基于MATLAB的有源濾波器的實(shí)現(xiàn)

1、1 濾波器的基本概念1.1 濾波原理濾波器是一種選頻裝置，可以使信號(hào)中特定的頻率成分通過(guò)，而極大地衰減其它頻率成分。在測(cè)試裝置中，利用濾波器的這種選頻作用，可以濾除干擾噪聲或進(jìn)行頻譜分析。廣義地講，任何一種信息傳輸?shù)耐ǖ溃劫|(zhì)）都可視為是一種濾波器。因?yàn)椋魏窝b置的響應(yīng)特性都是激勵(lì)頻率的函數(shù)，都可用頻域函數(shù)描述其傳輸特性。因此，構(gòu)成測(cè)試系統(tǒng)的任何一個(gè)環(huán)節(jié)，諸如機(jī)械系統(tǒng)、電氣網(wǎng)絡(luò)、儀器儀表甚至連接導(dǎo)線等等，都將在一定頻率范圍內(nèi)，按其頻域特性，對(duì)所通過(guò)的信號(hào)進(jìn)行變換與處理。按照濾波器處理信號(hào)的性質(zhì)分為，模擬濾波器和數(shù)字濾波器。本文所述內(nèi)容屬于模擬濾波范圍。主要介紹模擬濾波器（連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)）原理、

2、種類、數(shù)學(xué)模型、主要參數(shù)、濾波器設(shè)計(jì)。盡管數(shù)字濾波技術(shù)已得到廣泛應(yīng)用，但模擬濾波在自動(dòng)檢測(cè)、自動(dòng)控制以及電子測(cè)量?jī)x器中仍被廣泛應(yīng)用。 1.2 濾波器分類1.2.1根據(jù)濾波器的選頻作用分類低通濾波器從頻率之間，幅頻特性平直，它可以使信號(hào)中低于的頻率成分幾乎不受衰減地通過(guò)，而高于f2的頻率成分受到極大地衰減。 圖1.1 低通濾波器 圖1.2 高通濾波器高通濾波器與低通濾波相反，從頻率，其幅頻特性平直。它使信號(hào)中高于的頻率成分幾乎不受衰減地通過(guò)，而低于的頻率成分將受到極大地衰減。 帶通濾波器它的通頻帶在之間。它使信號(hào)中高于而低于的頻率成分可以不受衰減地通過(guò)，而其它成分受到衰減。帶阻濾波器與帶通濾波相

3、反，阻帶在頻率之間。它使信號(hào)中高于而低于的頻率成分受到衰減，其余頻率成分的信號(hào)幾乎不受衰減地通過(guò)。 圖1.3 帶通濾波器 圖1.4 帶阻濾波器低通濾波器和高通濾波器是濾波器的兩種最基本的形式，其它的濾波器都可以分解為這兩種類型的濾波器，例如：低通濾波器與高通濾波器的串聯(lián)為帶通濾波器，低通濾波器與高通濾波器的并聯(lián)為帶阻濾波器。 圖1.5低通濾波器與高通濾波器的串聯(lián) 圖1.6低通濾波器與高通濾波器的并聯(lián)1.2.2根據(jù)“最佳逼近特性”標(biāo)準(zhǔn)分類1 巴特沃斯濾波器從幅頻特性提出要求，而不考慮相頻特性。巴特沃斯濾波器具有最大平坦幅度特性，其幅頻響應(yīng)表達(dá)式為： （1.1）n為濾波器的階數(shù)；wc為濾波器的截止

4、角頻率，當(dāng)w=wc時(shí)，|H(wc)|2=1/2,所以，wc對(duì)應(yīng)的是濾波器的-3db點(diǎn)。巴特沃思低通濾波器是以巴特沃思函數(shù)作為濾波器的傳遞函數(shù)H(s)，以最高階泰勒級(jí)數(shù)的形式逼近濾波器的理想矩形特性。切比雪夫?yàn)V波器切貝雪夫?yàn)V波器也是從幅頻特性方面提出逼近要求的，其幅頻響應(yīng)表達(dá)式為： （1.2）是決定通帶波紋大小的波動(dòng)系數(shù)，0<<1，波紋的產(chǎn)生是由于實(shí)際濾波網(wǎng)絡(luò)中含有電抗元件；wc 是通帶截止頻率，Tn是n階切貝雪夫多項(xiàng)式。與巴特沃斯逼近特性相比較，這種特性雖然在通帶內(nèi)有起伏，但對(duì)同樣的n值在進(jìn)入阻帶以后衰減更陡峭，更接近理想情況。值越小，通帶起伏越小，截止頻率點(diǎn)衰減的分貝值也越小，但

5、進(jìn)入阻帶后衰減特性變化緩慢。切貝雪夫?yàn)V波器與巴特沃斯濾波器進(jìn)行比較，切貝雪夫?yàn)V波器的通帶有波紋，過(guò)渡帶輕陡直，因此，在不允許通帶內(nèi)有紋波的情況下，巴特沃斯型更可??；從相頻響應(yīng)來(lái)看，巴特沃斯型要優(yōu)于切貝雪夫型，通過(guò)上面二圖比較可以看出，前者的相頻響應(yīng)更接近于直線。貝塞爾濾波器只滿足相頻特性而不關(guān)心幅頻特性。貝塞爾濾波器又稱最平時(shí)延或恒時(shí)延濾波器。其相移和頻率成正比，即為一線性關(guān)系。但是由于它的幅頻特性欠佳，而往往限制了它的應(yīng)用。1.2.3按濾波器元件性質(zhì)無(wú)源濾波器(R、L、C)有源濾波器(含運(yùn)放)2 模擬有源濾波器的設(shè)計(jì)原理2.1 信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件信號(hào)通過(guò)一個(gè)系統(tǒng)，其響應(yīng)若不失真，則這個(gè)系統(tǒng)

6、稱為無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。實(shí)際中常常需要無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，例如，高保真音響系統(tǒng)、示波器等。無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)應(yīng)是的準(zhǔn)確的復(fù)制品，或者說(shuō)兩者的大小和出現(xiàn)的時(shí)間可以不同(見(jiàn)圖2.1a、b)，但它們的波形變化規(guī)律應(yīng)相同，即 （2.1）式中、為常數(shù)，是系統(tǒng)增益，為延遲時(shí)間。上式可以改寫為 （2.2）這說(shuō)明無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為 （2.3）對(duì)上式進(jìn)行傅里葉變換，則有 （2.4）由上式可知，無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)應(yīng)滿足下面兩個(gè)條件： (1) 幅頻特性 （2.5） 即系統(tǒng)增益為一個(gè)常數(shù)，與信號(hào)頻率無(wú)關(guān)，如圖2.1(c)所示。 (2) 相頻特性 （2.6） 即系統(tǒng)的相位和與信號(hào)頻率成正比，如圖2.1(d)

7、所示。 (c) (d)圖2.1 無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)實(shí)際系統(tǒng)，幅頻特性和相頻特性均不滿足無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的兩個(gè)條件。工程上，只要信號(hào)在占有的頻率范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性基本上滿足無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的兩個(gè)條件，就可以認(rèn)為是無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)了。2.2 理想濾波器的特性濾波器是一個(gè)選頻裝置。理想濾波器應(yīng)能無(wú)失真地傳輸有用信號(hào)，而又能完全抑制無(wú)用信號(hào)。有用信號(hào)和無(wú)用信號(hào)往往占有不同的頻帶。信號(hào)能通過(guò)濾波器的頻帶稱為通帶(Passband)。信號(hào)被抑制的頻帶稱為阻帶（Stopband）。理想濾波器頻率特性可寫為： 但通過(guò)后面的講解我們會(huì)知道理想濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。實(shí)際濾波器的頻率特性只能“逼近”理想濾波

8、器。圖 2.2為低通濾波器的幅頻特性示意圖。圖2.2低通濾波器的幅頻特性示意圖可見(jiàn)，濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶內(nèi)不是完全平直的，而是呈波紋變化；在阻帶內(nèi)，幅頻特性也不為零，而是衰減至某個(gè)值；在通帶和阻帶之間存在一個(gè)過(guò)渡帶，而不是突然下降。通常，實(shí)際設(shè)計(jì)要求濾波器的技術(shù)指標(biāo)包括通帶波紋Rp(Passband ripple)(dB)、阻帶衰減(Stopband attenuation)(dB)、通帶邊界頻率、阻帶邊界頻率、過(guò)渡帶寬。濾波器的通帶波紋Rp為相對(duì)于頻率響應(yīng)最大點(diǎn)（一般為1）的下降，因此下降越少說(shuō)明通帶越平直，濾波器的濾波效果越好（通常為15dB）。濾波器的阻帶衰減Rs也是相對(duì)于頻率響應(yīng)最大

9、點(diǎn)（一般為1）的下降，因此下降越多說(shuō)明信號(hào)在阻帶內(nèi)越不容易通過(guò)，因此濾波效果越好(通常要大于15dB)。過(guò)渡帶寬越窄，濾波器的頻率特性越接近于直角矩形特性，濾波效果也越好。2.3 模擬濾波器傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)原理模擬濾波器的設(shè)計(jì)理論通常在Laplace域內(nèi)進(jìn)行討論，本節(jié)內(nèi)容我們只討論其應(yīng)用。模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)可由平方幅值響應(yīng)函數(shù)形式給出，而和傳遞函數(shù)H(s)存在下面關(guān)系： （2.7）即 （2.8）當(dāng)給定模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)后，由求出A(-s2)，再適當(dāng)?shù)胤峙淞銟O點(diǎn)可求出H(s)。為了使濾波器穩(wěn)定，H(s)的極點(diǎn)必須落在s平面左半平面，這是因?yàn)閷?duì)于一個(gè)濾波器的極點(diǎn)p，就可以寫成的形式，其逆Lapla

10、ce變換（對(duì)應(yīng)于時(shí)間域）為，若p>0，則隨著時(shí)間增大至無(wú)窮，該濾波器的輸出將出現(xiàn)不穩(wěn)定。濾波器的零點(diǎn)選擇可任取A(-s2)的一半零點(diǎn)，這是因?yàn)闉V波器對(duì)Laplace域表示的傳遞函數(shù)并無(wú)特殊要求，但如果要求H(s)具有最小相位，零點(diǎn)也必須選擇在s左半平面。2.3.1 模擬濾波器設(shè)計(jì)步驟用戶對(duì)設(shè)計(jì)的濾波器提出設(shè)計(jì)要求，我們可以針對(duì)濾波器的設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)濾波器。通常用戶對(duì)模擬濾波器提出的要求有：（1）濾波器的性能指標(biāo)，包括截止頻率(對(duì)于低通和高通)或上下邊界頻率、，通帶波紋、阻帶衰減等；（2）濾波器的類型，通常為Butterworth、Chebyshev I、 Chebyshev II、 Ell

11、iptic或Bessel濾波器。我們根據(jù)濾波器的類型通常按下列步驟設(shè)計(jì)濾波器。(1)給定模擬濾波器的性能指標(biāo)，如截止頻率(對(duì)于低通和高通)或上下邊界頻率、；通帶波紋、阻帶衰減以及濾波器類型等（用戶給定）。(2)確定濾波器階數(shù)(3)設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器。MATLAB信號(hào)處理工具箱的濾波器原型設(shè)計(jì)函數(shù)有butterap、cheb1ap、cheb2ap、ellipap、besselap。(4)按頻率變換設(shè)計(jì)模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）。MATLAB信號(hào)處理工具箱的頻率變換函數(shù)有l(wèi)p2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs。2.3.2 模擬濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)上面濾波器的設(shè)計(jì)步驟比較麻煩，根據(jù)設(shè)

12、計(jì)要求求解濾波器的最小階數(shù)和邊界頻率之后需要設(shè)計(jì)模擬原型濾波器并進(jìn)行頻率轉(zhuǎn)換。其實(shí)MATLAB將這一系列的過(guò)程組合成了更為方便的設(shè)計(jì)函數(shù)：butter,cheby1,cheby2,ellip,besself。這些函數(shù)稱為模擬濾波器完全設(shè)計(jì)函數(shù)。用戶在求得濾波器的最小階數(shù)和截止頻率之后只需調(diào)用一次完全設(shè)計(jì)函數(shù)就可以自動(dòng)完成所有設(shè)計(jì)過(guò)程，編程十分簡(jiǎn)單。這些工具函數(shù)適用于模擬濾波器的設(shè)計(jì)，但同樣也適用于數(shù)字濾波器。本節(jié)只討論這些函數(shù)在模擬濾波器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。但要注意，MATLAB是將上述一系列的步驟復(fù)合而已，并不是一種新的設(shè)計(jì)模擬濾波器的方法。b,a=butter(n,wn,'ftype&#

13、39;, 's')z,p,k=butter(n,wn,'ftype', 's')b,a=cheby1(n,Rp,wn,'ftype', 's')z,p,k=cheby1(n,Rp,wn,'ftype', 's')b,a=cheby2(n,Rs,wn,'ftype', 's')z,p,k=cheby2(n,Rs,wn,'ftype', 's')b,a=ellip(n,Rp,Rs,wn,'ftype', &#

14、39;s')z,p,k=cheby2(n,Rp,Rs,wn,'ftype', 's')b,a=besself(n,wn,'ftype', 's')z,p,k=besself(n,wn,'ftype', 's')在上面的調(diào)用方式中，n為濾波器的階數(shù)，wn為濾波器的截止頻率，單位rad/s（wn>0）；s為模擬濾波器，缺省時(shí)為數(shù)字濾波。ftype濾波器的類型可取為：high高通濾波器，截止頻率為wn。stop帶阻濾波器，截止頻率為wn=w1,w2 (w<w2)。ftype缺省時(shí)為低通

15、或帶通濾波器。當(dāng)設(shè)計(jì)帶通濾波器時(shí)，截止頻率也為wn=w1,w2 (w1<w2)。a,b分別為濾波器的傳遞函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量；z,p,k分別為濾波器的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。Rp,Rs分別為所設(shè)計(jì)濾波器的通帶波紋和阻帶衰減, 單位為dB。濾波器的傳遞函數(shù)具有下面的形式： （2.9）若濾波器為帶通或帶阻型，則濾波器的階數(shù)為2n，否則階數(shù)為n。2.4 濾波器最小階數(shù)選擇前面所述的模擬濾波器設(shè)計(jì)中，濾波器階數(shù)是我們?cè)诰幊虝r(shí)任意指定的。其實(shí)它是決定濾波器品質(zhì)的主要參數(shù)之一。通常在滿足性能指標(biāo)的前提下，階數(shù)應(yīng)該盡可能小，以滿足易于實(shí)現(xiàn)、提高運(yùn)算速度的要求。而在濾波器階數(shù)和濾波器性能之間存在一定的

16、函數(shù)關(guān)系，我們通過(guò)這一函數(shù)關(guān)系可以求出滿足濾波性能指標(biāo)的最低階數(shù)。下面介紹常用低通濾波器最小階數(shù)的確定原理及MATLAB實(shí)現(xiàn)；接著介紹MATLAB信號(hào)處理工具箱中用來(lái)計(jì)算最小階數(shù)和截止頻率的工具函數(shù)。2.4.1 濾波器最小階數(shù)選擇原理以Butterworth低通模擬濾波器為例模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)為：通帶邊界頻率，阻帶邊界頻率，通帶波紋Rp(dB)、阻帶衰減Rs(dB)。當(dāng)時(shí) （2.10）以截止頻率（幅值下降3dB）為1，化為相對(duì)的相對(duì)頻率，則上式可寫成： 同理，當(dāng)時(shí)， 綜合上面兩式可得：式中，N應(yīng)向上取整，則N為該濾波器的最小階數(shù)。表示為：或 2.4.2 濾波器最小階數(shù)選擇函數(shù)上面給出了B

17、utterworth濾波器的最小階數(shù)和截止頻率的選擇公式及程序。其實(shí)MATLAB工具箱中運(yùn)用濾波器的最小階數(shù)選擇公式給出了濾波器最小階數(shù)選擇函數(shù)。幾種濾波器最小階數(shù)的選擇函數(shù)如下：n,wc=buttord(wp,ws,Rp,Rs, 's'); Bu切比雪夫?yàn)V波器切貝雪夫?yàn)V波器也是從幅頻特性方面提出逼近要求的，其幅頻響應(yīng)表達(dá)式為： （1.2）是決定通帶波紋大小的波動(dòng)系數(shù)，0<<1，波紋的產(chǎn)生是由于實(shí)際濾波網(wǎng)絡(luò)中含有電抗元件；wc 是通帶截止頻率，Tn是n階切貝雪夫多項(xiàng)式。與巴特沃斯逼近特性相比較，這種特性雖然在通帶內(nèi)有起伏，但對(duì)同樣的n值在進(jìn)入阻帶以后衰減更陡峭，更接

18、近理想情況。值越小，通帶起伏越小，截止頻率點(diǎn)衰減的分貝值也越小，但進(jìn)入阻帶后衰減特性變化緩慢。切貝雪夫?yàn)V波器與巴特沃斯濾波器進(jìn)行比較，切貝雪夫?yàn)V波器的通帶有波紋，過(guò)渡帶輕陡直，因此，在不允許通帶內(nèi)有紋波的情況下，巴特沃斯型更可??；從相頻響應(yīng)來(lái)看，巴特沃斯型要優(yōu)于切貝雪夫型，通過(guò)上面二圖比較可以看出，前者的相頻響應(yīng)更接近于直線。貝塞爾濾波器只滿足相頻特性而不關(guān)心幅頻特性。貝塞爾濾波器又稱最平時(shí)延或恒時(shí)延濾波器。其相移和頻率成正比，即為一線性關(guān)系。但是由于它的幅頻特性欠佳，而往往限制了它的應(yīng)用。1.2.3按濾波器元件性質(zhì)無(wú)源濾波器(R、L、C)有源濾波器(含運(yùn)放)2 模擬有源濾波器的設(shè)計(jì)原理2.1

19、 信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件信號(hào)通過(guò)一個(gè)系統(tǒng)，其響應(yīng)若不失真，則這個(gè)系統(tǒng)稱為無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。實(shí)際中常常需要無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，例如，高保真音響系統(tǒng)、示波器等。無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)應(yīng)是的準(zhǔn)確的復(fù)制品，或者說(shuō)兩者的大小和出現(xiàn)的時(shí)間可以不同(見(jiàn)圖2.1a、b)，但它們的波形變化規(guī)律應(yīng)相同，即 （2.1）式中、為常數(shù)，是系統(tǒng)增益，為延遲時(shí)間。上式可以改寫為 （2.2）這說(shuō)明無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為 （2.3）對(duì)上式進(jìn)行傅里葉變換，則有 （2.4）由上式可知，無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)應(yīng)滿足下面兩個(gè)條件： (1) 幅頻特性 （2.5） 即系統(tǒng)增益為一個(gè)常數(shù)，與信號(hào)頻率無(wú)關(guān)，如圖2.1(c)所示。 (2) 相頻

20、特性 （2.6） 即系統(tǒng)的相位和與信號(hào)頻率成正比，如圖2.1(d)所示。 (c) (d)圖2.1 無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)實(shí)際系統(tǒng)，幅頻特性和相頻特性均不滿足無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的兩個(gè)條件。工程上，只要信號(hào)在占有的頻率范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性基本上滿足無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的兩個(gè)條件，就可以認(rèn)為是無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)了。2.2 理想濾波器的特性濾波器是一個(gè)選頻裝置。理想濾波器應(yīng)能無(wú)失真地傳輸有用信號(hào)，而又能完全抑制無(wú)用信號(hào)。有用信號(hào)和無(wú)用信號(hào)往往占有不同的頻帶。信號(hào)能通過(guò)濾波器的頻帶稱為通帶(Passband)。信號(hào)被抑制的頻帶稱為阻帶（Stopband）。理想濾波器頻率特性可寫為： 但通過(guò)后面的講解我們會(huì)知道理想

21、濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。實(shí)際濾波器的頻率特性只能“逼近”理想濾波器。圖 2.2為低通濾波器的幅頻特性示意圖。圖2.2低通濾波器的幅頻特性示意圖可見(jiàn)，濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶內(nèi)不是完全平直的，而是呈波紋變化；在阻帶內(nèi)，幅頻特性也不為零，而是衰減至某個(gè)值；在通帶和阻帶之間存在一個(gè)過(guò)渡帶，而不是突然下降。通常，實(shí)際設(shè)計(jì)要求濾波器的技術(shù)指標(biāo)包括通帶波紋Rp(Passband ripple)(dB)、阻帶衰減(Stopband attenuation)(dB)、通帶邊界頻率、阻帶邊界頻率、過(guò)渡帶寬。濾波器的通帶波紋Rp為相對(duì)于頻率響應(yīng)最大點(diǎn)（一般為1）的下降，因此下降越少說(shuō)明通帶越平直，濾波器的濾波效果

22、越好（通常為15dB）。濾波器的阻帶衰減Rs也是相對(duì)于頻率響應(yīng)最大點(diǎn)（一般為1）的下降，因此下降越多說(shuō)明信號(hào)在阻帶內(nèi)越不容易通過(guò)，因此濾波效果越好(通常要大于15dB)。過(guò)渡帶寬越窄，濾波器的頻率特性越接近于直角矩形特性，濾波效果也越好。2.3 模擬濾波器傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)原理模擬濾波器的設(shè)計(jì)理論通常在Laplace域內(nèi)進(jìn)行討論，本節(jié)內(nèi)容我們只討論其應(yīng)用。模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)可由平方幅值響應(yīng)函數(shù)形式給出，而和傳遞函數(shù)H(s)存在下面關(guān)系： （2.7）即 （2.8）當(dāng)給定模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)后，由求出A(-s2)，再適當(dāng)?shù)胤峙淞銟O點(diǎn)可求出H(s)。為了使濾波器穩(wěn)定，H(s)的極點(diǎn)必須落在s平面左半平面

23、，這是因?yàn)閷?duì)于一個(gè)濾波器的極點(diǎn)p，就可以寫成的形式，其逆Laplace變換（對(duì)應(yīng)于時(shí)間域）為，若p>0，則隨著時(shí)間增大至無(wú)窮，該濾波器的輸出將出現(xiàn)不穩(wěn)定。濾波器的零點(diǎn)選擇可任取A(-s2)的一半零點(diǎn)，這是因?yàn)闉V波器對(duì)Laplace域表示的傳遞函數(shù)并無(wú)特殊要求，但如果要求H(s)具有最小相位，零點(diǎn)也必須選擇在s左半平面。2.3.1 模擬濾波器設(shè)計(jì)步驟用戶對(duì)設(shè)計(jì)的濾波器提出設(shè)計(jì)要求，我們可以針對(duì)濾波器的設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)濾波器。通常用戶對(duì)模擬濾波器提出的要求有：（1）濾波器的性能指標(biāo)，包括截止頻率(對(duì)于低通和高通)或上下邊界頻率、，通帶波紋、阻帶衰減等；（2）濾波器的類型，通常為Butterwor

24、th、Chebyshev I、 Chebyshev II、 Elliptic或Bessel濾波器。我們根據(jù)濾波器的類型通常按下列步驟設(shè)計(jì)濾波器。(1)給定模擬濾波器的性能指標(biāo)，如截止頻率(對(duì)于低通和高通)或上下邊界頻率、；通帶波紋、阻帶衰減以及濾波器類型等（用戶給定）。(2)確定濾波器階數(shù)(3)設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器。MATLAB信號(hào)處理工具箱的濾波器原型設(shè)計(jì)函數(shù)有butterap、cheb1ap、cheb2ap、ellipap、besselap。(4)按頻率變換設(shè)計(jì)模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）。MATLAB信號(hào)處理工具箱的頻率變換函數(shù)有l(wèi)p2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs。

25、2.3.2 模擬濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)上面濾波器的設(shè)計(jì)步驟比較麻煩，根據(jù)設(shè)計(jì)要求求解濾波器的最小階數(shù)和邊界頻率之后需要設(shè)計(jì)模擬原型濾波器并進(jìn)行頻率轉(zhuǎn)換。其實(shí)MATLAB將這一系列的過(guò)程組合成了更為方便的設(shè)計(jì)函數(shù)：butter,cheby1,cheby2,ellip,besself。這些函數(shù)稱為模擬濾波器完全設(shè)計(jì)函數(shù)。用戶在求得濾波器的最小階數(shù)和截止頻率之后只需調(diào)用一次完全設(shè)計(jì)函數(shù)就可以自動(dòng)完成所有設(shè)計(jì)過(guò)程，編程十分簡(jiǎn)單。這些工具函數(shù)適用于模擬濾波器的設(shè)計(jì)，但同樣也適用于數(shù)字濾波器。本節(jié)只討論這些函數(shù)在模擬濾波器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。但要注意，MATLAB是將上述一系列的步驟復(fù)合而已，并不是一種新的設(shè)計(jì)模擬濾波

26、器的方法。b,a=butter(n,wn,'ftype', 's')z,p,k=butter(n,wn,'ftype', 's')b,a=cheby1(n,Rp,wn,'ftype', 's')z,p,k=cheby1(n,Rp,wn,'ftype', 's')b,a=cheby2(n,Rs,wn,'ftype', 's')z,p,k=cheby2(n,Rs,wn,'ftype', 's')b,a=ell

27、ip(n,Rp,Rs,wn,'ftype', 's')z,p,k=cheby2(n,Rp,Rs,wn,'ftype', 's')b,a=besself(n,wn,'ftype', 's')z,p,k=besself(n,wn,'ftype', 's')在上面的調(diào)用方式中，n為濾波器的階數(shù)，wn為濾波器的截止頻率，單位rad/s（wn>0）；s為模擬濾波器，缺省時(shí)為數(shù)字濾波。ftype濾波器的類型可取為：high高通濾波器，截止頻率為wn。stop帶阻濾波器，截止

28、頻率為wn=w1,w2 (w<w2)。ftype缺省時(shí)為低通或帶通濾波器。當(dāng)設(shè)計(jì)帶通濾波器時(shí)，截止頻率也為wn=w1,w2 (w1<w2)。a,b分別為濾波器的傳遞函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量；z,p,k分別為濾波器的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。Rp,Rs分別為所設(shè)計(jì)濾波器的通帶波紋和阻帶衰減, 單位為dB。濾波器的傳遞函數(shù)具有下面的形式： （2.9）若濾波器為帶通或帶阻型，則濾波器的階數(shù)為2n，否則階數(shù)為n。2.4 濾波器最小階數(shù)選擇前面所述的模擬濾波器設(shè)計(jì)中，濾波器階數(shù)是我們?cè)诰幊虝r(shí)任意指定的。其實(shí)它是決定濾波器品質(zhì)的主要參數(shù)之一。通常在滿足性能指標(biāo)的前提下，階數(shù)應(yīng)該盡可能小，以滿足易于

29、實(shí)現(xiàn)、提高運(yùn)算速度的要求。而在濾波器階數(shù)和濾波器性能之間存在一定的函數(shù)關(guān)系，我們通過(guò)這一函數(shù)關(guān)系可以求出滿足濾波性能指標(biāo)的最低階數(shù)。下面介紹常用低通濾波器最小階數(shù)的確定原理及MATLAB實(shí)現(xiàn)；接著介紹MATLAB信號(hào)處理工具箱中用來(lái)計(jì)算最小階數(shù)和截止頻率的工具函數(shù)。2.4.1 濾波器最小階數(shù)選擇原理以Butterworth低通模擬濾波器為例模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)為：通帶邊界頻率，阻帶邊界頻率，通帶波紋Rp(dB)、阻帶衰減Rs(dB)。當(dāng)時(shí) （2.10）以截止頻率（幅值下降3dB）為1，化為相對(duì)的相對(duì)頻率，則上式可寫成： 同理，當(dāng)時(shí)， 綜合上面兩式可得：式中，N應(yīng)向上取整，則N為該濾波器的最

30、小階數(shù)。表示為：或 2.4.2 濾波器最小階數(shù)選擇函數(shù)上面給出了Butterworth濾波器的最小階數(shù)和截止頻率的選擇公式及程序。其實(shí)MATLAB工具箱中運(yùn)用濾波器的最小階數(shù)選擇公式給出了濾波器最小階數(shù)選擇函數(shù)。幾種濾波器最小階數(shù)的選擇函數(shù)如下：n,wc=buttord(wp,ws,Rp,Rs, 's'); Butterworth 濾波器n,wc=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs, 's'); Chebyshev I 濾波器n,wc=cheb2ord(wp,ws,Rp,Rs, 's'); Chebyshev II 濾波器n,wc=elli

31、pord(wp,ws,Rp,Rs, 's'); Elliptic 濾波器tterworth 濾波器n,wc=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs, 's'); Chebyshev I 濾波器n,wc=cheb2ord(wp,ws,Rp,Rs, 's'); Chebyshev II 濾波器n,wc=ellipord(wp,ws,Rp,Rs, 's'); Elliptic 濾波器式中，wp為通帶邊界頻率，ws為阻帶邊界頻率，單位為rad/s。Rp,Rs分別為通帶波紋和阻帶衰減，單位為dB。二者分別表示通帶內(nèi)的最大允許幅值損失和阻帶

32、下降的分貝數(shù)。's'表示模擬濾波器（缺省時(shí)，該函數(shù)適用于數(shù)字濾波器）；函數(shù)返回值n為模擬濾波器的最小階數(shù)；wc為模擬濾波器的截止頻率，單位為rad/s。這四個(gè)函數(shù)適用于低通、高通、帶通、帶阻濾波器。若wp<ws，對(duì)應(yīng)于低通模擬濾波器，當(dāng)wp>ws時(shí)對(duì)應(yīng)于高通模擬濾波器，對(duì)于帶通和帶阻濾波器存在兩個(gè)過(guò)渡帶，wp和ws均應(yīng)該為含有兩個(gè)元素的向量，分別表示兩個(gè)過(guò)渡帶的邊界頻率。即：wp=通帶下界頻率, 通帶上界頻率，ws=阻帶下界頻率, 阻帶上界頻率。對(duì)于帶通濾波器，這四個(gè)頻帶界線的大小排列為:阻帶下界頻率<通帶下界頻率<通帶上界頻率<阻帶上界頻率；對(duì)于

33、帶阻濾波器，這四個(gè)頻帶界線的大小排列為:通帶下界頻率<阻帶下界頻率<阻帶上界頻率<通帶上界頻率。這時(shí)返回值wc包括兩個(gè)元素（第一個(gè)元素小于第二個(gè)元素），分別為通帶和阻帶之間的界線頻率。函數(shù)自動(dòng)判斷是帶通還是帶阻濾波器。2.5 模擬濾波器的性能測(cè)試濾波器設(shè)計(jì)好之后，一般要進(jìn)行各方面的測(cè)試。在正式設(shè)計(jì)濾波器之前，我們先介紹如何測(cè)試濾波器的性能。對(duì)于模擬濾波器，在本章第二節(jié)我們已采用函數(shù)freqs來(lái)求模擬濾波器的頻率響應(yīng)，這里我們?cè)敿?xì)介紹該函數(shù)，若其調(diào)用格式為：式中，b,a分別為模擬濾波器傳遞函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)； h為對(duì)應(yīng)頻率點(diǎn)的傳遞函數(shù)值。上面的表示中，,w和,n表示可有可

34、無(wú)的參數(shù)，本書中的該類表示均為可有可無(wú)的參數(shù), 由用戶根據(jù)需要確定。w為頻率點(diǎn)的值,n為頻率點(diǎn)數(shù)。若n=128，則用128個(gè)頻率點(diǎn)來(lái)給出此模擬濾波器的頻率特性（給定頻率點(diǎn)的傳遞函數(shù)值），缺省時(shí)為200。若該函數(shù)不寫輸出變量，則執(zhí)行后繪出該濾波器的幅頻響應(yīng)和相位響應(yīng)圖。此函數(shù)模擬濾波器的傳遞函數(shù)形式為： MATLAB工具箱還提供了兩個(gè)函數(shù)abs和angle，由頻率響應(yīng)求幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。其中angle的輸出單位為rad?？刹捎胷ad2deg函數(shù)轉(zhuǎn)化為度。另外注意函數(shù)的幅頻響應(yīng)經(jīng)常用分貝(dB)來(lái)表示。求出的幅頻響應(yīng)后，通過(guò)下式轉(zhuǎn)換為分貝:(dB)。我們知道，除了用傳遞函數(shù)描述濾波器特性外，還可

35、用脈沖(沖激)響應(yīng)來(lái)描述濾波器，因?yàn)樵谀M濾波器中，脈沖響應(yīng)與傳遞函數(shù)是Laplace變換對(duì)。此外還可以用階躍響應(yīng)（輸入一個(gè)階躍時(shí)系統(tǒng)的輸出）來(lái)描述濾波器特性。下面我們介紹在MATLAB中如何得到模擬濾波器的脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)。將濾波器的傳遞函數(shù)表示成分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)的形式，如分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)為b,a，則在MATLAB中用H=tf(b,a)來(lái)表示此模擬濾波器，采用y,t=impulse(H)給出該系統(tǒng)的模擬脈沖響應(yīng)。采用y,t=step(H)來(lái)得到該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。這兩個(gè)函數(shù)與freqs一樣，若沒(méi)有輸出則程序自動(dòng)繪圖模擬該濾波器的脈沖響應(yīng)或階躍響應(yīng)。輸出值y,t分別為該濾波器的脈沖響

36、應(yīng)或階躍響應(yīng)及其對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列。另外，我們還可以運(yùn)用一個(gè)輸入信號(hào)模擬該濾波器的輸出。若給定濾波器的輸入值序列和對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列為u,t，則系統(tǒng)的輸出可用y=lsim(H,u,t)來(lái)模擬, y為對(duì)應(yīng)t的輸出。若該函數(shù)沒(méi)有輸出變量則程序自動(dòng)繪圖顯示。2.6 頻 率 變 換模擬原型濾波器(下一章將講到)均是截止頻率為1的濾波器，在實(shí)際設(shè)計(jì)中是很難遇到的，然而它是設(shè)計(jì)其他各類濾波器的基礎(chǔ)。我們通常遇到的是截止頻率任意的低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器和帶阻濾波器。如何由低通原型模擬濾波器設(shè)計(jì)這些濾波器呢？這就要用到我們今天要講的頻率變換。所謂頻率變換是指各類濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）和低通濾波器

37、原型的傳遞函數(shù)中頻率自變量之間的變換關(guān)系。通過(guò)頻率變換，我們可以從模擬低通濾波器原型獲得模擬的低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器和帶阻濾波器，再借助于s域至z域的變換關(guān)系又可以設(shè)計(jì)各類后面所講的無(wú)限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器，這是濾波器設(shè)計(jì)的重要方法之一。2.6.1 頻率變換工具函數(shù)MATLAB信號(hào)處理工具箱有l(wèi)p2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs四個(gè)頻率變換函數(shù)。下面分別敘述其使用方法及各參量的意義。(1)函數(shù)lp2lp用于實(shí)現(xiàn)用低通模擬原型濾波器至低通濾波器的頻率變換，調(diào)用格式為：其中，a,b為模擬原型濾波器的分母和分子多項(xiàng)式的系數(shù)，為低通濾波器所期望的截止頻率（rad/s），若給定的單位

38、為Hz，應(yīng)乘以2。bt,at為返回的低通濾波器的分母和分子多項(xiàng)式的系數(shù)。該函數(shù)將模擬原型濾波器傳遞函數(shù)模擬原型執(zhí)行下面變換： 式中，H(p)為低通原型濾波器傳遞函數(shù)，H(s)為低通濾波器傳遞函數(shù)。該項(xiàng)操作可以執(zhí)行模擬原型濾波器由截止頻率為1到指定截止頻率的變換，其原理討論以超出本課程的范圍，可參看其他信號(hào)處理參考書。(2)函數(shù)lp2hp用于實(shí)現(xiàn)由低通模擬濾波器至高通濾波器的頻率變換。調(diào)用格式：式中，為高通模擬濾波器所期望的截止頻率（rad/s），若給定的頻率單位為Hz，應(yīng)乘以2。該函數(shù)將模擬原型濾波器傳遞函數(shù)執(zhí)行下面變換： (3)函數(shù)lp2bp用于實(shí)現(xiàn)由低通模擬原型濾波器至帶通濾波器的頻率變換

39、。調(diào)用格式：式中，為帶通濾波器的中心頻率(rad/s)，Bw為帶通濾波器帶寬(rad/s)。而 式中,為帶通濾波器的下邊界頻率，為帶通濾波器上邊界頻率。若給定的邊界頻率為Hz需乘以。該函數(shù)將模擬原型濾波器傳遞函數(shù)執(zhí)行下面變換運(yùn)算： (4)函數(shù)lp2bs用于實(shí)現(xiàn)由低通模擬原型濾波器至帶阻濾波器的頻率變換。調(diào)用格式：式中，為帶阻濾波器的中心頻率(rad/s)，Bw為帶阻濾波器帶寬(rad/s)。而 式中, 為帶阻濾波器的下邊界頻率，為帶阻濾波器上邊界頻率。若給定的邊界頻率為Hz需乘以。該函數(shù)將模擬原型濾波器傳遞函數(shù)執(zhí)行下面變換運(yùn)算：注意：輸出的帶阻濾波器和帶通濾波器是濾波器原型階數(shù)的2倍。3 模擬

40、濾波器的逼近理論由于實(shí)際的濾波器與理想的濾波器存在差距，所以我們每個(gè)濾波器都有一個(gè)原型與之對(duì)應(yīng)。本章介紹常用的模擬原型濾波器的主要特點(diǎn)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)，包括Butterworth、Chebyshev I, ChebyshevII, Elliptical、Bessel原型低通濾波器的設(shè)計(jì)。模擬原型濾波器指的是截止頻率為1的濾波器。后面所講的各類模擬濾波器和數(shù)字濾波器可通過(guò)這些低通原型濾波器變換得到。3.1 Butterworth濾波器Butterworth模擬低通濾波器的平方幅頻響應(yīng)函數(shù)為： （3.1）式中，為低通濾波器的截止頻率，N為濾波器的階數(shù)。Butterworth濾波器的特點(diǎn)：通帶內(nèi)

41、具有最大平坦的頻率特性，且隨著頻率增大平滑單調(diào)下降；階數(shù)愈高，特性愈接近矩形，過(guò)渡帶愈窄。傳遞函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，極點(diǎn)等距離地分布在以為半徑的圓周上。所謂濾波器的零點(diǎn)就是將該點(diǎn)的值代入傳遞函數(shù)后，傳遞函數(shù)的值為零。所謂函數(shù)的極點(diǎn)就是將該點(diǎn)的值代入傳遞函數(shù)后，傳遞函數(shù)的值為無(wú)窮大。濾波器的增益是指?jìng)鬟f函數(shù)表達(dá)式前的系數(shù)。若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表示為：則濾波器零點(diǎn)為，極點(diǎn)為，濾波器的增益為K。這里所說(shuō)的零點(diǎn)和極點(diǎn)分布在一個(gè)圓上為L(zhǎng)aplace域中的形式，感興趣的同學(xué)可查看數(shù)學(xué)中的Laplace變換。MATLAB信號(hào)處理工具箱提供Butterworth模擬低通濾波器原型設(shè)計(jì)函數(shù)buttap,函數(shù)調(diào)用形式為：式中，

42、n為butterworth濾波器階數(shù)；z,p,k分別為濾波器的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。Butterworth濾波器傳遞函數(shù)具有下面的形式： （3.2）濾波器沒(méi)有零點(diǎn)，極點(diǎn)為，濾波器的增益為K。在有關(guān)模擬濾波器設(shè)計(jì)的MATLAB程序中，經(jīng)常遇到一些特定函數(shù)。為將模擬原型濾波器函數(shù)（如buttap）設(shè)計(jì)出的零點(diǎn)z,極點(diǎn)p和增益k形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)（transfer function）形式；其中，b為濾波器傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù)，a為濾波器傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式系數(shù)。求出傳遞函數(shù)形式（分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)為b,a）表示的濾波器的對(duì)應(yīng)于頻率點(diǎn)w的復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)H（包括實(shí)部和虛部），這里w為一個(gè)矢量，表示對(duì)應(yīng)的角

43、頻率。若該函數(shù)不寫輸出變量，則執(zhí)行后繪出該濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)圖。圖3.1 Butterworth濾波器原型平方幅頻圖由圖3.1知，Butterworth濾波器的幅頻平方特性隨著頻率單調(diào)下降。隨著濾波器階數(shù)的增大，其幅頻特性逐漸接近矩形。3.1.1 Butterworth濾波器應(yīng)用設(shè)計(jì)一個(gè)模擬帶通濾波器，我們將設(shè)計(jì)指標(biāo)改為：通帶頻率：200300Hz，兩側(cè)過(guò)渡帶寬500Hz，通帶波紋1dB，阻帶衰減100dB。檢驗(yàn)信號(hào)，其中f1=100Hz，f2=2500Hz，f3=3900Hz。信號(hào)的采樣頻率為10000Hz。程序如下：wp=2000 3000*2*pi;ws=1500 3500*2*

44、pi;Rp=1;Rs=100; %濾波器設(shè)計(jì)參數(shù)，對(duì)于給定HZ應(yīng)乘以2N,Wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s'); %求得濾波器的最小階數(shù)和截止頻率 w=linspace(1,4000,1000)*2*pi; %設(shè)置繪制頻率響應(yīng)的頻率點(diǎn)b,a=butter(N,Wn,'s'); %設(shè)計(jì)模擬Butterworth濾波器H=freqs(b,a,w); %計(jì)算給定頻率點(diǎn)的復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)magH=abs(H);phaH=unwrap(angle(H); %計(jì)算幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)plot(w/(2*pi),20*log10(magH); %以頻率為橫坐標(biāo)繪制

45、幅頻響應(yīng)xlabel('Frequency/Hz');ylabel('Magnitude/dB');title('Butterworth analog bandpass filter'); hold on;plot(1500 1500,ylim); plot(3500 3500,ylim); %繪制阻帶邊界grid onfigure(2)dt=1/10000; %模擬信號(hào)采樣間隔f1=100;f2=2500;f3=3900;%輸入信號(hào)的三個(gè)頻率成分t=0:dt:0.04; %給定模擬時(shí)間段x=sin(2*pi*f1*t)+0.5*cos(2*pi

46、*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t); %輸入信號(hào)H=tf(b,a); %濾波器在MATLAB系統(tǒng)中的表示y,t1=lsim(H,x,t); %模擬輸出subplot(211),plot(t,x),title('Input signal') %繪出輸入信號(hào)subplot(212),plot(t1,y) %繪制輸出信號(hào)title('Output signal'),xlabel('Time/s')圖3.2 模擬濾波器幅頻響應(yīng)，阻帶邊界由圖3.2可見(jiàn)，濾波器的幅頻響應(yīng)完全符合要求。在阻帶邊界確實(shí)下降到100dB。3900Hz和100Hz的

47、頻率均在阻帶內(nèi)，只有25000Hz的頻率在通帶內(nèi)。圖3.3 濾波器的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)由圖3.3可見(jiàn)，通過(guò)模擬系統(tǒng)后，3900Hz的高頻成分和100Hz的低頻成分被濾除了，輸出只含有2500Hz頻率成分的振動(dòng)。3.2切比雪夫（chebyshev）濾波器巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止處，幅度下降很多，或者說(shuō)，為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次N很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪夫多項(xiàng)式來(lái)逼近所希望的。切比雪夫?yàn)V波器的在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以在同樣的通常內(nèi)衰減要求下，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小。3.2.1 Chebyshev I型Chebvshev

48、I型模擬低通濾波器的平方幅值響應(yīng)函數(shù)為： （3.3）式中，為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)的幅值波紋情況；為截止頻率，N為Chebyshev多項(xiàng)式階數(shù)，為Chebyshev多項(xiàng)式，定義為： （3.4）Chebyshev I型濾波器特點(diǎn)是：通帶內(nèi)具有等波紋起伏特性，而在阻帶內(nèi)則單調(diào)下降，且具有更大衰減特性；階數(shù)愈高，特性愈接近矩形。傳遞函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，極點(diǎn)分布在一個(gè)橢圓上。注意，這里所說(shuō)的零點(diǎn)和極點(diǎn)分布在一個(gè)橢圓上為L(zhǎng)aplace域中的形式。MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù)cheb1ap設(shè)計(jì)N階Chebyshev I型模擬低通濾波器原型。因?yàn)镃hebyshev I型模擬原型濾波器通帶內(nèi)具有波紋特點(diǎn)，所以在

49、調(diào)用時(shí)需增加通帶波紋所能下降的最低限度Rp（dB）。由于Rp為相對(duì)于增益1的下降分貝數(shù)，所以該值越小濾波器在通帶內(nèi)越接近1，濾波器的性能越好，通常取值范圍為15（dB）。此函數(shù)的調(diào)用格式為：z.p,k=cheb1ap(N,Rp)式中，N為濾波器的階數(shù)，Rp為通帶波紋，單位為dB，z,p,k分別為濾波器的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。圖3.4 Chebyshev I型模擬原型濾波器平方幅頻圖與Butterworth濾波器相比（圖3.1），可以看到：在相同的階數(shù)下，Chebyshev I型模擬原型濾波器具有更窄（更陡）的過(guò)渡帶。但這種特性是以犧牲了通帶的單調(diào)平滑特性（而成為波紋狀）為代價(jià)的。如果我們不想犧牲通

50、帶內(nèi)的單調(diào)平滑特性有無(wú)辦法設(shè)計(jì)階數(shù)較小而過(guò)渡帶較窄的濾波器呢？這就涉及到Chebyshev II型濾波器。3.2.2 Chebyshev II型濾波器Chebyshev II型低通模擬濾波器的平方幅值響應(yīng)函數(shù)為： （3.5） 式中各項(xiàng)參數(shù)的意義同上。Chebyshev II型模擬濾波器的特點(diǎn)是：阻帶內(nèi)具有等波紋的起伏特性，而在通帶內(nèi)是單調(diào)、平滑的，階數(shù)愈高，頻率特性曲線愈接近矩形。傳遞函數(shù)既有極點(diǎn)又有零點(diǎn)。Chebyshev II型模擬濾波器零點(diǎn)為z(1),z(2),z(nz)，極點(diǎn)為p(1),p(2),p(np)，濾波器的增益為K。MATLAB信號(hào)處理工具箱提供函數(shù)cheb2ap設(shè)計(jì)N階Ch

51、ebyshev II型模擬濾波器的原型。由于Chebyshev II型濾波器阻帶內(nèi)有波紋，通帶內(nèi)單調(diào)平滑，則必須給定阻帶衰減Rs，前面已經(jīng)講過(guò)，通帶波紋和阻帶衰減都是相對(duì)于增益1的下降，因此，Rp和Rs越大則與通帶增益1的差距越大。因此，阻帶衰減Rs越大對(duì)應(yīng)的濾波器濾波效果越好，通常Rs的取值要大于16dB。該函數(shù)通常調(diào)用格式為：z,p,k=cheb2ap(N,Rs)式中，N為濾波器的階數(shù)；Rs為阻帶波紋，單位dB; z,p,k為濾波器的零極點(diǎn)和增益。圖3.5 Chebyshev II型模擬原型濾波器平方幅頻圖可見(jiàn)Chebyshev II型濾波器在通帶內(nèi)是單調(diào)平滑的，而阻帶內(nèi)卻出現(xiàn)了波紋。隨著濾波器階數(shù)的增高，其幅頻特性越接近矩形。由前面的講解可知，Butterworth濾波器具有單調(diào)平滑的頻率特性，但在過(guò)渡帶寬相同的條件下，所需的濾波器階數(shù)較高（即設(shè)計(jì)的濾波器濾波速度較慢，成本較高）。而Chebyshev I和II型濾波器在通帶或阻帶內(nèi)有波紋出現(xiàn)，但在過(guò)渡帶寬相同的條件下，所需的濾波器階數(shù)較低（即設(shè)計(jì)的濾波器濾波速度較快，成本較低）。3.2.3 應(yīng)用舉例為輸入信號(hào)，設(shè)計(jì)一個(gè)5階的chebyshev I型帶通濾波器，通帶波紋3dB，下邊界頻率500rad/s，上邊界頻率1000rad/s，繪制幅頻響應(yīng)圖。給出該濾波器的脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)。模擬濾波器的輸出并給出模擬輸