2022年《常微分方程》課程試題

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載中國海洋大學(xué)2008-2009 學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷學(xué)院常微分方程課程試題(a 卷) 共 頁第 1 頁考試說明 ：本課程為閉卷考試，可攜帶計算器、 圓規(guī)、 直尺、 半圓儀文具， 滿分為：100 分。一、選擇題（本題共10 分）1、微分方程),(yxfdxdy的 ( )稱之為微分方程的積分曲線(a) 斜率),(yxf； (b)解曲線)x(y；(c)y的微分dxyxf),(； (d) (a)(b)(c)都不對2、方程0),(),(dyyxndxyxm有只與y有關(guān)的積分因子的充要條件為下面哪一個 ( )(a)()(1yxnymn； (b)()(1yxnymm； (c)()(1

2、yxnymn； (d)()(yxnymmn. 3、對于一階微分方程),(yxfdxdy，r=axx0，byy0作皮卡序列xxnnryxdxxxfyxyx0),( ,)(,()()(001000,決定)(xn一致收斂的條件是( ) (a),(yxf在 r上連續(xù)； (b),(yxf在 r上關(guān)于 y 滿足李普希茨條件；題號一二三四五總分得分優(yōu)選專業(yè)年級信息與計算科學(xué)06級學(xué)號姓名授課教師高存臣座號- - - - -裝裝-訂訂-線線- - - - - - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 4 頁 - -

3、 - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 4 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載(c),(yxf在 r上關(guān)于 x 滿足李普希茨條件；(d),(yxf在 r上關(guān)于 y 連續(xù)4、方程022244xdtxddtxd的通解為（）. （a）ttetccetccx24321)()(；（b）ttececx221；（c）ttccttccxsin)(cos)(4321；(d)tctcxsincos21. 5、給定常系數(shù)線性微分方程組ax x，如果a 的特征值的實部都是負(fù)的，則它的任一解當(dāng)t時，都趨于

4、（） (a) 零；(b) 一個固定的常數(shù)；(c) 無窮大；(d)保持有界二、判斷題（本題共10 分）1、形式為), ,()()(nnyyyxfy的方程稱為n 階常微分方程( )2、方程)(222111cybxacybxafdxdy可化為變量分離方程( )3、若函數(shù)),(yxf在區(qū)間axxr0:，byy0上關(guān)y偏導(dǎo)數(shù)),(yxfy連續(xù)，則),(yxf在 r上必關(guān)于y滿足李普希茨條件.( )4、若函數(shù))(,),(1txtxn在區(qū)間bta上線性相關(guān)，則在bta上它們的伏朗斯基行列式恒等于零（）5、方程組x)t(a x一定存在n個線性無關(guān)的解( ) 三、填空題（本題共10 分）1、如果函數(shù))(xy代入

5、方程0), ,()(nyyyxf后，能使它變?yōu)楹愕仁? )，則稱 ( )為方程0), ,()( nyyyxf的解2、形如 ( )的方程稱為齊次方程，其中（）函數(shù)3、方程xydxdy2的解的存在且唯一的區(qū)域為（）. 4、方程033xdtxd的通解為（） 5、x)t (a x的 （） 稱為x)t(a x的一個基本解組.顯然，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 4 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 4 頁 - - - - -

6、- - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載x)t(a x具有（）個不同的基本解組四、簡答題（本題共40 分）1、求方程0) 1()2(3dyxdxyx的積分因子，并求解方程2、已知),(yxf在)0,0(,:00babyyaxxr上連續(xù)，且關(guān)于y 滿足李普希茲條件又,3 ,2 ,1,)(,(0,)(0100ndttytfynyxyxxnn當(dāng)hxx0時)(xyn連續(xù)求證：)(xyn在hxx0上一致收斂3、求方程xyyy2cos2 的通解 . 4、設(shè))(,),(),(121txtxtxn是方程)()(tfxtax的1n個線性無關(guān)解， 其中，0)(tf，求證方程組的任何解)(tx恒可表示成)()()()(1

7、12211txatxatxatxnn其中121na,a,a是常數(shù)，且滿足關(guān)系式1121naaa反之，滿足式的函數(shù)也必是方程組的解五、綜合題（本題共30 分）1火車沿水平的道路運(yùn)動，火車的重量是p，機(jī)車的牽引力是f，運(yùn)動時的阻力bva，其中ba,是常數(shù)，而v是火車的速度；s 是走過的路程試確定火車的運(yùn)動規(guī)律，設(shè)0t時，0s，0v 2.求方程組)()(tfxtax的解)t(，其中0)0(，6116100010a，tetf00)(精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 4 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 4 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載授課教師命題教師或命題負(fù)責(zé)人簽字年月日院系負(fù)責(zé)人簽字年月日共 頁第 頁精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - -