正當當，應該叫正多邊形吧？師：這位同學真會會意，的確叫正多邊形問題 2：你能根據(jù)這些圖片說說怎樣給正多邊形一個界定？生 17：各邊一樣長生 18：不行，還需要各角一樣

15、大，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -生 19 ：沒必要，你看等邊三角形，不就是正三角形嗎，等邊三角形怎么定義的？不就是各邊都相等的三角形嗎？生 18：你反問就能強詞奪理了， 你舉的三角形只是一個特殊的圖形，不能代表全體生 19（不服狀）：你說不行，舉個例子讓我們看看生 18：這還不好說，你看菱形，四條邊相等吧？是嗎？生 19：還真是的

16、（一番交鋒后，達成共識）各邊都相等、各角都相等的多邊形叫正多邊形.說明： 有幾條邊就叫正幾邊形，如下：生 20（冷不丁一句）：只有各角都相等不行嘛？生 21（立刻回擊）：不行，比如一般的長方形，四個角都是直角，行嗎？生 20（頓悟）：噢！知道了圖 7師：同學們你來我往， 辯駁的精彩， 舉出了很好的反例， 讓同學們心服口服 .現(xiàn)在，老師也有個疑問，除了剛才舉的反例，誰還能舉出其它的反例？這一下可難住了全體同學，學生一籌莫展，滿臉疑惑精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可

17、選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -5 分鐘后，終于有人發(fā)言了生 22：先畫一個正五邊形， 再把它壓扁了或拉長了， 因為五邊形具有不穩(wěn)定性，說著上黑板畫圖示7圖 8生眾：熱烈的掌聲生 23 （掌聲未息， 快步登臺）：看我的反例： 一個正方形上放一個正三角形，擦去重合的邊就行 .（說著，畫出圖示8）生眾（唏噓一片）：呀！太經(jīng)典了師：這是兩個典型的各邊相等但不是正多邊形的反例，真了不起，不但五邊形的不穩(wěn)定性排上了用場，而且正多邊形的組合也展示了魅力. 哪誰還能舉出另外一類：即滿足各角相等，但不是正多邊

18、形的反例？圖 9abcded/e/精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -生 24（穩(wěn)操勝券的神態(tài)）：這個好辦，我受同學22 的啟發(fā)，把邊動一動就行了（圖 9 中的 abcd/e/）（來了個大喘氣，學生都翹首以待）把邊（ de）平移下來不就over了，生（大部分如夢方醒）：對呀，平移能把角轉移啊，我們怎么沒想到呢?。c評：執(zhí)教者瞅準時機，

19、 在看似無疑處巧設疑問， 觸動了學生的思維神經(jīng)，把學生引上求索之路 .本段教學的精彩就在于此！學生的一番唇劍舌槍，激烈的交鋒，在反正對照中， 達成了視界的融合， 對正多邊形的概念的內(nèi)涵與外延做了比較充分的交流， 從學生的表情可以看出情緒的高漲，有效滲透了情感態(tài)度價值觀目標 .“真理愈辯愈明”，執(zhí)教者搭建了放飛學生思維的平臺，學生們爭先恐后登臺競技，大展了個人風采.）四、凹凸誰來見證？師（投影展示圖形）：觀察以下圖形，說說它們的異同？圖 10圖 11圖 12圖 13精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 18 頁 - - - -

20、- - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -生 25：圖 10、11 是四邊形，而圖 12、13 是 5 邊形生 26：不對，圖 13 從外邊看是 10 邊形，里面是 5 邊形，還有三角形、四邊形，這還真難說生 27：圖 13 是個五角星，不過不標準生 28：圖 10、12 都是往外鼓的，而圖11、13 有的地方往里陷生 29：圖 10、12 都是豐滿的，而圖11、13 則顯得干癟師：說的都非常形象、 具體，可見同學們的觀察之仔細， 從數(shù)學的角度來看，幾邊形問題本節(jié)開始就

21、解決了， 現(xiàn)在我們從凸凹的角度加以區(qū)分 （講解凸多邊形、凹多邊形）凸多邊形與凹多邊形圖 14圖 15在圖 14（1）中，畫出四邊形 abcd 的任何一條邊所在的直線，整個圖形都在這條直線的同一側， 這樣的四邊形叫做凸四邊形， 這樣的多邊形稱為凸多邊形；而圖 14（2）就不滿足上述凸多邊形的特征，因為我們畫bd 所在直線，整個多邊形不都在這條直線的同一側，我們稱它為凹多邊形.精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - -

22、 - - - 第 13 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -師：你能畫一個凹五邊形嗎？一人板演，其他同學畫在自己的練習本上，同位互查（巡視、指導中）生 30：如圖 15師：同學們畫得不錯，看來識辨凹多邊形、凸多邊形沒太大問題. 為了研究問題方便，以后沒有特別說明，多邊形是指凸多邊形.（點評：執(zhí)教者一個開放的發(fā)問，引發(fā)了學生的仁者見仁智者見智，發(fā)散了學生的思維，加深對這些圖形的多維認識，最后落腳于“凹、凸”聚化了思維，概念水到渠成 .如此的同中求異、異中求同的對比，給了學生話語權，拉長了獲知過程，見證了執(zhí)教者著力發(fā)展學生思維的育人理念）五、共話多邊形問題 1：多邊形的定義及附件？

23、問題 2：多邊形的分類？問題 3：構成多邊形的條件？問題 4：正多邊形的概念？問題 5：整節(jié)課我們經(jīng)常用到的數(shù)學思想方法是？問題 6：整節(jié)課我們多次用到的一種說明某一說法不合理的方法是？精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -問題 7：若你來設計后面的教材，你能做出怎樣的設想？（交流后達成共識）：問題 1：（1）在同一平面內(nèi)，由 n 條不

24、在同一直線上的線段首尾順次相接所組成的圖形稱為 n 邊形.（2）組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.（3）多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角.（4）多邊形的邊和它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.（5）多邊形的對角線 :連接多邊形的不相鄰的兩個頂點的線段.叫做多邊形的對角線 .問題 2：可分成凸多邊形和凹多邊形，沒有特別說明，均指凸多邊形問題 3：只要保證 n-1 條短線段的和大于最長的線段即可.問題 4：各邊都相等、各角都相等的多邊形叫正多邊形.問題 5：類比、轉化問題 6：舉反例 .問題 7：安排多邊形的內(nèi)角和、外角和等的學習.精品學習資料 可選擇p d f - - - - -

25、- - - - - - - - - 第 15 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -（點評：課堂小結是落葉歸根的“根”，執(zhí)教者通過問題串，引領學生共話多邊形，歷數(shù)了知識技能、 思想方法， 獲取成功之愉悅， 實實在在地落成三維目標.其中的問題 7，把類比方法進一步遷移，在本節(jié)即將落幕時，為下一節(jié)課抹上一撇神秘 .真可謂，課盡意綿 .再次透射出執(zhí)教者敢于靈活駕馭教材的深厚功底）【總評】：1、秉承概念教學乃重中之重的理念.概念是數(shù)學的基石

26、，是人進行思維的基本單位，是數(shù)學學習的起點，對概念的準確把握可以說是衡量認知水平的第一標志. 李邦和院士一語道的： “數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！”.有了這些認知，如何將“知”落實在“行”上才是關鍵！教師往往在教上窮心竭力，而在學生的學上卻顯得有點綿軟，不經(jīng)意間就會忽略學生的學習方式和認知心理. 本節(jié)課不然，執(zhí)教者把重心放在引導學生的學上， 給了學生足夠的話語權， 在還原概念的形成過程、 關注學生是如何獲得數(shù)學概念、 如何理解概念、 以及概念與學生的生活經(jīng)驗、知識經(jīng)驗等的聯(lián)系上濃墨重彩，這種師生、生生的糾結、交互、碰撞，把徹徹底底的一節(jié)抽象乏味的概念課，賦予靈動，煥發(fā)生機，從

27、而澄明概念、深化概念.尤其是多邊形與正多邊形的兩個概念的教學，歷經(jīng)背景引入、 豐富的例證、 概括本質特征、試下定義、概念辨析（正例、反例）等悉心打磨，從具體到抽象，從偏頗到完善，執(zhí)教者的主導作用與學生的主體參與和諧共進，不時擦出智慧的火花，這種深度的參與，使課堂變得鮮活，各個概念在一波三折、多維互動中落定.2、類比引領，凸顯其能 .精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 18 頁 - - - - - - - - -類比是數(shù)學的法寶 . 著名的數(shù)學大師波利亞曾說過“類比是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”；著名的日本物理學家論及，類比是一種創(chuàng)造性的思維形式；天文學家開普勒曾經(jīng)說過： “我診視類比勝于任何別的東西，它是最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學中它應該是最不容忽視的. ”這些論斷都突出了類比的不菲作用 . 在數(shù)學知識體系中，概念不是孤立產(chǎn)生或存在的，諸概念之