A116高斯公式課件

1、A116高斯公式PPT課件 RdxdyQdxdzPdydzdsnF、2 dxdyyxzyxRzyxzyxQzyxzyxPyDxxy),(,)(,(,)(,(, RdxdyQdxdzPdydz、1 dydzzyxP),( dzdxzyxQ),( dxdyzyxR),(總結(jié)總結(jié) dsRQP)coscoscos( RdxdyQdxdzPdydzdsnF、3),(:yxzz A116高斯公式PPT課件設空間閉區(qū)域設空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲面圍成取外側(cè)由分片光滑的閉曲面圍成取外側(cè)函數(shù)函數(shù)),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上具有上具有一階連續(xù)偏導數(shù)一階連續(xù)偏導數(shù), , 則有公式則有公

2、式 dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydzdsnF)( 11.6 11.6 高斯公式高斯公式 dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或A116高斯公式PPT課件這這里里 是是 的的整整個個邊邊界界曲曲面面的的外外側(cè)側(cè)， cos,cos,cos是是 上上點點),(zyx處處的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦. .證明證明設設閉閉區(qū)區(qū)域域 在在面面xoy上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域為為xyD. .xyzo 由由1 , ,2 和和3 三部分組成三部分組成, ,),(1:1yxzz ),(2:2yxzz 3 1 2 3 xyD.),( dxdyzyxRdvzRA116高斯公式P

3、PT課件根據(jù)三重積分的計算法根據(jù)三重積分的計算法dxdydzzRdyzRxyDyxzyxz ),(),(21.),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根據(jù)曲面積分的計算法根據(jù)曲面積分的計算法,),(,),(11 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR( (1 取取下下側(cè)側(cè), , 2 取取上上側(cè)側(cè), , 3 取取外外側(cè)側(cè)) ),),(,),(22 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR. 0),(3 dxdyzyxRA116高斯公式PPT課件,),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR dxdyzyxR),(于于是是.),( dxdyzyxRdvzR

4、,),( dydzzyxPdvxP同理同理,),( dzdxzyxQdvyQ RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系界曲面上的曲面積分之間的關系. .A116高斯公式PPT課件使用使用Guass公式時注意公式時注意:1 1、RQP,是是對對什什么么變變量量求求偏偏導導數(shù)數(shù); ;2 2、是是否否滿滿足足高高斯斯公公式式的的條條件件; ;（拉拉普普拉拉斯斯算算子子）、2222223zyx 222222zvyvxvv （哈密爾頓算子）（哈密爾頓算子），、 zyx4（高高斯斯公公

5、式式）、dvFdsnFv 5 vdvzdxdyydxdzxdydzVzRyQxP31,6、A116高斯公式PPT課件例例1 1 計計算算曲曲面面積積分分xdydzzydxdyyx)()( 其其中中為為柱柱面面122 yx及及平平面面3, 0 zz所所圍圍成成的的空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域 的的整整個個邊邊界界曲曲面面的的外外側(cè)側(cè). .解解, 0,)(yxRQxzyP xozy113, 0, 0, zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式 dxdydzz)(.29 )(30zDdxdyzdz 29A116高斯公式PPT課件xyzo例例 2 2 計算曲面積分計算曲面積分dszyx)coscosco

6、s(222 , ,其中為其中為錐面錐面 222zyx 介于平面介于平面0 z及及)0( hhz之間的部分的下側(cè)之間的部分的下側(cè), , cos,cos,cos是在是在),(zyx處處的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦. .h A116高斯公式PPT課件xyDxyzoh 1 解解空間曲面在空間曲面在 面上的投影域為面上的投影域為xoyxyD)(:2221hyxhz 補補充充曲面曲面 不是封閉曲面不是封閉曲面, 為利用為利用高斯公式高斯公式取取上上側(cè)側(cè)，1 構(gòu)成封閉曲面，構(gòu)成封閉曲面，1 .1 圍圍成成空空間間區(qū)區(qū)域域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 A116高斯公式PPT課件 dvzyxdSz

7、yx)(2)coscoscos(1222 xyDhyxzdzdxdy22,2| ),(222hyxyxDxy hDrdrrhddxdyyxhxy02220222)()(.214h zdv2A116高斯公式PPT課件 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求積分為故所求積分為 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h xyDxyzoh 1 A116高斯公式PPT課件例例 3 3 計算曲面積分計算曲面積分 yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 , , 其中其中 是由曲線是由曲線)31(01 yxyz繞繞y軸旋轉(zhuǎn)

8、一周軸旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面所成的曲面, ,它的法向量與它的法向量與y軸正向的夾角恒大于軸正向的夾角恒大于2 . . 解解22101xzyyxyz 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為繞繞xyzo132 *A116高斯公式PPT課件xyzo132 * *I且有且有dvzRyQxP)(* dvyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 欲欲求求 dv xzDxzdydxdz3122 3120202dydd 203)2(2d,2 A116高斯公式PPT課件 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 )(31yDdxdzdydv221xzy 31)1(dyy ,2

9、 或：或：xyzo132 *yzdxdydzdxyxdydzy4)1(2)18(2* A116高斯公式PPT課件例例4.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI設 為曲面21,222zyxz取上側(cè), 求 解解: 作取下側(cè)的輔助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10dr221drz202dcos103drr12131zoxy211用柱坐標用柱坐標用極坐標用極坐標A116高斯公式PPT課件212222222()6,()(98)axdydzzadxdyIxyzzaxya 例 ：計算其中為下半球面的上側(cè)， 為大于零的常數(shù)。 dxd

10、yazaxdydzaI2)(11）：）：解（解（ vSdvazaadxdyazaxdydza)22(1)(12323213azdvav 30222222adxdyzdzazayxa 323a ssdxdyazadxdyazaxdydza22)(1)(1 Dsdxdyaadxdyaa22113a )(2333aaI 23a SA116高斯公式PPT課件例例 6 6 設設),(,),(zyxvzyxu是兩個定義在閉區(qū)域是兩個定義在閉區(qū)域 上的上的具有二階連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù), ,nvnu ,依次表示依次表示 ),(,),(zyxvzyxu沿沿 的外法線方向的方向?qū)?shù)的外法線方向

11、的方向?qū)?shù). .試證試證dsnuvnvudxdydzuvvu)()( 其中其中 是空間閉區(qū)域是空間閉區(qū)域 的整個邊界曲面的整個邊界曲面. . ( (注注 222222zyx , ,稱為拉普拉斯算子稱為拉普拉斯算子) ) coscoscoszvyvxvnv 證明：證明： coscoscoszuyuxunu A116高斯公式PPT課件 coscoscoszvuyvuxvunvu coscoscoszuvyuvxuvnuv dsnuvnvu)( 即即dszuvzvuyuvyvuxuvxvucos)(cos)(cos)( dxdyzuvzvudxdzyuvyvudydzxuvxvu)()()( 222

12、2)(xuvxuxvxvuxvxuxuvxvux 又又2222xuvxvu dvzuyuxuvzvyvxvuIV)()(222222222222 A116高斯公式PPT課件三、通量與散度三、通量與散度引例引例. 設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的密度為1, 速度場為kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(理意義可知, 設 為場中任一有向曲面, yxRxzQzyPdddddd單位時間通過曲面 的流量為 則由對坐標的曲面積分的物 由兩類曲面積分的關系, 流量還可表示為SRQPdcoscoscosSnvdA116高斯公式PPT課件若 為方向向外的閉曲面, yxRxzQzyPdddddd

13、當 0 時, 說明流入 的流體質(zhì)量少于 當 0，表示流出多于流入，表示流出多于流入，S內(nèi)部有產(chǎn)生流體的泉源；內(nèi)部有產(chǎn)生流體的泉源； 0，表示流出少于流入，表示流出少于流入，S內(nèi)部有吸收流體的洞；內(nèi)部有吸收流體的洞； =0，表示流出與流入平衡。，表示流出與流入平衡。dsnvS 通量為正、為負、為零時的物理意義：通量為正、為負、為零時的物理意義：A116高斯公式PPT課件222221)ln(1)(1,1,0)2)ln,()zuxy iye jxzkPuxyzdiv gradu例求向量場在點處的散度。設則求zuyuxuudiv ：解解1zzxeyz2122 Pudiv)0 , 1 , 1(22)21

14、(zzxeyz 2 zuyuxugradu,2：解解uzuyuxugradudiv 222222)(2221zyx A116高斯公式PPT課件內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 高斯公式及其應用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd應用:(1) 計算曲面積分 (非閉曲面時注意添加輔助面的技巧)(2) 推出閉曲面積分為零的充要條件: 0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxPA116高斯公式PPT課件2. 通量與散度 設向量場P, Q, R, 在域G內(nèi)有一階 連續(xù) 偏導數(shù), 則 向量場通過有向曲面 的通量為 G 內(nèi)任意點處的散度為 ),(RQPASnAdzRyQxPAdivA116高

15、斯公式PPT課件思考與練習思考與練習,:2222取外側(cè)設Rzyx所圍立體,222zyxr判斷下列演算是否正確?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)yxrzxzryzyrxdddddd333333vrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxdddddd33331Rvzyxd)(3222 為A116高斯公式PPT課件00cosrn00rn 備用題備用題 設 是一光滑閉曲面,所圍立體 的體 是 外法線向量與點 ( x , y , z ) 的向徑,222zyxr試證.dcos31VSr證證: 設 的單位外法向量為 ,cos,cos0n,0rzryrxr則coscoscosrzryrxSrdcos31Szyxdcoscoscos31vd331V的