數(shù)值分析部分

1、數(shù)值分析講義19 第1章 數(shù)值分析中的誤差 一、重點(diǎn)內(nèi)容 誤差 設(shè)精確值 x* 的近似值 x，差 exx* 稱為近似值 x 的誤差(絕對(duì)誤差)。 誤差限 近似值 x 的誤差限 e 是誤差 e 的一個(gè)上界，即 |e|xx*|。 相對(duì)誤差 er 是誤差 e 與精確值 x* 的比值， 。常用 計(jì)算。相對(duì)誤差限 是相對(duì)誤差的最大限度， ，常用 計(jì)算相對(duì)誤差限。 絕對(duì)誤差的運(yùn)算： (x1±x2)(x1)(x2) (x1x2)|x1|(x2)|x2|(x1) 有效數(shù)字 如果近似值 x 的誤差限 是它某一個(gè)數(shù)位的半個(gè)單位，我們就說 x 準(zhǔn)確到該位。從這一位起到前面第一個(gè)非 0 數(shù)字為止的所有數(shù)字稱

2、為 x 的有效數(shù)字。 關(guān)于有效數(shù)字： (1) 設(shè)精確值 x* 的近似值x， x±0.a1a2an×10 m a1，a2，an 是 09 之中的自然數(shù)，且 a10， |xx*|0.5×10 ml ，1ln則 x 有l(wèi)位有效數(shù)字.(2) 設(shè)近似值 x±0.a1a2an×10m 有 n 位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限 (3) 設(shè)近似值 x±0.a1a2an×10m 的相對(duì)誤差限不大于 則它至少有 n 位有效數(shù)字。(4) 要求精確到103，取該數(shù)的近似值應(yīng)保留 4 位小數(shù)。一個(gè)近似值的相對(duì)誤差是與準(zhǔn)確數(shù)字有關(guān)系的，準(zhǔn)確數(shù)字是從一個(gè)數(shù)的第

3、一位有效數(shù)字一直數(shù)到它的絕對(duì)誤差的第一位有效數(shù)字的前一位，例如具有絕對(duì)誤差 e0.0926 的數(shù) x20.7426 只有三位準(zhǔn)確數(shù)字 2，0，7。一般粗略地說，具有一位準(zhǔn)確數(shù)字，相對(duì)于其相對(duì)誤差為 10% 的量級(jí)；有二位準(zhǔn)確數(shù)字，相對(duì)于其相對(duì)誤差為 1% 的量級(jí)；有三位準(zhǔn)確數(shù)字，相對(duì)于其相對(duì)誤差為 0.1% 的量級(jí)。 二、實(shí)例 例1 設(shè) x*p3.1415926近似值 x3.140.314×101，即 m1，它的誤差是 0.001526，有|xx*|0.0015260.5×1013即 l3，故 x3.14 有 3 位有效數(shù)字。x3.14 準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第 2 位。又近似值

4、x3.1416，它的誤差是 0.0000074，有 |xx*|0.00000740.5×1015即 m1，l5，x3.1416 有 5 位有效數(shù)字。而近似值 x3.1415，它的誤差是 0.0000926，有 |xx*|0.00009260.5×1014即 m1，l4，x3.1415 有 4 位有效數(shù)字。這就是說某數(shù)有 s 位數(shù)，若末位數(shù)字是四舍五入得到的，那么該數(shù)有 s 位有效數(shù)字；若末位數(shù)字不是四舍五入得到的，那么該數(shù)有 s 位或 s1 位有效數(shù)字。例2 指出下列各數(shù)具有幾位有效數(shù)字，及其絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限：2.000 4 0.002 00 9 000 9 000.

5、00解 因?yàn)?x12.000 40.200 04×101，它的誤差限 0.000 050.5×10 15，即 m1，l5，故 x12.000 4 有 5 位有效數(shù)字。相對(duì)誤差限 。x20.002 00，誤差限 0.000 005，因?yàn)?m2，l3，x20.002 00 有 3 位有效數(shù)字。相對(duì)誤差限 e r0.000 005/0.002 000.25%。 x39 000，絕對(duì)誤差限為 0.5，因?yàn)?m4，l4，x39 000 有 4 位有效數(shù)字，相對(duì)誤差限 e r0.5/9 0000.005 6%。x49 000.00，絕對(duì)誤差限 0.005，因?yàn)?m4，l6，x49 00

6、0.00 有 6 位有效數(shù)字，相對(duì)誤差限為 e r0.005/9 000.000.000 056%。由 x3 與 x4 可以看到小數(shù)點(diǎn)之后的 0，不是可有可無的，它是有實(shí)際意義的。例3 ln20.69314718，精確到 103 的近似值是多少？解 精確到 1030.001，即絕對(duì)誤差限是 e0.05，故至少要保留小數(shù)點(diǎn)后三位才可以。ln20.693。三、練習(xí)題 1. 設(shè)某數(shù) x*，它的保留三位有效數(shù)字的近似值的絕對(duì)誤差是 。2. 設(shè)某數(shù) x*，它的精確到 104 的近似值應(yīng)取小數(shù)點(diǎn)后 位。3. ( )的 3 位有效數(shù)字是 0.236×102。 (A) 235.54×101

7、 (B) 235.418 (C) 2354.82×102 (D) 0.0023549×1034. 設(shè) a*2.718181828，取 a2.718，則有( )，稱 a 有四位有效數(shù)字。 (A) |aa*|0.5×104 (B) |aa*|0.5×1014 (C) |aa*|104 (D) |aa*|0.0003 5. 設(shè)某數(shù) x*，對(duì)其進(jìn)行四舍五入的近似值是( )，則它有 3 位有效數(shù)字，絕對(duì)誤差限是 0.5×104。 (A) 0.315 (B) 0.03150 (C) 0.0315 (D) 0.003156. 以下近似值中，保留四位有效數(shù)字，

8、相對(duì)誤差限為 0.25×103。 (A) 0.01234 (B) 12.34 (C) 2.20 (D) 0.22007. 將下列各數(shù)舍入成三位有效數(shù)字，并確定近似值的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。(1) 2.1514 (2) 392.85 (3) 0.0039228. 已知各近似值的相對(duì)誤差，試確定其絕對(duì)誤差：(1) 13267 e r0.1% (2) 0.896 e r10% 9. 已知各近似值及其絕對(duì)誤差，試確定各數(shù)的有效位數(shù)。 (1) 0.3941 e0.25×102 (2)293.481 e0.1 (3) 0.00381 e0.1×104 10. 已知各近似值及其相

9、對(duì)誤差，試確定各數(shù)的有效位數(shù)。 (1) 1.8921 e r0.1×102 (2) 22.351 e r0.15 (3) 48361 e r1% 四、練習(xí)題答案 1該數(shù)有效數(shù)字第四位的一半。 2 . 五 3. (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) 7. (1)2.15, e0.14×102，e r0.65×103；(2) 393，e0.15，e r0.38×103；(3)0.00392，e0.2×105，e r0.51×103 8. (1) e0.13×10 2；(2) 0.9×101 9. (1) 2

10、；(2)3；(3)2 10.(1) 3；(2)1；(3)2 第15章 線性方程組的數(shù)值解法 一、重點(diǎn)內(nèi)容 1. 高斯順序消去法解線性方程組AXb，對(duì)增廣矩陣 順序作初等行變換，使矩陣A化為上三角形矩陣，再回代，從而得到線性方程組的解。要求作初等行變換消元過程中， 。 注意：本章討論線性方程組的解的方法，不討論解的存在性。 2. 高斯列主元消去法 在高斯順序消去法中，每次消元之前，要確定主元 ， ( k1，2，3，n1) 把第r行作為主方程，做第k次消元。 把系數(shù)矩陣化為上三角形矩陣，從而得到線性方程組的解。 3. 雅可比迭代法(簡單迭代法) 解線性方程組AXb的雅可比迭代法公式為 ( k0，1

11、，2，) 4. 高斯賽德爾迭代法 解線性方程組AXb的高斯賽德爾迭代法公式為 (i1，2，n；k0，1，2，) 5解的收斂性定理 【定理1】 高斯消去法消元過程能進(jìn)行到底的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的各階順序主子式不為0；AXb能用高斯消去法求解的充分必要條件是A的各階順序主子式不為0。 【定理4】(迭代法基本定理) 設(shè)線性方程組XBXf對(duì)于任意初始向量X (0)及任意f，對(duì)應(yīng)此方程組的迭代公式 X (k1)B (k)Xf 收斂的充分必要條件是 ,其中 i ( i1，2，n)為迭代矩陣B的特征根。當(dāng) i為復(fù)數(shù)時(shí)，| i|表示 i的模。 【定理6】(迭代法收斂的充分條件)設(shè)線性方程組AXb，(1)

12、 若A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則雅可比迭代法和高斯賽德爾迭代法收斂；(2) 若A為對(duì)稱正定矩陣，則高斯賽德爾迭代法收斂。注：設(shè)矩陣A aij n，若 則稱矩陣A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。二、實(shí)例 例1 用順序消去法解線性方程組 解 順序消元 于是有同解方程組 回代得解x31，x21，x11，原線性方程組的解為X(1，1，1)T。例2 取初始向量X(0)(0，0，0)T，用雅可比迭代法求解線性方程組 解 建立迭代格式 (k1，2，3，) 第1次迭代，k0X(0)0，得到X(1)(1，3，5)T第2次迭代，k1 X(2)(5，3，3)T 第3次迭代，k2 X(3)(1，1，1)T 第4次迭代，k3 X(4)

13、(1，1，1)T 例3 填空選擇題： 1. 用高斯列主元消去法解線性方程組 作第1次消元后的第2，3個(gè)方程分別為 。解 選a212為主元，作行互換，第1個(gè)方程變?yōu)椋?x12x23x33，消元得到 是應(yīng)填寫的內(nèi)容。2. 用選主元的方法解線性方程組AXb，是為了( )(A) 提高計(jì)算速度 (B) 減少舍入誤差 (C) 減少相對(duì)誤差 (D) 方便計(jì)算答案：選擇(B)3. 用高斯賽德爾迭代法解線性方程組 的迭代格式中 (k0，1，2，)答案： 解答：高斯賽德爾迭代法就是充分利用已經(jīng)得到的結(jié)果，求x2的值時(shí)應(yīng)該用x1的新值。4. 當(dāng)a ( )時(shí)，線性方程組 的迭代解一定收斂。(A) 6 (B) 6 (C

14、) 6 (D) 6或6答案：(D)解答：當(dāng)|a|6時(shí)，線性方程組的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，由教材第10章定理6，迭代解一定收斂。三、練習(xí)題 1. 用高斯列主元消去法解線性方程組 2. 用高斯賽德爾迭代法求解線性方程組 取初始值(4.67，7.62，9.05)T，求二次迭代值。 3. 證明線性方程組 的迭代解收斂。 4. 用高斯順序消去法解線性方程組，消元能進(jìn)行到底的充分必要條件是 5. 用列主元消去法解線性方程組 ，第1次消元，選擇主元為( ) (A) 3 (B) 4 (C) 4 (D)9 四、練習(xí)題答案 1. X(4，1，2)T 2. (4.666 19，7.618 98，9.047 5

15、3)T 3. 提示：系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。 4. 線性方程組的系數(shù)矩陣的各階順序主子式均不為0。 5. (C) 第2章 函數(shù)插值與最小二乘擬合 一、重點(diǎn)內(nèi)容 1. 函數(shù)插值 已知函數(shù)f(x)的n個(gè)函數(shù)值ykf(xk)，k0，1，2，n。構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式P(x)，使得P(xk)yk。P(x)就是插值多項(xiàng)式，f(x)就是被插函數(shù)，xk就是插值節(jié)點(diǎn)。誤差R(x)f(x)P(x)。 2. 拉格朗日多項(xiàng)式 稱n次多項(xiàng)式Pn (x)y0l0y1l1ynln 為拉格朗日插值多項(xiàng)式，其中基函數(shù) (i0，1，2，n) 當(dāng)n1時(shí)，線性插值 P1(x)yklk(x)yk+1lk+1(x)其中基函數(shù) 。 當(dāng)n2時(shí)

16、，得到二次多項(xiàng)式，就是二次插值。拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為 : ,其中(a，b)注意：過n1個(gè)互異點(diǎn)，所得的多項(xiàng)式應(yīng)該是次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式。3. 均差與牛頓插值多項(xiàng)式 函數(shù)值與自變量的差商就是均差，一階均差 (或記作fx0，x1)； 二階均差 (或記作fx0，x1，x2) 均差有兩條常用性質(zhì)：(1)均差用函數(shù)值的線性組合表示；(2)均差與插值節(jié)點(diǎn)順序無關(guān)。 用均差為系數(shù)構(gòu)造多項(xiàng)式，就是牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x)f(x0)fx0，x1(xx0)fx0，x1，x2(xx0)(xx1) fx0，x1，x2，xn(xx0)(xx1)(xx2) (xxn-1) 牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為：R n(x)f(x

17、)Nn(x) fx，x0，x1，x2，xn(xx0)(xx1)(xx2) (xxn1)(xxn)4. 分段線性插值 已知n1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)x0，x1，xn構(gòu)造一個(gè)分段一次的多項(xiàng)式P(x)，且滿足：(1)P(x)在a，b上連續(xù)；(2) P(xk)yk (k0，1，2，n)；(3)P(x)在xk，xk+1上是線性函數(shù)。 分段線性插值函數(shù) 其中l(wèi)k(x)(k0，1，2，n)是分段線性插值基函數(shù)。 (i1，2，n1) 5. 三次樣條插值函數(shù) (k0，1，2，n1) (xkxxk1)其中S²(xk)mk (k0，1，2，n)，hkxk+1xk (k0，1，2，n1)，m 0，m1，mn滿足的方程組

18、是 (*)其中： ， (k1，2，n1) (1) 當(dāng)已知S¢(x0)y¢0，S¢(xn)y¢n時(shí)，(*)式中 m01，ln1， (2) 當(dāng)已知S²(x0)y²0m0，S²(xn)y²nmn時(shí)，(*)式化為 6. 最小二乘法用j(x)擬合數(shù)據(jù)(xk，yk) (k1，2，n)，使得誤差的平方和 為最小，求j(x)的方法，稱為最小二乘法。(1) 直線擬合 若 ，a0，a1滿足法方程組 (2) 二次多項(xiàng)式擬合 若 ，a0，a1，a2滿足法方程組 二、實(shí)例 例1 已知函數(shù)yf(x)的觀察數(shù)據(jù)為xk 2045yk 5131試構(gòu)

19、造拉格朗日多項(xiàng)式Pn(x)，并計(jì)算P(1)。只給4對(duì)數(shù)據(jù)，求得的多項(xiàng)式不超過3次解 先構(gòu)造基函數(shù) 所求三次多項(xiàng)式為 P3(x)= P3(1) 例2 已知函數(shù)yf(x)的數(shù)據(jù)如表中第1，2列。計(jì)算它的各階均差。解 依據(jù)均差計(jì)算公式，結(jié)果列表中。k xk f(xk)一階均差 二階均差 三階均差 四階均差 00.400.410 75 10.550.578 151.116 00 20.650.696 751.168 000.280 00 30.800.888 111.275 730.358 930.197 33 40.901.201 521.384 100.433 480.213 000.031 34

20、計(jì)算公式為 一階均差 (k0，1，2，3) 二階均差 (k0，1，2)三階均差 (k0，1)四階均差 例3 設(shè)x0，x1，x2，xn是n1個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)，lk(x) (k0，1，2，n)是拉格朗日插值基函數(shù)，證明：(1) ；(2) (m0，1，2，n)證明 (1) Pn(x)y0l0y1l1ynln 當(dāng)f(x)1時(shí)，1 由于 ，故有 (2) 對(duì)于f(x)xm，m0，1，2，n，對(duì)固定xm (0mn)，作拉格朗日插值多項(xiàng)式，有 當(dāng)nm1時(shí)，f (n+1) (x)0，Rn(x)0，所以 注意：對(duì)于次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式 ，利用上結(jié)果，有 = = 可見，Qn(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身，即次

21、數(shù)不超過n的多項(xiàng)式在n1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)處的拉格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身。例4 已知函數(shù)ex的下列數(shù)據(jù)，用分段線性插值法求x0.2的近似值。x 0.100.150.250.30ex 0.904 8370.860 7080.778 8010.740 818 解 用分段線性插值，先求基函數(shù)。 所求分段線性插值函數(shù)為 所以，e0.2P(0.2)0.819 07×0.20.983 5690.819 755例5 已知數(shù)據(jù)如表的第2，3列，試用直線擬合這組數(shù)據(jù)。 解 計(jì)算列入表中。k xk yk xkyk 11414224.5493369184481632558.52542.5S153155105.5

22、 n5。a0，a1滿足的法方程組是 解得a02.45，a11.25。所求擬合直線方程為 y2.451.25x 例6 選擇填空題1. 設(shè)yf(x)，只要x0，x1，x2是互不相同的3個(gè)值，那么滿足P(xk)yk (k0，1，2)的f(x)的插值多項(xiàng)式P(x)是 (就唯一性回答問題)答案：唯一的解答：因?yàn)檫^3個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式是不超過2次的。設(shè)P(x)a2x2a1xa0，其中a2，a1，a0是待定數(shù)。P(xk)yk，即 這是關(guān)于a2，a1，a0的線性方程組，它的解唯一，因?yàn)橄禂?shù)行列式 所以，不超過2次的多項(xiàng)式是唯一的。 2. 通過四個(gè)互異節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式P(x)，只要滿足( ), 則P(x)是

23、不超過一次多項(xiàng)式。 (A) 初始值y00 (B) 一階均差為0 (C) 二階均差為0 (D)三階均差為0答案：(C)解答：因?yàn)槎A均差為0，那么牛頓插值多項(xiàng)式為N(x)f(x0)fx0，x1(xx0)它是不超過一次的多項(xiàng)式。 3. 拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是( )，牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是( ) (A) (B) fx，x0，x1，x2，xn(xx1)(xx2) (xxn1)(xxn) (C) (D) fx，x0，x1，x2，xn(xx0)(xx1)(xx2) (xxn1)(xxn)答案：(A)，(D)。見教材有關(guān)公式。4. 數(shù)據(jù)擬合的直線方程為ya0a1x，如果記 那么系數(shù)a0，a1滿足的方程組

24、是( ) (A) (B) (C) (D) 答案：(B)解答：因?yàn)榉ǚ匠探M為 由第1個(gè)方程得到 ，將其代入第2個(gè)方程得到 整理得 故(B)正確。三、練習(xí)題 1. 已知函數(shù)yf(x)，過點(diǎn)(2，5)，(5，9)，那么f(x)的線性插值多項(xiàng)式的基函數(shù)為 。2. 過6個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項(xiàng)式的基函數(shù)l4(x) 。3. 已知多項(xiàng)式P(x)，過點(diǎn)(0，0)，(2，8)，(4，64)，(11，1331)，(15，3375)，它的3階均差為常數(shù)1，一階，二階均差均不為0，那么P(x)是( ) (A)二次多項(xiàng)式 (B)不超過二次的多項(xiàng)式 (C) 三次多項(xiàng)式 (D) 四次多項(xiàng)式4. 已知yf(x)的均差 ，

25、 ， ， 。那么fx4，x2，x0( ) (A) 5 (B) 9 (C)14 (D) 85. 求數(shù)據(jù)擬合的直線方程ya0a1x的系數(shù)a0，a1是使 最小。6. 求過這三個(gè)點(diǎn) (0，1)，(1，2)，(2，3)的拉格朗日插值多項(xiàng)式。7. 構(gòu)造例2的函數(shù)f(x)的牛頓插值多項(xiàng)式，并求f(0.596)的近似值。8. 設(shè)l0(x)是以n1個(gè)互異點(diǎn)x0，x1，x2，xn為節(jié)點(diǎn)的格朗日插值基函數(shù) 試證明： 9. 已知插值條件如表所示，試求三次樣條插值函數(shù)。x 123y 2412y¢1 1 10. 已知數(shù)據(jù)對(duì)(7，3.1)，(8，4.9)，(9，5.3)，(10，5.8)，(11，6.1)， (1

26、2，6.4)，(13，5.9)。試用二次多項(xiàng)式擬合這組數(shù)據(jù)。四、練習(xí)題答案 1. 2. 3. C 4. B 5. 6. x1 7. 給定五對(duì)點(diǎn)，牛頓多項(xiàng)式是不超過4次的多項(xiàng)式。N4(x)0.410751.11600(x0.40)0.28000(x0.40)(x0.55) 0.19733(x0.40)(x0.55)(x0.65)0.03134(x0.40)(x0.55)(x0.65)(x0.80)將x0.596代入牛頓多項(xiàng)式N4(x)中，得到：f(0.596)N(0.596)0.631 928. 提示：求l0(x)的牛頓插值多項(xiàng)式。9. 10. y0.145x23.324x12.794 第4章

27、數(shù)值積分與微分 一、重點(diǎn)內(nèi)容 1. m次代數(shù)精度 求積公式 對(duì)于任意不超過m次的代數(shù)多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立，而對(duì)某一個(gè)m1次代數(shù)多項(xiàng)式不成立。 2. 牛頓科茨求積公式： 截?cái)嗾`差 (1)科茨系數(shù)： (k0，1，2，n)，有兩條性質(zhì)。(2) 牛頓科茨求積公式的求積系數(shù)：Ak (k0，1，2，n)(3) 常見牛頓科茨求積公式 梯形公式 截?cái)嗾`差： R1 f 復(fù)化梯形公式 截?cái)嗾`差： ，M2 拋物線公式 復(fù)化拋物線公式 截?cái)嗾`差： ， 科茨公式 3高斯勒讓德求積公式 ， 節(jié)點(diǎn)為 的零點(diǎn)(高斯點(diǎn)) 其余項(xiàng)： 4. 微分公式 (1)等距節(jié)點(diǎn)兩點(diǎn)求導(dǎo)公式： (k0，1，2，n1) (2)等距節(jié)點(diǎn)三點(diǎn)求導(dǎo)公式：

28、(k1，2，n1)二、實(shí)例 例1 試確定求積公式 的代數(shù)精度。依定義，對(duì)xk (k0，1，2，3，)，找公式精確成立的k數(shù)值解 當(dāng)f(x)取1，x，x2，計(jì)算求積公式何時(shí)精確成立。 (1) 取f(x)1，有 左邊 ， 右邊 (2) 取f(x)x，有 左邊 ， 右邊 (3) 取f(x)x2，有 左邊 ， 右邊 (4) 取f(x)x3，有 左邊 ， 右邊 (5) 取f(x)x4，有 左邊 ， 右邊 當(dāng)k3時(shí)求積公式精確成立，而x4公式不成立，可見該求積公式具有3次代數(shù)精度。例2 試用梯形公式、拋物線公式和科茨公式計(jì)算定積分 (計(jì)算結(jié)果取5位有效數(shù)字) (1)用梯形公式計(jì)算 (2) 用拋物線公式 (

29、3)用科茨公式 系數(shù)為 如果要求精確到105，用復(fù)化拋物線公式，截?cái)嗾`差為 ， ， ， ，N2只需把0.5，1 4等分，分點(diǎn)為0.5，0.625，0.75，0.875，1 例3 用三點(diǎn)高斯勒讓德求積公式計(jì)算積分 高斯型求積公式只能計(jì)算1，1上的定積分解 做變量替換 ， 查表得節(jié)點(diǎn)±0.774 596 669 和0；系數(shù)分別為0.555 555 5556和0.888 888 8889 注：該積分準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后七位是0.9460831，可見高斯型求積公式的精度是很高的。教材的第12章12.2節(jié)，用多種方法計(jì)算過該積分，它們的精度請(qǐng)讀者自行比較。 例4 用三點(diǎn)公式計(jì)算 在x1.0，1.1，

30、1.2處的導(dǎo)數(shù)值。已知函數(shù)值f(1.0)0.250000，f(1.1)0.226757，f(1.2)0.206612 解 三點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式為 k1，2，3，n1本例取x01.0，x11.1，x21.2，y00.250000，y10.226757，y20.206612，h0.1。于是有計(jì)算 例5 選擇填空題1. 牛頓科茨求積公式與高斯型求積公式的關(guān)鍵不同點(diǎn)是 。解答：牛頓科茨求積公式的節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)確定后，再估計(jì)其精度；高斯型求積公式是由精度確定其節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)。2. 如果用復(fù)化梯形公式計(jì)算定積分 ，要求截?cái)嗾`差的絕對(duì)值不超過0.5×104，試問n( ) (A) 41 (B) 42 (C)

31、 43 (D) 40答案：(A)解答；復(fù)化的梯形公式的截?cái)嗾`差中 ，故 ，n40.8，取n41。故選擇(A)。3. 已知n3時(shí)，科茨系數(shù) ，那么 答案：1/8解答：由科茨系數(shù)的歸一性質(zhì)， 三、練習(xí)題 1. 試確定求積公式的待定參數(shù)，使求積公式 A0f(0)A1f(1)A2f(2)的代數(shù)精度盡可能的高。2. 用復(fù)化拋物線公式計(jì)算定積分 。取n4，保留4位有效數(shù)字。3. 試用四點(diǎn)(n3)高斯勒讓德求積公式計(jì)算積分 4. 已知條件見例4。用兩點(diǎn)求導(dǎo)公式計(jì)算f ¢(1.0)，f ¢(1.1)。5. 若用復(fù)化拋物線公式計(jì)算積分 ，要求截?cái)嗾`差的絕對(duì)值不超過0.5×104，試

32、問n ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 36當(dāng)n6時(shí)， ( ) 7. 用三點(diǎn)高斯勒讓德求積公式計(jì)算積分 ，具有 代數(shù)精度的。四、練習(xí)題答案 1. A0A21/3，A14/3 2. 0.1109 3. 3.141624 4. 0.23243；0.201455. (B) 6. (D) 7. 5次 第13章 方程求根 一、重點(diǎn)內(nèi)容 1. 二分法: 設(shè)方程f(x)0在區(qū)間a，b內(nèi)有根，用二分有根區(qū)間的方法，得到有根區(qū)間序列： 。 x*xn= (a0a，b0b)，n0，1，2， 有誤差估計(jì)式：½x*xn½ ，n0，1，2， 二分區(qū)間次數(shù)： 2. 簡單迭代法: 若方程

33、f(x)0表成xj(x)，于是有迭代格式： xnj(xn1) （n1，2，） x*xn若存在0l1,|¢j(x)| l£,在區(qū)間a,b內(nèi)任一點(diǎn)為初始值進(jìn)行迭代，迭代數(shù)列收斂。 3. 牛頓法:用切線與x軸的交點(diǎn)，逼近曲線f(x)與x軸的交點(diǎn)。迭代公式為 （n1，2，） 選初始值x0滿足f(x0)f ²(x0)0，迭代解數(shù)列一定收斂。 4. 弦截法: 用兩點(diǎn)連線與x軸交點(diǎn)逼近曲線f(x)與x軸的交點(diǎn)。迭代公式為 (n1，2，)二、實(shí)例 例1 證明方程1xsinx0在區(qū)間0，1內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不超過0.5×104的根要迭代多少次？證明 令f(x)1

34、xsinx， f(0)10，f(1)sin10 f(x)1xsinx0在0，1內(nèi)有根。又 f ¢(x)1cos x0 (xÎ0，1),故f(x)0在區(qū)間0，1內(nèi)有唯一實(shí)根。給定誤差限 e0.5×104，有 只要取n14。例2 用迭代法求方程x54x20的最小正根。計(jì)算過程保留4位小數(shù)。分析 容易判斷1，2是方程的有根區(qū)間。若建立迭代格式 ， (x(1，2)，此時(shí)迭代發(fā)散。建立迭代格式： ， (x(1，2)，此時(shí)迭代收斂。解 建立迭代格式 (x(1，2)，取初始值x01 取 例3 試建立計(jì)算 的牛頓迭代格式，并求 的近似值，要求迭代誤差不超過106。 分析首先建立迭

35、代格式。確定取幾位小數(shù)，求到兩個(gè)近似解之差的絕對(duì)值不超過106。 解 令 ，f(x)x3a0，求x的值。牛頓迭代格式為 (k0，1，)迭代誤差不超過106，計(jì)算結(jié)果應(yīng)保留小數(shù)點(diǎn)后6位。當(dāng)x7或8時(shí)，x3343或512， ，而 ，取x08，有 |x1x2|0.038122 |x2x3|0.000196 于是，取 例4 用弦截法求方程x3x210在x1.5附近的根。計(jì)算中保留4位小數(shù)點(diǎn)。分析 先確定有根區(qū)間。再代公式。 解 設(shè)f(x)x3x21，因?yàn)閒(1)10，f(2)30，所以1，2為f(x)0的有根區(qū)間。 取x01，x12。 迭代格式： ，(n1，2，) 列表計(jì)算如下：nxnxn1f(xn)

36、f(xn1)xn1f(xn1)123456789101121.251.37661.43091.45241.46061.46371.46491.46531.46551.465612222222221.465530.6094 0.2863 0.1177 0.0457 0.0174 0.0066 0.0024 0.0010 0.00030.000113333333330.0003 1.251.37661.43091.45241.46061.46371.46491.46531.46551.46561.46560.6094 0.2863 0.1177 0.0457 0.0174 0.0066 0.002

37、4 0.0010 0.00030.0001 由于|x12x11|0.0001，故xx121.4656例4 選擇填空題1. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，若滿足 ，則方程f(x)0在區(qū)間a，b一定有實(shí)根。答案：f(a) f(b)0解答：因?yàn)閒(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，在兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，必存在c，使得f(c)0，故f(x)0一定有根。2. 用簡單迭代法求方程f(x)0的實(shí)根，把方程f(x)0表成xj(x)，則f(x)0的根是( )(A) yx與yj(x)的交點(diǎn) (B) yx與yj(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo) (C) yx與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) (D) yj(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)答

38、案：(B)解答：把f(x)0表成xj(x)，滿足xj(x)的x是方程的解，它正是yx與yj(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。3. 為求方程x3x210在區(qū)間1.3，1.6內(nèi)的一個(gè)根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是( ) (A) (B) (C) (D) 答案：(A)解答： 在(A)中 ， ，故迭代發(fā)散。在(B)中 ， ，故迭代收斂。 在(C)中， ， ，故迭代收斂。在(D)中，類似證明，迭代收斂。4牛頓切線法是用曲線f(x)上的 與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐步逼近f(x)0的解；而弦截法是用曲線f(x)上的 與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐步逼近f(x)0的解。答案：點(diǎn)的切線；兩點(diǎn)的連線解答

39、：見它們的公式推導(dǎo)。三、練習(xí)題 1. 用二分法求方程f(x)0在區(qū)間a，b內(nèi)的根xn，已知誤差限 e，確定二分的次數(shù)n是使( ) (A) bae (B) |f(x)|e (C) |x*xn|e (D) |x*xn|ba2. 設(shè)方程f(x)x42x0，在區(qū)間1，2上滿足 ，所以f(x)0在區(qū)間1，2內(nèi)有根。建立迭代公式 x42xj(x)，因?yàn)?，此迭代公式發(fā)散。3. 牛頓切線法求解方程f(x)0的近似根，若初始值x0滿足( )，則解的迭代數(shù)列一定收斂。 (A) 0 (B) 0 (C) 0 (D) 04. 設(shè)函數(shù)f(x)區(qū)間a，b內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(a)f(b)0，當(dāng) 時(shí)，則用弦截法產(chǎn)生的解數(shù)

40、列收斂到方程f(x)0的根。5. 用二分法求方程x3x10在區(qū)間1.0，1.5內(nèi)的實(shí)根，要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第2位。6. 試用牛頓切線法導(dǎo)出下列各式的迭代格式：(1) 不使用除法運(yùn)算； (2) 不使用開方和除法運(yùn)算。四、練習(xí)題答案 1. (C) 2. f(1)0，f(2)0； >1 3. (B) 4. f¢(x)0 5. 1.32 6. (1) xn12xncxn2，(2) xn11.5xn0.5cxn3第8章 常微分方程的數(shù)值解法 一、重點(diǎn)內(nèi)容 1. 歐拉公式： (k0，1，2，n1) 局部截?cái)嗾`差是O(h2)。2. 改進(jìn)歐拉公式： 或表示成： 平均形式： 局部截?cái)嗾`差是O(h

41、3)。3. 四階龍格庫塔法公式： 其中 k1f(xk，yk)；k2f(xk+0.5h，yk+0.5hk1)；k3f(xk+0.5h，yk+0.5hk2)；k4f(xk+h，yk+hk3)， 局部截?cái)嗾`差是O(h5)。二、實(shí)例 例1 用歐拉法解初值問題 取步長h0.2。計(jì)算過程保留4位小數(shù)。解 h0.2，f(x，y)yxy2。首先建立歐拉迭代格式 0.2yk(4xkyk) (k0，1，2)當(dāng)k0，x10.2時(shí)，已知x00，y01，有y(0.2)y10.2×1(40×1)0.8當(dāng)k1，x20.4時(shí)，已知x10.2，y10.8，有y(0.4)y20.2×0.8×

42、;(40.2×0.8)0.6144 當(dāng)k2，x30.6時(shí)，已知x20.4，y20.6144，有y(0.6)y30.2×0.6144×(40.4×0.6144)0.4613例2 用歐拉預(yù)報(bào)校正公式求解初值問題 取步長h0.2，計(jì)算 y(1.2)，y(1.4)的近似值，小數(shù)點(diǎn)后至少保留5位。解 步長h0.2，此時(shí)f(x，y)yy2sinx歐拉預(yù)報(bào)校正公式為： 有迭代格式： 當(dāng)k0，x01，y01時(shí)，x11.2，有 y0(0.80.2y0sinx0)1×(0.80.2×1sin1)0.63171y(1.2)y1 1×(0.90.1

43、×1×sin1)0.1(0.631710.631712sin1.2)0.71549當(dāng)k1，x11.2，y10.71549時(shí)，x21.4，有 y1(0.80.2y1sinx1)0.71549×(0.80.2×0.71549sin1.2)0.47697y(1.4)y2 0.71549×(0.90.1×0.71549×sin1.2)0.1(0.476970.476972sin1.4)0.52611例3 寫出用四階龍格庫塔法求解初值問題 的計(jì)算公式，取步長h0.2計(jì)算y(0.4)的近似值。至少保留四位小數(shù)。解 此處f(x，y)83y，四階龍格庫塔法公式為 其中 k1f(xk，yk)；k2f