奧數(shù)數(shù)論基礎(chǔ)知識

1、-奧數(shù)數(shù)論基礎(chǔ)知識一 質(zhì)數(shù)和合數(shù)（ 1）一個數(shù)除了 1 和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素數(shù)） 。一個數(shù)除了 1 和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。（ 2）自然數(shù)除 0 和 1 外，按約數(shù)的個數(shù)分為質(zhì)數(shù)和合數(shù)兩類。任何一個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。要特別記住： 0 和 1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。（3）最小的質(zhì)數(shù)是2 ，2 是唯一的偶質(zhì)數(shù)，其他質(zhì)數(shù)都為奇數(shù)；最小的合數(shù)是4。（ 4）質(zhì)數(shù)是一個數(shù)，是含有兩個約數(shù)的自然數(shù)。互質(zhì)數(shù)是指兩個數(shù)，是公約數(shù)只有一的兩個數(shù)，組成互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)可能是兩個質(zhì)數(shù)（和），可能是一個質(zhì)數(shù)和一個合數(shù)（和），可能是兩個合數(shù)（和）或1 與-另一個自

2、然數(shù)。（）如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。（）以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有個：、二 整除性（）概念一般地，如 a 、b 、c 為整數(shù)， b 0，且 a ÷ b=c ，即整數(shù) a 除以整除 b（ b 不等于 0），除得的商 c 正好是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說余數(shù)是0），我們就說，a 能被 b 整除（或者說 b 能整除 a ）。記作 b a. 否則，稱為 a 不能被 b 整除，（或 b 不能整除 a ），記作 b a 。如果整數(shù) a 能被整數(shù) b 整除， a 就叫做 b 的-倍數(shù)， b 就叫做 a 的約數(shù)。（）性質(zhì)性質(zhì) 1

3、：（整除的加減性）如果a 、 b 都能被c 整除，那么它們的和與差也能被c 整除。即：如果 c a ，c b ，那么 c （ a ± b ）。例如：如果210 ，26，那么 2（ 106），并且 2（ 10 6）。也就是說， 被除數(shù)加上或減去一些除數(shù)的倍數(shù)不影響除數(shù)對它的整除性。性質(zhì) 2：如果 b 與 c 的積能整除 a ，那么 b 與 c 都能整除 a.即：如果 bc a ，那么 b a ，c a 。性質(zhì) 3：（整除的互質(zhì)可積性）如果b 、 c 都能整除 a ，且 b 和 c 互質(zhì)，那么 b 與c 的積能整除 a 。即：如果 b a ，c a ，且（ b ， c ）=1 ，那么 b

4、c a 。例如：如果2 28，728，且（ 2，7）=1,那么（ 2×7） 28。性質(zhì) 4：（整除的傳遞性）如果c 能整除 b ， b 能整除 a ，那么 c 能整除 a 。-即：如果c b ，b a ，那么 c a 。例如：如果 3 9，927，那么 3 27。（）數(shù)的整除特征能被 2 整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是 0、 2、 4、6、8 的整數(shù) .能被 5 整除的數(shù)的特征：個位是 0 或 5。突破口能被 3（或 9）整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位數(shù)字之和能被3（或 9）整除。判斷能被3（或 9）整除的數(shù)還可以用“棄（或）法”：例如：能被整除么？解：，在數(shù)字中只剩，不是的倍數(shù)，所以不能被整

5、除。能被 4（或 25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4（或 25）整除。能被8（或 125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8（或 125）整除。能被 11 整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減?。┦?1 的倍數(shù)。-能被 7（11 或 13）整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減?。┠鼙?（ 11 或 13）整除，依此反復(fù)檢驗。例如：判斷3546725 能否被 13 整除？解：把3546725 分為 3546 和 725 兩個數(shù) .因為 3546-725=2821. 再把 2821 分為 2 和821 兩個數(shù)，因為 821

6、2819，又 13 819 ，所以 13 2821 ，進而 133546725.上述辦法也可以用來判斷余數(shù)和末位數(shù)；對于其他的數(shù)，可以將其分解成上述幾個互質(zhì)的數(shù)的乘積，再逐個考慮。三 約數(shù)與倍數(shù)（）公約數(shù)和最大公約數(shù)幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。例如：是和的最大公約數(shù)，可記做：（，）-（）公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如： 36 是 12 和 18 的最小公倍數(shù)，記作12 ，18=36 。（）最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的關(guān)系如果用a 和 b 表示兩個自然數(shù)、那么這兩個自然數(shù)的

7、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是：（ a ，b ）× a ， b=a ×b 。（多用于求最小公倍數(shù)）、（ a ， b ）a， ba ，b、 a ，b 是（ a ，b ）的倍數(shù)，（ a ，b ）是 a ，b 的約數(shù)、（ a ，b ）是 a b 和 a b 的約數(shù)，也是（a ，b ） a ，b 和（ a ，b ）a ，b 的約數(shù)（）求最大公約數(shù)的方法很多，主要推薦：短除法、分解質(zhì)因數(shù)法、輾轉(zhuǎn)相除法。例如：、（短除法）用一個數(shù)去除30、60、75 ，都能整除，這個數(shù)最大是多少？-解：（ 30， 60，75）=5×3=15這個數(shù)最大是15 。、（分解質(zhì)因數(shù)法）求和的最大公約數(shù)

8、是多少？解：××（這個質(zhì)分解常用到），××所以最大公約數(shù)是×在這種方法中，先將數(shù)進行質(zhì)分解，而后取它們“所有共有的質(zhì)因數(shù)之積”便是最大公約數(shù)。、（輾轉(zhuǎn)相除法）用輾轉(zhuǎn)相除法求4811 和 1981 的最大公約數(shù)。解： 4811=2 ×1981+849 ，1981=2 × 849+283 ，849=3 × 283，（ 4811 ，1981 ）=283 。補充說明：如果要求三個或更多的數(shù)的最大公約數(shù)，可以先求其中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個公約數(shù)與另外一個數(shù)的最大公約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結(jié)-果。（）約數(shù)個數(shù)公

9、式一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)（即指數(shù)）加1的連乘的積。例如：求 240 的約數(shù)的個數(shù)。解：240 24×31×51，240 的約數(shù)的個數(shù)是（ 41）×（ 1+1 ）×（ 11） =20 ，240 有 20 個約數(shù)。四奇偶性（ 1）奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類 .能被2 整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2 整除的數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通?？梢杂?2k（ k 為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用2k+1 （k 為整數(shù)）表示。特別注意，因為0 能被 2 整除，所以0 是偶-數(shù)。最小的奇數(shù)是，最小的偶數(shù)是（ 2）奇數(shù)與偶數(shù)的運算性質(zhì)性質(zhì) 1：偶數(shù)±偶數(shù) =偶數(shù)，奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)。性質(zhì) 2：偶數(shù)±奇數(shù) =奇數(shù)。性質(zhì) 3：偶數(shù)個奇數(shù)相加得偶數(shù)。性質(zhì) 4：奇數(shù)個奇數(shù)相加得奇數(shù)。性質(zhì) 5：偶數(shù)×奇數(shù) =偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù) =奇數(shù)。偶數(shù)×偶數(shù) =偶數(shù)（）反證法例：桌上有 9 只杯子，全部口朝上，每次將其中6 只同時 “翻轉(zhuǎn)” .請說明：無論經(jīng)過多少次這樣的“翻轉(zhuǎn)”，都9不只能杯使子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必須經(jīng)過奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)”.要使 9 只杯子口全朝下，必須經(jīng)過 9 個奇數(shù)之和次“翻轉(zhuǎn)”.即“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)為奇數(shù).但是，按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)6只杯子，無論