初三數(shù)學中考復習：二次函數(shù)中特殊三角形的存在問題

1、特別三角形存在性問題一、等腰三角形存在性問題【例 4】 如圖，拋物線y x2 mxn 與 x 軸交于 a， b 兩點，與 y 軸交于點c，拋物線的對稱軸交x 軸于點 d，已知 a 1，0 ，c0 ， 3 (1) 求拋物線的解析式解：把 a 1， 0 ，c0 ，3 代入y x2mxn，得解得拋物線的解析式為y x2 2x3.(2) 判定 acd 的外形，并說明理由先確定點 d 的坐標，求出 acd 的各邊長，然后判定 acd 的外形 解： acd 是等腰三角形由1 知，拋物線的對稱軸為x1， d1 ，0 a 1，0 ，c0 ，3 ， ad 2， ac， cd . ac cd. acd 是等腰三角

2、形(3) 在拋物線的對稱軸上是否存在點p，使 pcd 是以 cd 為腰的等腰三角形？假如存在，求出p 點的坐標；假如不存在，請說明理由先找出全部符合條件的點， 然后再求線段長確定p 點坐標解：由 2 知 cd. cdp 是以 cd 為腰的等腰三角形， cp1dp2dp3 cd.過點 c 作 cm 垂直對稱軸于 m， mp1 md 3. dp1 6.符合條件的點p 的坐標為 1 ，6 ，1 ， ，1 ， (4) 點 p 是線段 bc 上的一動點，是否存在這樣的點p，使 pcd 是等腰三角形？假如存在，求出p 點的坐標，假如不存在，請說明理由先求出 bc 的解析式，分三種情形爭論運算出m.解： b

3、3 ， 0 ，c0 ， 3 ，直線 bc 的解析式為 y x 3.設點 p m， m 3 m 0 c0 ，3 ， d1 ，0 ，222222 cp 2m ，dp m1 m 3 ， cd10. pcd 是等腰三角形：22當 cpdp 時，就 cp dp . 2m2 m1 2 m 3 2. m. p1.當 cpcd 時，就 cp2cd 2. 2m2 10. m或 m 舍去 p2 ， 3 當 dpcd 時，就 dp 2 cd 2 . m1 2 m 3 2 10. m4 或 m 0 舍去 p34 ， 1 綜上所述，符合條件的點p 的坐標為， ， 3 或4 ， 1 (5) 設拋物線的頂點為e，在其對稱軸

4、的右側的拋物線上是否存在點p，使得 pec 是等腰三角形？如存在，求出符合條件的點p 的坐標；如不存在，請說明理由分“以 ce 為底”和“以 ce 為腰”兩種情形爭論利用腰長相等列關系式，再結合拋物線解析式，求出點p 的坐標解：由 1 知， e 點坐標為 1 ， 4 ，對稱軸為直線x 1.如以 ce 為底邊，就 pepc.設點 p 的坐標為 x，y ，就2222 x 1 y4 x 3 y ，即 y4 x.又點 px， y 在拋物線上， 4 x x2 2x 3.解得 x. 1，應舍去 x， y 4 x .即點 p 的坐標為 .如以 ce 為一腰，由于點p 在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線的對稱性

5、可知，點 p 與點 c 關于直線 x1 對稱，此時 p 點坐標為 2 ，3 綜上所述，符合條件的點p 坐標為或 2 ，3 關于等腰三角形找點 作點 和求點的方法等腰三角形找點 作點 方法：以已知邊為邊長，作等腰三角形，運用“兩圓一線法”，在圖上找出存在點的個數(shù).問題找點等腰三角形已知點 a，b 和直線 l ，在 l 上求點 p，使 pab 為等腰三角形分別以點 a，b 為圓心，以線段 ab 長為半徑作圓，再作線段 ab 的垂直平分線，兩圓和垂直平分線與 l 的交點即為全部要求的 p 點等腰三角形求點方法：以已知邊為邊長，在拋物線或坐標軸或對稱軸上找點， 與已知點構成等腰三角形，先設所求點的坐標

6、，然后求出三點間的線段長度，分不同頂點進行爭論二、直角三角形的存在性問題【例 5】 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yax22x c 與 x 軸交于 a 1，0 ，b3 ，0 兩點，與 y 軸交于點 c，點 d 是該拋物線的頂點2(1) 求拋物線的解析式和直線ac 的解析式；解：把 a 1，0 ，b3 ，0 代入yax 2x c，得解得2拋物線的解析式為y x 2x3.設 ac 的解析式為 y kx3.把 a 1， 0 代入解析式，得k3.直線 ac 的解析式為 y3x3.(2) 動點 e 在 y 軸上移動，當 eac 是以 ac 邊為直角邊的直角三角形時，求點e 的坐標22222解：設 e

7、的坐標為 0 ，t ac oa oc 1 3 10，22222eaoa oe 1 t ，22ce 3 t .222在 rteac 中， ac ea ce ， 101 2t2 3 t 2， 解得 t . 點 e 的坐標為 .(3) 摸索究： 在拋物線上是否存在點 p，使以點 a，p，c 為頂點， ac 為直角邊的三角形是直角三角形？如存在，懇求出符合條件的點 p 的坐標；如不存在，請說明理由分直角頂點在點a 處和點 c 處兩種情形爭論解：存在直角頂點在點c 處如圖，過點 c 作 cqac 交 x 軸于點 q， acq 為直角三角形 又 coaq， coa qoc. . a 1，0 ，c0 ，3

8、， oa 1， oc 3. oq 9. q9 ，0 由 c0 ，3 ，q9 ， 0 可求出直線 cq 的解析式為y x3.聯(lián)立方程解得 x10 舍去 ，x2 .當 x時， y. p1.直角頂點在點a 處如圖，過點 a 作 ap2cq 交拋物線于點p2.設直線 ap2 的解析式為 y x b， 把 a 1， 0 代入解析式，得× 1 b0， b .直線 ap2 的解析式為 y x .聯(lián)立方程解得 x1 1 舍去 ， x2 ， 當 x時， y . p2.綜上所述，符合條件的點p 的坐標為或 .(4) 在拋物線的對稱軸上是否存在一點p，使得以 b，c，p 為頂點的三角形為直角三角形？如存在

9、，試求出點p 的坐標；如不存在，請說明理由分直角頂點在點b 處、點 c 處和點 p 處三種情形爭論解：設點 p1 ，m ， b3 ， 0 ， c0 ，3 bc218，2222pb 1 3 m m 4，222pc 1 m32 m 6m 10.當以點 c 為直角頂點時，222bc pc pb ，即 18 m26m10 m24，解得 m4.當以點 b 為直角頂點時， bc2 pb2 pc2，即2218 m 4 m 6m 10，解得 m 2.22當以點 p 為直角頂點時，pb2 pc2 bc2，即 m 4 m 6m 10 18，解得m1 ， m2 .綜上，存在點p，使得以點 b，c， p 為頂點的三角

10、形為直角三角形，點p 的坐標為1 ， 4 ，1 ， 2 ， .（ 5）作直線 mn 平行于 x 軸，分別交線段ac， bc 于點 m，n. 問在 x 軸上是否存在點 p，使得 pmn 是等腰直角三角形？假如存在，求出全部滿意條件的p 點的坐標；假如不存在，請說明理由分三種情形進行爭論：pmn 90°， pm mn； pnm90°， pnmn； mpn90°， pmpn.解：存在設 m，n 的縱坐標為 m，由 b3 ，0 ，c0 ，3 可求出直線 bc 的解析式為 y x3. m，n3 m，m當 pmn90°， pmmn 時，如圖 1 所示， mn，pmm

11、， m， 解得 m，就 p 的橫坐標為 . p.當 pnm90°， pnmn 時，同理可得 p.當 mpn90°， pmpn 時，作 mn 的中點 q，連接 pq，就 pqm.又 pmpn， pq mn.就 mn2pq，即2m， 解得 m，點 p 的橫坐標為 . p.綜上，存在點 p 使得 pmn 是等腰直角三角形，點p 的坐標為，或 .關于直角三角形找點和求點的方法 找點：以已知邊為邊長，作直角三角形，運用兩線一圓法，在圖上找出存在點的個數(shù)所謂的“兩線”就是指以已知邊為直角邊，過已知邊的兩個端點分別作垂線與拋物線或坐標軸或對稱軸的交點，就是所求的點；“一圓”就是以已知邊為

12、直徑， 以已知邊的中點作圓， 與拋物線或坐標軸或對稱軸的交點即為所求的點 求點：以兩定點為直角頂點時，兩直線相互垂直，就 k1 ·k2 1；以已知線段為斜邊時， 利用 k 型圖， 構造雙垂直模型， 最終利用三角形相像求解， 或者三條邊分別用代數(shù)式表示之后，利用勾股定理求解212021 ·濰坊 如圖 1，拋物線 y1 ax xc 與 x 軸交于點 a 和點 b1 ，0 ， 與 y 軸交于點 c，拋物線 y1 的頂點為 g，gmx 軸于點 m. 將拋物線 y1 平移后得到頂點為 b 且對稱軸為直線 l 的拋物線 y2.(1) 求拋物線 y2 的解析式；(2) 如圖 2，在直線

13、l 上是否存在點 t，使 tac 是等腰三角形？如存在，懇求出全部點 t 的坐標；如不存在，請說明理由；(3) 點 p 為拋物線 y1 上一動點，過點 p 作 y 軸的平行線交拋物線 y2 于點 q， 點 q 關于直線 l 的對稱點為 r. 如以 p， q，r 為頂點的三角形與 amg 全等，求直線 pr 的解析式解： 1 依據(jù)題意，得解得 a，所以，拋物線 y1的解析式為 y x2x.1拋物線 y1 平移后得到拋物線y2，且頂點為 b1 ，0 ，拋物線 y2的解析式為 y x1 2 ，22即 y2 x x.(2) 拋物線 y2 的對稱軸 l 為 x 1，設 t1 ， t ，已知 a 3， 0

14、 ，c，過點 t 作 tey 軸于 e，連接 tc，ta，就22222tc te ce 1 t t，2222222ta tb ab t 1 3 t 16，ac .2當 tcac 時，即 t t， 解得 t1， t2 ；當 taac 時，得 t216，無解；22當 tatc 時，得 t t t 16，解得 t3 .綜上所述，在拋物線y2 的對稱軸 l 上存在點 t，使 tac是等腰三角形，此時t 點的坐標為t1 ，t2，t3.(3) 設 p，就 q.q，r 關于 x1 對稱，r.情形一：當點 p 在直線 l 的左側時，2pq m m1m，qr 2 2m.又由于以 p，q， r 構成的三角形與 a

15、mg 全等， 當 pqgm 且 qram 時， m0，可求得 p，即點 p 與點 c 重合r. 設 pr 的解析式為 y kxb，就有解得 k，即 pr 的解析式為 y x.當 pqam 且 qrgm 時，無解 情形二：當點 p 在直線 l 右側時，p q m2mm1，qr 2m 2， 同理可得 p， r .p r的解析式為y x.綜上所述，pr 的解析式為 y x或 y x.22.2021 ·海南 如圖 1，拋物線 y ax bx3 交 x 軸于點 a 1， 0 和點 b3 ，0 (1) 求該拋物線所對應的函數(shù)解析式；(2) 如圖 2，該拋物線與 y 軸交于點 c，頂點為 f，點

16、d2 ，3 在該拋物線上求四邊形 acfd 的面積；點 p 是線段 ab 上的動點 點 p 不與點 a，b 重合 ，過點 p 作 pqx 軸交該拋物線于點q，連接 aq， dq，當 aqd 是直角三角形時，求出全部滿意條件的點q 的坐標解： 1 依據(jù)題意，得解得2拋物線的解析式為y x 2x 3.2 如答圖 1，連接 cd，22y x 2x3 x 1 4， f1 ，4 c0 ，3 ，d2 ， 3 ，cd2，且 cd x 軸s 四邊形 acfd s acdsfcdcd× yfya× 2×44.點 p 在線段 ab 上， daq 不行能為直角當 aqd 為直角三角形時

17、，有adq 90°或 aqd90°，如答圖 2 所示 . 當 adq90°時，就 dqad.a 1， 0 ，d2 ，3 ，直線 ad 的解析式為yx1.可設直線 dq 的解析式為y x b.把 d2 ， 3 代入上式可求得b 5，直線 dq 的解析式為 y x5.聯(lián)立直線 dq 和拋物線的解析式可得解得q1 ，4 2. 當 aqd90°時，設 q t， t 2t3 ， 設直線 aq 的解析式為 y k1 xb1，把 a，q 坐標代入上式可得，解得 k1 t 3 設直線 dq 的解析式為 yk2x b2，同理可求得k2 t. aqdq，k1k2 1，即 t

18、 t 3 1，解得 t.當 t時， t22t3； 當 t時， t22t3.q 點坐標為 ， 或 ， 綜上可知 q 點坐標為 1 ，4 或 ， 或 ， 232021 ·邵陽 如下列圖，將二次函數(shù)yx 2x1 的圖象沿 x 軸翻折，然后向右平移 1 個單位，再向上平移4 個單位，得到二次函數(shù)yax2 bxc 的圖象函數(shù) y x22x1 的圖象的頂點為點a. 函數(shù) yax2 bxc 的圖象的頂點為點 b，并和 x 軸的交點為點c，d 點 d 位于點 c 的左側 (1) 求函數(shù) y ax2 bxc 的解析式；(2) 從點 a，c，d 三個點中任取兩個點和點b 構造三角形，求構造的三角形是等腰

19、三角形的概率；(3) 如點 m 是線段 bc 上的動點，點 n 是 abc 三邊上的動點，是否存在以am 為斜邊的 rtamn，使 amn 的面積為 abc 面積的. 如存在，求tanman 的值；如不存在，請說明理由222解： 1 y x 2x1 x1的圖象沿 x 軸翻折，得 y x1 .22把 y x1向右平移 1 個單位，再向上平移4 個單位，得 y x 4.所求的函數(shù) y ax2 bxc 的解析式為 y x24.2 從點 a， c，d 三個點中任取兩個點，能和點b 構造的三角形有 bac， bad， bcd.a， b， c，d 的坐標分別為 1，0 ， 0 ，4 ，2 ， 0 ， 2，0 可求得 ac3，ad1，cd4，ab， bc2，bd2，只有 bcd 為等腰三角形構造的三角形是等腰三角形的概率p.3 存在 s abc ac· ob× 3×46.當點 n 在邊 ac 上時，點 m 在邊 bc 上 在 rt amn 中， mn ac.設點 n 的坐標為 m，0 ，就 anm 1， 點 m 的橫坐標為 m.由 b0 ， 4 ，