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文檔簡介

1、7.4 7.4 線性變換線性變換在基下的矩陣在基下的矩陣第七章第七章 線性空間線性空間下的像為定義定義設(shè)TnV12:,n L是向量空間中的線性變換，在nV中取定一個基，若基在線性變換T11112121212122221122,nnnnnnnnnnTaaaTaaaTaaaLLL L L LL（7.6）記1212,nnTTTT LL（7.6）式可表示為1212,nnTA LL111212122212nnnnnnaaaaaaAaaaLLMMML其中 （7.7）下的矩陣。稱TA為線性變換在基下面介紹求線性變換在基下矩陣的方法：（1）定義法定義法。 的導(dǎo)數(shù)。例在 3P x2123:,1xx 中取一個基求

2、線性變換 Tp xp xpx在此基下的矩陣 A，其中 px表示對 p x解 2231TT xx 2211222TT xxx 3311 0TT 即下的矩陣為故在基123123100,210,011T T100210011A 下的坐標分別為 （2）坐標變換法坐標變換法。此法是利用結(jié)論：若 T12,n L與在基1122,nnxxxxTAxxMM則 TA下的矩陣。其中AT12,n L為線性變換在基（3）基變換法基變換法。此法是利用結(jié)論：設(shè)線性空間中有兩個基nV1212,nn ；LL，則由基12,n L12,n LPnV到基的過渡矩陣為 ，中的線性變換TAB1BP AP在這兩個基下的矩陣分別為與此結(jié)論證

3、明如下：可逆，及按定理的假設(shè)，有 1212,=,nnP LL,P12121212,，nnnnTATB LLLL于是證畢。就是相似變換矩陣。1212121212112,=,=,.nnnnnnB TTPTPAPP AP LLLLLL因為12,n L1BP AP線性無關(guān)，所以，說明說明 此定理表明BAP與相似，且兩個基之間的過渡矩陣 下面討論線性變換矩陣的一些性質(zhì)。，這個對應(yīng)具有如下性質(zhì)：設(shè)12,n LnnVTA是維線性空間的一個基，在這組基下，每個線性變換均對應(yīng)一個n階矩陣（1）線性變換的和對應(yīng)矩陣的和；（2）線性變換的乘積對應(yīng)矩陣的乘積；（3）線性變換和數(shù)的乘積對應(yīng)于矩陣和數(shù)的乘積；（4）可逆的線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，且逆矩陣對應(yīng)于逆變換。下面僅證明性質(zhì)（1）。，即證證（1） 設(shè) 12,T TnV12,n L,A B是中的兩個線性變換，它們在基下的矩陣是 1121221212,=,=,nnnnTATB LLLL則，證畢。1212112212121212

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