理論力學(xué)四章節(jié)ppt課件

1、第四章：質(zhì)點組動力學(xué)第四章：質(zhì)點組動力學(xué)4.1 質(zhì)點組質(zhì)點組 質(zhì)點組：由多個無需思索大小和外形，質(zhì)點組：由多個無需思索大小和外形，可作為質(zhì)點對待的物體構(gòu)成的相互作用可作為質(zhì)點對待的物體構(gòu)成的相互作用力學(xué)體系，稱之為質(zhì)點組，或質(zhì)點系力學(xué)體系，稱之為質(zhì)點組，或質(zhì)點系 外力和內(nèi)力外力和內(nèi)力 設(shè)質(zhì)點組包含設(shè)質(zhì)點組包含 N 個質(zhì)點，對于每一個質(zhì)點，可個質(zhì)點，對于每一個質(zhì)點，可以根據(jù)質(zhì)點力學(xué)的根本定律，列出其微分方程以根據(jù)質(zhì)點力學(xué)的根本定律，列出其微分方程NiFFrmNijjijiii, 2 , 1, 1 iF是質(zhì)點組外部的物體對第是質(zhì)點組外部的物體對第 i 個質(zhì)點的個質(zhì)點的作用力，稱為外力作用力，稱為外

2、力是質(zhì)點組內(nèi)部的質(zhì)點是質(zhì)點組內(nèi)部的質(zhì)點 j 對第對第 i 個質(zhì)點個質(zhì)點的作用力，稱為內(nèi)力。的作用力，稱為內(nèi)力。ijF恣意兩個質(zhì)點間相互作用內(nèi)力的大小相恣意兩個質(zhì)點間相互作用內(nèi)力的大小相等、方向相反，且總是沿著質(zhì)點的連線等、方向相反，且總是沿著質(zhì)點的連線方向方向 jiijFF質(zhì)點組內(nèi)一切質(zhì)點所受質(zhì)點組內(nèi)一切質(zhì)點所受全部內(nèi)力矢量和為全部內(nèi)力矢量和為001, 1 NiNijjijF 試證明：對恣意參考點試證明：對恣意參考點o，質(zhì)點系內(nèi)一切，質(zhì)點系內(nèi)一切質(zhì)點所受全部內(nèi)力矩的矢量和為質(zhì)點所受全部內(nèi)力矩的矢量和為001, 1 NiNijjijiFrojmimirjrijrijFjirjiFjiijFF證明

3、證明: 不失普通性，設(shè)不失普通性，設(shè) i,j 之間之間為引力，那么有為引力，那么有0ijijijjijijijiFrFrrFrFr 質(zhì)心質(zhì)心質(zhì)點的位置矢量是質(zhì)點組中各質(zhì)點的位質(zhì)點的位置矢量是質(zhì)點組中各質(zhì)點的位置矢量以其質(zhì)量為權(quán)重的平均矢量，可置矢量以其質(zhì)量為權(quán)重的平均矢量，可以用它來代表質(zhì)點組的整體位置以用它來代表質(zhì)點組的整體位置mrmmrmriNiiNiiiNiic111 質(zhì)點相對于質(zhì)心的位矢質(zhì)點相對于質(zhì)心的位矢cicciirrrrrr質(zhì)點系中各個質(zhì)點相對于質(zhì)心的相對位置質(zhì)點系中各個質(zhì)點相對于質(zhì)心的相對位置矢量矢量 可以作為質(zhì)點組內(nèi)部位置參量可以作為質(zhì)點組內(nèi)部位置參量ir質(zhì)點系中各質(zhì)點相對于

4、質(zhì)心的質(zhì)量一次矩質(zhì)點系中各質(zhì)點相對于質(zhì)心的質(zhì)量一次矩之和恒等于之和恒等于00111cNiiiNiiiNiirmrmrm質(zhì)心的位矢由質(zhì)點組的質(zhì)量一次矩確定，質(zhì)心的位矢由質(zhì)點組的質(zhì)量一次矩確定，與個支點的質(zhì)量呈線性關(guān)系，可以利用疊與個支點的質(zhì)量呈線性關(guān)系，可以利用疊加定理來計算，例如對于兩體系統(tǒng)，質(zhì)心加定理來計算，例如對于兩體系統(tǒng)，質(zhì)心位矢為位矢為212211mmrmrmrc 延續(xù)物體的質(zhì)心位矢延續(xù)物體的質(zhì)心位矢mrmriNiic1VVcVVrmmrrddd其中其中 為延續(xù)物體的質(zhì)量密度函數(shù)為延續(xù)物體的質(zhì)量密度函數(shù) 例題：設(shè)圓錐體的地面半徑為例題：設(shè)圓錐體的地面半徑為 r ，高為，高為 h ，求圓

5、錐體的質(zhì)心位置。，求圓錐體的質(zhì)心位置。j4hrcVVcVVrmmrrddd一個重要的根本原理：一個重要的根本原理： 有了質(zhì)心的概念以后，可以建立位有了質(zhì)心的概念以后，可以建立位于質(zhì)心的參考系，那么對于質(zhì)點組的恣于質(zhì)心的參考系，那么對于質(zhì)點組的恣意運動，或者相應(yīng)的運動定理方式，均意運動，或者相應(yīng)的運動定理方式，均可以進展分別思索：質(zhì)點組相對于質(zhì)心可以進展分別思索：質(zhì)點組相對于質(zhì)心的運動定理的運動定理 和和 質(zhì)點組作為整體在質(zhì)點組作為整體在質(zhì)心相對于固定參考點的運動定理質(zhì)心相對于固定參考點的運動定理4.2 質(zhì)點組動量、角動量和動能質(zhì)點組動量、角動量和動能 一動量一動量定義質(zhì)點組的總動量是各質(zhì)點動量

6、之和定義質(zhì)點組的總動量是各質(zhì)點動量之和NiiiNiirmPP11ciirrr11NNi ii cciiPmrmrmr質(zhì)點組的總動量恒等于質(zhì)點組隨質(zhì)心做質(zhì)點組的總動量恒等于質(zhì)點組隨質(zhì)心做整體運動的動量整體運動的動量cPP 質(zhì)點組總動量的另一等價表述質(zhì)點組總動量的另一等價表述mrmriNiic1mvmviNiic1闡明質(zhì)點系的總動量等于位于闡明質(zhì)點系的總動量等于位于 , 質(zhì)質(zhì)點等于點等于 m，以速度，以速度 運動的假象質(zhì)運動的假象質(zhì)點的動量點的動量crcv 二角動量二角動量定義質(zhì)點組對固定點的角動量動量矩定義質(zhì)點組對固定點的角動量動量矩是質(zhì)點組中各質(zhì)點對同一固定點的角動是質(zhì)點組中各質(zhì)點對同一固定點

7、的角動量動量矩之和量動量矩之和NiiiiNiiiirmrvmrL11ciirrrciirrr代入關(guān)系式代入關(guān)系式cccNiiiNiiiciiNiiNiciicirmrrrmrmrrmrrrmrrL 111100ccccNiiiiLLrmrrmrL 1cccccPrrmrL NiiNiiiicLrmrL11上式闡明：質(zhì)點組隨質(zhì)心整體運動對定點上式闡明：質(zhì)點組隨質(zhì)心整體運動對定點的角動量，等于質(zhì)點組的質(zhì)量集中在質(zhì)心的角動量，等于質(zhì)點組的質(zhì)量集中在質(zhì)心位置時對定點的角動量位置時對定點的角動量是在質(zhì)心系中各個質(zhì)點對質(zhì)心的角動量之是在質(zhì)心系中各個質(zhì)點對質(zhì)心的角動量之和。和。 三動能三動能定義質(zhì)點組的總動

8、能等于質(zhì)點組內(nèi)各質(zhì)定義質(zhì)點組的總動能等于質(zhì)點組內(nèi)各質(zhì)點動能之和點動能之和NiiiNiirmTT12121ciirrrciirrr代入關(guān)系式代入關(guān)系式 NiiciNiiciNiiciNiicNiciciiTTrmrmrmrrmrmrrrrmT1212121212121212121221ccrmT為質(zhì)點組隨質(zhì)心運動的動能，可看作質(zhì)為質(zhì)點組隨質(zhì)心運動的動能，可看作質(zhì)點組的質(zhì)量集中在質(zhì)心上運動時的動能點組的質(zhì)量集中在質(zhì)心上運動時的動能21121iNiiNiirmT為質(zhì)點組中各質(zhì)點相對于質(zhì)心運動的動為質(zhì)點組中各質(zhì)點相對于質(zhì)心運動的動能之和，即質(zhì)點組在質(zhì)心系中的動能能之和，即質(zhì)點組在質(zhì)心系中的動能 柯尼希

9、柯尼希Knig定理定理質(zhì)點組的總動能可分解為：質(zhì)點組隨質(zhì)質(zhì)點組的總動能可分解為：質(zhì)點組隨質(zhì)心運動的動能和質(zhì)點組相對于質(zhì)心運動心運動的動能和質(zhì)點組相對于質(zhì)心運動的動能兩部分的動能兩部分4.3 質(zhì)點組運動的根本定理質(zhì)點組運動的根本定理 一動量定理和質(zhì)心定理一動量定理和質(zhì)心定理NijjijiiiFFrm, 1 運動學(xué)微分程運動學(xué)微分程 NjiiNjijNiiNiiiFFrmtP, 1111dd )e(1ddFFtPNii質(zhì)點組的動量定理：質(zhì)點組總動量的時質(zhì)點組的動量定理：質(zhì)點組總動量的時間變化率等于質(zhì)點組遭到的外力總和，間變化率等于質(zhì)點組遭到的外力總和，與內(nèi)力無關(guān)與內(nèi)力無關(guān)cPP)e(22)e(dd

10、ddFtrmFtPcc 質(zhì)點組的動量守恒定律質(zhì)點組的動量守恒定律假設(shè)質(zhì)點組不受外力作用或外力相假設(shè)質(zhì)點組不受外力作用或外力相互抵消時，質(zhì)點組的總動量守恒，互抵消時，質(zhì)點組的總動量守恒，是一常矢量，質(zhì)心速度恒定；在某是一常矢量，質(zhì)心速度恒定；在某一方向外力分量為零，那么在該方一方向外力分量為零，那么在該方向的動量分量守恒，質(zhì)心在該方向向的動量分量守恒，質(zhì)心在該方向具有恒定的速度分量具有恒定的速度分量 二角動量定理二角動量定理NijjijiiiFFrm, 1 兩邊矢乘質(zhì)點的位置矢量可得兩邊矢乘質(zhì)點的位置矢量可得NijjijiiiiiiFrFrrmr, 1 iiiiiiiiirmrrmrtrmr d

11、diiiiiiiLtrmrtrmr dddd NiNijjijiNiiiNiiNiiiiFrFrLtLtrmrt1, 1111dddddd 兩邊對一切質(zhì)點進展求和兩邊對一切質(zhì)點進展求和0ijjijijijiFrrFrFr質(zhì)點對之間的內(nèi)力大小相等，方向相反，質(zhì)點對之間的內(nèi)力大小相等，方向相反，可得可得MFrLtNiii1dd質(zhì)點組的角動量定理動量矩定理：質(zhì)點組的角動量定理動量矩定理：質(zhì)點組總角動量的時間變化率等于作用質(zhì)點組總角動量的時間變化率等于作用于質(zhì)點組上的外力矩之和，與內(nèi)力無關(guān)于質(zhì)點組上的外力矩之和，與內(nèi)力無關(guān)MFrLtNiii1ddciirrrccLLL又由于又由于)e(1ddddFrF

12、rLtLtcNiiicc cccccrmrrmrtLt dddd代入關(guān)系式代入關(guān)系式)e(22ddFrmtrmcc 根據(jù)質(zhì)心定理有根據(jù)質(zhì)心定理有那么可那么可得：得：)e(ddFrLtcccNiiicMFrLt 1dd于是有于是有MLtdd或者寫為或者寫為MLtdd質(zhì)點組相對于質(zhì)質(zhì)點組相對于質(zhì)心的角動量！心的角動量！作用在各質(zhì)點上的外力作用在各質(zhì)點上的外力對質(zhì)心的外力矩之和對質(zhì)心的外力矩之和即對質(zhì)心的總外力即對質(zhì)心的總外力矩！矩！質(zhì)點組的相對于質(zhì)心的角動量定理動質(zhì)點組的相對于質(zhì)心的角動量定理動量矩定理：質(zhì)點組相對于質(zhì)心的總動量矩定理：質(zhì)點組相對于質(zhì)心的總動量矩的時間變化率等于作用于質(zhì)點組上量矩的

13、時間變化率等于作用于質(zhì)點組上的外力對質(zhì)心的總力矩的外力對質(zhì)心的總力矩 角動量守恒定律角動量守恒定律假設(shè)作用于質(zhì)點組的外力對于固定點的假設(shè)作用于質(zhì)點組的外力對于固定點的力矩為力矩為0或相互抵消，那么對于同或相互抵消，那么對于同一固定點的質(zhì)點組總角動量守恒；假設(shè)一固定點的質(zhì)點組總角動量守恒；假設(shè)在某一方向外力矩的分量為在某一方向外力矩的分量為0，那么在，那么在該方向的總角動量分量守恒。同理也該方向的總角動量分量守恒。同理也可得到對于質(zhì)心系中的角動量守恒定律可得到對于質(zhì)心系中的角動量守恒定律 思索題：質(zhì)量為思索題：質(zhì)量為 m, 長度為長度為 l 的勻質(zhì)桿唄的勻質(zhì)桿唄跑出后在豎直平面內(nèi)運動，知拋出時質(zhì)

14、跑出后在豎直平面內(nèi)運動，知拋出時質(zhì)點速度為點速度為 ，角速度為，角速度為 ，忽略空氣阻力，忽略空氣阻力，試定性分析桿的運動。試定性分析桿的運動。0Cv0mg0Cv0C C由質(zhì)心運動定理可知，質(zhì)由質(zhì)心運動定理可知，質(zhì)心心 C C 沿拋物線做拋體運沿拋物線做拋體運動，忽略空氣阻力，所遭動，忽略空氣阻力，所遭到的外力只需重力，其對到的外力只需重力，其對質(zhì)心的力矩為零，可知桿質(zhì)心的力矩為零，可知桿的角動量守恒，即運動過的角動量守恒，即運動過程中堅持角速度不變！程中堅持角速度不變！ 三動能定理三動能定理NiNijjijiiiiNiiiNiiiFrFrrrmrmtTt1, 111221dddd WrFrFTNiNijjiijNiiidddd1, 11 質(zhì)點組的動能定理：質(zhì)點組的動能定理：質(zhì)點組總動能的增量等于一切作用在各質(zhì)點組總動能的增量等于一切作用在各質(zhì)點上的外力所做的總功，加上內(nèi)力對質(zhì)點上的外力所做的總功，加上內(nèi)力對各質(zhì)點所做的功各質(zhì)點所做的功留意：質(zhì)點組內(nèi)各個質(zhì)點的質(zhì)量能夠留意：質(zhì)點組內(nèi)各個質(zhì)點的質(zhì)量能夠不一樣，那么在內(nèi)力的作用下，其發(fā)不一樣，那么在內(nèi)力的作用下，其發(fā)生的位移不一樣，那么內(nèi)力對質(zhì)點組生的位移不一樣，那么內(nèi)力對質(zhì)點組做功之和普通不為零與動量定理和做