高考數(shù)學一輪復習第七章不等式第三節(jié)基本不等式及其應用教案文(含解析)蘇教版-蘇教版高三全冊

1、. .專心 . 第三節(jié) 基本不等式及其應用1基本不等式abab2(1) 基本不等式成立的條件：a0，b0. (2) 等號成立的條件：當且僅當ab. 2幾個重要的不等式(1)a2b2 2ab(a，br)；(2)baab2(a，b同號 ) ；(3)abab22(a，br)；(4)ab22a2b22(a，br)3算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)設a0，b0，則a，b的算術平均數(shù)為ab2，幾何平均數(shù)為ab，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)4利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則(1) 如果xy是定值p， 那么當且僅當xy時，xy有最小值是2p( 簡記： 積定和最小 ) (2)

2、如果xy是定值q，那么當且僅當xy時，xy有最大值是q24( 簡記：和定積最大) 小題體驗 1(2019南京調研) 已知m，n均為正實數(shù)， 且m2n1，則mn的最大值為 _解析：m2n1，m2nm2n2214，即mn18，當且僅當m2n12時，mn取得最大值18. 答案：182若實數(shù)x，y滿足xy1，則x22y2的最小值為 _解析：x22y2x2(2y)22x(2y) 22，所以x22y2的最小值為22. . .專心 . 答案： 22 3若把總長為20 m 的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_m2. 解析：設一邊長為x m，則另一邊長可表示為(10 x)m，由題知 0 x10，則面

3、積sx(10 x) x10 x22 25，當且僅當x 10 x，即x5 時等號成立，故當矩形的長與寬相等，且都為5 m 時面積取到最大值25 m2. 答案： 25 1使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可2“當且僅當ab時等號成立”的含義是“ab”是等號成立的充要條件，這一點至關重要，忽略它往往會導致解題錯誤3連續(xù)使用基本不等式求最值，要求每次等號成立的條件一致 小題糾偏 1(2019啟東檢測) 函數(shù)yx9x1(x1)的最小值為 _解析：x1，x 10，yx9x1(x1) 9x112x 19x117，當且僅當x4 時取等號答案： 7 2函數(shù)f(x) x1x的值域為 _

4、答案： ( ， 2 2 ，)考點一利用基本不等式求最值重點保分型考點師生共研 典例引領 1(2018啟東期末) 設正實數(shù)a，b滿足ab1，則ba4b的最小值為 _解析：ab1，ba4bba4abbba4ab42ba4ab 48，當且僅當ba4ab，即a13，b. .專心 . 23時等號成立，ba4b的最小值為8. 答案： 8 2 (2019常州調研 ) 若實數(shù)x滿足x 4， 則函數(shù)f(x) x9x4的最小值為 _解析：因為x 4，所以x 40，所以f(x) x9x4x49x442 x49x442，當且僅當x49x 4，即x 1 時取等號答案： 2 3 (2018徐州調研 ) 已知實數(shù)x，y滿足

5、x2y23， |x| |y| ， 則12xy24x2y2的最小值為 _解析：因為 (2xy)2(x2y)25(x2y2) 15，所以令 (2xy)2t，(x2y)2，所以t15，12xy24x2y21t4115(t)1t411554tt115(5 4) 35，當且僅當t5，10 時取等號，所以12xy24x2y2的最小值為35. 答案：35 由題悟法 利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解決條件最值的關鍵是構造和為定值或積為定值，主要有兩種思路：(1) 對條件使用基本不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解常用的方法有： 拆項法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等(2) 條件變形，進行“

6、 1”的代換求目標函數(shù)最值 即時應用 1設 0 x32，則函數(shù)y4x(3 2x) 的最大值為 _解析：y4x(32x) 22x(3 2x) 22x32x2292，. .專心 . 當且僅當 2x32x，即x34時，等號成立又因為34 0，32，所以函數(shù)y4x(3 2x) 0 x32的最大值為92. 答案：922已知正數(shù)x，y滿足x22xy30，則 2xy的最小值是 _解析：由題意得y3x22x，所以 2xy2x3x22x3x232x32x1x3，當且僅當xy1 時，等號成立答案： 3 3(2017天津高考) 若a，br，ab0，則a44b41ab的最小值為 _解析：因為ab0，所以a44b41a

7、b24a4b41ab4a2b21ab4ab1ab24ab1ab4，當且僅當a22b2，ab12時取等號，故a44b41ab的最小值是4. 答案： 4 考點二基本不等式的實際應用重點保分型考點師生共研 典例引領 經調查測算， 某產品的年銷售量( 即該廠的年產量)x萬件與年促銷費用m萬元 (m0)滿足x 3km1(k為常數(shù) ) ，如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1 萬件已知2018 年生產該產品的固定投入為8 萬元，每生產1 萬件該產品需要再投入16 萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5 倍( 產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金 ) (1) 將 2018 年該產

8、品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；(2) 該廠家 2018 年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？解： (1) 由題意可知，當m 0 時，x 1，. .專心 . 所以 13k，解得k2，即x 32m1，每 1 萬件產品的銷售價格為1.5 816xx( 萬元 ) ，所以 2018 年的利潤yx1.5 816xx(8 16xm) 48xm 48 32m1m2816m1m(m0)所以利潤y表示為年促銷費用的函數(shù)關系式是y 2816m 1m(m0)(2) 由(1) 知y16m1m1 29(m0)因為m0 時，16m1 (m1)2 16m1m18，當且僅當16m1m1，即m3 時取等號所

9、以y 82921，即當m3 時，y取得最大值21. 所以當該廠家2018 年的促銷費用投入3 萬元時，廠家獲得的利潤最大，為21 萬元 由題悟法 解實際應用題的3 個注意點(1) 設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)(2) 根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值(3) 在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域( 使實際問題有意義的自變量的取值范圍) 內求解 即時應用 某房地產開發(fā)公司計劃在一樓區(qū)內建造一個長方形公園abcd， 公園由形狀為長方形的休閑區(qū)a1b1c1d1和人行道 ( 陰影部分 ) 組成已知休閑區(qū)a1b1c1d1的面積為4 000 m2，人行道的寬分

10、別為4 m和 10 m(如圖所示 ) (1) 若設休閑區(qū)的長和寬的比a1b1b1c1x(x1) ， 求公園abcd所占面積s關于x的函數(shù)s(x). .專心 . 的解析式；(2) 要使公園所占面積最小，則休閑區(qū)a1b1c1d1的長和寬該如何設計？解： (1) 設休閑區(qū)的寬為a m，則長為ax m，由a2x4 000 ，得a2010 x. 則s(x) (a8)(ax20) a2x(8x20)a1604 000 (8x20)2010 x16080102x5x4 160(x 1) (2)s(x) 80102x5x4 160801022x5x4 160 1 600 4 160 5 760，當且僅當2x5

11、x，即x2.5 時，等號成立，此時a40，ax100. 所以要使公園所占面積最小，休閑區(qū)a1b1c1d1的長和寬應分別設計為100 m,40 m. 考點三利用基本不等式求參數(shù)的值或范圍重點保分型考點師生共研 典例引領 1(2019淮安調研)若x(0,1) 時， 不等式m1x11x恒成立， 則實數(shù)m的最大值為_解析：x(0,1) ， 1x(0,1) ，x(1 x) 1，1x11x1x11xx(1 x) 21xxx1x2 21xxx1x4，當且僅當1xxx1x，即x12時取等號，m4，即實數(shù)m的最大值為4. 答案： 4 2已知函數(shù)f(x) x2ax11x1(ar)，若對于任意的xn*，f(x) 3

12、 恒成立，則a的取值范圍是 _解析：對任意xn*，f(x) 3，即x2ax11x13 恒成立，即ax8x 3. 設g(x) x8x，x n*，則g(x) x8x42，當x22時等號成立，. .專心 . 又g(2) 6，g(3) 173. 因為g(2) g(3) ，所以g(x)min173. 所以x8x383，所以a83，故a的取值范圍是83，. 答案：83， 由題悟法 求解含參數(shù)不等式的求解策略(1) 觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍(2) 在處理含參數(shù)的不等式恒成立問題時，往往將已知不等式看作關于參數(shù)的不等式，體現(xiàn)了主元與次元的轉化 即時應用 1(201

13、9東臺月考) 若對任意x0，xx23x 1a恒成立， 則a的最小值為 _解析：xx23x11x31x，x0，x31x3 2x1x325，當且僅當x1x，即x1時取等號，01x31x15，要使xx23x1a恒成立，則a15，故a的最小值為15. 答案：152已知正數(shù)x，y滿足x22xy(xy) 恒成立，求實數(shù)的最小值解：依題意得x 22xyx (x2y) 2(xy) ，即x22xyxy2(當且僅當x2y時取等號 ) ，即x22xyxy的最大值為2. 又x22xyxy，因此有2，即的最小值為2. 一抓基礎，多練小題做到眼疾手快. .專心 . 1 (2019連云港調研) 若x0，y0， 且 log2

14、xlog2y2， 則1x2y的最小值為 _解析：x0，y0，且 log2xlog2ylog2xy2，xy4，1x2y22xy2，當且僅當1x2y且xy4，即x2，y22時取等號，1x2y的最小值為2. 答案：2 2當x0 時，f(x) 2xx21的最大值為 _解析：因為x0，所以f(x) 2xx212x1x221，當且僅當x1x，即x1 時取等號答案： 1 3(2018蘇州期末) 已知a 0，b0， 且1a1b1， 則 3a2bba的最小值為 _解析：a0，b0，且1a1b1，3a2bba3a1a1b2b1a1bba53ab3ba5 2911，當且僅當ab2時取等號，3a2bba的最小值為11

15、. 答案： 11 4當 3x12 時，函數(shù)yx312xx的最大值為 _解析：yx312xxx215x36xx36x15 2 x36x15 3. 當且僅當x36x，即x6時，ymax3. 答案： 3 . .專心 . 5(2018通州期末) 若 log4(a4b) log2ab，則ab的最小值是 _解析： log4(a4b) log2ab，log2a4blog2ab，a 4b0，ab0. a4bab，即a4bab，1b4a1，ab(ab)1b4a5ab4ba5 2ab4ba9，當且僅當a2b6 時取等號ab的最小值是9. 答案： 9 6某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為800 元若每批生

16、產x件，則平均倉儲時間為x8天，且每件產品每天的倉儲費用為1 元為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品_件解析：每批生產x件，則平均每件產品的生產準備費用是800 x元，每件產品的倉儲費用是x8元，則800 xx82 800 xx8 20，當且僅當800 xx8，即x 80 時“”成立，所以每批生產產品80 件答案： 80 二保高考，全練題型做到高考達標1(2019鹽城調研 ) 若x0，y0，且x1xy4y9，則1x4y的最大值為 _解析：令xyn，1x4ym，mn(xy)1x4y5yx4xy9.mn9，mn9? 9mnm9m. m29m90，解得9 352m935

17、2. 1x4y的最大值為9 352. . .專心 . 答案：93522已知ab14，a，b(0,1) ，則11a21b的最小值為 _解析：由題意得b14a，所以 014a1，即a14， 1 ，得11a21b11a8a4a111a24a1 2. 4(1 a) (4a1) 3，記s11a24a 1，則s444a24a113(4 4a) (4a 1)44 4a24a1 2 234 4a4a124a144a2423，當且僅當44a4a124a144a時等號成立，所以所求最小值為4423. 答案： 44233(2018連云港期末) 已知x0，y0，且 2x 4y 4，則2x1y的最小值是 _解析：x0，

18、y0，且 2x 4y 4，42x4y22x2y，即x2y2，2x1y122x1y(x2y) 1244yxxy12424yxxy4，當且僅當x2y時等號成立，2x1y的最小值是4. 答案： 4 4(2019湖北七市( 州)協(xié)作體聯(lián)考 ) 已知直線axby60(a0，b0)被圓x2y22x4y0 截得的弦長為25，則ab的最大值是 _解析：將圓的一般方程化為標準方程為(x1)2(y2)25，圓心坐標為(1,2) ，半徑r5，故直線過圓心，即a2b6，所以a2b62a2b，可得ab92，當且僅當a2b3 時等號成立，即ab的最大值是92. . .專心 . 答案：925某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面

19、為等腰梯形，腰與底邊夾角為 60( 如圖 ) ，考慮到防洪堤的堅固性及水泥用料等因素，要求設計其橫斷面的面積為93 m2，且高度不低于3 m，記防洪堤橫斷面的腰長為x m，外周長 ( 梯形的上底與兩腰長的和) 為y m，若要使堤的上面與兩側面的水泥用料最省 ( 即橫斷面的外周長最小) ，則防洪堤的腰長x_. 解析：設橫斷面的高為h，由題意得adbc2x2bcx，h32x，所以 9312(adbc)h12(2bcx) 32x，故bc18xx2，由h32x3，bc18xx20，得 2x6，所以ybc2x18x3x2(2x6) ，從而y18x3x22 18x3x263，當且僅當18x3x2(2x6)

20、 ，即x23時等號成立答案： 23 6(2018蘇州期末) 已知正數(shù)x，y滿足xy1，則4x21y1的最小值為 _解析：令x2a，y1b，則ab4(a 2，b1) ，所以4x21y14a1b14(ab)4a1b1454baab14(54) 94，當且僅當a83，b43，即x23，y13時取等號 則4x21y1的最小值為94. 答案：94. .專心 . 7(2018南通三模) 若正實數(shù)x，y滿足xy1，則yx4y的最小值是 _解析：因為正實數(shù)x，y滿足xy1， 所以yx4yyx4xyyyx4xy42yx4xy48，當且僅當yx4xy，即x13，y23時取“”，所以yx4y的最小值是8. 答案：

21、8 8(2018揚州期末) 已知正實數(shù)x，y滿足xyxy，則3xx12yy1的最小值為_解析：xyxy，3xx12yy13xy1 2yx 1x1y15xy3x2yxyxy 15x 5y3x2yxyxy12x3y. 又xyxy可化為1y1x 1，2x3y(2x3y)1y1x2xy3yx522xy3yx5265，當且僅當2x23y2時取等號，3xx12yy1的最小值為265. 答案： 265 9(1) 當x32時，求函數(shù)yx82x 3的最大值；(2) 設 0 x2，求函數(shù)yx42x的最大值解： (1)y12(2x3) 82x33232x2832x32. 當x32時，有 32x0，所以3 2x283

22、2x2 3 2x283 2x4，當且僅當32x2832x，即x12時取等號. .專心 . 于是y 43252，故函數(shù)的最大值為52. (2) 因為 0 x2，所以 2x0，所以yx42x2x2x 2x 2x22，當且僅當x2x，即x1 時取等號，所以當x1 時，函數(shù)yx42x的最大值為2. 10(2019泰州調研) 已知x0，y0，且 2xy4. (1) 求xy的最大值及相應的x，y的值；(2) 求 9x3y的最小值及相應的x，y的值解： (1) 因為 42xy2 2xy?xy2，所以xy的最大值為2，當且僅當2xy2，即x1，y2 時取“”(2) 因為 9x3y32x3y232xy18，所以

23、 9x3y的最小值為18，當且僅當 9x 3y，即 2xy2?x1，y2 時取“”三上臺階，自主選做志在沖刺名校1(2018啟東期中) 已知為銳角，則2tan 3tan 2的最小值為 _解析：為銳角， tan 0， 2tan 3tan 2 2tan 31tan22tan 32tan tan 22 32tan tan 23，當且僅當 tan 3，即3時取得等號，2tan 3tan 2的最小值為3. 答案：3 2(2018蘇北四市聯(lián)考) 已知對滿足xy42xy的任意正實數(shù)x，y，都有x22xyy2axay10，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：法一：由xy42xyxy22得(xy)22(xy) 80，又

24、x，y是正實. .專心 . 數(shù)，得xy4. 原不等式整理可得(xy)2a(xy) 10，令xyt，t4，則t2at10，t 4 ，)(*) 恒成立，當a240，即 2a2時， (*) 式恒成立；當a 2 時，對稱軸ta2 1，(*) 式恒成立； 當a2 時，對稱軸ta2，要使 (*) 式恒成立，則a24，且 164a10，得 2a174. 綜上可得 (*) 式恒成立時，a174，則實數(shù)a的取值范圍是，174. 法二：由xy4 2xyxy22得(xy)22(xy) 80，又x，y是正實數(shù)，得xy4. 原不等式整理可得(xy)2a(xy) 10，令xyt，t4，則t2at10，t4 ，)(*) 恒

25、成立，則at1tmin174，故實數(shù)a的取值范圍是，174. 答案：，1743某工廠某種產品的年固定成本為250 萬元，每生產x千件，需另投入成本為c(x) ，當年產量不足80 千件時，c(x) 13x210 x( 萬元 ) 當年產量不小于80 千件時，c(x) 51x10 000 x1 450( 萬元 ) 每件商品售價為0.05 萬元通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完(1) 寫出年利潤l(x)( 萬元 ) 關于年產量x( 千件 ) 的函數(shù)解析式(2) 當年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？解： (1) 因為每件商品售價為0.05 萬元，則x千件商品銷售額為0.051

26、000 x萬元，依題意得：當 0 x80 時，l(x) (0.05 1 000 x) 13x210 x25013x240 x250. 當x80 時，l(x) (0.05 1 000 x) 51x10 000 x1 4502501 200 x10 000 x. 所以l(x) 13x240 x250，0 x80，1 200 x10 000 x，x80.(2) 當 0 x80 時，l(x)13(x60)2 950. . .專心 . 此時，當x60 時，l(x)取得最大值l(60) 950 萬元當x80 時，l(x) 1 200 x10 000 x1 200 2 x10 000 x1 200 2001

27、 000. 此時x10 000 x，即x100 時，l(x) 取得最大值1 000 萬元由于 9501 000 ，所以，當年產量為100 千件時，該廠在這一商品生產中所獲利潤最大，最大利潤為1 000 萬元命題點一一元二次不等式1.(2017 山東高考改編)設函數(shù)y4x2的定義域為a，函數(shù)y ln(1 x) 的定義域為b，則ab_. 解析：由題意可知ax| 2x2，bx|x 1，故abx| 2x1答案： 2,1) 2(2014江蘇高考) 已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對于任意xm，m1 ， 都有f(x)0 成立，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：由題可得f(x) 0 對于xm，m1 恒成立， 即fm

28、 2m210，fm12m23m0，解得22m0. 答案：22，03(2012江蘇高考 ) 已知函數(shù)f(x)x2axb(a，br)的值域為 0 ，) ，若關于x的不等式f(x) c的解集為 (m，m6)，則實數(shù)c的值為 _解析：因為f(x) 的值域為 0 ， ) ，所以0，即a24b，所以x2axa24c0的解集為 (m，m6)，易得m，m6 是方程x2axa24c0 的兩根，由一元二次方程根與系數(shù)的關系得2m6a，m m6a24c，解得c9. . .專心 . 答案： 9 命題點二簡單的線性規(guī)劃問題1.(2016 江蘇高考) 已知實數(shù)x，y滿足x2y40，2xy20，3xy30，則x2y2的取值

29、范圍是_解析：根據(jù)已知的不等式組畫出可行域，如圖陰影部分所示，則(x，y) 為陰影區(qū)域內的動點dx2y2可以看做坐標原點o與可行域內的點 (x，y) 之間的距離數(shù)形結合，知d的最大值是oa的長，d的最小值是點o到直線 2xy20 的距離由x2y40，3xy30可得a(2,3) ，所以dmax223213，dmin| 2|22 1225. 所以d2的最小值為45，最大值為13. 所以x2y2的取值范圍是45，13 . 答案：45，132(2018全國卷) 若x，y滿足約束條件x2y20，xy10，y0，則z3x2y的最大值為 _解析：作出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示由z3x2y，得y3

30、2xz2. 作直線l0：y32x. 平移直線l0，當直線y32xz2過點 (2,0) 時，z取最大值，zmax3220 6. 答案： 6 . .專心 . 3(2017全國卷改編) 設x，y滿足約束條件3x2y60，x0，y0，則zxy的取值范圍是 _解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線l0：yx，平移直線l0，當直線zxy過點a(2,0) 時，z取得最大值 2，當直線zxy過點b(0,3) 時，z取得最小值3，所以zxy的取值范圍是 3,2 答案： 3,2 4(2018全國卷) 若x，y滿足約束條件x2y50，x2y30，x50，則zxy的最大值為_解析：作出不等式組所表

31、示的可行域如圖中陰影部分所示由圖可知當直線xyz過點a時z取得最大值由x5，x2y30，得點a(5,4)，zmax549. 答案： 9 5(2018北京高考) 若x，y滿足x1y2x，則 2yx的最小值是 _解析：由條件得x1y，y2x，即xy10，2xy0，作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示設z2yx，即y12x12z，作直線l0：y12x并向上平移，顯然當l0過點a(1,2)時，z取得最小值，zmin22 13. 答案： 3 . .專心 . 6(2017天津高考) 電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時

32、長、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時長( 分鐘 ) 廣告播放時長( 分鐘 ) 收視人次( 萬) 甲70560 乙60525 已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600 分鐘， 廣告的總播放時間不少于 30 分鐘， 且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2 倍分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)(1) 用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；(2) 問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？解： (1) 由已知，x，y滿足的數(shù)學關系式為70 x60y600，5x5y30，x2y，x0，y0，即7x6y60，xy6，x2

33、y0，x0，y0，該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分中的整數(shù)點(2) 設總收視人次為z萬，則目標函數(shù)為z60 x 25y. 考慮z60 x25y，將它變形為y125xz25，這是斜率為125，隨z變化的一族平行直線 .z25為直線在y軸上的截距，當z25取得最大值時，z的值最大又因為x，y滿足約束條件，所以由圖可知，當直線z 60 x 25y經過可行域上的點m時，截距z25最大，即z最大解方程組7x6y60，x2y0，得點m的坐標為 (6,3) 所以電視臺每周播出甲連續(xù)劇6 次、乙連續(xù)劇3 次時才能使總收視人次最多. .專心 . 命題點三基本不等式1.(2017 江蘇高考) 某公司一年購買某種貨物600 噸，每次購買x噸，運費為6 萬元 /次，一年的總存儲費用為4x萬元要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是_解析：由題意，一年購買600 x次，則總運費