高考數(shù)學難點突破_難點27__求空間的角

1、難點 27 求空間的角空間的角是空間圖形的一個要素，在異面直線所成的角、線面角、二面角等知識點上，較好地考查了學生的邏輯推理能力以及化歸的數(shù)學思想. 難點磁場( )如圖， l 為 60的二面角，等腰直角三角形mpn 的直角頂點p 在 l 上， m ,n,且 mp與所成的角等于np 與所成的角 . (1)求證： mn 分別與 、所成角相等；(2)求 mn 與所成角 . 案例探究例 1在棱長為a 的正方體 abcdabc d中， e、f 分別是 bc、ad的中點 . (1)求證：四邊形bedf 是菱形；(2)求直線 ac 與 de 所成的角；(3)求直線 ad 與平面 bedf 所成的角；(4)求

2、面 bedf 與面 abcd 所成的角 . 命題意圖：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強，屬級題目. 知識依托：平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角. 錯解分析：對于第(1)問，若僅由be=ed=df=fb就斷定bedf 是菱形是錯誤的，因為存在著四邊相等的空間四邊形，必須證明b、 e、d、f 四點共面 . 技巧與方法：求線面角關鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法.求二面角的大小也可應用面積射影法 . (1)證明：如上圖所示，由勾股定理，得be=ed=df =fb=25a,下證 b、e、d、f 四點共面， 取 ad 中點 g，

3、連結 ag、eg，由 egabab知， bega 是平行四邊形. beag,又 af dg,agdf 為平行四邊形. agfd， b、 e、 d、f 四點共面故四邊形bedf 是菱形 . (2)解：如圖所示，在平面abcd 內(nèi)，過 c 作 cpde，交直線ad 于 p，則 acp(或補角 )為異面直線ac 與 de 所成的角 . 在 acp 中，易得ac=3a， cp=de=25a,ap=213a由余弦定理得cosacp=1515故 ac 與 de 所成角為 arccos1515. (3)解： ade=adf ,ad 在平面 b edf 內(nèi)的射影在edf 的平分線上 .如下圖所示 . 又 be

4、df 為菱形， db為 edf 的平分線，故直線 ad 與平面 bedf 所成的角為 adb 在 rt bad 中， ad=2a，ab=2a,bd=2a則 cosadb =33故 ad 與平面 bedf 所成的角是arccos33. (4)解：如圖，連結ef、bd，交于 o 點，顯然o 為 bd 的中點，從而o 為正方形abcd abcd 的中心. 作 oh平面 abcd，則 h 為正方形 abcd 的中心，再作 hmde ，垂足為 m，連結 om，則 omde，故 omh 為二面角 b de a 的平面角 . 在 rt doe 中， oe=22a,od=23a,斜邊 de=25a, 則由面積

5、關系得om=1030deoeoda在 rt ohm 中， sinomh =630omoh故面 bedf 與面 abcd 所成的角為arcsin630. 例 2如下圖，已知平行六面體abcd a1b1c1d1中，底面 abcd 是邊長為a 的正方形，側棱aa1長為 b,且 aa1與 ab、ad 的夾角都是120. 求： (1) ac1的長；(2)直線 bd1與 ac 所成的角的余弦值. 命題意圖：本題主要考查利用向量法來解決立體幾何問題，屬級題目. 知識依托：向量的加、減及向量的數(shù)量積. 錯解分析：注意abaa ,1=1aa,ad=120而不是60,adab , =90 . 技巧與方法：數(shù)量積公

6、式及向量、模公式的巧用、變形用. 221122211111212211111122122211111222221112221111111212222|)(|)(,2| ,)2(.22|,22|,0,21120cos,21120cos90,120,| ,|:|222|)()(|)1(:baabaaadabadaaabadaaabadaaabadaabdbdbdabadababadadabaaadaaababadaaadabbdacabadaabaadbdadabacaacabbaacabbaacadabababadaaabababaaadabadaaabaaaadabbaaadabadaaaba

7、aadabaaadabaaadabaaacaaacaaacacac依題意得由已知得解2212|babd2211124|,cosbabacbdacbdacbdbd1與 ac 所成角的余弦值為2224bab. 錦囊妙計空間角的計算步驟：一作、二證、三算1.異面直線所成的角范圍： 0 90方法：平移法；補形法. 2.直線與平面所成的角范圍： 0 90方法：關鍵是作垂線，找射影. 3.二面角方法：定義法；三垂線定理及其逆定理；垂面法. 注：二面角的計算也可利用射影面積公式s =scos 來計算殲滅難點訓練一、選擇題1.( )在正方體abcda1b1c1d1中， m 為 dd1的中點， o 為底面 ab

8、cd 的中心， p 為棱 a1b1上任意一點，則直線op 與直線 am 所成的角是 ( ) a.6b.4c.3d.22.( )設 abc 和 dbc 所在兩平面互相垂直，且ab=bc=bd =a,cba= cbd=120 ,則 ad 與平面 bcd 所成的角為 ( ) a.30b.45c.60d.75二、填空題3.( )已知 aob=90,過 o 點引 aob 所在平面的斜線oc，與 oa、ob 分別成 45、 60，則以oc為棱的二面角aocb 的余弦值等于_. 4.( )正三棱錐的一個側面的面積與底面積之比為23,則這個三棱錐的側面和底面所成二面角的度數(shù)為_. 三、解答題5.( )已知四邊

9、形abcd 為直角梯形， ad bc， abc=90,p a平面 ac，且 pa=ad =ab=1,bc=2 (1)求 pc 的長；(2)求異面直線pc 與 bd 所成角的余弦值的大小；(3)求證：二面角bpcd 為直二面角 . 6.( )設abc 和 dbc 所在的兩個平面互相垂直，且ab=bc=bd ， abc= dbc=120求： (1) 直線 ad 與平面 bcd 所成角的大小；(2)異面直線 ad 與 bc 所成的角；(3)二面角 abd c 的大小 . 7.( )一副三角板拼成一個四邊形abcd ，如圖，然后將它沿bc 折成直二面角 . (1)求證：平面abd 平面 acd ；(2

10、)求 ad 與 bc 所成的角；(3)求二面角 abd c 的大小 . 8.( )設 d 是 abc 的 bc 邊上一點，把acd 沿 ad 折起，使c 點所處的新位置c在平面abd 上的射影 h 恰好在 ab 上. (1)求證：直線cd 與平面 abd 和平面 ahc 所成的兩個角之和不可能超過90；(2)若 bac=90，二面角c adh 為 60，求 bad 的正切值 . 參考答案難點磁場(1)證明：作na于 a，mb于 b,連接 ap、pb、bn、am ，再作 acl 于 c，bdl 于 d，連接 nc、md . na,mb , mpb、npa 分別是 mp 與所成角及np 與所成角，

11、 mnb， nma 分別是 mn 與,所成角，mpb=npa. 在 rt mpb 與 rtnpa 中， pm=pn， mpb=npa， mpb npa，mb =na. 在 rt mnb 與 rtnma 中，mb =na，mn 是公共邊，mnb nma， mnb=nma，即 (1)結論成立 . (2)解：設 mnb=,mn=2a,則 pb=pn=a,mb=na=2asin，nb=2acos,mb,bd l,md l,mdb 是二面角 l的平面角， mdb =60，同理 nca=60, bd=ac=3633mbasin,cn=dm =63260sin6mbasin, mb，mppn， bppn b

12、pn=90,dpb=cnp, bpd pnc,pbbdpnpc22222222)cos2(3sin6)sin362(,aaaaaabndbacna即整理得， 16sin4 16sin2 +3=0 解得 sin2=4341或,sin=2321或，當 sin=23時， cn=632asin=2apn 不合理，舍去. sin=21,mn 與所成角為30. 殲滅難點訓練一、1.解析： (特殊位置法）將p 點取為 a1，作 oead 于 e，連結 a1e，則 a1e 為 oa1的射影，又am a1e，amoa1，即 am 與 op 成 90角 . 答案： d 2.解析：作aocb 的延長線，連od，則

13、od 即為 ad 在平面 bcd 上的射影，ao=od=23a, ado=45. 答案： b 二、 3.解析：在oc 上取一點c，使 oc=1，過 c 分別作 caoc 交 oa 于 a， cboc 交 ob 于 b，則 ac=1， ，oa=2，bc=3，ob=2，rtaob 中， ab2=6， abc 中，由余弦定理，得cosacb=33. 答案：334.解析：設一個側面面積為s1，底面面積為s，則這個側面在底面上射影的面積為3s，由題設得321ss，設側面與底面所成二面角為,則 cos =2133111ssss,=60. 答案： 60三、 5.(1) 解：因為 pa平面 ac，abbc,p

14、bbc,即 pbc=90,由勾股定理得pb=222abpa. pc=622pcpb. (2)解：如圖，過點c 作 cebd 交 ad 的延長線于e，連結 pe，則 pc 與 bd 所成的角為 pce 或它的補角 . ce=bd=2，且 pe=1022aepa由余弦定理得cospce=632222cepcpecepcpc 與 bd 所成角的余弦值為63. (3）證明：設pb、pc 中點分別為g、f，連結 fg、ag、df ，則 gf bcad ，且 gf=21bc=1=ad，從而四邊形 adfg 為平行四邊形，又 ad 平面 pab， ad ag，即 adfg 為矩形， dffg. 在 pcd

15、中， pd=2，cd=2，f 為 bc 中點， dfpc從而 df平面 pbc，故平面pdc平面 pbc，即二面角bpc d 為直二面角 .6.解： (1)如圖，在平面abc 內(nèi)，過 a 作 ah bc，垂足為h，則 ah平面 dbc， adh 即為直線 ad 與平面 bcd 所成的角 .由題設知 ahb ahd ，則 dhbh，ah=dh， adh =45(2)bcdh，且 dh 為 ad 在平面 bcd 上的射影，bcad，故 ad 與 bc 所成的角為90. (3)過 h 作 hrbd，垂足為 r，連結 ar，則由三垂線定理知，arbd，故 arh 為二面角 abdc 的平面角的補角 .

16、設 bc=a,則由題設知，ah=dh =2,23abha,在 hdb 中， hr=43a， tanarh =hrah=2 故二面角abdc 大小為 arctan2. 7.(1)證明：取bc 中點 e，連結 ae， ab=ac， aebc平面 abc平面 bcd， ae平面 bcd，bccd，由三垂線定理知abcd. 又 abac， ab平面 bcd， ab平面 abd. 平面 abd平面 acd. (2)解：在面bcd 內(nèi)，過 d 作 df bc，過 e 作 efdf，交 df 于 f，由三垂線定理知afdf ， adf 為 ad與 bc 所成的角 . 設 ab=m，則 bc=2m，ce=df =22m,cd=ef=36m321arctan,321tan22adfdfefaedfafadf即 ad 與 bc 所成的角為arctan321(3)解： ae面 bcd，過 e 作 egbd 于 g，連結 ag，由三垂線定理知agbd， age 為二面角abdc 的平面角 ebg=30， be=22m,eg=42m又 ae=22m,tanage=geae=2, age =arctan2. 即二