高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)課件5 北師大版選修1-1

1、2.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) v知識(shí)與技能目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)v使學(xué)生理解并掌握拋物線的幾何性質(zhì)，并能從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)這些性質(zhì)v從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)拋物線的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力v過(guò)程與方法目標(biāo)v復(fù)習(xí)與引入過(guò)程復(fù)習(xí)與引入過(guò)程v1拋物線的定義是什么？v請(qǐng)一同學(xué)回答應(yīng)為：“平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線”v2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？v再請(qǐng)一同學(xué)回答應(yīng)為：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=2px(p0)，y2=-2px(p0)，x2=2py(p0)和x2=-2py(p0)v下面我們類(lèi)比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y

2、2=2px(p0)出發(fā)來(lái)研究它的幾何性質(zhì)板書(shū)拋物線的幾何性質(zhì)yxomfdk復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)結(jié)合拋物線結(jié)合拋物線y2=2px(p0)的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形,探索探索其的幾何性質(zhì)其的幾何性質(zhì):(1)范圍范圍(2)對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性(3)頂點(diǎn)頂點(diǎn)類(lèi)比探索類(lèi)比探索x0,yr關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸又叫拋物線的軸又叫拋物線的軸.拋物線和它的軸的交點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn).xy(4)離心率離心率(5)焦半徑焦半徑(6)通徑通徑始終為常數(shù)始終為常數(shù)1通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱(chēng)軸的直線，與拋物線相通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱(chēng)軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通

3、徑。通徑。|pf|=x0+p/2xoyfp通徑的長(zhǎng)度通徑的長(zhǎng)度：2p思考思考：通徑是拋物線的焦點(diǎn)弦中最短的弦嗎？利用拋物線的利用拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫(huà)出可較準(zhǔn)確畫(huà)出反映拋物線基本特征的草圖。反映拋物線基本特征的草圖。特點(diǎn)特點(diǎn)1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無(wú)雖然它可以無(wú)限延伸限延伸,但它沒(méi)有漸近線但它沒(méi)有漸近線;2.拋物線只有一條對(duì)稱(chēng)軸拋物線只有一條對(duì)稱(chēng)軸,沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的拋物線的離心率是確定的,為為1;5

4、.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開(kāi)口的影響對(duì)拋物線開(kāi)口的影響.p越大越大,開(kāi)口越開(kāi)闊開(kāi)口越開(kāi)闊圖圖 形形方程方程焦點(diǎn)焦點(diǎn)準(zhǔn)線準(zhǔn)線 范圍范圍 頂點(diǎn)頂點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸elfyxolfyxolfyxolfyxoy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pf)0 ,2(pf )2, 0(pf)2, 0(pf2px 2px 2py 2pyx0yrx0yry0 xry 0 xr(0,0)x軸軸y軸軸1變式變式: 頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸,并且過(guò)點(diǎn)并且過(guò)點(diǎn)m(2, )的拋物線有幾條的拋物線

5、有幾條,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.2 2典型例題：典型例題：例例1.已知拋物線關(guān)于已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，軸對(duì)稱(chēng)，頂點(diǎn)在坐標(biāo)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn),并且過(guò)點(diǎn)并且過(guò)點(diǎn)m(2, ),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.2 2當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在x(y)軸上軸上,開(kāi)口方向不定時(shí)開(kāi)口方向不定時(shí),設(shè)為設(shè)為y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免討論可避免討論)0(2),22, 2(2ppxymx程為所以，可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方點(diǎn)點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在原解：因?yàn)閽佄锞€關(guān)于222)22(2ppm，即在拋物線上，所以因?yàn)辄c(diǎn)xy42準(zhǔn)方程是因此，所求拋物線的標(biāo)xyofabba224 ,(1)4 ,yxxx

6、代代入入方方程程得得.0162xx化簡(jiǎn)得84)(216212212121xxxxabxxxx。的長(zhǎng)是所以，線段8ab例例2.斜率為斜率為1的直線的直線l經(jīng)過(guò)拋物線經(jīng)過(guò)拋物線 的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)f,且與拋物線相交于且與拋物線相交于a,b兩點(diǎn)兩點(diǎn),求線段求線段ab的長(zhǎng)的長(zhǎng).y2 = 4x解法一解法一:由已知得拋物線的焦點(diǎn)由已知得拋物線的焦點(diǎn)為為f(1,0),所以直線所以直線ab的方程為的方程為y=x-1xyofabba.,),(),(2211baddlbayxbyxa的距離分別為準(zhǔn)線到設(shè), 1, 121xdbfxdafba由拋物線的定義可知1228abafbfxx 所所以以例例2.斜率為斜率為1的直線的

7、直線l經(jīng)過(guò)拋物線經(jīng)過(guò)拋物線 的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)f,且與拋物線相交于且與拋物線相交于a,b兩點(diǎn)兩點(diǎn),求線段求線段ab的長(zhǎng)的長(zhǎng).y2 = 4x2,1,2pp . 1:xl準(zhǔn)線解法二解法二:由題意可知由題意可知, 變式：變式： 過(guò)拋物線過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)f任作一條直線任作一條直線m，交這拋物線于交這拋物線于a、b兩點(diǎn)，求證：以?xún)牲c(diǎn)，求證：以ab為直徑的圓為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切和這拋物線的準(zhǔn)線相切證明：如圖 所以所以eh是以是以ab為直徑的為直徑的圓圓e的半徑，且的半徑，且ehl，因，因而圓而圓e和準(zhǔn)線和準(zhǔn)線l相切相切設(shè)設(shè)ab的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為e，過(guò)，過(guò)a、e、b分別向準(zhǔn)線分別向準(zhǔn)線l引

8、垂引垂線線ad，eh，bc，垂足為，垂足為d、h、c，則則afad，bfbcabafbfadbc =2eh練習(xí)練習(xí):1.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸，軸，焦點(diǎn)在直線焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑上，那么拋物線通徑長(zhǎng)是長(zhǎng)是_.2.過(guò)拋物線過(guò)拋物線 的焦點(diǎn)的焦點(diǎn),作傾斜角為作傾斜角為的直線的直線,則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)3.垂直于垂直于x軸的直線交拋物線軸的直線交拋物線y2=4x于于a、b,且且|ab|=4 ,求直線求直線ab的方程的方程.1616 y2 = 8x0453x=3例例3.過(guò)拋物線焦點(diǎn)過(guò)拋物線焦點(diǎn)f的直線交

9、拋物線于的直線交拋物線于a,b兩點(diǎn)兩點(diǎn),通過(guò)點(diǎn)通過(guò)點(diǎn)a和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)點(diǎn)d,求證求證:直線直線db平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸.xoyfabd例例3 過(guò)拋物線焦點(diǎn)過(guò)拋物線焦點(diǎn)f的直線交拋物線于的直線交拋物線于a,b兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)a和拋物線頂點(diǎn)的和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)d，求證：直線，求證：直線db平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸。平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸。,22pxyx物線的方程為建立直角坐標(biāo)系。設(shè)拋軸，它的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，軸為證明：以拋物線的對(duì)稱(chēng),2),2(0020 xypyoaypya的方程為則直線的坐標(biāo)為點(diǎn)2px拋物線的準(zhǔn)線是.02ypyd的縱坐標(biāo)為聯(lián)立可得點(diǎn).222),0 ,2(200ppypxyyafpf方程為的所以直線的坐標(biāo)是因?yàn)辄c(diǎn).02ypyb的縱坐標(biāo)為聯(lián)立可得點(diǎn)軸。所以xdb/xyofabd小結(jié)小結(jié):1.掌握