彈性力學(xué)基礎(chǔ)(程堯舜_同濟(jì)大學(xué)出版社)課后習(xí)題解答

1、習(xí)題解答第二章2. 1 il算：（1）（2） Cpqjjjk Ajk »（3） jjpklpkilj 2.2 證明：若 aij = ci”.則 eijk ci jk = 0 o證：2 匕處 ci 氷Cjjk a + Cikjdkj ijk ci jk ijkkj ijk a 氷匕處 a 爪=°。2. 3設(shè)a、方和C是三個矢量，試證明：aa mb acba bb be =a,b,c1ca c方 c-ca a ab acaa ab ciiCiG 如 03cii h Ci證：ba bb bc=bg bb be二h b2 b、a2 b2 c2二a,cc a c b ccCibtCi

2、CiCl c2 5偽k 52.4設(shè)a. b . c和d是四個矢呈.證明：（ax）（cxd）=（ac）（d）_（ad）（“c）證：xb）（cxd）= q傷匕處e& -ctdetn =匕疋山皿創(chuàng)心加=ai）jCidm （8n5im- 8ini8jt）=（GC）（傷 d,）- （adJGq）2.5設(shè)有矢M M = W,ef o原坐標(biāo)系繞Z軸轉(zhuǎn)動&角度，得到新坐標(biāo)系如圖2.4所示。試求矢量U在新坐標(biāo)系中的分量.Wy解：fla = cos0 .= sin0 t /3心=0 02H = Sil】。* 02*2 = COS&、 02'3 = 0 >血=0 , 03 2

3、= 0， 03= 1 Wr = PviUi = Ui cos0+u2 sin& r xi/y = PiUi =-th sin&+小 cos& Uy = /hiUi = u3.2.6設(shè)冇二階張®T = 7；ef ®e7當(dāng)作和上題相同的坐標(biāo)變換時，試求張戢T在新坐標(biāo)系中的分量久丫、 、7i y 和 7?y。解：變換系數(shù)同上題.后=產(chǎn)電也 +電二殳cos20+電也沁亡& ,斤=兀_人】+兀+弘cos20+心_心sin20 ,2 2 27J-3- = 713 cos&+ 石3 sin。，=人3。2.7設(shè)有3"個數(shù)A“皿.對任意加階張

4、S Bhiz jm ,定義°應(yīng)-和訂：.譏Ad：% Bj'h-jg若C沁 ws為n+m階張量，試證明AK2 i是n階張量。 證：為書寫簡單起見，取/?=2 ,加=2,則Cijjj = & Bm »在新坐標(biāo)系中，有(a)Cvat = AijBk'fW為Cijki和Bu是張雖:，所以有Cr/jtr = PhP/jPkkPiiCiju =Atj pkk fin Bu = 0譏 0力 £5 了比較上式和式(a),得(A了- P»i Pjj Atj )BtT = 0由于B是任意張量，故上式成立的充要條件足Ay = PP/jAij2.8設(shè)4為

5、二階張星，試證明/：A = tiAo證：I：A = e, ®e,:Ajkej ®eA =AJk (e, -e7 )(e, -eA )=Aa5,7 =A, =tiA。2.9設(shè)a為矢量，A為二階張量，試證明：(i)axA = -(Arxa)T , (2) Axa = -(axAt )7證：(1) -(Arxa)T = -(Ay/e, ®eyxe* )7 = -(Ayie, ®akejkntn)7 = -(Ay/6f#/Je,-®en )T =-AJllakejkiei ®ezl =ak x A>e； ®en=axA。(2)

6、 -(axAr)r = -(ae,xAt7ey ®ejr =-(4 ®e* )r = -(A”M%e“ ®e)= Ave 甌心認(rèn) 5=&“e” ge，xg = Axa2.10已知張址卩具有矩陣_1 2 3_T= 4 5 67 8 9求T的對稱和反對稱部分及反對稱部分的軸向矢量。解：T的對稱部分具有矩陣13 5*門+町)=3 5 75 7 9-101-2-10T的反對稱部分具有矩陣°l（rj-ry）= 12和反對稱部分對應(yīng)的軸向矢因為(D C 22 +C3 2.11已知二階張塑T的矩陣為3-1 0_T= -1300 1.求卩的特征值和特征矢雖.3-

7、2-10解：一1 3-A 0 =(l-A)(3-A)2-l=00 0 1-2由上式解得三個待征值為力=4,兄2=2,久3 = 1將求出的待征值代入書中的式(2.44),并利用式(2.45),可以求出三個待征矢量為,6r = -y=r(ei+e2), a5 = e3 2.12求卜列兩個二階張量的特征值和特征矢址：A = al +, B = ni®n+n®m其屮，Q和0是實數(shù)，/和“是兩個相互垂直的單位矢量.解：因為A in = (al + pm ®m )-m = (a+/7)m ,所以加 是A的特征矢量，a+p是和梵對應(yīng)的特征值。設(shè)a是和/垂直的任意單位矢呈，則有=

8、+ ®m)-aoca所以和2垂直的任意單位矢量都是A的特征矢量.相應(yīng)的待征值為a 顯然是特征方程的重根。 令e2=e3 = (加 + “)，e! =e2xe3 Q2y/22+e3), n =-e2+e3)5上而定義的e,是相互垂直的單位矢呈。張量可以表示成B = Oei ®ei-e2 ®e2 +e3 ®e3所以，三個待征值足1、o和一 1,對應(yīng)的待征矢量是e3©和e。2.13設(shè)a和方是矢呈，證明： Vx(Vxa)= V(V-a)-V2«(2) x(axb)=b-(ya)-a-(yb)+a(y-b)-b(y -a)證：(1)這一等式的證

9、明過程和書中證明式(2.14)的過程相同，在此略.00(2) Vx(axZ>)=© x(aye網(wǎng)局)=& x(ajbkejkmem)dXjar,=gbk + 如,)£和局”e” = gb + abkti )8jn8ki - 88 )e =a昇尿j + ajbitle； 一ajjbktk 一ab© =b-(ya)-a(yb)+a(yb)-b(y-a)2.14 設(shè)a=x2yzei - 2xz3e2 + xz2e3,求 iv = -(aV-Vtz)及汶軸向矢量。解：w = (aV-Va)=t(x2z+ 2z )ei ®e2 + (x2y-z2 )

10、© ®e3 一(2z + x2z)e2 ®ei-6xz2e2 ®e3 + (z: 一 x2 y)e3 ®ei + 6xz2e3 ®e3由上式很容易得到軸向矢量，也町以按卜而的方法計算軸向矢址3= Vxa=|6xz2ei + (x2y-z2 )e2 一 (2z°+x2z)e3«2.15設(shè)S是-閉曲而，是從原點O到任意一點的矢徑，試證明:(1)若原點O在S的外而，枳分恃s=o：(2)若原點O在S的內(nèi)部，枳分-dS = An .證：(1)當(dāng)0時.有呻嗨討(b)因為原點在S的外而，上式在S所國的區(qū)域U屮處處成立，所以由高斯

11、公式得7(2)因為原點在S的內(nèi)部，所以必定存在一個以原點為球心、半徑為G的球而S'完全在S的內(nèi)部。 用V表示由S和S'所陽的區(qū)域，在V屮式成立.所以J啓s=恃s+忖s=卩(帥=os+sss'V叩#在 S'上.r=a . n = -rla .于是J寧S = 一片3 訂士dS = *JdS = 4兀 a2.16 設(shè) f = yei4-(x-2xz)e：-xye3 ,試 il 算枳分 J(Vx/)-/iJS。式中 S 是球而sx? + y? + z? = a?在xy平而的上而部分.解：用C表示圓X2 + y2=a2 即球面X2 + y2 + Z2 = a2和卩平面的交

12、線。由Stokes公式得J(Vx f )-ndS = (j>f -dr = ( ydx+ xdy = 0第三章#3.1設(shè)曠是矢徑、"是位移，r = r+u 求乎drJ*>并證明：當(dāng)ui9j<vl時.一二是一個可逆的二階張dr#fiodr dr du r 口dr dr drdr - dr-=1 + 11 的行列式就是書中的式(3. 2)>當(dāng)Ui9j <V1時，這一行列式大于零.所以斗可逆drdr3.2設(shè)位移場為u = A r 這里的A是二階常張量，叩A(chǔ)和尸無關(guān)。求應(yīng)變張量e.反對稱張量 i?=(wV-Vw)/2及梵軸向矢量血解：uV=A, e=-(A+AT

13、)f f2=-(A-Ar),0f0= Vxz/ = -e,xAee.-X/e/22 5a;=-Ayjte/>me,n§/© =*A八咼皿亡皿況刃®”e”3.3設(shè)位移場為u = A r .這里的4是二階常張量，且1。請證明：(1) 變形前的直線在變形后仍為直線：(2) 變形前的平而在變形后仍然是一個平面：(3) 變形前的兩個平行平而在變形后仍為兩個平行的平而。證：(1)方向和矢量a相同且過矢徑為幾的點的直線方程可以寫成r = ta+rQ(D其中是叮變的參數(shù)。變形后的矢徑為f=r+u = rAr = (I + A)r(2)用/+A點枳式(1)的兩邊，并利用式(2

14、),得f=/(/ +A)a + (/ +A)%上式也是直線方程，所表示的直線和矢量(/ + 4)a平行，過矢徑為(I + A)-rQ的點。所以變形前 的直線變形后仍然是直線.(2) 因為1,所以/+4可逆。記B = (/ + A)1,則r=(IA) l r = B r變形前任意一個平而的方程可以表示成ar = c(4)其中a是和平而垂克的一個常矢量，c是常數(shù)。將式(3)代入式(4),得(a-B)r = c(5)上式表示的是利矢B垂直的平而。所以變形前的平而在變形后仍然是平而。(3) 變形前兩個平行的平面可以表示成a r = ci, a r = c2變形后變成(aB)F=Ci, (a-B) r

15、= c2仍是兩個平行的平面。3. 4在某點附近，若能確定任慰微線段的氏度變化，試問足否能確定任意兩條微線段Z間夾角的變化：反Z， 若能確定某點附近任意兩條微線段Z間的夾角變化，試問能否確定任意微線段的長度變化。答案：能：能.3.5設(shè)位移場為u = A r , JVP A是二階常張呈，和2是兩個單位矢雖:，它們Z間的夾角為6L求 變形后0的減小量。解：和“2方向的正應(yīng)變分別為sn=n s n , sm = in s in用&，和代替式(3.11)中的勺和G，經(jīng)整理，得&的減小呈&為2sinO又*(4+4廠)/2,所以A0=/i-(A+A7 )/-ctg(/-A-/ + /

16、i-A-w) oS11103.6設(shè)和加 是兩個單位矢量，dr = nclr和8r = m8r是兩個微小的矢量，變形前它們所張的平行四 邊形面枳為A = drx3r,試用應(yīng)變張量把變形時它的面枳變化率AA/A表示出來，只中AA是 面積變形前后的改變呈.解：變形后，dr和刃變成dF=dr+Edr + exdr, 3r = 6rc-6r-Mx3r對上面兩式進(jìn)行叉枳，并略去高階小量，得drxSr = drx3r+dr-sxSr+drxs-3r 對上式兩邊進(jìn)行自身點枳，略去高階小量，得 (drx3r)-(drx3r)= (Jrxr)-(Jrxr)+2(e/r-xr)-(Jrxr)4-2(Jrx-5r)-

17、(Jrx5r)(a)注意到(dFx 5F )(c/f x 5F) = (A+AA 尸彩 A 2 + 2( AA) A(Jrx Jr)-(Jrx(Jr)= A2所以，從式(a)可得AA_ (drwx刃)(drx5r)+(d/*x£5/*)(d/*x<5r)A(Jrx5r)-(Jrx5r)_ (n-«x/n)-(nxm)+(/ix5-m)-(/ixm)利用習(xí)題2.4中的等式，上式也可寫成AA "£一2(&加)( 加)+/w£/wA尸3. 7設(shè)在一個確定的坐標(biāo)系中的應(yīng)變分呈為£"，讓坐標(biāo)系繞Z軸轉(zhuǎn)動&角，得一

18、個新的坐標(biāo)系，求在新坐 標(biāo)系中的應(yīng)變分量.解：0ii = cos&, 0r2 = sin0, 0門=0,/?2 i =sinO , 0門=cosO , 0丁3 = 0,血=0, Pv2 - 0 . 033 = 1. cos 20- £列 sin 20 ,&'> = -£ : sin20 + £“cos20 ,£vh = &u cos&+ syz sin0 ,£、v =£v. sin&+ sx. cosO g = £3.8 Oxy平面上，Oa、Ob、Oc和x軸正方向Z 間的

19、夾角分別為0°、60°、120°,如圖3.9所示， 這三個方向的正應(yīng)變分別為&、&和&。求平面上 任總方向的相對伸長度£”。解：在Oxy平面中,和x方向成&角的方向，其方向 余弦為n = cos0 , n2 = sinO > ?z3 = 0這一方向的相對伸長度為圖3.9£ + £ycos 20+£n. sin 2&=A+ Bcos2&+Csin2&=sx cos2 0+ 2s sin&cos&+ sy sin2 0利用上式，可得£“ =

20、A+B,叭= A-B+電C , sh = A-B-C 解z,得A=£2 + & , b=2£,C=J-8h-8c)3 33 7將求出的A、B和C代回式(a).得3. 9試說明下列應(yīng)變分量是否可能發(fā)生：sx = axy2, sy = ax2 y, s. = axy yy：=ay2 + bz2 > * = Q0 + by2. /. = 0其中d和b為常數(shù).解：如果列出的應(yīng)變分量足町能的，則必須滿足協(xié)訓(xùn)方程。將題屮的應(yīng)變分量代入I辦調(diào)方程(3. 34c),町以發(fā)現(xiàn)，必須有a = b= 0所以當(dāng)。和b不為零時，上述應(yīng)變分量是不可能發(fā)生的。3.10確定常數(shù)人，A Bo，

21、Bi，Co, G，C2Z間的關(guān)系，使卜列應(yīng)變分量滿足協(xié)調(diào)方程 &： = A)+ 4 (x2 + y2)+x4 + y4 ,s： = Bq + Bi (x2 + y2)+x4 + y4,"=Co + Qxyx2 + y 2 + c2),£ = Yzx = 7zy = ° 0解：將所給應(yīng)變分呈代入?yún)f(xié)調(diào)方程，可以得到常數(shù)Z間的關(guān)系如I'：G = 4, A + B = 2C2«其它三個常數(shù)幾、Bo、G叮以是任意的。3.11若物體的變形是均勻的，即應(yīng)變張呈和空間位置無關(guān)，試寫出位移的一般表達(dá)式。 解：由于應(yīng)變張量£和空間位宜無關(guān)，所以書中

22、的式(3.36a)簡化成11= Uq +傾x(r-n)+££dr = "o +dX(/ 幾)+£(/-%)英中Wo是任意的剛體平移.S 是任意的角位移矢量。3.12 設(shè) sx = ax , sy = by > sz = cz sxy = syz = szx = O .其中 a, b c 是常量.求位移的一般 表達(dá)式。解：所給的應(yīng)變張量是，e = avei ®ei + Z?ve2 ®e2 + cze3 ®e3很容易驗證«xV=O, Il有S'dr- ai©dx+ bydy+cztidz = *

23、d (ax'ei + by2e2 + cz2e3) 所以從式(3. 36a),得zz = w0 + ro0x(r-/;)+J e-dr=% +(% x (廠一幾)+yj d(ax'©+by2e2 + cz2e3)=Wo + 他 x(F心)+*a(x2 一 x2)et +b(y2 一 方)e2 +c(z2-z)e3第四章4.1已知物體內(nèi)一點的六個應(yīng)力分量為：6 二50a , crv = 0 , b： = -30a , rv= = -75a, r=80a , rAy = 50a試求法線方向余弦為厲=*，n2=. g = ±的微分面上的總應(yīng)力T、正應(yīng)力cr和剪應(yīng)力

24、r。11解：應(yīng)力矢雖T的三個分量為7； = 6冋=106.574,石=-28.033d,人=一18.71°總應(yīng)力T = J斤+庁+牙=111.8/。正應(yīng)力 6 = TjHj = 26.04。.剪應(yīng)力“=“2_紀(jì)=10&7o .4. 2過某點有兩個而它們的法向單位矢呈分別為和加在這兩個而上的應(yīng)力矢臺分別為7；和為.試 證Ti-m=T2'n 證：利用應(yīng)力張量的對稱性，可得7 m = (Tijnjnj = (tn= T2-n 證畢。4. 3某點的應(yīng)力張量為bxxyxz0 1 2yx b.T y.1 b、1zxzyb乂2 1 0且已知經(jīng)過該點的某一平而上的應(yīng)力矢呈為零.求by

25、及該平而的單位法向矢就。解：設(shè)要求的單位法向矢量為則按題意有6j"j = 0即n2 + 2n3 = 0 , Hi + avn2 + n3 = 0 , 2厲 + 也=0(a)上而第二式的兩倍減去第一式和第三式，得(2<tv 一 2)血=0上式有兩個解：n：! = 0或<ry = 1 若n2 = 0.則代入式(a)中的三個式子，可得厲=n3 = 0,這是不可能的。所以必有6=。將by = 1代入式(J,利用盡燦=1,可求得n=±© 2e；+e3a/613#4.4 S礎(chǔ)的懇劈伸出部分具有三角柱體形狀，見圖4. 8,卜部受均勻氏力作用，斜而自由.試驗證應(yīng)力分量

26、v xv=A(_arctg_+C)=廠才.=0 9 丁 ty =x2 + y2#圖4.8#滿足平衡方程.并根據(jù)而力邊界條件確定常數(shù)A、B和C。解：將題中的應(yīng)力分呈代入平衡方程，町知它們滿足平衡方程。崔y=0的邊界上，有邊界條件(6) ”0 = -q (A)廠0 - 0所給的應(yīng)力分g Tn-自動滿足上面的第二個條件。將的表達(dá)式代入上而的第 個條件，得AB=q(1)在上斜面上，有y = -xtg/?所以斜而卜的應(yīng)力分鼠可以簡化成6 = A(0+sin0cos0+ C), aK = A(0-sin“cos0+ B),r. = -Asin2 0 , b： = r>z = 0(2)斜而上的外法向方

27、向余弦為z?i = - sin 5 , n2 = - cos 5,= 0(3)將式(2)和(3)代入邊界條件6口=0、得0+C=OA (sin P p cos 0 )- ABcos 0=0聯(lián)立求解(1)和(4),得#4. 5圖4. 9表示一三角形水壩，已求得應(yīng)力分呈為crx = ax+by , crv =cx+dy , 6 = 0,= rc = 0, r. = -dx-ay-yx/和兒分別是壩身和水的比重。求常數(shù)ci、b、c、d ,便上述血 力分量滿足邊界條件。解：在x=0的邊界上，冇邊界條件(6).“=-了，(召).“ =0將題屮的應(yīng)力分量代入上而兩式，可解得：0=0,圖4.9在左側(cè)的斜面上

28、，外法向方向余弦為- cos p , ,t2 =-sin/?, n3 = 0 把應(yīng)力分量和上而得到的冇關(guān)結(jié)果代入邊界條件b屛匚=0,可解得：d = %ctg20-y, c=ctg/7(y-2/1ctg2/7)o4.6物體的表而由/(x,y,z)= 0確定，沿物體表而作用著與英外法向-致的分布載荷p(x,y,z)試寫 出其邊界條件。解：物體表面上任意一點的外法向單位矢呈為Il = f-或耳=/J"按題意，邊界條件為a*n= pn因此-：V 岡 即G/f =冋上式的指標(biāo)形式為解：球面的外法向單位矢量為試寫出該球的全部邊界條件。r 兀勺兀=厶丄或n =aaa當(dāng)Z<0時，有邊界條件a

29、n = 0 叩 <r r = O 或 aiJxj = 0當(dāng)zno時，球面上的壓力為pg乙，英中g(shù)為重力加速度，邊界條件為cr-n = -pgzn 即 e = _pgzr 或 cr.xj = -pgvci.厶丄物體的應(yīng)力狀態(tài)為”二眾，其中CF為矢徑廠的函數(shù)。(1)證明物體所受的體枳力是有勢力，即存在 一個函數(shù)0,使f = -Vy/： (2)寫出物體表而上的而力表達(dá)式。解：(1)應(yīng)力場必須滿足平衡方程，所以f =V*(r =*cI =(riti / =<r ez = V(J所以，只要令0=CT ,就有f =-V(/o(2)表而上的面力為T=n(F=(Tn I =(rn 或 Tt = a

30、n.4.9已知六個應(yīng)力分呈b”中的bs, = 0 ,求應(yīng)力張量的不變量并導(dǎo)出主應(yīng)力公式。解：應(yīng)力張呈的三個不變量為，/i=b,+bv.厶= 66.瑁.厶=0.特征方程是cr3-/2 + 厶b = cr(cr2 一 厶(7+ Z2)= 0 上式的三個根即三個主應(yīng)力為cr=0和17#4.10已知三個主應(yīng)力為巧、<7三和 巧，在主坐標(biāo)系中取正八而體.它的每個面都為正三角形，其法向單 位矢量為“嚴(yán)士孚”產(chǎn)±¥，”產(chǎn)±¥求八面體冬個而上的正應(yīng)力bo和剪應(yīng)力To .解：=亍(5+b?+ 6)T = cr評比，T2=T-T =(r；n；=厲 + ； + 6&am

31、p;C = J廠-S(巧一 6尸 +(6 - 內(nèi))2+(6 - 巧尸 o4.11 某點的應(yīng)力分量為 巧1 = 0二= 63 = 0 , al2 =(T23 =(Til = a ,求: 過此點法向為 =一(©+6+亡3)的而上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力：V3(2)主方向.主應(yīng)力最大剪應(yīng)力及英方向。解：(i)T = ct/£ =+e2 + e3).#T2 = T-T = 4a2.正應(yīng)力為afl = T-n = 2a剪應(yīng)力為rn= Jt? - b： = 0。rti此可知，2o是主應(yīng)力，/ = Ucee. + e)是和庇對應(yīng)的主方向.V3 _(T(2)用2表示主應(yīng)力.則 -2<7=(2

32、+b )2 (2 2b )= 0(J -Aa -A所以.三個主應(yīng)力是"=2b, <r2 = cr3=-cre由上而的結(jié)論可知，和“對應(yīng)的主方向是 又因為<r2 = cr3=-cr是朿根，所以和"垂直的任何方向都是主方向。第五章5.1把線性X向同性彈性體的應(yīng)變用應(yīng)力表示為stJ = C.jklak：.試寫出柔度系數(shù)張量Cijkl的具體表達(dá)式1+V V u rl+Vzc c e e e e i解：Sij =一 云久 = 2EikSj' + 6 如)甘id 勺所以Cijk! =5JI + 65)-«52橡皮立方塊放在同樣大小的鐵盒內(nèi)，在上面用鐵蓋封閉

33、.鐵蓋上受均布壓力q作用如圖5. 2所示.設(shè) 鐵盒和鐵蓋叮以作為剛體看待，而且橡皮與鐵盒Z間無肆擦力。試求鐵盒內(nèi)側(cè)面所受的壓力、橡皮塊 的體枳應(yīng)變和橡皮中的最大剪應(yīng)力。#解，取壓力q的方向為z的方向.和的兩個相互垂直的方向為x . y的方向"按題競仃 S=-q，6 =乞=0, ax=ay=-p由胡克定律得E- g + b J=占-l)p+vq=O所以盒內(nèi)側(cè)面的壓力為V”=ql-v體枳應(yīng)變?yōu)?=% = £： = -心 + 牛)=2豺+-1(2v-1)(v4-1)E(l-v)厲 E(l-v)#最大剪應(yīng)力為#195. 3證明：對線性各向同性的彈性體來說，應(yīng)力主方向與應(yīng)變主方向是一

34、致的。非各向同性體是否具有這樣 的性質(zhì)？試舉例說明。解：對各向同性材料，設(shè)厲是應(yīng)力的主方向，b是相應(yīng)的主應(yīng)力，則族向同性的胡克定律是叭=入e®+2“匂= (cr- AO)n,將上式代入式,得 朋仏+ 2如© = 61,，即八 2“''由此UJ知，從也是應(yīng)變的主方向。類似地叮證，應(yīng)變主方向也是應(yīng)力主方向。因此，應(yīng)力主方向和應(yīng) 變主方向一致。卜而假定材料性質(zhì)具有一個對稱而。設(shè)所取的坐標(biāo)系是應(yīng)變主坐標(biāo)系.且材料性質(zhì)關(guān)于Oxy平而對稱。因為久n. = 0,所以從式(5.14)得#若應(yīng)變主坐標(biāo)系也是應(yīng)力主坐標(biāo)系，則、= 0,即C41 叭 + C42% + C43 乞=

35、0上式只能在特殊的應(yīng)變狀態(tài)下才能成立。總Z，對乞向異性材料，應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向不一定相同。 5.4對各向同性材料，試寫出應(yīng)力不變量和應(yīng)變不變量Z間的關(guān)系。解：由式(5.17) uf得主應(yīng)力和主應(yīng)變Z間的關(guān)系6 =兄&+2“£,(1)從上式得/> bjO" r + b2 O'"j + 0*3 b=(2“勻 + 幾 e)(2“£j + A0)+ (2勺 + 兄&)(2“£3 + 兄&)+ (2“$3 + 兄0)(2“£1 + A0)=(3兄+4)兄斤+ 4“2厶人=CFiCr.cTj =(兄&am

36、p; + 2所)(20+ 2“匂)(兄&+ 2“巧)=A2 (2+ 2“)斤+4/加 “+8“ 込式(2)、(3)、(4)就是用應(yīng)變不變量表示應(yīng)力不變量的關(guān)系。也容易得到用應(yīng)力不變址表示應(yīng)變不變呈 的關(guān)系。AA* -A_ jfie.弟八早61為什么同時以應(yīng)力、應(yīng)變和位移15個量作未知慚數(shù)求解盯，應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是自動滿足的? 解：囲為應(yīng)變和位移滿足幾何方程.所以應(yīng)變協(xié)調(diào)方程白動滿足介6. 2設(shè)u=7f-age2 + y7g2x(<Ael + Be2)英中/、g、A、B為調(diào)和函數(shù)，問常數(shù)a為何值時，上述的M為無體力彈性力學(xué)的位移場。同理 V-(VxBe2)=0o由上面兩式及/和g是調(diào)和

37、函數(shù)町得 e=yM=(i_a)g2V=(l-a)Vg2因/、g、A、B為調(diào)和函數(shù)，所以將式(1)、代入無體力的Lame-Navier方程，得(2+ /)(!-«)+ 2/z= 0上式成立的條件是(兄+“)(l-a)+2“=0即A+/6. 3己知彈性體的應(yīng)力場為crt = 2x, cr、=2y+x, rxv = -2x-2y , r.x = r_v = 0, cr =-2z(1) 求此彈性力學(xué)問題的體力場；(2) 本題所給應(yīng)力分址是否為彈性力學(xué)問題的應(yīng)力場。解：將所給的應(yīng)力分量代入平衡方程，就可以得到體力場為/ = 2e3 o(2)所給的應(yīng)力分呈和已求出的體枳力滿足Beltrami-M

38、ichell應(yīng)力協(xié)調(diào)方程，所以給出的應(yīng)力分堡是 彈性力學(xué)問題的應(yīng)力場.6. 4證明卜述Betti互易公式英中7；、/、他和方、£、必分別為同一彈性體上的兩組而力、體力和位移。 證：利用平衡方程、幾何方程和彈性模童張戢的對稱性，可得=J(b認(rèn)禹 + 6禹丁 )+= J(cr. . + / )u,dV + Jb扁dV=Jbj%dV = J* Euk/ skl SjjdV = Er 他気 £/jdV=&klskldV=JXwjdU = JG")J - 九"dU =押瀘 MS +VVSV= T,uidSfiu,dV.證畢。6. 5如果體枳力為零，試驗證下

39、述(Papkovich-Neuber)位移滿足平衡方程4(l-v)其中 V2p = 0 , V2/J =0 «證：無體力的Lame-Navi er方程為(2+/z)V(V-u)+ /N2u=02+/z1.又=> 所以Lame-Navi er方程町以寫成/z 1- 2vV2w+-V(V-zi)=0l-2v將所給的位移代入上式的左邊，并利用V2(r p)=2V p+r-V2p ,可得V2u+V(V»zi)=V2p- 1V(V2p0+r>V2p)l-2v2(1-2v)因為p和是調(diào)和的，所以卜.式為零，即所給位移滿足平衡方程。66設(shè)有受純彎的等截而n桿，取桿的形心軸為X

40、軸.彎矩所在的主平而為Oy平而。試證下述位移分呈 是該問題的解MH = yyxy + 3、z-3二 y+w0Elv=M2EI(x2 + vy2-vv)+ co：x-(x>xz+ v0vM提示：在桿的端而上，按圣維南原理.已知而力的邊界條件可以放松為Jb,dA=0, Jcr憶1 = 0, JoydA=MAAA其中4是桿的橫截面。證：容易驗證所給的位移分呈滿足無體力時的Lame-Navier方程。用所給的位移町以求出應(yīng)變.然后用 胡克定律可以求出應(yīng)力：MyK它應(yīng)力分呈為零。I上述應(yīng)力分量滿足桿側(cè)而無而力的邊界條件。桿端而的邊界條件為心= 7 = 0, JodA=0,dA=O, JoydA=M

41、AAA式(R表示的應(yīng)力分呈滿足上述端面條件。所以，所給的位移分呈是受純彎直桿的解。6.7圖6.6表示一矩形板.一對邊均勻受拉，另-對邊均勻受下，求應(yīng)力和位移。21#圖6.6解：顯然板中的應(yīng)力狀態(tài)是均勻的.容易驗證卜謎應(yīng)力分呈bx = qby =qv (tz = r = ryz =1 = 0滿足平衡方程、協(xié)調(diào)方程和邊界條件，即是本問題的解.由胡克定律可求得應(yīng)變?yōu)?E=¥(6 + 咋)勺細(xì)品 2+M )6 0e 廠 % 冷 ®e3 利用題3.11的結(jié)果，可求得位移為“ = u0 + oj0x(r-r0)±十)(x- x0 )勺-古?+wJ(y -'o )6 -

42、 寮廠弘)(z- Zo)es6.8彈性半空間z、0,比重為了，邊界z = 0上作用有均布壓力q ,設(shè)在z = h處w=0,求位移和應(yīng) 力。解：由問題的對稱性，町以假設(shè)n = v=0, w= vv(z)把上述位移分址代入Lamc-Navier方程，叮以發(fā)現(xiàn)有兩個自動滿足，余卜的一個變成d2w ydvA+2/z解Z得w=y2（兄+2“）zUAz+B#英中的A、B是待定常數(shù)。由已知條件得一晟尹+M+晴°所以 B=h2-Ah2(2+2”)w=_ 了 心2-/廳 + A(z-h)2(2+2/z)應(yīng)力分量為6=叮帯刈-為心 n j=S+2“)知 S+2)-為 z+A = 0。在z = o邊界上的

43、邊界條件為：7 = 0, T2 = 0, T、= q°前兩個條件自動滿足，最后一個成為 -(2+2“)4g即心一止沁' 卜)r2+2“2G(i)所以最后得(l-2v)廠八 (z-)y(z+)+2g, w = v=O：4G(l-y)yb嚴(yán)一(”+g)，6 = b、=-(yz+q), rxy=T = Tzx = O. 1 V6.9設(shè)一等截而桿受軸向拉力p作用，桿的橫截而枳為A 求應(yīng)力分量和位移分量。設(shè)Z軸和桿的軸線重 合，原點取在桿長的一半處：并設(shè)在原點處，u = v=w=0,且du dv Oy n=U Odz dz dx答案：b：=£，=y = =0：v pvppu

44、=x t v=y w=z .EAEA EA6.10當(dāng)體力為零時，應(yīng)力分量為(rx = Ay2 + v(x2-y2)t rK = 0,ay = Ax2 + v(y2-x2), 7 = 0,crz = Av(x2 + y2) TXY=-2Avxy式中，4工0。試檢査它們是否可能發(fā)生。解：所給應(yīng)力分量滿足平衡方程但不滿足協(xié)調(diào)方程，故不町能發(fā)生。611圖67所示的矩形截而K桿偏心受壓壓力為P 偏心距為£ 桿的橫截而積為A 求應(yīng)力分量。 解：根據(jù)桿的受力特點，假設(shè)az = a+px. ax = ay = Txy. = r>z = T = O英中a、0是待定的常數(shù).上述應(yīng)力分量滿足無體力時

45、的平衡方程和協(xié)調(diào)方程，也滿足桿側(cè)面的邊界 條件.按圣維南原理，桿端的邊界條件可以放松為r_r = 0, rjv = 0, Jcr_dA = O, cr:xdA=-PeAA前面明個條件自動滿足，將應(yīng)力分呈代入后兩個條件，可求得a=- , /?=- , K中A/J所以.得最后的應(yīng)力分量為612長方形板ABCD .厚度為力，兩對邊分別受均布的彎矩M和作用.如圖6.8所示。驗證應(yīng) 力分呈6=號O b產(chǎn)氣A a：=Txy = Tyz=Tzx = O 是否是該問題的彈性力學(xué)空間問題的解答.圖6.8解：所給應(yīng)力分量滿足無體力的平衡方程和協(xié)調(diào)(Beltrami-Michell)方程，也滿足板而上無面力的邊界

46、條件，板邊CQ上的邊界條件町以放松為B = o, rc = 0.容易驗證應(yīng)力分量滿足上述條件。同樣uj以說明應(yīng)力分呈:滿足板邊AB、BC、AD上的邊界條件。 所以.所給的應(yīng)力分量足所提空間問題的解答。第七章7.1在常體力的情況下，為什么說平而問題中應(yīng)力函數(shù)0應(yīng)滿足的方程V2V2?= 0表示協(xié)調(diào)條件?解：任無體力的情況，不管是平面應(yīng)力問題還是平而應(yīng)變問題，用應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程都是#W (b( + b y )=0昔(pd2(p若把用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力，即= 卡、b嚴(yán)卡 代入上式.就可以得到SvV2V2>=0所以，上式就是用應(yīng)力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)條件。7.3 15有任意形狀的等厚度博板，不汁體力，

47、在全部邊界上(包括孔口邊界上)受有均勻壓力g ,求板中的應(yīng) 力分氐答案：6 = b、=-q、az = Txy=ryz = Tzx = 07. 4圖7. 5所示懸壁梁受均布載荷g作用，求應(yīng)力分量。提示：假定和X無關(guān)。解：假定by和x無關(guān)，即bv = /(y),于是有d2(p枳分漪次.得0#妒/(y)+ xf、(y)+/:(y)川川川血HIIII其中fAy)和Z(y)是y的待定國數(shù)。將應(yīng)力函數(shù) 卩代入雙調(diào)和方程，得y圖7.51小/(刃2 Jy4dy(y)上式對任意XGO7成立的充要條件是dT(y)= o,川爪刃=0,心心)+ 2丁(嘰o dy4dy4dbdy2解匕面的前兩式，得/(y)= Ay&#

48、39; + By2 + Cy + D 長(')=Fy' + Gy2 + Hy/(y)屮略去了不影響應(yīng)力的常數(shù)項。由式中的第三個方程.得d 嚴(yán)(丁)= _2？ V)= _ 2Av_4B dyAdy2'所以，有巫)=一令fy+e+w在上式中略去了不影響應(yīng)力的常數(shù)項和線性項。將求出的兩數(shù)f . /；和上2代入式(1)得y-AR0=亍(Ay? + By2 + Cy + D)+ x(Fy3 + Gv2 + /y)-y5 y4 厶屮 + KF25應(yīng)力分呈為丁 = ¥=二(6 Ay + 2B)+ x(6Fy + 2G) 2 Ay3- 2By2 + 6Ly+ 2KJo = =

49、 Ay3 + By2 + Cy + D dvrvv = 一一 =-x(3Ay2 + 2By+ C)-(3Fy2 + 2Gy + H) &xdy本問題的邊界條件是：(by)_a = q » (r.0 )y=a =(5)(6)(by ) = 0，(Txy ) a - 0f 9 Jz dy=O, f y(bJr dy = 0 r aJ 一 a由條件(5)可求得F = AI, G = BI, H = -Cl由條件(3)和(4)町以求得A=-, B=0, C=如,D=4d4a2將求得的常數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得屮+ 6切2«由條件屮的第一個條件可以求得K = 0 ,由(6)中

50、的第二個條件可以求得最后的應(yīng)力分戢為7(/-v)2v|(/ 3V21-2 R 5。3£4a(j)(耳)其中.3足截而的慣性矩。二5圖7. 6所示的簡支梁只受重力作用，梁的密度為P 朿力加速度為g y=pg .求應(yīng)力分呈。提示:假定和X無關(guān)。1/ °圖7.6解：假設(shè)d2(p y=-/y=f(y)-/y dv-即d2(pa=/Cv)經(jīng)過和上題類似的運(yùn)算，町以得到和上題相同的應(yīng) 力隨數(shù)0=鄉(xiāng)(人護(hù) + By2 + Cy + D)+ x(Fv3 + Gy2 + /y)-y5 y4 + 厶+ Ky，應(yīng)力分量為d2(p x2o-t=(6Av+2fi)+x(6Fy+2G)-2Av3-2B

51、v2 + 6Ly+2/Cdy2 2= -yy- Ay3 + By2 + Cy + D - yyrvv = -=-x(3Ay2 + 2Bv+ C)-(3Fy2 + 2Gy + H)dxdyrti對稱性可知，(Q.c)m)= O，所以3Fy2 + 2Gy+ H = 0由此得F = 0, G=0, H = 0在梁的任意截而上，x方向的合力為零，即»Dh2y axdy=Bhx2 + 2(K-聳)=0故有B=0, K = 0利用匕面求得的結(jié)果，應(yīng)力分呈的表達(dá)式簡化為= 3Ax2 v-2Ay3+6Ly(jv = Ay5 + Cy+ D-yy=-43Av2 + C)在梁的端部有條件j>(6)

52、.<±1在梁的上I、表而上有條件(6)嚴(yán)±廣0,(珥)嚴(yán)±廣°將應(yīng)力分量表達(dá)式代入上述條件町以求得4=空，C =立，D=0, L=-(/2-) h22h 八 107最后的應(yīng)力分址為12 yh “ Ay2 3 5尹-小+叫r-R 噸(佯)八"爭書處76設(shè)河拒形截面的豎柱.實密度為p.在一邊側(cè)面上受均布剪力g 見圖二二求應(yīng)力分呈。提示：假設(shè)II1 X1I111pgq1110圖7.76 = 0 或 . = /(x)od2q)- 解：設(shè)s = =0,枳分得0V'曠“+兀把上式代入雙調(diào)和方程，得 X dx4因而有 竺龜0,如2=0dx4dx

53、4所以/(x)= Axy + Bx2 + Cx , /；(x)=£)x34-Fa*2在/a)和兀(切的表達(dá)式中略去了不影響應(yīng)力分量的項。應(yīng)力用數(shù)為(p= yAxy + Bx2 + Cx)+ Dx3 + Fx2應(yīng)力分量為er =0o = - pgy= y(6Ax+ 2S)+ 6Dx+ IF - pgydx2rvv =-(iAx2 + 2Bx+C)邊界條件是(%) v=o=o» (%) i=q， g =° (b、)、odx=O, x(bjzdx=o 把應(yīng)力分量的表達(dá)式代入上述條件，可以求得 A=- P = c = o. n = 0, F = 0 h2 h最后的應(yīng)力分量

54、為6 = 0,-萬)-pgy, rA?, = 7-(3-2).oA圖7.8二7圖7. 8表示一擋水墻墻體的密度為p, p= pg 水的密度為口 y= p£ 求應(yīng)力分量。提示:d(p解：icrr = -= yf(x).枳分兩次，得 內(nèi)2丿八7r0=”'/(x)+ yL (切+ f2 (x)6-d屮八dP2心(兀)心(叭°dx2dx將上式代入雙調(diào)和方程，得匕式成立的充要條件是小W dy(x)| 2“汀3)_0 dy dx4dx4dx2dx4解上述三個方程，得/(x)= Ax5 + Bx2 + Cx+ Df. (x)=-Ax5-丄+ HP + Kx2 + Lx小)106/,(x)=Fx3 + Gx2在卜.面的三個函數(shù)中，已略去了不影響應(yīng)力分戢的項。應(yīng)力西數(shù)為 0=丄)"(Ax3 + Bx2 + Cx+ D)6+ y(一吉 Ax，-*Rr4 + Hx5 + Kx2 + Lx)+ Fx5 + Gx2應(yīng)力分量為d2(pa 、crv 二環(huán)T 二 y( Ax + B.r + Cx+ D)b、.=咯- py=7/(6 Ax+ 2B)dx-6+ y(2 A? 2Bx2 + 6Hx+ 2K)+ 6Fx+ 2G- pyrvv = -=-y2 (3A.v2 + 2Bx+ C)-(一丄 Ax4-Bx3 + 3Hx