D三重積分柱坐標(biāo)與極坐標(biāo)學(xué)習(xí)課程

1、利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分的步驟利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分的步驟考慮是否用球坐標(biāo)計(jì)算化為球坐標(biāo)系下三重積分積分次序：定限方法：化為累次積分計(jì)算累次積分注意對(duì)一個(gè)變量積分時(shí)，將其余變量視為對(duì)一個(gè)變量積分時(shí)，將其余變量視為常數(shù)常數(shù)的球的球或球的一部分或球的一部分f(x,y,z)中含有中含有222xyz( , , )d d df x y zx y z三變、一勿忘三變、一勿忘( , , )f x y z積分區(qū)域積分區(qū)域球坐標(biāo)表示球坐標(biāo)表示被積函數(shù)被積函數(shù)( , , )F r 體積元素體積元素d d dx y z2sin d d drr 一個(gè)勿忘一個(gè)勿忘2sinr一般先一般先r后后再再觀察、想象觀察、想象2(

2、sinsin , sincos , cos )sin d d df rrrrr 第1頁(yè)/共50頁(yè)第一頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。三重積分的定義和計(jì)算在直角坐標(biāo)系下的體積元素dvdxdydz（計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分）小結(jié)小結(jié)方法1. “先一后二”方法2. “先二后一”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(dvzyxfd),(第2頁(yè)/共50頁(yè)第二頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。2. 確定上下曲面函數(shù)，得 z的積分限;1. 把往xoy平面上投影,得積分區(qū)域D;3. 先求關(guān)于z的定積分,得x,y的二元函數(shù);4. 再求

3、關(guān)于x,y的二重積分.先一后二”積分法的基本步驟:2.對(duì)za,b用過(guò)點(diǎn)(0,0,z)且平行xOy平面的平面去截 ，得截面Dz;1. 把向z軸投影,得z的積分限a,b;3. 先求關(guān)于x,y的二重積分,得“先二后一”積分法的基本步驟:4. 最后計(jì)算單積分( )baF z dz( )( , , )zDF zf x y z dxdyabxyzzzDzyxyxDO第3頁(yè)/共50頁(yè)第三頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。第三節(jié)第三節(jié)一、三重積分的概念 二、三重積分的計(jì)算三重積分 第十章 第4頁(yè)/共50頁(yè)第四頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分?；貞浻猛队胺ǎㄏ纫缓蠖┯?jì)算三重積分( , , )Df x y

4、z dVdxdy21( , )( , )( , , )zx yzx yf x y z dz如果積分區(qū)域 在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域 D 是圓域則二重積分應(yīng)當(dāng)考慮用極坐標(biāo)計(jì)算.這就等于用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分.2. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 zyxyxD第5頁(yè)/共50頁(yè)第五頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。xyz2. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ,),(3RzyxM設(shè),代替用極坐標(biāo)將yx),z（則就稱(chēng)為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).z200sinyzz cosx直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:常數(shù)坐標(biāo)面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面z),(zyxM)0 ,(yxO第6頁(yè)/共50頁(yè)第六頁(yè)，編輯于星期五：十

5、七點(diǎn) 三十三分。d ;柱面 與 xyzodzvdd ;半平面 與dzzz平面 與ddzz在柱面坐標(biāo)系中體積元素為zvdddd因此zyxzyxfddd),( cos ,sin , )fz zdddddd ,D當(dāng)積分域 的投影域 為與圓域有關(guān)的區(qū)域時(shí),( , ).zz r一般選用柱面坐標(biāo) 此時(shí)曲面應(yīng)表示為元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成第7頁(yè)/共50頁(yè)第七頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。如圖所示如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為在柱面坐標(biāo)系中體積元素為zvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF適用范圍:1) 積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單 ;2)

6、被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.zdddzzddddxyzddO第8頁(yè)/共50頁(yè)第八頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。常見(jiàn)曲面的柱面坐標(biāo)方程曲面直角坐標(biāo)方程柱面坐標(biāo)方程222zaxy22zar22zxyzr22zxy2zr222xyara222xyax2 cosra半球面圓錐面旋轉(zhuǎn)拋物面圓柱面圓柱面圓柱面222xyay2 sinra第9頁(yè)/共50頁(yè)第九頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。常見(jiàn)曲面的柱面坐標(biāo)方程第10頁(yè)/共50頁(yè)第十頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。2、利用公式用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分的一般步驟：1、將區(qū)域往xoy面上投影，確定平面區(qū)域Dcos ,sin ,.xryrzz

7、3、過(guò)D內(nèi)任一點(diǎn)（x，y）做平行于z 軸的直線，穿區(qū)域確定z的上下限；4、在 D上分別確定r、上下限（類(lèi)同于平面極坐標(biāo)）次序?yàn)椋簔r將的邊界曲面、被積函數(shù) f（x，y，z）、體積元素、三重積分化為柱面坐標(biāo)系下形式；柱面坐標(biāo)常用于：圓柱體和圓錐體上的三重積分。第11頁(yè)/共50頁(yè)第十一頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。例1. 計(jì)算三重積分d d d ,z x y z22zxy4z 所圍成 .與平面其中 由拋物面OOxyz在柱面坐標(biāo)系下4:24zdz22012(16)d226 210684z022020d 20d2zvdddd原式 =26 2106864.3解:在xOy面上的投影區(qū)域D: 224,

8、xy上邊界曲面為z 4 下邊界曲面為z .2第12頁(yè)/共50頁(yè)第十二頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。例2. 計(jì)算 22(),xy dv22zxy解：222zxyz由22()xydv222200dddz22302ddz2302(2)d165故在xOy平面224,xy得交線 上投影區(qū)域?yàn)?2z02202z 所圍成 .與平面其中 由圓錐面22( , )|4xyDx yxy上邊界曲面為z 4 下邊界曲面為z .dd d dvz 第13頁(yè)/共50頁(yè)第十三頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。解解:2222zz1,1,zxyzo2124001(2)2dd 例3. 計(jì)算三重積分d ,z v22xyz所圍成

9、 .與拋物面其中 由球面2222xyz:22z01202知交線為由222dzz10d 20d原式 =124601146 7.1222,z上邊界:下邊界:2,z第14頁(yè)/共50頁(yè)第十四頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。2axyzO其中 為例例4. 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所解: 在柱面坐標(biāo)系下:cos2020az 0及平面zvddddzzddd2原式由柱面cos2圍成半圓柱體.cos202ddcos342032a20d0daz z298a第15頁(yè)/共50頁(yè)第十五頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。3. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積利用球坐標(biāo)計(jì)

10、算三重積分分 ,),(3RzyxM設(shè)),(z其柱坐標(biāo)為就稱(chēng)為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,zOMzr),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐標(biāo)面分別為常數(shù)r球面常數(shù)半平面常數(shù)錐面, rOM 令),(rMsinrcosrz MxyzOP第16頁(yè)/共50頁(yè)第十六頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。半平面 及 + d ； 半徑為r及r + dr的球面；圓錐面及+d r drd rsin xz y0圓錐面圓錐面 rd 球面r圓錐面圓錐面 + d 球面球面r+d r元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：d rsin d 球面坐標(biāo)下的體積元素第17頁(yè)/共50頁(yè)第十七頁(yè)，編輯于

11、星期五：十七點(diǎn) 三十三分。元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：球面坐標(biāo)下的體積元素半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為r及及r+dr的球面；的球面；圓錐面圓錐面 及及 + d dddsind2rrv r drd xz y0 d rd rsin d .dv第18頁(yè)/共50頁(yè)第十八頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。rddrdd如圖所示如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為在球面坐標(biāo)系中體積元素為dddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrFdddsin2rrxyzO( sin cos , sin sin , cos )f

12、rrrdddsin2rr第19頁(yè)/共50頁(yè)第十九頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。球面坐標(biāo)直角坐標(biāo)球體zyxzyxfddd),( , , )F r dddsin2rr0R0d20d:rR02002222xyzR:下面介紹一些區(qū)域的球面坐標(biāo)的描述第20頁(yè)/共50頁(yè)第二十頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。球面坐標(biāo)直角坐標(biāo)球體zyxzyxfddd),(dddsin2rr2 cos0a20d:2 cosra022002222xyzaz:20d( , , )F r 第21頁(yè)/共50頁(yè)第二十一頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。zyxzyxfddd),( , , )F r dddsin2rr0R40d

13、20d球面坐標(biāo)直角坐標(biāo):rR0420022222xyzRxy:球頂錐體第22頁(yè)/共50頁(yè)第二十二頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。常見(jiàn)的曲面在球坐標(biāo)下的方程第23頁(yè)/共50頁(yè)第二十三頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。次序?yàn)? r 2. 將區(qū)域往xoy面上投影，確定平面區(qū)域D，4.過(guò)原點(diǎn)做射線，穿區(qū)域確定 r 的上下限.1. 關(guān)系式sincos ,sinsin ,cos .xryrzr3. 對(duì)任一，過(guò)z軸做半平面，找出角變化最用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分的一般步驟：將的邊界曲面、被積函數(shù)f（x，y，z）、體積元素、三重積分化為球面坐標(biāo)系下形式；由D找出的上下限；大的與的截面，確定的上下限注：當(dāng)積分

14、區(qū)域 由球面、錐面或其一部分所圍時(shí)，選用球面坐標(biāo)計(jì)算較簡(jiǎn)便。第24頁(yè)/共50頁(yè)第二十四頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。xyzO例例5. 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分,ddd)(222zyxzyx22yxz為錐面2222Rzyx解: 在球面坐標(biāo)系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40Rr 020其中 與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20d4Rr 第25頁(yè)/共50頁(yè)第二十五頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。Oxyza2例例6. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解: 在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)?則立體體積為zyxVddd

15、cos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2M第26頁(yè)/共50頁(yè)第二十六頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。 求半徑為a的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成于是所求立體的體積為 此球面的方程為x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 例6. 的立體的體積 由圓錐面和球面圍成 ,解:采用球面坐標(biāo)，錐面方程為 在球面坐標(biāo)下球面方程為r2acos , :0,02 cos ,ra02.dVv2sind ddrr dddsind2rrv 2 cos20darr33016cossind3a 0sind 20dOxyza2

16、M第27頁(yè)/共50頁(yè)第二十七頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。例7. 計(jì)算三重積分22()d d d ,xyx y z2222,xyzaz解: 在球面坐標(biāo)系下:22()d d dxyx y z所圍立體.202 cos2 cosarb20其中 面dddsind2rrv 2 cos2222 cossinsindbarrr20d20d是由兩個(gè)球2222xyzbz(),ab355201sin(2 cos )(2 cos ) d5ba2第28頁(yè)/共50頁(yè)第二十八頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。22()d d dxyx y z355201sin(2 cos )(2 cos ) d5ba25564()

17、5ba3520sincosd 5564()5ba2520(1 cos)cosd( cos )5564()5ba2520(cos1)cosdcos5564()5ba86coscos28605564()5ba124558()15ba第29頁(yè)/共50頁(yè)第二十九頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。2222240(4z4)daaazzz58.15a20daz22()d dZDxyx y20daz2220daz z 20d224012( 2) d4aazzz解: 1:02za222:2zDxyazz例7. 計(jì)算三重積分22()d d d ,xyx y z2222,xyzaz所圍立體.其中 面是由兩個(gè)球22

18、22xyzbz(),ab122()d d dxyx y z原式 258()15ba第30頁(yè)/共50頁(yè)第三十頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。z Oxya4.M.02 cosra0204r :解: 在球面坐標(biāo)系下d ,Iz v10(2).計(jì)算其中 由不等式 2222(),xyzaa222xyz所確定. 2 cosra第31頁(yè)/共50頁(yè)第三十一頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。.02 cosra0204dz v:解: 在球面坐標(biāo)系下d ,Iz v10(2).計(jì)算其中 由不等式 2222(),xyzaa222xyz所確定. 2 cos30darr40cos sind 20d4401cos sin

19、 (2 cos ) d4a247.6acos drv2sin d d drr 48 a540cossind 48 a4601cos6第32頁(yè)/共50頁(yè)第三十二頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。所圍成的閉區(qū)域.0cos ,r222dvxyzcos30drr420cos2sind4110cosr0,22020dsin20ddddsind2rrv yzx1Or222d ,Ixyzv11(2).計(jì)算其中 是由球面222xyzz:解: 在球面坐標(biāo)系下250 cos25 第33頁(yè)/共50頁(yè)第三十三頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。所圍成的閉區(qū)域.01,r222()dvxyz140drr02sind54

20、.51r 0,200sind 20ddddsind2rrv 222()d ,Ixyzv10(1).計(jì)算其中 是由球面2221xyz:解: 在球面坐標(biāo)系下02cos5 Ozxy第34頁(yè)/共50頁(yè)第三十四頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域.01,zdxy v10dzd d dz 1.801,02130d20sin cos d d ,Ixy v11(1).計(jì)算其中 為柱面1,0,0,0zzxy:解: 在柱面坐標(biāo)系下2201sin8221,xy及平面2cos sin11xyzOzvdddd1d d dz 第35頁(yè)/共50頁(yè)第三十五頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。11(

21、2).求曲面)0()(32222azazyx所圍立體體積.解: 由曲面方程可知, 立體位于xOy面上部,cos0:3ar 利用對(duì)稱(chēng)性, 所求立體體積為vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yOz面對(duì)稱(chēng), 并與xOy面相切, 故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于 xOz dddsind2rrv yzxaOr第36頁(yè)/共50頁(yè)第三十六頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。3. 設(shè)設(shè) 由錐面由錐面22yxz和球面4222zyx所圍成 , 計(jì)算.d)(2vzyxI提示:zOxy24利用對(duì)稱(chēng)性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(

22、222用球坐標(biāo) rr d420dsin4020d221564第37頁(yè)/共50頁(yè)第三十七頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)zyxdddzddddddsin2rr積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔, 或坐標(biāo)系 體積元素 適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系* * 說(shuō)明:三重積分也有類(lèi)似二重積分的換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對(duì)應(yīng)雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離.圍成 ;第38頁(yè)/共50頁(yè)第三十八頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。作業(yè)作業(yè)P164 9，10，11（1，2）。 第四節(jié) 第39頁(yè)/共50頁(yè)第三十九頁(yè)，編輯于星

23、期五：十七點(diǎn) 三十三分。例例7.求曲求曲面面)0()(32222azazyx所圍立體體積.解: 由曲面方程可知, 立體位于xOy面上部,cos0:3ar 利用對(duì)稱(chēng)性, 所求立體體積為vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yOz面對(duì)稱(chēng), 并與xOy面相切, 故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于 xOz dddsind2rrv yzxaOr第40頁(yè)/共50頁(yè)第四十頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。4zxy1O3. 計(jì)算計(jì)算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4, 1),(2122圍成由zzyxz解:zyxxIddd2利用

24、對(duì)稱(chēng)性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21 21zDzyxyxyxdddsin52220第41頁(yè)/共50頁(yè)第四十一頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。2,zxz1. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中 由所提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20dx思考與練習(xí)六個(gè)平面圍成 ,:第42頁(yè)/共50頁(yè)第四十二頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。432222(),.Ixydvzxyzh計(jì)算其中 由所圍例例8xyzoh解解1)(xy22(+)d

25、dDIxyx y22dhxyz22300d()dhh31.6h解解230()dd dzhIz ()z23000dddhzz202d4hzz31.6h第43頁(yè)/共50頁(yè)第四十三頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。例例92222111211dddxxxyIxyxz計(jì)算解oxyz2( )dvIxv2212dxyxz222()1dxyxxy22()cos1 d dxyrr r r220cosd ()dxy1340()drrr11451第44頁(yè)/共50頁(yè)第四十四頁(yè)，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十三分。例1022222101222111(1)dddxyxxyxyxyzz計(jì)算2222222401(2)limsindtxyztx