《線(xiàn)性代數(shù)》教案完整版教案整本書(shū)全書(shū)電子教案

1、 線(xiàn)性代數(shù) 教 案編 號(hào)： 課時(shí)安排： 2 學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課 實(shí)驗(yàn)課 習(xí)題課 其它題目： 第一章 行列式 § 1.1二階、三階行列式 § 1.2 n階行列式教學(xué)目的要求： 使學(xué)生掌握二、三階行列式的定義及計(jì)算方法；理解逆序數(shù)的定義及計(jì)算方法教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 二、三階行列式的定義及計(jì)算方法；逆序數(shù)的計(jì)算方法教學(xué)方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書(shū)教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等） 導(dǎo)入（10分鐘）本章主要內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn) 新授課內(nèi)容（75分鐘）二、三階行列式的定義一、二階行列式的定義 從二元方程組的解的公式,引出二階行列式的概念。設(shè)二元線(xiàn)

2、性方程組 用消元法,當(dāng) 時(shí),解得 令 ,稱(chēng)為二階行列式 ,則 如果將D中第一列的元素, 換成常數(shù)項(xiàng), ,則可得到另一個(gè)行列式,用字母表示,于是有按二階行列式的定義,它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：,這就是公式（2）中的表達(dá)式的分子。同理將中第二列的元素a 12,a 22 換成常數(shù)項(xiàng)b1,b2 ,可得到另一個(gè)行列式,用字母表示,于是有 按二階行列式的定義,它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：,這就是公式（2）中的表達(dá)式的分子。于是二元方程組的解的公式又可寫(xiě)為 其中例1. 解線(xiàn)性方程組 同樣,在解三元一次方程組時(shí),要用到“三階行列式”,這里可采用如下的定義.二、三階行列式的定義 設(shè)三元線(xiàn)性方程組用消元法解得 定義 設(shè)有9個(gè)數(shù)

3、排成3行3列的數(shù)表 記 ,稱(chēng)為三階行列式,則 三階行列式所表示的6項(xiàng)的代數(shù)和,也用對(duì)角線(xiàn)法則來(lái)記憶：從左上角到右下角三個(gè)元素相乘取正號(hào),從右上角到左下角三個(gè)元素取負(fù)號(hào),即例2. 計(jì)算三階行列式 .(-14)例3. 解線(xiàn)性方程組 解 先計(jì)算系數(shù)行列式 再計(jì)算 ,得 , 全排列及其逆序數(shù)引例：用1、2、3三個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)的三位數(shù)？一、全排列 把n個(gè)不同的元素排成一列,叫做這個(gè)元素的全排列（簡(jiǎn)稱(chēng)排列）.可將個(gè)不同元素按進(jìn)行編號(hào),則個(gè)不同元素的全排列可看成這個(gè)自然數(shù)的全排列.個(gè)不同元素的全排列共有種. 二、逆序及逆序數(shù) 逆序的定義：取一個(gè)排列為標(biāo)準(zhǔn)排列,其它排列中某兩個(gè)元素的次序與標(biāo)準(zhǔn)

4、排列中這兩個(gè)元素的次序相反時(shí),則稱(chēng)有一個(gè)逆序.通常取從小到大的排列為標(biāo)準(zhǔn)排列,即的全排列中取為標(biāo)準(zhǔn)排列. 逆序數(shù)的定義：一個(gè)排列中所有逆序數(shù)的總數(shù)稱(chēng)為這個(gè)排列的逆序數(shù). 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱(chēng)為偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱(chēng)為奇排列,標(biāo)準(zhǔn)排列規(guī)定為偶排列. 例1: 討論的全排列. 全排列123231312132213321逆序數(shù)022113奇偶性偶奇逆序數(shù)的計(jì)算：設(shè)為的一個(gè)全排列,則其逆序數(shù)為 .其中為排在 前,且比大的數(shù)的個(gè)數(shù). 定理1 任意一個(gè)排列經(jīng)過(guò)一個(gè)對(duì)換后奇偶性改變。定理2 n個(gè)數(shù)碼（n>1）共有n！個(gè)n級(jí)排列，其中奇偶排列各占一半。總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)： 線(xiàn)

5、性代數(shù) 教 案編 號(hào)： 課時(shí)安排： 2 學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課 實(shí)驗(yàn)課 習(xí)題課 其它題目： 第一章 行列式 § 1.2 階行列式的定義(續(xù))教學(xué)目的要求： 掌握階行列式的定義教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 階行列式的定義，特殊行列式的計(jì)算公式教學(xué)方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書(shū)教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等） 復(fù)習(xí)（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）回顧二階,三階行列式的共同特點(diǎn). 二階行列式 .其中： 是 的全排列,是的逆序數(shù),是對(duì)所有的全排列求和. 三階行列式 其中:是的全排列,是的逆序數(shù),是對(duì)所有的全排列求和. 其中: 是的全排列,是的逆序數(shù), 是對(duì)所

6、有的全排列求和. 板書(shū)給出階行列式語(yǔ)言定義和計(jì)算定義： 舉例進(jìn)行練習(xí)階行列式的等價(jià)定義為： 階行列式的等價(jià)定義為： 特殊公式1： , 特殊公式2：下三角行列式.總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)： 線(xiàn)性代數(shù) 教 案編 號(hào)： 課時(shí)安排： 2 學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課 實(shí)驗(yàn)課 習(xí)題課 其它題目：第一章 行列式 § 1.3 行列式的性質(zhì)教學(xué)目的要求： 掌握階行列式的性質(zhì)，會(huì)利用階行列式的性質(zhì)計(jì)算階行列式的值；教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 行列式的性質(zhì)教學(xué)方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書(shū)教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等） 復(fù)習(xí)（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘

7、）轉(zhuǎn)置行列式的定義 記 = ()行列式稱(chēng)為行列式的轉(zhuǎn)置行列式（依次將行換成列）一、階行列式的性質(zhì)性質(zhì) 1：  行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.由此知，行與列具有同等地位.關(guān)于行的性質(zhì)，對(duì)列也同樣成立，反之亦然.如: 以r表示第i行，表示第j列.交換兩行記為,交換i,j兩列記作.性質(zhì) 2： 行列式互換兩行（列），行列式變號(hào).   推論：  行列式有兩行（列）相同，則此行列式為零. 性質(zhì) 3： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以數(shù) ,等于用數(shù)乘以該行列式.   推論1：  行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以

8、提到行列式符號(hào)外. 推論2：  行列式中有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則此行列式為零. 性質(zhì) 4：  若行列式中某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和. 即若 則 +.性質(zhì) 5：  把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù)再加到另一行（列）上，則該行列式不變. 二、階行列式的計(jì)算：例1. 計(jì)算.解： .例2. . (推廣至階，總結(jié)一般方法)例3. 證明：.證明： 左端.例4. 計(jì)算階行列式.(利用遞推法計(jì)算)例5. ， 則 .總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)： 線(xiàn)性代數(shù) 教 案編 號(hào)： 課時(shí)安排： 2 學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課 實(shí)驗(yàn)課 習(xí)題課

9、其它題目： 第一章 行列式 § 1.4 行列式按行（列）展開(kāi)教學(xué)目的要求： 了解余子式和代數(shù)余子式的概念；掌握行列式按行（列）展開(kāi)；教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 行列式按行（列）展開(kāi)教學(xué)方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書(shū)教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等） 復(fù)習(xí)（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）定義 在階行列式中，把元素所處的第行、第列劃去，剩下的元素按原排列構(gòu)成的階行列式，稱(chēng)為的余子式，記為；而稱(chēng)為的代數(shù)余子式. 引理 如果階行列式中的第行除外其余元素均為零，即： .則：. 定理  行列式等于它的任意一行（列）的各元素與對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，

10、即 按行： 按列： 舉例講解并練習(xí)范德蒙行列式.其中，記號(hào)“”表示全體同類(lèi)因子的乘積.定理的推論  行列式一行（列）的各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)各元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，即 按列： 結(jié)合定理及推論，得 ，其中總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)： 線(xiàn)性代數(shù) 教 案編 號(hào)： 課時(shí)安排： 2 學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課 實(shí)驗(yàn)課 習(xí)題課 其它題目： 第一章 行列式 § 1.5 克萊姆法則教學(xué)目的要求： 了解克拉默法則的內(nèi)容,了解克拉默法則的證明,會(huì)利用克拉默法則求解含有個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的線(xiàn)性方程組的解；教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 克拉默法則的應(yīng)用教學(xué)方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書(shū)

11、教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等） 復(fù)習(xí)（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）研究對(duì)象：含有個(gè)未知數(shù)的個(gè)方程的線(xiàn)性方程組 （1）與二、三元線(xiàn)性方程組相類(lèi)似,它的解可以用階行列式表示.定理1（Cramer法則）如果線(xiàn)性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零 ,即 ,則方程組(1)有且僅有一組解： , , , (2)其中是把系數(shù)行列式中的第列的元素用方程組右端的常數(shù)列代替 ,而其余列不變所得到的階行列式.當(dāng)全為零時(shí),即 稱(chēng)之為齊次線(xiàn)性方程組.顯然,齊次線(xiàn)性方程組必定有解(）.根據(jù)克拉默法則,有 1齊次線(xiàn)性方程組的

12、系數(shù)行列式時(shí) ,則它只有零解（沒(méi)有非零解） 2反之,齊次線(xiàn)性方程組有非零解 ,則它的系數(shù)行列式. 例1求解線(xiàn)性方程組解:系數(shù)行列式同樣可以計(jì)算  ,  , , 所以 , , ,.注意： 1. 克萊姆法則的條件：個(gè)未知數(shù) ,個(gè)方程 ,且2. 用克萊姆法則求解方程組運(yùn)算量大一般不采用它求解方程組。3. 克萊姆法則具有重要的理論意義。4. 克萊姆法則說(shuō)明線(xiàn)性方程組的解與它的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)之間的依存關(guān)系.例2. 用克拉默法則解方程組例3. 已知齊次線(xiàn)性方程組有非零解 ,問(wèn)應(yīng)取何值？解 系數(shù)行列式由：

13、60;,得總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)： 線(xiàn)性代數(shù) 教 案編 號(hào)： 課時(shí)安排： 2 學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課 實(shí)驗(yàn)課 習(xí)題課 其它題目： 第二章 矩陣 § 2.1 矩陣的概念 § 2.2 矩陣的運(yùn)算 § 2.3 階矩陣（方陣），方陣的行列式教學(xué)目的要求： 了解矩陣的概念；掌握矩陣的運(yùn)算教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 矩陣的概念和矩陣的運(yùn)算教學(xué)方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書(shū)教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等） 導(dǎo)入（10分鐘）本章主要內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn) 新授課內(nèi)容（75分鐘）一、矩陣的定義   稱(chēng)行、列的數(shù)表 為矩

14、陣，或簡(jiǎn)稱(chēng)為矩陣；表示為或簡(jiǎn)記為,或或；其中表示中第行，第列的元素。  其中行列式為按行列式的運(yùn)算規(guī)則所得到的一個(gè)數(shù)；而矩陣是 個(gè)數(shù)的整體,不對(duì)這些數(shù)作運(yùn)算。 例如，公司的統(tǒng)計(jì)報(bào)表,學(xué)生成績(jī)登記表等,都可寫(xiě)出相應(yīng)的矩陣。設(shè)，都是 矩陣，當(dāng)            則稱(chēng)矩陣與相等,記成。二、特殊形式 階方陣： 矩陣 行矩陣 ：矩陣（以后又可叫做行向量），記為列矩陣 ：矩陣（以后又可叫做列向量），記為 零矩陣 ：所有元素為的矩陣,記為 矩陣的運(yùn)算一、加法 設(shè)，,都是矩陣,則加法定義為 顯然, ， 二、

15、數(shù)乘   設(shè)是數(shù),是矩陣,則數(shù)乘定義為   顯然 ， ， 三、乘法        設(shè) ，,則乘法定義為 其中 注：兩個(gè)矩陣相乘要求前一個(gè)矩陣的列數(shù)等于后一個(gè)矩陣的行數(shù)；乘積矩陣的行數(shù)為前一個(gè)矩陣的行數(shù),列數(shù)為后一個(gè)矩陣的列數(shù)；乘積矩陣的第行，第列元素為前一個(gè)矩陣的第行元素與后一個(gè)矩陣的第行元素對(duì)應(yīng)相乘再相加。 例：設(shè) , ，則 例:設(shè)，求及。解： ，由此發(fā)現(xiàn)：（1），（不滿(mǎn)足交換律） （2），但卻有。一個(gè)必須注意的問(wèn)題 ： 1若，, ,則 成立,當(dāng) 時(shí), 不成立； 2即使，,則 是階方陣,而是階方陣；3.

16、 如果 , 都是階方陣,例如，則 ，而 綜上所述,一般 （即矩陣乘法不滿(mǎn)足交換率）。 下列性質(zhì)顯然成立： ，,幾個(gè)運(yùn)算結(jié)果： 1 . ；2. ；3 .若為矩陣,是階單位陣,則;若是階單位陣,則；4線(xiàn)性方程組的矩陣表示： ,則 矩陣的冪:.四、轉(zhuǎn)置 設(shè) ，記則稱(chēng)是的轉(zhuǎn)置矩陣。 顯然， ， ， ， 。 五、方陣的行列式 為階方陣，其元素構(gòu)成的階行列式稱(chēng)為方陣的行列式,記為或。 結(jié)論 ， ， ?？偨Y(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)： 線(xiàn)性代數(shù) 教 案編 號(hào)： 課時(shí)安排： 2 學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課 實(shí)驗(yàn)課 習(xí)題課 其它題目：第二章 矩陣 § 2.4 幾種特殊的矩陣教學(xué)目的要求： 掌握幾

17、個(gè)階特殊矩陣的定義和性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 三角形矩陣和對(duì)稱(chēng)矩陣的相關(guān)定義和結(jié)論教學(xué)方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書(shū)教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等） 復(fù)習(xí)（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）對(duì)角陣 ：對(duì)角線(xiàn)元素為,其余元素為的方陣，記為 結(jié)論：同階對(duì)角陣的和、數(shù)乘、乘積仍是同階對(duì)角矩陣數(shù)量矩陣：結(jié)論：同階數(shù)量陣的和、數(shù)乘、乘積仍是同階數(shù)量矩陣單位陣 ：對(duì)角線(xiàn)元素為1，其余元素為0的方陣，記為 三角形矩陣：上三角形矩陣下三角形矩陣同階同型三角陣的和、數(shù)乘、乘積仍是同階同型三角矩陣對(duì)稱(chēng)矩陣:若矩陣滿(mǎn)足（即）,則稱(chēng)是對(duì)稱(chēng)陣 結(jié)論：設(shè)是矩陣,則是階對(duì)稱(chēng)陣,是階對(duì)

18、稱(chēng)陣.結(jié)論：數(shù)乘對(duì)稱(chēng)矩陣及同階對(duì)稱(chēng)矩陣之和仍為對(duì)稱(chēng)矩陣，但是對(duì)稱(chēng)矩陣的乘積未必對(duì)稱(chēng)。兩個(gè)同階對(duì)稱(chēng)矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)二者可交換時(shí)，乘積才是對(duì)稱(chēng)矩陣?？偨Y(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)： 線(xiàn)性代數(shù) 教 案編 號(hào)： 課時(shí)安排： 2 學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課 實(shí)驗(yàn)課 習(xí)題課 其它題目：第二章 矩陣 § 2.5分塊矩陣教學(xué)目的要求： 掌握矩陣分塊的運(yùn)算和相關(guān)性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 矩陣分塊的運(yùn)算教學(xué)方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書(shū)教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等） 復(fù)習(xí)（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）引例：設(shè) 可按以下方式分塊，每塊均為小矩陣： ， ，

19、, 則。矩陣分塊法是用若干條橫線(xiàn)和若干條豎線(xiàn)將矩陣分割成幾個(gè)小矩陣。矩陣分塊法的運(yùn)算及運(yùn)算性質(zhì)： 1加法： 設(shè)， 則.2數(shù)乘： 設(shè) ，是數(shù)，則 . 3乘法： 設(shè) ，則 其中， 4轉(zhuǎn)置： 設(shè)，則5對(duì)角分塊的性質(zhì)：     設(shè) ，其中均為方陣，則 。幾個(gè)矩陣分塊的應(yīng)用：1矩陣按行分塊： 設(shè)，記 , 則 矩陣按列分塊： 記 則 。 2線(xiàn)性方程組的表示： 設(shè) 若記 ， 則線(xiàn)性方程組可表示為 。總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)： 線(xiàn)性代數(shù) 教 案編 號(hào)： 課時(shí)安排： 2學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課 實(shí)驗(yàn)課 習(xí)題課 其它題目： 第二章 矩陣 § 2.6 逆矩陣教學(xué)

20、目的要求： 掌握逆矩陣、伴隨矩陣的定義和性質(zhì)；能夠利用公式計(jì)算逆矩陣教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 逆矩陣概念和計(jì)算教學(xué)方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書(shū)教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等） 復(fù)習(xí)（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）一、逆矩陣定義 設(shè)為階方陣,若存在一個(gè)階方陣，使得,則稱(chēng)方陣可逆,并稱(chēng)方陣為的逆矩陣,記作， 若,則性質(zhì)1 若存在,則必唯一.性質(zhì)2 若可逆，則也可逆，且性質(zhì)3 若可逆,則可逆,且性質(zhì)4 若同階方陣、都可逆，則也可逆，且 二、逆陣存在的條件及逆陣的求法定義. 由的行列式中元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的階方陣,記作,即 稱(chēng)為的伴隨矩陣.定理 方陣可逆 且

21、 推論 設(shè)為階方陣,若存在階方陣,使得，(或)，則。 注：求時(shí)，只需要驗(yàn)算，計(jì)算量減半。 例. 判斷下列方陣,是否可逆? 若可逆，求其逆陣。解：，所以不可逆，可逆，并且三、用逆矩陣法解線(xiàn)性方程組例：解線(xiàn)性方程組解：其矩陣式為 因 , 所以 所以其解為 四、分塊矩陣的逆矩陣 結(jié)論：若 可逆，則結(jié)論： 設(shè)，為可逆方陣,則。 總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)：線(xiàn)性代數(shù) 教 案 編 號(hào)： 課時(shí)安排： 2 學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課 實(shí)驗(yàn)課 習(xí)題課 其它題目： 第二章 矩陣 § 2.7 矩陣的初等變換教學(xué)目的要求： 了解矩陣的三種初等變換，熟悉初等矩陣的定義，掌握矩陣初等變換與對(duì)應(yīng)初等矩陣

22、運(yùn)算上的關(guān)系，能夠?qū)⒔o定的矩陣?yán)贸醯茸儞Q化簡(jiǎn)成階梯形，標(biāo)準(zhǔn)形；掌握利用初等變換求逆矩陣的方法教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 矩陣的初等變換，利用初等變換求逆矩陣教學(xué)方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書(shū)在本章的§2.6節(jié)中給出了矩陣可逆的充分必要條件，并同時(shí)給出了求逆矩陣的一種方法伴隨矩陣法但是利用伴隨矩陣法求逆矩陣，當(dāng)矩陣的階數(shù)較高時(shí)計(jì)算量是很大的這一節(jié)將介紹求逆矩陣的另一種方法初等變換法為此我們先介紹初等矩陣的概念，并建立矩陣的初等變換與矩陣乘法的聯(lián)系一、初等變換1) 交換矩陣的某兩行的位置；2) 用一個(gè)非零的數(shù)去乘矩陣的某一行；3) 用一個(gè)數(shù)乘某一行后加到另一行上這三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行

23、變換類(lèi)似地，有1 交換矩陣的某兩列的位置；2) 用一個(gè)非零的數(shù)去乘矩陣的某一列；3) 用一個(gè)數(shù)乘某一列后加到另一列上1) ，2) ，3)稱(chēng)為矩陣的初等列變換矩陣的初等行變換和矩陣的初等列變換統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換定義1 由單位矩陣I經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣顯然，初等矩陣都是方陣，并且每個(gè)初等變換都有一個(gè)與之相應(yīng)的初等矩陣互換矩陣I的第i行(列)與第j行(列)的位置，得I(i，j)= 用非零數(shù)c乘I的第i行(列)，得I(i(c)=(3)將I的第j行的k倍加到第i行上，得I(i，j(k)=該矩陣也是I的第i列的k倍加到第j列所得的初等矩陣顯然，上述三種初等矩陣就是全部的初等矩陣初等矩陣

24、具有下列性質(zhì)：初等矩陣都是可逆的這是因?yàn)閨I(i，j)|=10|I(i(c)|=c0|I(i ， j(k)|=10初等矩陣的逆矩陣仍是同類(lèi)型的初等矩陣，且有I(i，j)1=I(i，j)I(i(c)1=I(i()I(i，j(k) 1=I(i，j(k)引入初等矩陣后，使得矩陣的初等變換可用初等矩陣與該矩陣的乘積來(lái)實(shí)現(xiàn)定理1 對(duì)一個(gè)m×n矩陣A施行一次初等行變換就相當(dāng)于對(duì)A左乘一個(gè)相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換就相當(dāng)于對(duì)A右乘一個(gè)相應(yīng)的n階初等矩陣這說(shuō)明：把A的第j行的k倍加到第i行上就相當(dāng)于在A的左邊乘上一個(gè)相應(yīng)的初等矩陣I(i， j(k)其它兩種初等行變換可類(lèi)似證明二、利用

25、初等變換求矩陣的逆利用矩陣的初等變換，可以把任一矩陣化為最簡(jiǎn)單的形式定理2 任意一個(gè)m×n矩陣A經(jīng)過(guò)一系列初等變換，總可以化成形如=的矩陣，D稱(chēng)為矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形補(bǔ)充矩陣行階梯形的定義并講授如何利用初等行變換化簡(jiǎn)矩陣為行階梯形根據(jù)定理1，對(duì)于一個(gè)矩陣A作初等行(列)變換就相當(dāng)于用相應(yīng)的初等矩陣去左(右)乘這個(gè)矩陣因此，矩陣與它的標(biāo)準(zhǔn)形 D有如下關(guān)系：D=PsP2P1AQ1Q2Qt (1)其中P1，P2，Ps和Q1，Q2，Qt是初等矩陣由于初等矩陣都是可逆的，所以(1)式又可寫(xiě)成：A=P11P21 Ps1DQt1 Q21Q11 (2)推論 n階方陣A可逆的充分必要條件是A的標(biāo)準(zhǔn)形為單

26、位矩陣I定理3 n階方陣A可逆的充分必要條件是A可以表示成一些初等矩陣的乘積即 A=Q1Q2 Qm (3)這里Q1，Q2， Qm為初等矩陣推論 若n階方陣A可逆，則總可以經(jīng)過(guò)一系列初等行變換將A化成單位矩陣以上的討論提供了一個(gè)求逆矩陣的方法，設(shè)A為一個(gè)n階可逆矩陣，由上述推論，存在一系列初等矩陣P1，P2，Pm，使得PmP2P1A=I (5)由(5)式右乘A1得 A1=PmP2P1I (6)(5)(6)兩個(gè)式子說(shuō)明，如果用一系列初等行變換將可逆矩陣A化成單位矩陣，那么同樣地用這一系列初等行變換就可將單位矩陣I化成A1于是得到了一個(gè)求逆矩陣的方法：作n×2n矩陣(AI)，對(duì)此矩陣作初等

27、行變換，使左邊子塊A化為I，同時(shí)右邊子塊I就化成了A1簡(jiǎn)示為：(AI) (IA1)總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)： 線(xiàn)性代數(shù) 教 案編 號(hào)： 課時(shí)安排： 2 學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課 實(shí)驗(yàn)課 習(xí)題課 其它題目： 第二章 矩陣 § 2.8矩陣的秩教學(xué)目的要求： 掌握矩陣秩的定義,會(huì)求矩陣的秩.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 求矩陣的秩教學(xué)方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書(shū)教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等） 復(fù)習(xí)（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）定義1.在矩陣中任取行列,位于這些行列交叉處的個(gè)元素,不改變它們?cè)谥兴幍奈恢么涡蚨玫降碾A行列式,稱(chēng)為矩陣的

28、階子式.矩陣A的k階子式共個(gè).定義2 如果在矩陣中有一個(gè)不等于零的階子式 ，且所有的階子式都等于, 則稱(chēng) D為的一個(gè)最高階非零子式.數(shù) 稱(chēng)為矩陣的秩，矩陣的秩記成. 零矩陣的秩規(guī)定為0 . 注解: 1.規(guī)定零矩陣的秩規(guī)定為0. 2.若稱(chēng)為滿(mǎn)秩矩陣. 3.若稱(chēng)為降秩矩陣. 4. 問(wèn)題：經(jīng)過(guò)初等變換矩陣的秩變嗎？ 定理 若則.初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.矩陣的秩的性質(zhì)(1).(2).;(3).若則(4).若可逆,則.(5).(6).(7).(8).若則求秩方法：用初等變換把矩陣化成行階梯形矩陣，矩陣的秩 = 此行階梯形矩陣的

29、秩（據(jù)定理1 ）行階梯形矩陣的秩 = 其非零行的行數(shù)（定義2）滿(mǎn)秩陣總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)： 線(xiàn)性代數(shù) 教 案編 號(hào)： 課時(shí)安排： 2 學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課 實(shí)驗(yàn)課 習(xí)題課 其它題目： 第三章 線(xiàn)性方程組 § 3.1線(xiàn)性方程組的消元解法教學(xué)目的要求： 掌握線(xiàn)性方程組消元與增廣矩陣初等行變換化簡(jiǎn)階梯形的關(guān)系，掌握一般線(xiàn)性方程組解的判別定理；教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 利用初等變換求線(xiàn)性方程組的解教學(xué)方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書(shū)教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等） 導(dǎo)入（10分鐘）本章主要內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn) 新授課內(nèi)容（75分鐘）消元法解二

30、元、三元線(xiàn)性方程組時(shí)曾用過(guò)加減消元法，實(shí)際上這個(gè)方法比用行列式求解更具有普遍性，是解一般n元線(xiàn)性方程組的最有效的方法通過(guò)例子介紹如何用消元法解一般的線(xiàn)性方程組 消元方法具有一般性，即無(wú)論方程組只有一個(gè)解或有無(wú)窮個(gè)解還是沒(méi)有解，都可用消元法將其化為一個(gè)階梯形方程組，從而判斷出它是否有解分析一下消元法，不難看出，它實(shí)際上是反復(fù)地對(duì)方程組進(jìn)行變換，而所作的變換，也只是由以下三種基本的變換所構(gòu)成：1.交換方程組中某兩個(gè)方程的位置；2.用一個(gè)非零數(shù)乘某一個(gè)方程；3.用一個(gè)數(shù)乘某一個(gè)方程后加到另一個(gè)方程上這三種變換稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的初等變換用消元法解線(xiàn)性方程組的過(guò)程就是對(duì)線(xiàn)性方程組反復(fù)地實(shí)行初等變換的過(guò)程考

31、慮線(xiàn)性方程組(I)方程組(I)的全部解稱(chēng)為(I)的解集合如果兩個(gè)方程組有相同的解集合，就稱(chēng)它們是同解的或等價(jià)的方程組下面來(lái)說(shuō)明，如何利用初等變換來(lái)解一般的線(xiàn)性方程組對(duì)于方程組(I)，首先檢查x1的系數(shù)如果x1的系數(shù)a11， a21， ， am1全為零，那么方程組(I)對(duì)x1沒(méi)有任何限制，x1就可以任意取值，而方程組(I)可看作x2， ， xn的方程組來(lái)解如果x1的系數(shù)不全為零，不妨設(shè)a110不等于零，否則可利用初等變換1，交換第一個(gè)方程與另一個(gè)方程的位置，使得第一個(gè)方程中x1的系數(shù)不為零然后利用初等變換3，分別把第一個(gè)方程的倍加到第i個(gè)(i=2，3， m)方程，于是方程組(I)變成 ()其中

32、顯然方程組()與()是同解的對(duì)方程組()再按上面的考慮進(jìn)行變換，并且這樣一步一步做下去，必要時(shí)改變未知量的次序，最后就得到一個(gè)階梯形方程組為了討論方便，不妨設(shè)所得到的階梯形方程組為()其中cii0， i=1，2，r方程組()中“0 = 0”是一些恒等式，可以去掉，并不影響方程組的解我們知道，(I)與()是同解的，根據(jù)上面的分析，方程組()是否有解就取決于第r+1個(gè)方程0 = dr+1是否矛盾，于是方程組(I)有解的充分必要條件為dr+1= 0在方程組有解時(shí)，分兩種情形：1) 當(dāng)r=n時(shí)，階梯形方程組為()其中cii0， i=1，2， n由克萊姆法則()有唯一解，從而(I)有唯一解()其中cii

33、0， i=1，2，r方程組()中“0 = 0”是一些恒等式，可以去掉，并不影響方程組的解2) 當(dāng) r<n時(shí)，這時(shí)階梯形方程組為其中 cii0， i=1，2， r， 寫(xiě)成如下形式()由克萊姆法則，當(dāng)xr+1，xn任意取定一組值，就唯一確定出x1，xr值，也就是定出方程組()的一個(gè)解，一般地，由()可以把x1，x2，xr的值由xr+1，xn表示出來(lái)這樣表示出來(lái)的解稱(chēng)為方程組(I)的一般解，因xr+1，xn可以任意取值，故稱(chēng)它們?yōu)樽杂晌粗匡@然，()有無(wú)窮多個(gè)解，即(I)有無(wú)窮多個(gè)解定理：非齊次線(xiàn)性方程組， 方程組無(wú)解充分必要條件是) 方程組有唯一解的充分必要條件是) 方程組有無(wú)窮多組解的充分

34、必要條件是),且在任 一解中含有個(gè)任意常數(shù) . 用消元法解線(xiàn)性方程組的過(guò)程，歸納起來(lái)就是，首先用初等變換把方程組化為階梯形方程組，若最后出現(xiàn)一些等式“0 = 0”，則將其去掉如果剩下的方程當(dāng)中最后一個(gè)方程是零等于一個(gè)非零的數(shù)，那么方程組無(wú)解，否則有解方程組有解時(shí)，如果階梯形方程組中方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)，則方程組有唯一解；如果階梯形方程組中方程個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，則方程組有無(wú)窮多個(gè)解當(dāng)線(xiàn)性方程組(1)中的常數(shù)項(xiàng)b1= b2= bm= 0時(shí)，即()稱(chēng)為齊次線(xiàn)性方程組顯然，齊次線(xiàn)性方程組是一定有解的因?yàn)閤1= x2= xn=0就是它的一個(gè)解這個(gè)解稱(chēng)為齊次方程組的零解我們所關(guān)心的是它除了零解之

35、外，還有沒(méi)有非零解？把上述對(duì)非齊次線(xiàn)性方程組討論的結(jié)果應(yīng)用到齊次線(xiàn)性方程組，就有如下定理定理 在齊次線(xiàn)性方程組()中，如果m<n，則它必有非零解總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)： 線(xiàn)性代數(shù) 教 案編 號(hào)： 課時(shí)安排： 2 學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課 實(shí)驗(yàn)課 習(xí)題課 其它題目：第三章 線(xiàn)性方程組 § 3.2 向量與向量組的線(xiàn)性組合教學(xué)目的要求： 了解n維向量的基本概念，理解線(xiàn)性組合、線(xiàn)性表示、向量組等價(jià)的定義；教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 線(xiàn)性表示和向量組等價(jià)的定義、定理教學(xué)方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書(shū)教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等） 復(fù)習(xí)

36、（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）一、維向量 定義1 個(gè)有次序的數(shù)所組成的數(shù)組稱(chēng)為維向量, 這個(gè)數(shù)稱(chēng)為該向量的個(gè)分量, 第個(gè)數(shù)稱(chēng)為第個(gè)分量. 維向量可寫(xiě)成一行, 也可寫(xiě)成一列. 按第二章中的規(guī)定, 分別稱(chēng)為行向量和列向量, 也就是行矩陣和列矩陣, 并規(guī)定行向量與列向量都按矩陣的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算. 因此維列向量與維行向量總看作是兩個(gè)不同的向量本書(shū)中, 列向量用黑體小寫(xiě)字母等表示, 行向量則用等表示. 所討論的向量在沒(méi)有指明是行向量還是列向量時(shí), 都當(dāng)作列向量. 向量的運(yùn)算類(lèi)似于矩陣的運(yùn)算，也有類(lèi)似的運(yùn)算性質(zhì) 二、向量組的概念若干個(gè)同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組. 矩陣與

37、向量組的對(duì)應(yīng): 一個(gè)矩陣的全體列向量是一個(gè)含個(gè)m維列向量的向量組, 它的全體行向量是一個(gè)含m個(gè)維行向量的向量組. . 個(gè)維列向量所組成的向量組構(gòu)成一個(gè)矩陣 ; 個(gè)維行向量所組成的向量組構(gòu)成一個(gè)矩陣. 又如線(xiàn)性方程的全體解當(dāng)時(shí)是一個(gè)含無(wú)限多個(gè)維列向量的向量組. 三、向量組的線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表示定義2 給定向量組對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)表達(dá)式 稱(chēng)為向量組的一個(gè)線(xiàn)性組合, 稱(chēng)為這線(xiàn)性組合的系數(shù). 給定向量組和向量，如果存在一組數(shù) 使則向量是向量組的線(xiàn)性組合, 這時(shí)稱(chēng)向量能由向量組線(xiàn)性表示. 向量能由向量組線(xiàn)性表示，也就是方程組 有解. 定理1 向量能由向量組線(xiàn)性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩, 即.

38、 四、向量組的等價(jià)性定義3 設(shè)有兩個(gè)向量組及 , 若B組中的每個(gè)向量都能由向量組線(xiàn)性表示, 則稱(chēng)向量組能由向量組線(xiàn)性表示. 若向量組與向量組能相互表示, 則稱(chēng)這兩個(gè)向量組等價(jià). 總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)： 線(xiàn)性代數(shù) 教 案編 號(hào)： 課時(shí)安排： 2 學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課 實(shí)驗(yàn)課 習(xí)題課 其它題目： 第三章 線(xiàn)性方程組 § 3.3 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性教學(xué)目的要求： 了 理解向量組的線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的定義及對(duì)應(yīng)的判定定理教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 判斷給定向量組的線(xiàn)性相關(guān)性。教學(xué)方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書(shū)教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思

39、維等） 復(fù)習(xí)（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）定義1 對(duì)于向量組a1，a2，am，如果存在一組不全為零的數(shù)k1，k2，km，使得k1a1+ k2a2+ kmam=0 (2)則稱(chēng)向量組a1，a2，am是線(xiàn)性相關(guān)的定義2 一個(gè)向量組如果不是線(xiàn)性相關(guān)就稱(chēng)為線(xiàn)性無(wú)關(guān)也就是當(dāng)且僅當(dāng)k1=k2=km=0時(shí)，才有k1a1+ k2a2+ kmam=0成立，則稱(chēng)a1，a2，am線(xiàn)性無(wú)關(guān)換句話(huà)說(shuō)，向量組a1，a2，am線(xiàn)性無(wú)關(guān)是指對(duì)任意一組不全為零的數(shù)k1，k2，km 都有 k1a1+ k2a2+ kmam0說(shuō)向量組線(xiàn)性相關(guān), 通常是指的情形, 但定義也適用于的情形. 當(dāng)時(shí), 向量組只含一個(gè)向量, 對(duì)于只含一個(gè)向

40、量的向量組, 當(dāng)時(shí)是線(xiàn)性相關(guān)的, 當(dāng)時(shí)是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的. 對(duì)于含個(gè)向量的向量組, 它線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是的分量對(duì)應(yīng)成比例, 其幾何意義是兩個(gè)向量共線(xiàn). 個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)的幾何意義是三向量共面. 結(jié)論：(1) 一個(gè)零向量必線(xiàn)性相關(guān)，而一個(gè)非零向量必線(xiàn)性無(wú)關(guān)；(2) 含有零向量的任意一個(gè)向量組必線(xiàn)性相關(guān)；(3) n維基本單位向量組e1， e2， en線(xiàn)性無(wú)關(guān)定理1 m個(gè)n維向量組 a1=，a2=，am=線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是齊次線(xiàn)性方程組(3)有非零解推論1 向量組a1，a2，am線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是齊次線(xiàn)性方程組(3)只有零解推論2 當(dāng)m=n時(shí)，即n個(gè)n維向量a1=，a2=，an=線(xiàn)性無(wú)關(guān)的

41、充分條件是行列式D=0推論3 m>n時(shí)，任意m個(gè)n維向量都線(xiàn)性相關(guān)即 當(dāng)向量組中所含向量個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)時(shí)，此向量組線(xiàn)性相關(guān)定理2 向量組a1，a2，am(m2)線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個(gè)向量可由其余m1個(gè)向量線(xiàn)性表出推論 向量組a1，a2，am(m2)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是其中每一個(gè)向量都不能由其余m1個(gè)向量線(xiàn)性表出定理3 若向量組a1，a2，am線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而向量組，a1，a2，am線(xiàn)性相關(guān)，則可由a1，a2，am線(xiàn)性表出，且表達(dá)式唯一 定理4 若向量組中有一部分向量組(稱(chēng)為部分組)線(xiàn)性相關(guān)，則整個(gè)向量組線(xiàn)性相關(guān)例如，含有兩個(gè)成比例的向量的向量組是線(xiàn)性相關(guān)的因?yàn)閮蓚€(gè)成比

42、例的向量是線(xiàn)性相關(guān)的，由定理5知該向量組線(xiàn)性相關(guān)推論 若向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則它的任意一個(gè)部分組線(xiàn)性無(wú)關(guān)如，n維單位向量組1，2，n線(xiàn)性無(wú)關(guān)，因此它的任意一個(gè)部分組線(xiàn)性無(wú)關(guān)定理5 如果n維向量組a1，a2，as線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則在每個(gè)向量上都添加m個(gè)分量，所得到的n+m維向量組a1*，a2*，as*也線(xiàn)性無(wú)關(guān) 推論 如果n維向量組a1，a2，as線(xiàn)性相關(guān)，則在每一個(gè)向量上都去掉m(m<n)個(gè)分量，所得的nm維向量組a1*，a2*，as*也線(xiàn)性相關(guān)定理6 設(shè)有兩個(gè)向量組（A）及 （B）向量組（B）可由向量組（A）線(xiàn)性表示，如果，則向量組（B）線(xiàn)性相關(guān)推論向量組（A）與向量組（B）等價(jià)，如果向量組（A

43、）（B）都是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，則 總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)： 線(xiàn)性代數(shù) 教 案編 號(hào)： 課時(shí)安排： 2學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課 實(shí)驗(yàn)課 習(xí)題課 其它題目： 第三章 線(xiàn)性方程組 § 3.4 向量組的秩教學(xué)目的要求： 掌握極大無(wú)關(guān)組與向量組的秩的概念，能求給定向量組的極大無(wú)關(guān)組及秩教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 向量組的極大無(wú)關(guān)組及秩教學(xué)方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書(shū)教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等） 復(fù)習(xí)（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）一、向量組的極大無(wú)關(guān)組定義1 設(shè)有向量組a1，a2，am，如果它的一個(gè)部分組ai1，ai2，air，滿(mǎn)足：(1)

44、ai1，ai2，air線(xiàn)性無(wú)關(guān)；(2)向量組a1，a2，am中的任意一個(gè)向量都可由部分組ai1，ai2，air線(xiàn)性表出則稱(chēng)部分組ai1，ai2，air是向量組a1，a2，am的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，簡(jiǎn)稱(chēng)為極大無(wú)關(guān)組從定義可看出，一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組的極大無(wú)關(guān)組就是這個(gè)向量組本身顯然，僅有零向量組成的向量組沒(méi)有極大無(wú)關(guān)組為了更深入地討論向量組的極大無(wú)關(guān)組的性質(zhì)，我們先來(lái)討論兩個(gè)向量組之間的關(guān)系極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組有下列性質(zhì)：性質(zhì)1 向量組a1，a2，am與它的極大無(wú)關(guān)組ai1，ai2，air等價(jià)推論 向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)性質(zhì)2 向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相同定理1 矩陣的秩等于它

45、的列向量組的秩,也等于它的行量組的秩.定理2 對(duì)一個(gè)矩陣進(jìn)行初等行變換，不改變對(duì)應(yīng)列向量組之間的線(xiàn)性關(guān)系。二、向量組的秩由于一個(gè)向量組的所有極大無(wú)關(guān)組含有相同個(gè)數(shù)的向量，這說(shuō)明極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)反映了向量組本身的性質(zhì)因此，我們引進(jìn)如下概念：定義2 向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為該向量組的秩，記作r(a1，a2，am)規(guī)定零向量組成的向量組的秩為零n維基本單位向量組e1， e2， en是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，它的極大無(wú)關(guān)組就是它本身，因此，r(e1， e2， en)=n定理3 向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是：它的秩等于它所含向量的個(gè)數(shù)定理4 相互等價(jià)的向量組的秩相等定理4的逆定理并不成立即兩

46、個(gè)向量組的秩相等時(shí)，它們未必是等價(jià)的例如向量組a1=(1，0，0，0)，a2=(0，1，0，0)與向量組b1=(0，0，1，0)，b2=(0，0，0，1)有r(a1，a2)=r(b1， b2)=2，而這兩個(gè)向量組顯然不是等價(jià)的定理5 如果兩個(gè)向量組的秩相等且其中一個(gè)向量組可由另一個(gè)線(xiàn)性表出，則這兩個(gè)向量組等價(jià) 總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)： 線(xiàn)性代數(shù) 教 案編 號(hào)： 課時(shí)安排： 2學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課 實(shí)驗(yàn)課 習(xí)題課 其它題目： 第三章 線(xiàn)性方程組 § 3.5 線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)教學(xué)目的要求： 掌握齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)和基礎(chǔ)解系的概念；會(huì)求齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系和通

47、解；教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 求解齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系及通解；教學(xué)方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書(shū)教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等） 復(fù)習(xí)（5分鐘） 新授課內(nèi)容（80分鐘）一、齊次方程組的解的性質(zhì)：設(shè)有元齊次線(xiàn)性方程組 若是 的解，記稱(chēng)為方程組 的解向量.性質(zhì) 1 若為（1）的兩個(gè)解（向量），則也是（1）的解. 性質(zhì) 2 若為（1）的解（向量），為任意實(shí)數(shù)，則也是（1）的解. 如果的全體解向量所組成的集合稱(chēng)為齊次方程組 的通解. 定義：具體說(shuō)，如果是的一組解向量，且滿(mǎn)足1 向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)；2 齊次方程組的每個(gè)解都可由線(xiàn)性表示；那么稱(chēng)為齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解

48、系. 如果是齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，那么的所有解都可表為 其中為任意實(shí)數(shù),稱(chēng)上式為齊次方程組的通解.定理 1 元齊次線(xiàn)性方程組 的基礎(chǔ)解系含個(gè)解，其中.證明 設(shè)，用初等行變換化系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣,不妨令為 于是得到與同解的方程組：對(duì)自由未知量分別取值 代入的右端依次可得： 于是得到的個(gè)解: 下面證明解向量組是的一個(gè)基礎(chǔ)解系，從而它們也是的一個(gè)基礎(chǔ)解系.首先，線(xiàn)性無(wú)關(guān).其次證明的任意解都可由線(xiàn)性表示.設(shè)是的一個(gè)解.根據(jù)齊次方程組解的性質(zhì)可知，向量也是的一個(gè)解，由于與的后面的個(gè)分量對(duì)應(yīng)相等，因此即可由線(xiàn)性表示. 這就證明了,是方程組（3），從而也是齊次方程組（1）的一個(gè)基礎(chǔ)解系， 所以， 的

49、基礎(chǔ)解系含個(gè)解.例 1. 求下列齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解: 對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換,將其變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形矩陣,得于是得同解方程組令 可得即得基礎(chǔ)解系：并得方程組的通解 總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)： 線(xiàn)性代數(shù) 教 案編 號(hào)： 課時(shí)安排： 2學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課 實(shí)驗(yàn)課 習(xí)題課 其它題目： 第三章 線(xiàn)性方程組 § 3.5 線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)（續(xù)）教學(xué)目的要求：掌握非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)并會(huì)求解非齊次線(xiàn)性方程組；教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 求解非齊次線(xiàn)性方程組的通解；教學(xué)方式、手段、媒介： 講授，多媒體、板書(shū)教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等） 復(fù)習(xí)（5分鐘） 新授課