高考數(shù)學(xué)壓軸題解題技巧和方法

1、圓錐曲線的解題技巧一、常規(guī)七大題型：（1）中點(diǎn)弦問(wèn)題具有斜率的弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(,)xy11，(,)xy22，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式（當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的請(qǐng)款討論），消去四個(gè)參數(shù)。如： （1）)0( 12222babyax與直線相交于a、b，設(shè)弦ab 中點(diǎn)為m(x0,y0)，則有02020kbyax。（2）)0, 0(12222babyax與直線 l 相交于 a、b，設(shè)弦 ab中點(diǎn)為 m(x0,y0) 則有02020kbyax（3）y2=2px（p0）與直線 l 相交于 a、b設(shè)弦 ab中點(diǎn)為 m(x0,y0), 則有

2、2y0k=2p,即 y0k=p. 典型例題給定雙曲線xy2221。 過(guò) a （2， 1） 的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)p1及p2，求線段p1p2的中點(diǎn) p的軌跡方程。（2）焦點(diǎn)三角形問(wèn)題橢圓或雙曲線上一點(diǎn)p，與兩個(gè)焦點(diǎn)f1、f2構(gòu)成的三角形問(wèn)題，常用正、余弦定理搭橋。典型例題設(shè) p(x,y) 為橢圓xayb22221上任一點(diǎn)，fc10(, )，fc20( , )為焦點(diǎn)，pf f12，pf f21。（1）求證離心率sinsin)sin(e；（2）求|pfpf1323的最值。（3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、

3、求根公式等來(lái)處理，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)圖形的直觀性幫助分析解決問(wèn)題，如果直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合三大曲線的定義去解。典型例題拋物線方程，直線與 軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。yp xpxytx210() ()（1）求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)（2）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為a、b，且 oa ob ，求 p 關(guān)于 t 的函數(shù) f(t)的表達(dá)式。（4）圓錐曲線的相關(guān)最值（范圍）問(wèn)題圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問(wèn)題，常用代數(shù)法和幾何法解決。 若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來(lái)解決。若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值

4、不等式）求最值。（1） ，可以設(shè)法得到關(guān)于a 的不等式， 通過(guò)解不等式求出a 的范圍，即： “求范圍，找不等式 ” 。或者將 a 表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a 的范圍；對(duì)于（ 2）首先要把 nab的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值, 即：“最值問(wèn)題，函數(shù)思想” 。最值問(wèn)題的處理思路： 1 、建立目標(biāo)函數(shù)。 用坐標(biāo)表示距離， 用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是由方程求x、y 的范圍；2、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對(duì)于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線 y2=2px(p

5、0) ，過(guò) m （a,0 ）且斜率為1 的直線 l 與拋物線交于不同的兩點(diǎn) a、b，|ab| 2p （1）求 a 的取值范圍；（2）若線段 ab的垂直平分線交x 軸于點(diǎn) n，求 nab面積的最大值。（5）求曲線的方程問(wèn)題1曲線的形狀已知-這類(lèi)問(wèn)題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線 l 過(guò)原點(diǎn)，拋物線c 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸正半軸上。若點(diǎn)a （-1，0）和點(diǎn) b（0，8）關(guān)于 l 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在c上，求直線 l 和拋物線 c的方程。2曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)q （2，0）和圓 c：x2+y2=1, 動(dòng)點(diǎn) m到圓 c 的切線長(zhǎng)與 |mq|的比等于常數(shù)（0）,

6、求動(dòng)點(diǎn) m的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線。（6） 存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題m n q o 在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。（當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來(lái)解決）典型例題已知橢圓c 的方程xy22431，試確定m 的取值范圍，使得對(duì)于直線yxm4，橢圓 c上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)（7）兩線段垂直問(wèn)題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問(wèn)題，常用kkyyxx1212121來(lái)處理或用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)處理。典型例題已知直線l的斜率為k，且過(guò)點(diǎn)p(, )2 0，拋物線c yx:()241，直線l與拋物線 c有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（

7、如圖） 。（1）求k的取值范圍；（2）直線l的傾斜角為何值時(shí)， a、b與拋物線 c的焦點(diǎn)連線互相垂直。四、解題的技巧方面：在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺(jué)得解析幾何問(wèn)題的計(jì)算量較大。事實(shí)上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計(jì)算量。下面舉例說(shuō)明：（1）充分利用幾何圖形解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問(wèn)題時(shí)，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識(shí)，這往往能減少計(jì)算量。典型例題設(shè)直線340 xym與圓xyxy2220相交于 p、q兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若op oq，求m的值。（2） 充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求

8、”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問(wèn)題中常常用到。典型例題已知中心在原點(diǎn)o，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線yx1相交于 p、q兩點(diǎn)，且op oq，|pq102，求此橢圓方程。（3） 充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。典型例題求經(jīng)過(guò)兩已知圓cxyxy122420：和cxyy22224：0 的交點(diǎn)，且圓心在直線l：2410 xy上的圓的方程。（4）充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問(wèn)題這也是我們常說(shuō)的三角代換法。典型例題p為橢圓22221xyab上

9、一動(dòng)點(diǎn)， a為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)， b為短軸的上端點(diǎn)，求四邊形 oapb 面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)。（5）線段長(zhǎng)的幾種簡(jiǎn)便計(jì)算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過(guò)程一般地， 求直線與圓錐曲線相交的弦ab長(zhǎng)的方法是： 把直線方程ykxb代入圓錐曲線方程中，得到型如axbxc20的方程，方程的兩根設(shè)為xa，xb，判別式為，則|abkxxab12|12ak，若直接用結(jié)論，能減少配方、開(kāi)方等運(yùn)算過(guò)程。例求直線xy10被橢圓xy22416所截得的線段ab的長(zhǎng)。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)時(shí)，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。例f1、f2是

10、橢圓xy222591的兩個(gè)焦點(diǎn)， ab是經(jīng)過(guò)f1的弦，若|ab8，求值|22bfaf 利用圓錐曲線的定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離例點(diǎn) a （3，2）為定點(diǎn)，點(diǎn) f 是拋物線yx24的焦點(diǎn)，點(diǎn) p在拋物線y24x上移動(dòng)，若| |papf取得最小值，求點(diǎn)p的坐標(biāo)。圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識(shí)儲(chǔ)備：1. 直線方程的形式（1）直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。（2）與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率tan,0,)k點(diǎn)到直線的距離0022axbycdab夾角公式：2121tan1kkk k（3）弦長(zhǎng)公式直線ykxb上兩點(diǎn)1122(,),(,)a xyb xy間的

11、距離：2121abkxx221212(1)()4kxxx x或12211abyyk（4）兩條直線的位置關(guān)系1212llk k=-1 212121/bbkkll且2、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式）標(biāo)準(zhǔn)方程：221(0,0)xymnmnmn且距離式方程：2222()()2xcyxcya參數(shù)方程：cos ,sinxayb(2)、雙曲線的方程的形式有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程：221(0)xym nmn距離式方程：2222|()()| 2xcyxcya(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？如：已知21ff 、是橢圓13422yx的兩個(gè)焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個(gè)

12、動(dòng)點(diǎn)m 滿(mǎn)足221mfmf則動(dòng)點(diǎn) m 的軌跡是（）a、雙曲線； b、雙曲線的一支； c、兩條射線； d、一條射線(5)、焦點(diǎn)三角形面積公式：122tan2f pfpb在橢圓上時(shí)， s（其中2221212121212|4,cos,|cos| |pfpfcf pfpfpfpfpfpfpf?uu u ruuu u ruuu ru uu u r）(6)、記住焦半徑公式：（1）00;xaexaey橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)為焦點(diǎn)在 y軸上時(shí)為，可簡(jiǎn)記為“左加右減，上加下減” 。（2）0|xe xa雙曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí)為（3）11|,|22ppxxy拋物線焦點(diǎn)在軸上時(shí)為焦點(diǎn)在 y軸上時(shí)為(6)、橢圓和雙曲線的基本量三

13、角形你清楚嗎？第二、方法儲(chǔ)備1、點(diǎn)差法（中點(diǎn)弦問(wèn)題）設(shè)11, yxa、22,yxb，bam,為橢圓13422yx的弦ab中點(diǎn)則有1342121yx，1342222yx；兩式相減得03422212221yyxx3421212121yyyyxxxxabk=ba432、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類(lèi)的問(wèn)題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦？設(shè)直線的方程， 并且與曲線的方程聯(lián)立， 消去一個(gè)未知數(shù)， 得到一個(gè)二次方程，使用判別式0，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長(zhǎng)公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)1122(,),(,)a xyb xy， 將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到12 兩個(gè)式子，然后1-2 ，整體消元

14、 ，若有兩個(gè)字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過(guò)焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn)a、b、f 共線解決之。若有向量的關(guān)系， 則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系， 根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為ykxb，就意味著 k 存在。例 1、已知三角形 abc 的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓805422yx上，且點(diǎn) a 是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)（點(diǎn)a 在 y 軸正半軸上） . （1）若三角形 abc 的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線bc 的方程; （2）若角 a 為090，ad 垂直 bc于 d，試求點(diǎn) d 的軌跡方程 . 分析：第一問(wèn)抓住“重心” ，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦bc 的斜率，從而寫(xiě)出直線bc 的方程

15、。第二問(wèn)抓住角a 為090可得出 abac，從而得016)(14212121yyyyxx， 然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn)d 的軌跡方程；解： （1）設(shè) b （1x,1y） ,c(2x,2y),bc中點(diǎn)為(00, yx),f(2,0) 則有11620,1162022222121yxyx兩式作差有016)(20)(21212121yyyyxxxx04500kyx(1) f(2,0)為三角形重心，所以由2321xx，得30 x，由03421yy得20y，代入（ 1）得56k直線 bc 的方程為02856yx2)由 abac 得016)(14212121yyyyxx（2）設(shè)直線 bc 方程為805

16、4,22yxbkxy代入，得080510)54(222bbkxxk2215410kkbxx，222154805kbxx2222122154804,548kkbyykkyy代入（ 2）式得0541632922kbb，解得)(4 舍b或94b直線過(guò)定點(diǎn)（ 0，)94，設(shè) d（x,y） ，則1494xyxy，即016329922yxy所以所求點(diǎn) d 的軌跡方程是)4()920()916(222yyx。4、設(shè)而不求法例 2、 如圖，已知梯形 abcd 中cdab2， 點(diǎn) e 分有向線段ac所成的比為， 雙曲線過(guò) c、 d、 e 三點(diǎn)，且以 a、 b 為焦點(diǎn)當(dāng)4332時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍。分析

17、：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。建立直角坐標(biāo)系xoy，如圖，若設(shè) chc,2，代入12222byax，求得hl，進(jìn)而求得,eexyll再代入12222byax，建立目標(biāo)函數(shù)( , , ,)0f a b c，整理( ,)0f e，此運(yùn)算量可見(jiàn)是難上加難 .我們對(duì)h可采取設(shè)而不求的解題策略, 建立目標(biāo)函數(shù)( , , ,)0f a b c，整理( ,)0f e,化繁為簡(jiǎn) . 解法一：如圖，以ab 為垂直平分線為y軸，直線 ab 為x軸，建立直角坐標(biāo)系xoy，則 cdy軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)c、d，且以 a、b 為焦點(diǎn)，由雙曲線

18、的對(duì)稱(chēng)性知c、d 關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)依題意，記 a0, c，chc,2，e00, yx，其中|21abc為雙曲線的半焦距，h是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得122120cccx，10hy設(shè)雙曲線的方程為12222byax，則離心率ace由點(diǎn) c、e 在雙曲線上，將點(diǎn)c、e 的坐標(biāo)和ace代入雙曲線方程得14222bhe，11124222bhe由式得14222ebh，將式代入式，整理得214442e，故1312e由題設(shè)4332得，43231322e解得107e所以雙曲線的離心率的取值范圍為10,7分析：考慮,aeac為焦半徑 ,可用焦半徑公式 , ,aeac用,e c的橫坐標(biāo)表示，回避h的計(jì)算 , 達(dá)

19、到設(shè)而不求的解題策略解法二：建系同解法一，,ecaeaexacaex，22121ecccx，又1aeac，代入整理1312e，由題設(shè)4332得，43231322e解得107e所以雙曲線的離心率的取值范圍為10,75、判別式法例 3 已知雙曲線122:22xyc，直線l過(guò)點(diǎn)0 ,2a，斜率為k，當(dāng)10k時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)b 到直線l的距離為2，試求k的值及此時(shí)點(diǎn) b的坐標(biāo)。分析 1：解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門(mén)學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段. 從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn)b 作與l平行的直線，必與雙曲線c 相切. 而相切的代數(shù)

20、表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式0. 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：10)2(:kxkyl解題過(guò)程略 . 分析 2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn) b 到直線l的距離為2” ， 相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn))2,(2xxm為雙曲線 c上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)m 到直線l的距離為：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式0直線l在l的上方且到直線l的距離為2轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題求解問(wèn)題關(guān)于x的方程10212222kkkxkx有唯一于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程 . 由于10k，所以kxxx22，從而有于是關(guān)于x

21、的方程由10k可知：方 程022)1(22)1(22122222kkxkkkxk的二 根 同 正， 故02) 1(22kxkk恒成立，于是等價(jià)于022)1(22) 1(22122222kkxkkkxk. 由如上關(guān)于x的方程有唯一解，得其判別式0，就可解得552k. 點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性 . 例 4 已知橢圓 c:xy2228和點(diǎn) p（4，1） ，過(guò) p 作直線交橢圓于a、b 兩點(diǎn)，在線段 ab 上取點(diǎn) q，使appbaqqb，求動(dòng)點(diǎn) q 的軌跡所在曲線的方程 . 分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手

22、。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)q 的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可達(dá)到解題的目的 . 由于點(diǎn)),(yxq的變化是由直線 ab 的變化引起的， 自然可選擇直線ab 的斜率k作為參數(shù)，如何將yx,與k聯(lián)系起來(lái)？一方面利用點(diǎn)q 在直線 ab 上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：appbaqqb來(lái)轉(zhuǎn)化 .由 a、b、p、q 四點(diǎn)共線，不難得到)(82)(4bababaxxxxxxx，要建立x與k的關(guān)系，只需將直線ab 的方程代入橢圓c 的方程，利用韋達(dá)定理即可. 通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒(méi)有開(kāi)始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù)

23、. 在得到kfx之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過(guò)是得到關(guān)于yx,的方程（不含k） ，則可由1)4(xky解得41xyk，直接代入kfx即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò)程。簡(jiǎn)解：設(shè)),(),(,2211yxqyxbyxa，則由qbaqpbap可得：xxxxxx212144，解之得：)(82)(4212121xxxxxxx（1）設(shè)直線 ab 的方程為：1)4(xky，代入橢圓 c的方程，消去y得出關(guān)于x 的一元二次方程：08)41 (2)41(412222kxkkxk（2）.128)41(2,12) 14(42221221kkxxkkkxx代入（1） ，化簡(jiǎn)得：.234k

24、kx(3) 與1)4(xky聯(lián)立，消去k得：.0)4(42xyx在（2）中，由02464642kk，解得41024102k，結(jié)合（ 3）可求得.910216910216x故知點(diǎn) q 的軌跡方程為：042yx（910216910216x）. 點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元 ，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參 .，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道 . 將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理利用點(diǎn) q滿(mǎn)足直線 ab的方程：y = k (x4)+1 ，消去參數(shù)點(diǎn) q的軌跡方

25、6、求根公式法例 5 設(shè)直線l過(guò)點(diǎn) p （0，3） ，和橢圓xy22941順次交于 a、b 兩點(diǎn)，試求appb的取值范圍 . 分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：appb=baxx， 但從此后卻一籌莫展 , 問(wèn)題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系. 分析 1:從第一條想法入手，appb=baxx已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量baxx ,，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3 個(gè)變量直線ab的斜率k. 問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為

26、如何將baxx ,轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y 得出關(guān)于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出 . 簡(jiǎn)解 1：當(dāng)直線l垂直于 x 軸時(shí)，可求得51pbap; 當(dāng)l與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè))(,2211yxbyxa，直線l的方程為：3kxy，代入橢圓方程，消去y得045544922kxxk解之得.4959627222,1kkkx因?yàn)闄E圓關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn) p 在 y 軸上，所以只需考慮0k的情形 . 當(dāng)0k時(shí)，4959627221kkkx，4959627222kkkx，所以21xxpbap=5929592922kkkk=59291812kkk=25929181k.

27、 由049180)54(22kk, 解得952k，所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3 代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xa= f（k） ，xb = g（k）得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式求根公式ap/pb = （xa / 由判別式得出k的取值范圍所以51592918112k，綜上511pbap. 分析 2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到： 判別式往往是產(chǎn)生不等的根源 . 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定k的取值范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k聯(lián)系起來(lái) . 一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但本題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于21xxpbap不是關(guān)于

28、21,xx的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式. 原因找到后，解決問(wèn)題的方法自然也就有了， 即我們可以構(gòu)造關(guān)于21, xx的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式 . 簡(jiǎn)解 2：設(shè)直線l的方程為：3kxy，代入橢圓方程，消去y得045544922kxxk（*）則.4945,4954221221kxxkkxx令21xx，則，.20453242122kk在（*）中，由判別式,0可得952k，從 而 有5362045324422kk， 所 以536214， 解 得551. 結(jié)合10得151. 綜上，511pbap. 點(diǎn)評(píng)：范圍問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法， 均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的

29、角把直線l的方程y = kx+3 代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xa+ xb = f（k） ，xa xb = g（k）構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達(dá)定理ap/pb = （xa / xb）由判別式得出k的取值范圍度入手，給出又一優(yōu)美解法. 解題猶如打仗， 不能只是忙于沖鋒陷陣， 一時(shí)局部的勝利并不能說(shuō)明問(wèn)題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在，只有見(jiàn)微知著，樹(shù)立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里. 第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)， 選擇

30、恰當(dāng)?shù)慕忸}方法， 達(dá)到解題目標(biāo)， 得出結(jié)論的一系列推理過(guò)程。在推理過(guò)程中， 必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過(guò)編寫(xiě)思維流程圖來(lái)錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例 6 橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為ba,，o為橢圓中心，f為橢圓的右焦點(diǎn)，且1fbaf，1of（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）記橢圓的上頂點(diǎn)為m，直線l交橢圓于qp,兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線l，使點(diǎn)f恰為pqm的垂心？若存在，求出直線l的方程 ;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。思維流程：（）（）消元解題過(guò)程：寫(xiě)出橢圓方由1affb?uuu ruu u r，()()1ac ac，1c由 f 為pqm的重兩 根

31、之得出關(guān)于解出 m （）如圖建系，設(shè)橢圓方程為22221(0)xyabab,則1c又1fbaf即22() ()1acacac，22a故橢圓方程為2212xy（）假設(shè)存在直線l交橢圓于qp,兩點(diǎn)，且f恰為pqm的垂心，則設(shè)1122(,),(,)p x yq xy，(0,1),(1,0)mf，故1pqk，于是設(shè)直線l為yxm，由2222yxmxy得，2234220 xmxm12210(1)(1)mp fqx xyyuuu r uuu r又(1,2)iiyxm i得1221(1)()(1)0 x xxm xm即212122()(1)0 x xxxmmm由韋達(dá)定理得解得43m或1m（舍）經(jīng)檢驗(yàn)43m符

32、合條件點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零例 7、已知橢圓e的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)( 2,0)a、(2,0)b、31,2c三點(diǎn)（）求橢圓e的方程：（）若點(diǎn)d為橢圓e上不同于a、b的任意一點(diǎn)，( 1,0),(1,0)fh， 當(dāng)dfh內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求dfh內(nèi)心的坐標(biāo)；思維流程：（）（）由橢圓經(jīng)過(guò)a、b、c設(shè)方程為122nymx得 到nm,的 方解出nm,由dfh內(nèi) 切 圓 面 積轉(zhuǎn)化為dfh面積最轉(zhuǎn)化為點(diǎn)d的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最d為 橢 圓 短 軸解題過(guò)程：（）設(shè)橢圓方程為122nymx0,0 nm，將( 2,0)a、(2,0)b、3(1,

33、)2c代入橢圓e的方程，得41,914mmn解得11,43mn.橢圓e的方程22143xy（）| 2fh，設(shè)dfh邊上的高為hhsdfh221當(dāng)點(diǎn)d在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為3，所以dfhs的最大值為3設(shè)dfh的內(nèi)切圓的半徑為r， 因?yàn)閐fh的周長(zhǎng)為定值 6 所以，621rsdfh所以r的最大值為33所以?xún)?nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為3(0,)3. 點(diǎn)石成金：的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)rs21例 8、已知定點(diǎn))01(，c及橢圓5322yx，過(guò)點(diǎn)c的動(dòng)直線與橢圓相交于ab，兩點(diǎn). （）若線段ab中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是12，求直線ab的方程；（）在x軸上是否存在點(diǎn)m，使mbma為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)m的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

34、說(shuō)明理由. 思維流程：（）解：依題意，直線ab的斜率存在，設(shè)直線ab的方程為(1)yk x，將(1)yk x代入5322yx， 消去y整理得2222(31)6350.kxk xk設(shè)1122()()a xyb xy，則4222122364(31)(35)0 (1) 6. (2)31kkkkxxk，由線段ab中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是12，得2122312312xxkk，解得33k，符合得出d點(diǎn)坐標(biāo)為33, 0題意。所以直線ab的方程為310 xy，或310 xy. （）解：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)(,0)m m，使mbma為常數(shù). 當(dāng)直線ab與x軸不垂直時(shí)，由（）知22121222635. (3)3131kkxx

35、x xkk，所以212121212()()()()(1)(1)ma mbxm xmy yxm xmkxxuu u r uuu r22221212(1)()().kx xkmxxkm將(3)代 入 ， 整 理 得222222114(2)(31)2(61)5333131mkmmkma mbmmkkuu u r u uu r2216142.33(31)mmmk注意到mbma是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)， 從而有761403mm， 此時(shí)4.9ma mbuu u r u uu r 當(dāng)直線ab與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)ab，的坐標(biāo)分別為221133，、，當(dāng)73m時(shí)， 亦有4.9ma mbuuu r uuu r綜上，在x軸上

36、存在定點(diǎn)703m，使mbma為常數(shù) . 點(diǎn)石成金：222222114(2)(31)2(61)5333131mkmmkma mbmmkkuu u r u uu r例 9、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2 倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn) m（2，1） ，平行于 om 的直線l在 y 軸上的截距為 m（m0） ，l交橢圓于a、b 兩個(gè)不同點(diǎn)。（）求橢圓的方程；（）求 m 的取值范圍；（）求證直線 ma、mb 與 x 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形. 思維流程：解： （1）設(shè)橢圓方程為)0(12222babyax則2811422222bababa解得橢圓方程為12822yx（）直線l平行于 om，且在

37、y 軸上的截距為 m 又 kom=21mxyl21的方程為：由0422128212222mmxxyxmxy直線 l 與橢圓交于 a、b 兩個(gè)不同點(diǎn)，0, 22, 0)42(4)2(22mmmm且解得（）設(shè)直線 ma、mb 的斜率分別為 k1，k2，只需證明 k1+k2=0 即可設(shè)42,2),(),(221212211mxxmxxyxbyxa且則21,21222111xykxyk由可得042222mmxx而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121xxxyxyxyxykk故直線 ma、mb 與 x 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形. 點(diǎn)石成金：直線ma、mb 與 x 軸始終圍成

38、一個(gè)等腰三角形021kk例 10、已知雙曲線12222byax的離心率332e，過(guò)),0(),0,(bbaa的直線到原點(diǎn)的距離是.23（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線)0(5 kkxy交雙曲線于不同的點(diǎn)c，d 且c，d都在以b為圓心的圓上，求k的值. 思維流程：解 ： （ 1 ）,332ac原 點(diǎn) 到 直 線ab：1byax的 距 離.3,1.2322abcabbaabd. 故所求雙曲線方程為.1322yx（2）把33522yxkxy代入中消去y，整理得07830)31(22kxxk. 設(shè)cdyxdyxc),(),(2211的中點(diǎn)是),(00yxe，則即7,0,03153115222kkk

39、kkkk又故所求k=7. 點(diǎn)石成金 : c，d都在以b為圓心的圓上bc=bdbecd; 例 11、已知橢圓c的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓c上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為 1（）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ii ）若直線:ly=kx+m與橢圓c相交于a、b兩點(diǎn)（a、b不是左右頂點(diǎn)），且以ab為直徑的圓過(guò)橢圓c的右頂點(diǎn)求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)思維流程：解： （）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22221(0)xyabab，由已知得：31acac，222213acbac，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22143xy（ii）設(shè)1122()()a xyb xy，聯(lián)立221.43ykxmxy，得222(

40、34)84(3)0kxmkxm，則又22221212121223(4)()()()34mky ykxm kxmk x xmk xxmk因?yàn)橐詀b為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)(2 0)d，1adbdkk，即1222211xyxy. 1212122()40y yx xxx2222223(4)4(3)1540343434mkmmkkkk2271640mmkk解得：12227kmkm，且均滿(mǎn)足22340km當(dāng)12mk時(shí)，l的方程(2)yk x，直線過(guò)點(diǎn)(2 0)，與已知矛盾；當(dāng)227km時(shí)，l的方程為27ykx，直線過(guò)定點(diǎn)207，所以，直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為207，點(diǎn)石成金：以ab為直徑的圓過(guò)橢圓c的右

41、頂點(diǎn)cacb; 例 12、 已知雙曲線)0, 0( 12222babyax的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為21ff 、,點(diǎn) p在雙曲線右支上 . （）若當(dāng)點(diǎn) p的坐標(biāo)為)516,5413(時(shí),21pfpf,求雙曲線的方程；（）若|3|21pfpf,求雙曲線離心率e的最值 ,并寫(xiě)出此時(shí)雙曲線的漸進(jìn)線方程. 思維流程：解： （）(法一)由題意知 ,1pf)516,5413( c, 2pf)516,5413(c, 21pfpf,021pfpf)5413( c0)516()5413(2c（1 分）解得5,252cc. 由雙曲線定義得 : ,2|21apfpf2222)516()54135()516()54135(

42、2a6)341()341(22,4,3 ba所求雙曲線的方程為 : 116922yx(法二) 因21pfpf,由斜率之積為1,可得解 . （）設(shè)2211| ,|rpfrpf, ( 法一) 設(shè)p的坐標(biāo)為),(yx, 由焦半徑公式得aexexarexaexar|,|21,caxaexexarr2212),(3,3,2,2acaaxca2，e的最大值為 2,無(wú)最小值 . 此時(shí)31,2222eaacabac, 此時(shí)雙曲線的漸進(jìn)線方程為xy3(法二)設(shè)21pff,0(. (1)當(dāng)時(shí), 22121423,2rcrrcrr，且, 22122rrra此時(shí)2242222rrace. (2)當(dāng)），（0,由余弦定理

43、得 : cos610cos2222222122212rrrrrrc）（2cos6102cos6102222rrace, ) 1, 1(cos,)2, 1(e,綜上,e的最大值為 2,但e無(wú)最小值 . (以下法一 ) 附：1. 圓錐曲線的兩個(gè)定義：（1）第一定義 中要 重視“括號(hào)”內(nèi)的限制條件：橢圓中 ，與兩個(gè)定點(diǎn) f1，f2的距離的和等于常數(shù)2a，且此 常數(shù)2a一定要大于21ff，當(dāng)常數(shù)等于21ff時(shí)，軌跡是線段 f1f2，當(dāng)常數(shù)小于21ff時(shí)，無(wú)軌跡； 雙曲線中 ，與兩定點(diǎn)f1，f2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a一定要小于 |f1f2| ，定義中的 “絕對(duì)值” 與2a|f1f2

44、| 不可忽視 。若2a|f1f2| ，則軌跡是以f1，f2為端點(diǎn)的兩條射線，若2a|f1f2| ，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如 （1）已知定點(diǎn))0, 3(),0, 3(21ff，在滿(mǎn)足下列條件的平面上動(dòng)點(diǎn)p的軌跡中是橢圓的是a 421pfpf b621pfpf c1021pfpfd122221pfpf（答： c） ；（2）方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲線是 _（答：雙曲線的左支）（2） 第二定義 中要 注意定點(diǎn)和定直線是相應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線， 且 “點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母 ” ，其商即是離心率e。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與

45、此點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于運(yùn)用第二定義對(duì)它們進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化 。如已知點(diǎn))0,22(q及拋物線42xy上一動(dòng)點(diǎn)p（x,y ）, 則 y+|pq| 的最小值是_（答： 2）2. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程） ：（1）橢圓 ：焦點(diǎn)在x軸上時(shí)12222byax（0ab）cossinxayb（參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點(diǎn)在y軸上時(shí)2222bxay1（0ab） 。方程22axbyc表示橢圓的充要條件是什么？（abc 0，且 a，b，c同號(hào)， ab） 。如（ 1） 已知方程12322kykx表示橢圓，則k的取值范圍為_(kāi)（答：11( 3,)(,2

46、)22u） ；（2）若ryx,，且62322yx，則yx的最大值是 _，22yx的最小值是_（答：5, 2）（ 2） 雙 曲 線 ： 焦點(diǎn) 在x軸 上 ：2222byax =1 ， 焦 點(diǎn) 在y軸 上 ：2222bxay 1（0,0ab） 。方程22axbyc表示雙曲線的充要條件是什么？（abc 0，且 a，b異號(hào)） 。如（ 1）雙曲線的離心率等于25，且與橢圓14922yx有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程 _（答：2214xy） ；（2）設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)o，焦點(diǎn)1f、2f在坐標(biāo)軸上，離心率2e的雙曲線c過(guò)點(diǎn))10, 4(p，則 c的方程為 _（答：226xy）（3）拋物線 ：開(kāi)口向右時(shí)22(0)

47、ypx p，開(kāi)口向左時(shí)22(0)ypx p，開(kāi)口向上時(shí)22(0)xpy p，開(kāi)口向下時(shí)22(0)xpy p。3. 圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：（1）橢圓 ：由x2,y2分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。如已知方程12122mymx表示焦點(diǎn)在y 軸上的橢圓，則m 的取值范圍是 _（答：)23, 1() 1,(）（2）雙曲線 ：由x2,y2項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；（3）拋物線 ：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開(kāi)口方向。特別提醒 ： （1）在求解橢圓、雙曲線問(wèn)題時(shí)，首先要判斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)f1，f2的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決

48、定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型，而方程中的兩個(gè)參數(shù),a b，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件； 在求解拋物線問(wèn)題時(shí)， 首先要判斷開(kāi)口方向；（2） 在橢圓中，a最大，222abc，在雙曲線中，c最大，222cab。4. 圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以12222byax（0ab）為例） ：范圍 ：,axabyb；焦點(diǎn) ：兩個(gè)焦點(diǎn)(,0)c； 對(duì)稱(chēng)性 ：兩條對(duì)稱(chēng)軸0,0 xy，一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（0,0 ） ，四個(gè)頂點(diǎn)(,0),(0,)ab， 其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a， 短軸長(zhǎng)為 2b； 準(zhǔn)線 ： 兩條準(zhǔn)線2axc；離心率 ：cea，橢圓01e，e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。如（ 1

49、）若橢圓1522myx的離心率510e，則m的值是 _（答： 3 或325） ；（2）以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1 時(shí)，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為_(kāi)（答：22）（2）雙曲線 （以22221xyab（0,0ab）為例） ：范圍 ：xa或,xa yr；焦點(diǎn) ：兩個(gè)焦點(diǎn)(,0)c；對(duì)稱(chēng)性 ：兩條對(duì)稱(chēng)軸0,0 xy，一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（ 0,0 ） ，兩個(gè)頂點(diǎn)(,0)a，其中實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相等時(shí)，稱(chēng)為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為22,0 xyk k；準(zhǔn)線 ：兩條準(zhǔn)線2axc；離心率：cea，雙曲線1e，等軸雙曲線2e，e越小，開(kāi)口越小，e越大，開(kāi)口越大；

50、兩條漸近線 ：byxa。如 （1） 雙曲線的漸近線方程是023yx，則該雙曲線的離心率等于_ （答：132或133） ；（2）雙曲線221axby的離心率為5，則:a b= （答： 4 或14） ；（3）設(shè)雙曲線12222byax（a0,b0）中，離心率e2,2,則兩條漸近線夾角的取值范圍是_（答：,32） ；（3）拋物線 （以22(0)ypx p為例） ： 范圍 ：0,xyr；焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)(,0)2p，其中p的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；對(duì)稱(chēng)性 ：一條對(duì)稱(chēng)軸0y，沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心， 只有一個(gè)頂點(diǎn) （0,0 ） ；準(zhǔn)線 ：一條準(zhǔn)線2px； 離心率 ：cea，拋物線1e。如設(shè)raa,0，則拋物線

51、24axy的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 _（答：)161,0(a） ；5、點(diǎn)00(,)p xy和橢圓12222byax（0ab）的關(guān)系 ： （1）點(diǎn)00(,)p xy在橢圓外2200221xyab； （2）點(diǎn)00(,)p xy在橢圓上220220byax1； （3）點(diǎn)00(,)p xy在橢圓內(nèi)2200221xyab6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）相交 ：0直線與橢圓相交；0直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有0，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故0是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；0直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有0，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行時(shí)

52、，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故0也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如（1）若直線 y=kx+2 與雙曲線 x2-y2=6 的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k 的取值范圍是 _（答： (-315,-1) ） ；（2） 直線 ykx1=0 與橢圓2215xym恒有公共點(diǎn)， 則 m的取值范圍是 _（答： 1 ，5）（ 5，+） ） ；（3）過(guò)雙曲線12122yx的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于a、b兩點(diǎn)，若 ab 4，則這樣的直線有 _條（答： 3） ；（2）相切：0直線與橢圓相切；0直線與雙曲線相切；0直線與拋物線相切；（3）相離 ：0直線與橢圓相離；0直線與雙曲線相離；0直線與拋物線相離。

53、特別提醒 ： （1）直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時(shí), 直線與雙曲線相交, 但只有一個(gè)交點(diǎn)；如果直線與拋物線的軸平行時(shí),直線與拋物線相交, 也只有一個(gè)交點(diǎn)； （2）過(guò)雙曲線2222byax1 外一點(diǎn)00(,)p xy的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：p 點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；p 點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條； p在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近

54、線平行的直線，一條是切線； p 為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；（3）過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱(chēng)軸的直線。如（ 1）過(guò)點(diǎn))4 ,2(作直線與拋物線xy82只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有_（答： 2） ； （2）過(guò)點(diǎn) (0,2) 與雙曲線116922yx有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍為 _（答：44 5,33） ；（3）過(guò)雙曲線1222yx的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于 a、b兩點(diǎn)，若ab4，則滿(mǎn)足條件的直線l有_條（答： 3） ；（4）對(duì)于拋物線c：xy42，我們稱(chēng)滿(mǎn)足0204xy的點(diǎn)),(00yxm在拋物線的內(nèi)部，若點(diǎn)),(00yxm在拋物線

55、的內(nèi)部，則直線l：)(200 xxyy與拋物線c 的位置關(guān)系是_（答：相離）；（5）過(guò)拋物線xy42的焦點(diǎn)f作一直線交拋物線于p、q兩點(diǎn)，若線段 pf與 fq的長(zhǎng)分別是p、q，則qp11_（答： 1） ；（6）設(shè)雙曲線191622yx的右焦點(diǎn)為f，右準(zhǔn)線為l，設(shè)某直線m交其左支、右支和右準(zhǔn)線分別于rqp,，則pfr和qfr的大小關(guān)系為 _(填大于、小于或等于 ) （答：等于）；（7）求橢圓284722yx上的點(diǎn)到直線01623yx的最短距離（答：8 1313） ；（8）直線1axy與雙曲線1322yx交于a、b兩點(diǎn)。當(dāng)a為何值時(shí)，a、b分別在雙曲線的兩支上？當(dāng)a為何值時(shí)，以ab 為直徑的圓過(guò)坐

56、標(biāo)原點(diǎn)？（答：3,3；1a） ；7、焦半徑 （圓錐曲線上的點(diǎn)p到焦點(diǎn) f的距離） 的計(jì)算方法 ：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑red，其中d表示 p到與 f所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。如（ 1）已知橢圓1162522yx上一點(diǎn) p到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn) p到右準(zhǔn)線的距離為 _（答：353） ；（2）已知拋物線方程為xy82，若拋物線上一點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于_；（3）若該拋物線上的點(diǎn)m到焦點(diǎn)的距離是4，則點(diǎn)m的坐標(biāo)為 _（答：7,(2,4)） ；（4）點(diǎn) p 在橢圓192522yx上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn) p的橫坐標(biāo)為

57、_（答：2512） ；（5）拋物線xy22上的兩點(diǎn) a、 b到焦點(diǎn)的距離和是5， 則線段 ab的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為 _（答： 2） ；（ 6） 橢圓13422yx內(nèi)有一點(diǎn))1, 1(p，f 為右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)m ，使mfmp2之值最小，則點(diǎn)m的坐標(biāo)為 _（答：)1,362(） ；8、焦點(diǎn)三角形 （橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問(wèn)題 ：常利用第一定義和正弦、 余弦定理求解。 設(shè)橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)00(,)p xy到兩焦點(diǎn)12,f f的距離分別為12,r r，焦點(diǎn)12f pf的面積為s，則在橢圓12222byax中，) 12arccos(212rrb， 且當(dāng)12rr即p為 短

58、 軸端 點(diǎn) 時(shí)，最 大 為max222arccosacb；20tan|2sbc y，當(dāng)0|yb即p為短軸端點(diǎn)時(shí)，m axs的最大值為 bc；對(duì)于雙曲線22221xyab的 焦 點(diǎn) 三 角 形 有 ： 21221arccosrrb； 2cotsin21221brrs。如（1）短軸長(zhǎng)為5，離心率32e的橢圓的兩焦點(diǎn)為1f、2f，過(guò)1f作直線交橢圓于 a、b兩點(diǎn)，則2abf的周長(zhǎng)為 _（答： 6） ；（2）設(shè) p 是等軸雙曲線)0(222aayx右支上一點(diǎn)， f1、f2是左右焦點(diǎn)，若0212ffpf，|pf1|=6 ，則該雙曲線的方程為（答：224xy） ；（3）橢圓22194xy的焦點(diǎn)為 f1、f

59、2，點(diǎn) p為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)， 當(dāng)pf2pf1 0 時(shí)，點(diǎn) p的橫坐標(biāo)的取值范圍是（答：3 5 3 5(,)55） ；（4）雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率 e26，f1、f2是它的左右焦點(diǎn)，若過(guò)f1的直線與雙曲線的左支交于a、 b 兩點(diǎn)，且ab是2af與2bf等差中項(xiàng)，則ab_（答：8 2） ；（5）已知雙曲線的離心率為2，f1、f2是左右焦點(diǎn)， p 為雙曲線上一點(diǎn)，且6021pff，31221fpfs求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（答：221412xy） ；9、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)： （1）以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè) ab為焦點(diǎn)弦， m 為準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)， 則 amf

60、 bmf ； （3）設(shè) ab為焦點(diǎn)弦， a、b在準(zhǔn)線上的射影分別為a1，b1，若 p為 a1b1的中點(diǎn)，則 pa pb； （4）若 ao的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于c，則 bc平行于 x 軸，反之，若過(guò)b 點(diǎn)平行于 x軸的直線交準(zhǔn)線于c點(diǎn)，則 a，o，c三點(diǎn)共線。10、弦長(zhǎng)公式 ：若直線ykxb與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)a、b，且12,x x分別為 a、b 的橫坐標(biāo)，則ab2121kxx，若12,yy分別為a、 b 的縱坐標(biāo)，則ab21211yyk，若弦 ab所在直線方程設(shè)為xkyb，則ab2121kyy。特別地，焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦） ：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和