初二軸對(duì)稱(chēng)圖形難題總結(jié)(共32頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初二軸對(duì)稱(chēng)圖形難題總結(jié)如圖（a），點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連接A B與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b），已知，O的直徑CD為4，點(diǎn)A 在O 上，ACD=30°，B 為弧AD 的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+AP的最小值為_(kāi)（2）知識(shí)拓展：如圖（c），在RtABC中，AB=10，BAC=45°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫(xiě)出解答過(guò)程2（1）觀察發(fā)現(xiàn) 如圖（1）：若點(diǎn)A、B在直線

2、m同側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，做法如下： 作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連接AB，與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段AB的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值 如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小，做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為_(kāi) （2）實(shí)踐運(yùn)用 如圖（3）：已知O的直徑CD為2，的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為_(kāi) （3）拓展延伸如圖

3、（4）：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M，點(diǎn)N，使PM+PN+MN的值最小，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法如圖（1），要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過(guò)獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問(wèn)題的正確辦法他把管道l看成一條直線（圖（2），問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點(diǎn)P，使AP與BP的和最小他的做法是這樣的：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B連接AB交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求請(qǐng)你參考小華的做法解決下列問(wèn)題如圖在ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，BC=6，BC邊上

4、的高為4，請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)P，使PDE得周長(zhǎng)最?。?）在圖中作出點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出PDE周長(zhǎng)的最小值：_4（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB'，與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為_(kāi)（2）實(shí)踐運(yùn)用：如（c）圖，已知O的直徑C

5、D為4，AOD的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P，使APB=APD保留作圖痕跡，不必寫(xiě)出作法5幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問(wèn)題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連接AB交l于點(diǎn)P，則PA+PB=AB的值最?。ú槐刈C明）模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)連接BD，由正方形對(duì)稱(chēng)性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是

6、_；（2）如圖2，O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在O上，OAOB，AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；（3）如圖3，AOB=45°，P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求PQR周長(zhǎng)的最小值6如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，3），B（4，1）（1）若P（p，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)p=_時(shí)，PAB的周長(zhǎng)最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a=_時(shí)，四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短；（3）設(shè)M，N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)M（m，0）、N（0，n），使四邊形ABM

7、N的周長(zhǎng)最短？若存在，請(qǐng)求出m=_，n=_（不必寫(xiě)解答過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由7需要在高速公路旁邊修建一個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，使飛機(jī)場(chǎng)到A，B兩個(gè)城市的距離之和最小，請(qǐng)作出機(jī)場(chǎng)的位置8如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個(gè)新開(kāi)發(fā)區(qū)A，B，已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角AON=30°，新開(kāi)發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米（1）新開(kāi)發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為_(kāi)；（2）現(xiàn)要在MN上某點(diǎn)P處向新開(kāi)發(fā)區(qū)A，B修兩條公路PA，PB，使點(diǎn)P到新開(kāi)發(fā)區(qū)A，B的距離之和最短此時(shí)PA+PB=_（千米）9.如圖：（1）若把圖中小人平移，使點(diǎn)A平移到點(diǎn)B，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出平移后的小人；（2）若圖中小

8、人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l上點(diǎn)P處喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，試在圖中畫(huà)出點(diǎn)P的位置10如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰梯形ABB1A1的對(duì)稱(chēng)軸為y軸（1）請(qǐng)畫(huà)出：點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2、B2（應(yīng)保留畫(huà)圖痕跡，不必寫(xiě)畫(huà)法，也不必證明）；（2）連接A1A2、B1B2（其中A2、B2為（1）中所畫(huà)的點(diǎn)），試證明：x軸垂直平分線段A1A2、B1B2；（3）設(shè)線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4）、B（4，2），連接（1）中A2B2，試問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)C，使A1B1C與A2B2C的周長(zhǎng)之和最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)（不必說(shuō)明周長(zhǎng)之和最小的理由）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由11

9、某大型農(nóng)場(chǎng)擬在公路L旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品儲(chǔ)藏、加工廠，將該農(nóng)場(chǎng)兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地A、B的水果集中進(jìn)行儲(chǔ)藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟(jì)效益請(qǐng)你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置C，使A、B兩地到加工廠C的運(yùn)輸路程之和最短（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）12閱讀理解如圖1，ABC中，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，無(wú)論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，BAC是ABC的好角小麗展示了確定BAC是ABC的好角的兩種情形情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角BAC

10、的平分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合探究發(fā)現(xiàn)（1）ABC中，B=2C，經(jīng)過(guò)兩次折疊，BAC是不是ABC的好角？_（填“是”或“不是”）（2）小麗經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)了BAC是ABC的好角，請(qǐng)?zhí)骄緽與C（不妨設(shè)BC）之間的等量關(guān)系根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊BAC是ABC的好角，則B與C（不妨設(shè)BC）之間的等量關(guān)系為_(kāi)應(yīng)用提升（3）小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15°、60°、105°，發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個(gè)角都是此三角

11、形的好角請(qǐng)你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是4°，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角13如圖，ABC中AB=AC，BC=6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)線移動(dòng)，已知點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E，當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過(guò)程中，線段BE、DE、CD中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段？請(qǐng)說(shuō)明理由；14（2012東城區(qū)二模）已知：等邊ABC中，點(diǎn)O是邊AC，BC的垂直平分線的交點(diǎn)，M，N分別在直線AC，BC上，且MON=60&#

12、176;（1）如圖1，當(dāng)CM=CN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)CMCN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在BC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系15如圖，線段CD垂直平分線段AB，CA的延長(zhǎng)線交BD的延長(zhǎng)線于E，CB的延長(zhǎng)線交AD的延長(zhǎng)線于F，求證：DE=DF16如圖，在ABC和DCB中，AB=DC，AC=DB，AC與DB交于點(diǎn)M求證：（1）ABCDCB；（2）點(diǎn)M在BC的垂直平分線上17如圖，

13、ABC的邊BC的垂直平分線DE交BAC的外角平分線AD于D，E為垂足，DFAB于F，且ABAC，求證：BF=AC+AF18已知ABC的角平分線AP與邊BC的垂直平分線PM相交于點(diǎn)P，作PKAB，PLAC，垂足分別是K、L，求證：BK=CL19某私營(yíng)企業(yè)要修建一個(gè)加油站，如圖，其設(shè)計(jì)要求是，加油站到兩村A、B的距離必須相等，且到兩條公路m、n的距離也必須相等，那么加油站應(yīng)修在什么位置，在圖上標(biāo)出它的位置（要有作圖痕跡）20如圖，在ABC中，AB=AC，A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分線MN交BC于M，交AB于N，求BM的長(zhǎng)21如圖，在ABC中，BAC的平分線與BC的垂直平分線

14、PQ相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作PNAB于N，PMAC于點(diǎn)M，求證：BN=CM22如圖己知在ABC中，C=90°，B=15°，DE垂直平分AB，E為垂足交BC于D，BD=16cm，求AC長(zhǎng)參考答案與試題解析一解答題（共22小題）1（2013日照）問(wèn)題背景：如圖（a），點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連接A B與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b），已知，O的直徑CD為4，點(diǎn)A 在O 上，ACD=30°，B 為弧AD 的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+AP的最小值為2（2

15、）知識(shí)拓展：如圖（c），在RtABC中，AB=10，BAC=45°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫(xiě)出解答過(guò)程考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題分析：（1）找點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和另一點(diǎn)，和MN的交點(diǎn)P就是所求作的位置根據(jù)題意先求出CAE，再根據(jù)勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；（2）首先在斜邊AC上截取AB=AB，連結(jié)BB，再過(guò)點(diǎn)B作BFAB，垂足為F，交AD于E，連結(jié)BE，則線段BF的長(zhǎng)即為所求解答：解：（1）作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)P此時(shí)PA+PB最小，且等于AE作直

16、徑AC，連接CE根據(jù)垂徑定理得弧BD=弧DEACD=30°，AOD=60°，DOE=30°，AOE=90°，CAE=45°，又AC為圓的直徑，AEC=90°，C=CAE=45°，CE=AE=AC=2，即AP+BP的最小值是2故答案為：2；（2）如圖，在斜邊AC上截取AB=AB，連結(jié)BBAD平分BAC，點(diǎn)B與點(diǎn)B關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng)過(guò)點(diǎn)B作BFAB，垂足為F，交AD于E，連結(jié)BE，則線段BF的長(zhǎng)即為所求（點(diǎn)到直線的距離最短） 在RtAFB中，BAC=45°，AB=AB=10，BF=ABsin45°=ABsin4

17、5°=10×=5，BE+EF的最小值為點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑問(wèn)題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)已知得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P位置是解題關(guān)鍵2（2013六盤(pán)水）（1）觀察發(fā)現(xiàn) 如圖（1）：若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，做法如下： 作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連接AB，與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段AB的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值 如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小，做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P

18、，故BP+PE的最小值為 （2）實(shí)踐運(yùn)用 如圖（3）：已知O的直徑CD為2，的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為 （3）拓展延伸如圖（4）：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M，點(diǎn)N，使PM+PN+MN的值最小，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法考點(diǎn)：圓的綜合題；軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題專(zhuān)題：壓軸題分析：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長(zhǎng)為BP+PE的最小值；由AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CEAB，BCE=BCA=30°，BE=1，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的

19、關(guān)系得CE=；（2）實(shí)踐運(yùn)用：過(guò)B點(diǎn)作弦BECD，連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB，根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，則AE的長(zhǎng)就是BP+AP的最小值；由于的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)得到BOC=30°，AOC=60°，所以AOE=60°+30°=90°，于是可判斷OAE為等腰直角三角形，則AE=OA=；（3）拓展延伸：分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB和BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E和F，然后連結(jié)EF，EF交AB于M、交BC于N解答：解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（2），CE的長(zhǎng)為BP+PE的最小值，在等邊三角形ABC中，AB=2，

20、點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)CEAB，BCE=BCA=30°，BE=1，CE=BE=；故答案為；（2）實(shí)踐運(yùn)用如圖（3），過(guò)B點(diǎn)作弦BECD，連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB，BECD，CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，BOC=30°，AOC=60°，EOC=30°，AOE=60°+30°=90°，OA=OE=1，AE=OA=，AE的長(zhǎng)就是BP+AP的最小值故答案為；（3）拓展延伸如圖（4）點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中

21、經(jīng)常用到，同時(shí)熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題3（2012涼山州）在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱(chēng)的時(shí)候，老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題如圖（1），要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過(guò)獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問(wèn)題的正確辦法他把管道l看成一條直線（圖（2），問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點(diǎn)P，使AP與BP的和最小他的做法是這樣的：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B連接AB交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求請(qǐng)你參考小華的做法解決下列問(wèn)題如圖在ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，BC=6，

22、BC邊上的高為4，請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)P，使PDE得周長(zhǎng)最小（1）在圖中作出點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出PDE周長(zhǎng)的最小值：8考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題專(zhuān)題：壓軸題分析：（1）根據(jù)提供材料DE不變，只要求出DP+PE的最小值即可，作D點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接DE，與BC交于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求；（2）利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出DE的值，即可得出答案解答：解：（1）作D點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接DE，與BC交于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求；（2）點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，DE為ABC中位線，BC=6，BC邊上的高為4，DE=3，DD=4，DE=5，PDE周長(zhǎng)的最小值為：DE

23、+DE=3+5=8，故答案為：8點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑以及三角形中位線的知識(shí)，根據(jù)已知得出要求PDE周長(zhǎng)的最小值，求出DP+PE的最小值即可是解題關(guān)鍵4（2010淮安）（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB'，與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值

24、為（2）實(shí)踐運(yùn)用：如（c）圖，已知O的直徑CD為4，AOD的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P，使APB=APD保留作圖痕跡，不必寫(xiě)出作法考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題分析：（1）首先由等邊三角形的性質(zhì)知，CEAB，在直角BCE中，BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的長(zhǎng)度，從而得出結(jié)果；（2）要在直徑CD上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，設(shè)A是A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接AB，與CD的交點(diǎn)即為點(diǎn)P此時(shí)PA+PB=AB是最小值，可證OAB是

25、等腰直角三角形，從而得出結(jié)果（3）畫(huà)點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，延長(zhǎng)DB交AC于點(diǎn)P則點(diǎn)P即為所求解答：解：（1）BP+PE的最小值=（2）作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連接AB，交CD于點(diǎn)P，連接OA，AA，OB點(diǎn)A與A關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，AOD的度數(shù)為60°，AOD=AOD=60°，PA=PA，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，BOD=30°，AOB=AOD+BOD=90°，O的直徑CD為4，OA=OA=2，AB=2PA+PB=PA+PB=AB=2（3）如圖d：首先過(guò)點(diǎn)B作BBAC于O，且OB=OB，連接DB并延長(zhǎng)交AC于P（由AC是BB的垂直平分線，可得APB=APD）點(diǎn)評(píng)：此題主

26、要考查軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題，一般都是運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，將求折線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段問(wèn)題，其說(shuō)明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊5（2009漳州）幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問(wèn)題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連接AB交l于點(diǎn)P，則PA+PB=AB的值最?。ú槐刈C明）模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)連接BD，由正方形對(duì)稱(chēng)性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是；（2）如圖2，O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在O上，OAOB，AOC=60&#

27、176;，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；（3）如圖3，AOB=45°，P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求PQR周長(zhǎng)的最小值考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題專(zhuān)題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型分析：（1）由題意易得PB+PE=PD+PE=DE，在ADE中，根據(jù)勾股定理求得即可；（2）作A關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連接AC，交OB于P，求AC的長(zhǎng)，即是PA+PC的最小值；（3）作出點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，關(guān)于直線OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接MN，它分別與OA，OB的交點(diǎn)Q、R，這時(shí)三角形PEF的周長(zhǎng)=MN，只要求MN的長(zhǎng)就行了解答：解：（1）四邊形ABCD是正方形，AC垂直平分B

28、D，PB=PD，由題意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE=；（2）作A關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連接AC，交OB于P，PA+PC的最小值即為AC的長(zhǎng)，AOC=60°AOC=120°作ODAC于D，則AOD=60°OA=OA=2AD=；（3）分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M、N，連接OM、ON、MN，MN交OA、OB于點(diǎn)Q、R，連接PR、PQ，此時(shí)PQR周長(zhǎng)的最小值等于MN由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可得，OM=ON=OP=10，MOA=POA，NOB=POB，MON=2AOB=2×45°=90°，在RtMON中，MN=1

29、0即PQR周長(zhǎng)的最小值等于10點(diǎn)評(píng)：此題綜合性較強(qiáng)，主要考查有關(guān)軸對(duì)稱(chēng)最短路線的問(wèn)題，綜合應(yīng)用了正方形、圓、等腰直角三角形的有關(guān)知識(shí)6（2006湖州）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，3），B（4，1）（1）若P（p，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)p=時(shí)，PAB的周長(zhǎng)最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a=時(shí)，四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短；（3）設(shè)M，N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)M（m，0）、N（0，n），使四邊形ABMN的周長(zhǎng)最短？若存在，請(qǐng)求出m=，n=（不必寫(xiě)解答過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題；

30、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)專(zhuān)題：壓軸題分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)出并找到B（4，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B'，其坐標(biāo)為（4，1），進(jìn)而可得直線AB'的解析式，進(jìn)而可得答案；（2）過(guò)A點(diǎn)作AEx軸于點(diǎn)E，且延長(zhǎng)AE，取A'E=AE做點(diǎn)F（1，1），連接A'F利用兩點(diǎn)間的線段最短，可知四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短等于A'F+CD+AB，從而確定C點(diǎn)的坐標(biāo)值（3）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的性質(zhì)，可得存在使四邊形ABMN周長(zhǎng)最短的點(diǎn)M、N，當(dāng)且僅當(dāng)m=，n=；時(shí)成立解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)B（4，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B'，其坐標(biāo)為（4，1），設(shè)直線AB'的解析式為y=kx+b，把A

31、（2，3），B'（4，1）代入得：，解得，y=2x7，令y=0得x=，即p=（2）過(guò)A點(diǎn)作AEx軸于點(diǎn)E，且延長(zhǎng)AE，取A'E=AE做點(diǎn)F（1，1），連接A'F那么A'（2，3）直線A'F的解析式為，即y=4x5，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0），且在直線A'F上，a=（3）存在使四邊形ABMN周長(zhǎng)最短的點(diǎn)M、N，作A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，作B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連接AB，與x軸、y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M、N，A（2，3），B（4，1），直線AB的解析式為：y=x，M（，0），N（0，）m=，n=點(diǎn)評(píng)：考查圖形的軸對(duì)稱(chēng)在實(shí)際中的運(yùn)用，同時(shí)考查了根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線解

32、析式，運(yùn)用解析式求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等知識(shí)7（2007慶陽(yáng)）需要在高速公路旁邊修建一個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，使飛機(jī)場(chǎng)到A，B兩個(gè)城市的距離之和最小，請(qǐng)作出機(jī)場(chǎng)的位置考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題專(zhuān)題：作圖題分析：利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)可作點(diǎn)A關(guān)于公路的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連接AB，與公路的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的位置解答：解：點(diǎn)P就是飛機(jī)場(chǎng)所在的位置（5分）點(diǎn)評(píng)：本題主要是利用軸對(duì)稱(chēng)圖形來(lái)求最短的距離用到的知識(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短8（2006貴港）如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個(gè)新開(kāi)發(fā)區(qū)A，B，已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角AON=30°，新開(kāi)發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米（1）新開(kāi)發(fā)區(qū)A到公路M

33、N的距離為8；（2）現(xiàn)要在MN上某點(diǎn)P處向新開(kāi)發(fā)區(qū)A，B修兩條公路PA，PB，使點(diǎn)P到新開(kāi)發(fā)區(qū)A，B的距離之和最短此時(shí)PA+PB=14（千米）考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題專(zhuān)題：計(jì)算題；壓軸題分析：（1）先求出OB的長(zhǎng)，從而得出OA的長(zhǎng)，再根據(jù)三角函數(shù)求得到公路的距離（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得EF=CD=BC=3，AF=AE+EF=AE+BC=11，再根據(jù)余弦概念求解解答：解：（1）BC=3，AOC=30°，OB=6過(guò)點(diǎn)A作AEMN于點(diǎn)E，AO=AB+OB=16，AE=8即新開(kāi)發(fā)區(qū)A到公路的距離為8千米；（2）過(guò)D作DFAE的延長(zhǎng)線（點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)），垂足為F則EF=CD=BC=

34、3，AF=AE+EF=AE+BC=11，過(guò)B作BGAE于G，BG=DF，BG=ABcos30°=5，連接PB，則PB=PD，PA+PB=PA+PD=AD=14（千米）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)來(lái)綜合解三角形的能力9（2006巴中）如圖：（1）若把圖中小人平移，使點(diǎn)A平移到點(diǎn)B，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出平移后的小人；（2）若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l上點(diǎn)P處喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，試在圖中畫(huà)出點(diǎn)P的位置考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題；作圖-軸對(duì)稱(chēng)變換；作圖-平移變換專(zhuān)題：作圖題分析：根據(jù)平移的規(guī)律找到點(diǎn)B，再利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，找到

35、點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接A1B與l相交于點(diǎn)P，即為所求解答：解：點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平移變換與最短線路問(wèn)題最短線路問(wèn)題一般是利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解題，通過(guò)作軸對(duì)稱(chēng)圖形，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短可求出所求的點(diǎn)作平移圖形時(shí)，找關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也是關(guān)鍵的一步平移作圖的一般步驟為：確定平移的方向和距離，先確定一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)；確定圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)；利用第一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)和平移的性質(zhì)確定圖中所有關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；按原圖形順序依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所得到的圖形即為平移后的圖形10（2003泉州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰梯形ABB1A1的對(duì)稱(chēng)軸為y軸（1）請(qǐng)畫(huà)出：點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2、B2（應(yīng)保留畫(huà)圖痕跡，不必寫(xiě)畫(huà)法，也

36、不必證明）；（2）連接A1A2、B1B2（其中A2、B2為（1）中所畫(huà)的點(diǎn)），試證明：x軸垂直平分線段A1A2、B1B2；（3）設(shè)線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4）、B（4，2），連接（1）中A2B2，試問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)C，使A1B1C與A2B2C的周長(zhǎng)之和最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)（不必說(shuō)明周長(zhǎng)之和最小的理由）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：作圖-軸對(duì)稱(chēng)變換；線段垂直平分線的性質(zhì)；軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題專(zhuān)題：作圖題；證明題；壓軸題；探究型分析：（1）根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的方法，找點(diǎn)A2，B2，連接即可（2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）依題意與（1）可得A1（x1，y1），B1（x2，y2

37、），A2（x1，y1），B2（x2，y2），得到A1、B1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A2、B2，所以x軸垂直平分線段A1A2、B1B2（3）根據(jù)A1與A2，B1與B2均關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，連接A2B1交x軸于C，點(diǎn)C為所求的點(diǎn)根據(jù)題意得B1（4，2），A2（2，4）設(shè)直線A2B1的解析式為y=kx+b則利用待定系數(shù)法解得，所以可求直線A2B1的解析式為y=3x10令y=0，得x=，所以C的坐標(biāo)為（，0）即點(diǎn)C（，0）能使A1B1C與A2B2C的周長(zhǎng)之和最小解答：解：（1）如圖，A2、B2為所求的點(diǎn)（2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）依題意與（1）可得A1（x1，y1），B1（x2，y2），A2（x1，

38、y1），B2（x2，y2）A1、B1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A2、B2，x軸垂直平分線段A1A2、B1B2（3）存在符合題意的C點(diǎn)由（2）知A1與A2，B1與B2均關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，連接A2B1交x軸于C，點(diǎn)C為所求的點(diǎn)A（2，4），B（4，2）依題意及（1）得：B1（4，2），A2（2，4）設(shè)直線A2B1的解析式為y=kx+b則有解得直線A2B1的解析式為y=3x10，令y=0，得x=，C的坐標(biāo)為（，0）綜上所述，點(diǎn)C（，0）能使A1B1C與A2B2C的周長(zhǎng)之和最小點(diǎn)評(píng)：主要考查了軸對(duì)稱(chēng)的作圖和性質(zhì)，以及垂直平分線的性質(zhì)要知道對(duì)稱(chēng)軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線會(huì)根據(jù)此性質(zhì)求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)利用待定系數(shù)法解一次函數(shù)的解

39、析式是解題的關(guān)鍵11（2001宜昌）某大型農(nóng)場(chǎng)擬在公路L旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品儲(chǔ)藏、加工廠，將該農(nóng)場(chǎng)兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地A、B的水果集中進(jìn)行儲(chǔ)藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟(jì)效益請(qǐng)你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置C，使A、B兩地到加工廠C的運(yùn)輸路程之和最短（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題專(zhuān)題：作圖題分析：作A關(guān)于直線L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接BE交直線L于C，則C為所求解答：答：如圖：點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)軸對(duì)稱(chēng)最短路線的問(wèn)題的理解和掌握，根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形是解此題的關(guān)鍵，12（2012淮安）閱讀理解如圖1，ABC中，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分

40、沿B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，無(wú)論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，BAC是ABC的好角小麗展示了確定BAC是ABC的好角的兩種情形情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角BAC的平分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合探究發(fā)現(xiàn)（1）ABC中，B=2C，經(jīng)過(guò)兩次折疊，BAC是不是ABC的好角？是（填“是”或“不是”）（2）小麗經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)了BAC是ABC的好角，請(qǐng)?zhí)骄緽與C（不妨設(shè)BC）之間的等

41、量關(guān)系根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊BAC是ABC的好角，則B與C（不妨設(shè)BC）之間的等量關(guān)系為B=nC應(yīng)用提升（3）小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15°、60°、105°，發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個(gè)角都是此三角形的好角請(qǐng)你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是4°，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）專(zhuān)題：壓軸題；規(guī)律型分析：（1）在小麗展示的情形二中，如圖3，根據(jù)根據(jù)三角形的外角定理、折疊的性質(zhì)推知B=2C；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知A1A2B2=C+A2B2C

42、=2C；根據(jù)四邊形的外角定理知BAC+2B2C=180°，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知BAC+B+C=180°，由可以求得B=3C；利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：B=nC；（3）利用（2）的結(jié)論知B=nC，BAC是ABC的好角，C=nA，ABC是ABC的好角，A=nB，BCA是ABC的好角；然后三角形內(nèi)角和定理可以求得另外兩個(gè)角的度數(shù)可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°解答：解：（1）ABC中，B=2C，經(jīng)過(guò)兩次折疊，BAC是ABC的好角；理由如下：小麗展示的情形二中，如圖3，沿BAC的平分線AB1

43、折疊，B=AA1B1；又將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合，A1B1C=C；AA1B1=C+A1B1C（外角定理），B=2C，BAC是ABC的好角故答案是：是；（2）B=3C；如圖所示，在ABC中，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿B2A2C的平分線A2B3折疊，點(diǎn)B2與點(diǎn)C重合，則BAC是ABC的好角證明如下：根據(jù)折疊的性質(zhì)知，B=AA1B1，C=A2B2C，A1 B1C=A1A2B2，根據(jù)三角形的外角定理知，A1A2B2=C+A2B2C=2C；根據(jù)四邊形的外角定理知，BAC+B+AA

44、1B1A1 B1C=BAC+2B2C=180°，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，BAC+B+C=180°，B=3C；由小麗展示的情形一知，當(dāng)B=C時(shí)，BAC是ABC的好角；由小麗展示的情形二知，當(dāng)B=2C時(shí)，BAC是ABC的好角；由小麗展示的情形三知，當(dāng)B=3C時(shí)，BAC是ABC的好角；故若經(jīng)過(guò)n次折疊BAC是ABC的好角，則B與C（不妨設(shè)BC）之間的等量關(guān)系為B=nC；（3）由（2）知設(shè)A=4°，C是好角，B=4n°；A是好角，C=mB=4mn°，其中m、n為正整數(shù)得4+4n+4mn=180如果一個(gè)三角形的最小角是4°，三角形另外兩

45、個(gè)角的度數(shù)是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題）解答此題時(shí)，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理以及折疊的性質(zhì)難度較大13（2013青羊區(qū)一模）如圖，ABC中AB=AC，BC=6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)線移動(dòng)，已知點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E，當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過(guò)程中，線段BE、DE、CD中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段？請(qǐng)說(shuō)明理由；考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；

46、全等三角形的判定與性質(zhì)專(zhuān)題：幾何綜合題；壓軸題；分類(lèi)討論分析：（1）過(guò)點(diǎn)P做PF平行與AQ，由平行我們得出一對(duì)同位角和一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角的相等，再由AB=AC，根據(jù)等邊對(duì)等角得角B和角ACB的相等，根據(jù)等量代換的角B和角PFB的相等，根據(jù)等角對(duì)等邊得BP=PF，又因點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同即BP=CQ，等量代換得PF=CQ，在加上對(duì)等角的相等，證得三角形PFD和三角形QCD的全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊邊相等得出DF=CD=CF，而又因P是AB的中點(diǎn)，PFAQ得出F是BC的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)已知的BC的長(zhǎng)，求出CF，即可得出CD的長(zhǎng)（2）分兩種情況討論，第一種情況點(diǎn)P在線段AB上，根據(jù)等腰三角形的三

47、線合一得BE=EF，再又第一問(wèn)的全等可知DF=CD，所以ED=，得出線段DE的長(zhǎng)為定值；第二種情況，P在BA的延長(zhǎng)線上，作PM平行于AC交BC的延長(zhǎng)線于M，根據(jù)兩直線平行，同位角相等推出角PMB等于角ACB，而角ACB等于角ABC，根據(jù)等量代換得到角ABC等于角PMB，根據(jù)等角對(duì)等邊得到PM等于PB，根據(jù)三線合一，得到BE等于EM，同理可得PMD全等于QCD，得到CD等于DM，根據(jù)DE等于EM減DM，把EM換為BC加CM的一半，化簡(jiǎn)后得到值為定值解答：解：（1）如圖，過(guò)P點(diǎn)作PFAC交BC于F，點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，BP=CQ，PFAQ，PFB=ACB，DPF=CQD，又AB=AC，

48、B=ACB，B=PFB，BP=PF，PF=CQ，又PDF=QDC，證得PFDQCD，DF=CD=CF，又因P是AB的中點(diǎn)，PFAQ，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，即FC=BC=3，CD=CF=；（2）分兩種情況討論，得ED為定值，是不變的線段如圖，如果點(diǎn)P在線段AB上，過(guò)點(diǎn)P作PFAC交BC于F，PBF為等腰三角形，PB=PF，BE=EF，PF=CQ，F(xiàn)D=DC，ED=，ED為定值，同理，如圖，若P在BA的延長(zhǎng)線上，作PMAC的延長(zhǎng)線于M，PMC=ACB，又AB=AC，B=ACB，B=PMC，PM=PB，根據(jù)三線合一得BE=EM，同理可得PMDQCD，所以CD=DM，綜上所述，線段ED的長(zhǎng)度保持不變點(diǎn)評(píng)：此

49、題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題14（2012東城區(qū)二模）已知：等邊ABC中，點(diǎn)O是邊AC，BC的垂直平分線的交點(diǎn)，M，N分別在直線AC，BC上，且MON=60°（1）如圖1，當(dāng)CM=CN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)CMCN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在BC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊

50、三角形的性質(zhì)分析：（1）在AM上截取AN=CN，連接ON，OC，OA，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線得出OCN=OAN=30°，OC=OA，證OCNOAN推出ON=ON，CON=AON，求出NOM=MON，根據(jù)SAS證MONMON，推出MN=MN，即可求出答案；（2）結(jié)論還成立，證明過(guò)程與（1）類(lèi)似；（3）結(jié)論是MN=CN+AM，延長(zhǎng)CA到N，使AN=CN，連接OC，OA，ON，證OCNOAN推出ON=ON，CON=AON，求出NOM=MON，根據(jù)SAS證MONMON，推出MN=MN，即可求出答案；解答：解：（1）MN=AMCN，理由是：在AM上截取AN=CN，連接ON，OC，

51、OA，O是邊AC和BC垂直平分線的交點(diǎn)，ABC是等邊三角形，OC=OA，O也是等邊三角形三個(gè)角的平分線交點(diǎn)，OCA=OAB=OCN=×60°=30°，AOC=180°30°30°=120°，NCO=OAN，在OCN和OAN中，OCNOAN（SAS），ON=ON，CON=AON，COA=120°，NOM=60°，CON+COM=60°，AON+COM=60°，即NOM=NOM，在NOM和NOM中，NOMNOM，MN=MN，MN=AMAN=AMCN，MN=AMCN（2）MN=AMCN，證明

52、：理由是：在AM上截取AN=CN，連接ON，OC，OA，O是邊AC和BC垂直平分線的交點(diǎn)，ABC是等邊三角形，OC=OA，由三線合一定理得：OCB=OCA=OAC=30°，AOC=180°30°30°=120°，OCN=OAN=30°，在OCN和OAN中，OCNOAN（SAS），ON=ON，CON=AONNON=COA=120°，又MON=60°，MON=MON=60°在NOM和NOM中，NOMNOM，MN=MN，MN=AMAN=AMCN，MN=AMCN（3）解：MN=CN+AM，理由是：延長(zhǎng)CA到N，使AN=CN，連接OC，OA，ON，O是邊AC和BC垂直平分線的交點(diǎn)，ABC是等邊三角形，OC=OA，由三線合一定理得：OCA=OAB=30°，AOC=180°30°30°=120°，OCN=OAN，在OCN和OAN中，OCNOAN（SAS），ON=ON