2022年一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系教學(xué)案

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系（第 1 課時(shí)）【目標(biāo)導(dǎo)航】1. 會(huì)根據(jù)一元二次方程求出兩根之和和兩根之積 . 2. 利用根與系數(shù)關(guān)系求代數(shù)式的值. 【預(yù)習(xí)引領(lǐng)】問題 ：利用公式法求出一元二次方程20axbxc (0a) 的兩個(gè)根1x= ，2x = ；則12xx=_ , 12xx=_. 【要點(diǎn)梳理】歸納一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系20axbxc (0a) 的兩個(gè)根為1x, 2x , 則12xx=_ , 12xx=_ . 方程20 xpxq的兩根為1x, 2x , 則12xx=_ , 12xx=_. 注意事項(xiàng) : 使用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)要注意兩個(gè)問題: 必須為一元

2、二次方程(0a); 一定在有根的條件下( 0). 練習(xí)不解方程，求下列各方程的兩根之和與兩根之積：（1）2310 xx； （2）23210 xx（3）2230 x； （4）2250 xx答： （1）12xx=-3；12xx=1 （2）12xx=32；12xx= 31（3）12xx=0；12xx=23（4）12xx=- 25；12xx=0 已知方程一根, 求另一根及未知系數(shù)的值.例 1 已知方程ax2- 7x- 6=0( a0) 一根為2,求方程的另一根及a 的值 . 答：將 x=2 代入方程得 4a-20=0 ，a=5設(shè)另一根為m,2m=-56,得 m=-531. 已 知 方 程2230 xx

3、m的 一 個(gè) 根 是12，求它的另一個(gè)根和m的值 . 答：將 x=12代入方程得12-23-m=0，m=-1 設(shè)另一根為2x，-2m=122x，故2x=1 m=-1，另一個(gè)根為1 2. 若一元二次方程22(1)230mxmm的一根為零， 求m的值 . 答：將 x=0 代入方程， 得，322mm=0，m=-3 或 m=1已知方程兩根的關(guān)系, 求未知系數(shù)的值例 2 若方程2380 xxm的兩根之比為3: 2,求 m 的值 . 答：設(shè)兩根分別為3n,2n, 5n=38, n=158263nmm=218n =18)158(2=405011521. 已知方程x2- 2(m+1) x+m2- 2=0, m

4、=_-1 _時(shí), 方程兩根互為相反數(shù); m=1時(shí), 方程兩根互為負(fù)倒數(shù). 2. 若方程20 xpxq的一個(gè)根是另一個(gè)根的 2倍 , 則 p、 q 之間的關(guān)系是qp922不解方程求與根有關(guān)的代數(shù)式的值例 3設(shè)1x、2x是一元二次方程22510 xx的兩個(gè)根， 利用根與系數(shù)關(guān)系求下列各式的值： （1）12(3)(3)xx；（2）2212(1)(1)xx；（3）211211xxxx；（4）12xx. 答： （1）12(3)(3)xx=12xx-3 （12xx）+9= 21-3925=2 （2）2212(1)(1)xx= 1212222112xxxx=12x+22x+2（21xx）+2 =2)(22)

5、(2121221xxxxxx=2252212)25(2=4112（3）211211xxxx= 16112521251)25(1)()(2)(221212121221xxxxxxxxxx（4）12xx= 2174)()(21221221xxxxxx根據(jù)題意，求方程中某些待定字母系數(shù)的值例 4已知關(guān)于x 的方程22(21)10k xkx有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根1x、2x求 k 的取值范圍；k 為何值時(shí)，1x與2x互為倒數(shù) . 答： （1）依題意得：04)12(22kk故得41k（2）12xx=112k，得1k，而41k故，1k1. 已知方程22(21)20 xkxk的兩實(shí)根 的 平 方 和 等 于11

6、 ， k的 取 值 是（c）a 3 或 1 b 3 c1 d 3 2.當(dāng)m -6 時(shí) ， 方 程250 xxm的兩根之差是7. 例 5 已知關(guān)于x的方程2320 xmx的兩根的平方和為139，求m的值 . 答：設(shè)兩根分別為,21xx則 ，12xx=3m12xx=32，所以，2221xx212212)(xxxx=1,9133492mm3. 已知關(guān)于x 的一元二次方程222(2)(4)0 xmxm有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,并且兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21. 求 m的值 . 答： 設(shè)兩根分別為,21xx則，12xx=)2(2 m12xx=42m21212221xxxx213)(21221xxxx421)4(3

7、)2(22mmm=17或 m=-1 方程有實(shí)數(shù)根0,0)4(4)2(422mmm m=-1 例 6 已知關(guān)于x 的一元二次方程2(21)10 xkxk（1）試判斷此一元二次方程根的存在情況；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根21xx 和，且滿足11121xx，求 k 的值精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載答：054)1(4)12(

8、22kkk方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根12xx=)12( k12xx=1k2111211212121kkkxxxxxx例 7 已知關(guān)于x 的方程kx2- 2 (k+1) x+k- 1=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，(1) 求 k 的取值范圍；(2) 是否存在實(shí)數(shù)k， 使此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0 ？若存在，求出k 的值；若不存在，說明理由. 答：依題意得，（1）31,0)1(4) 1(42kkkk（2）假設(shè)存在k 滿足題意，設(shè)兩根分別為,21xx則，12xx=kk)1(212xx=kk1, 101)1(211212121kkkxxxxxx這與31k矛盾，故不存在k 滿足題意。例 8 當(dāng)k取何值時(shí)，

9、一元二次方程2(23)240 xkxk（1）有兩個(gè)正根；（2）有兩個(gè)異號根， 且正根的絕對值較大；（3）一根大于3，一根小于3. 答：設(shè)兩根分別為,21xx則，12xx=32k12xx=42k2222)52(252041689124)42(4)32(kkkkkkkk（1）有兩正根，則12xx012xx0，故2k（2）依題意，得12xx012xx0，故25.1k（3）依題意，得方程的兩個(gè)根中，一個(gè)大于3，一個(gè)小于3，只須且僅須 f(3)0 即 9-3(2k-3)+2k-40 k7/2 1. 關(guān)于 x 的一元二次方程0122xax的兩個(gè)根同號，則a 的取值范圍是0a22.若關(guān)于 x 的一元二次方程

10、 2x22x3m10 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且 x1x2x1x24，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是（d）am53b m12cm53d53m123. 已知21xx、是一元二次方程01222mxx的兩個(gè)實(shí)根 . 求實(shí)數(shù)m的取值范圍；如果m滿足不等式22212147xxxx且m為整數(shù)，求m的值 . 答： . =4-8-8m=-4- 8m 0m -1/2 2.x1x2=（ m+1 ）/2 x1+x2=1 原不等式可改寫成：7+6x1x2 (x1+x2 ）2 即 3m+10 1 m-3 m=-1或 m=-2 【課后盤點(diǎn)】1. 已知方程22230 xx的兩根為1x和2x，則12xx= 1 ，12x x=232.

11、 已知方程2390 xxm的一個(gè)根是1,則m 的值是 _6_，另一根為2 . 3. 若方程22(4)0 xmxm的兩根互為相反數(shù)，則m= -2 . 4. 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)m，n 滿足m2-6m=4，n2-6 n=4，則 mn 的值為 ( d ) a6 b-6 c4 d-4 5. 若一元二次方程02mxx有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，且滿足21121xx，則 m 的值是（b ）a2b21c21d2 6.已知 x1、x2是方程 x23x10 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則1211xx的值是 ( a) a . 3 b. 3 c.13d. 17. 已知 、 是方程2320 xx的兩根 ,求2+- 3的值 . 答：

12、 +=3， =2，故原式 =（+）-3 =0 8. 已知實(shí)數(shù)a、b 分別是方程22630 xx兩根 , 求3222626aaa bab的值 . 答：由 2a3- 6a2+2a2b-6ab =2a（a2-3a+ab-3b ）=2aa(a-3)+b(a-3) =2a(a-3)(a+b) 2x2-6x+3=0, a1=(3+3)/2 ， a2=（3- 3） /2 b1=(3- 3)/2 ， b2=（3+3） /2 a+b=3 代入：2a（a-3) （a+b）=2（3- 3）/2 3=9- 33.或者 2（3+3）/2 3=9+33. 9. 已知關(guān)于x的方程260 xxk的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是1x、2x，且2

13、21212115x xxx（1）求 k 的值；（2）求22128xx的值 . 答： （1）12xx=6 12xx=k )()(21221212221xxxxxxxx=11562k k=11而 36-4k9,0k故 k=-11 （2）22128xx=82)(21221xxxx=36-2k+8=66 10. 已知關(guān)于x 的方程 x22( m+1)x+m2=0. （1）當(dāng) m 取什么值時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根；（2）對 m 選取一個(gè)合適的非零整數(shù)，使原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并求這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和.答：由題可知b-4ac=2(m+1)2-4m20 故， m=0 所以 k=5/4 x1+x2=-b/a=4 x

14、1x2=c/a=2-2k 因?yàn)?k=-1/2 所以存在x1+x20，k+20，k 只能取 2k 取 2 時(shí), abc 是以 bc 為斜邊的直角三角形8. abc 中， c=90， a、b、c、分別為abc三 邊 ， a- b=2 ， b： c=3： 5， 且 方 程222(1)120 xkxk的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和是 abc 的斜邊的平方，求k的值 . 答： 由 b：c=3:5 a 2+b2=c2，得c2=25/16a2，進(jìn)一步可以推出a：b=4:3 結(jié)合 a-b=2, 得a=8 故 c2=25/16a2=100 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k+1)2-2(k2+12)=1

15、00 化簡，得k2+4k-60=0 解之得k=-10 或 k=6 用剪刀將形狀如圖1 所示的矩形紙片abcd沿著直線cm 剪成兩部分 , 其中 m 為 ad 的中點(diǎn). 用這兩部分紙片可以拼成一些新圖形, 例如圖 2 中的 rtbce 就是拼成的一個(gè)圖形. ( 1) 用這兩部分紙片除了可以拼成圖2中的 rtbce 外 , 還可以拼成一些四邊形. 請你試一試, 把拼好的四邊形分別畫在圖3、圖 4 的虛框內(nèi) . ( 2) 若利用這兩部分紙片拼成的rtbce 是等腰直角三角形, 設(shè)原矩形紙片中的邊ab 和bc 的長分別為a 厘米、 b 厘米 , 且 a、b 恰好是關(guān)于 x 的方程01) 1(2mxmx的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 , 試求出原矩形紙片的面積. 答： a、b 恰好是 x2-(m-1)x+m+1=o 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且b 是長， a 是寬a+b=m-1 ab=m+1 a+a=b 2a2=m+1 3a=m-1 解出 ：a1=2 a2=-1/2 (舍) a=2 b=4 s矩形 =2*4=8 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 5 頁