第22課_特殊三角形

1、第第22課特殊三角形課特殊三角形 基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)1等腰三角形：等腰三角形： (1)(1)性質(zhì)：性質(zhì)： 相等，相等， 相等，底邊上的高線、中線、相等，底邊上的高線、中線、 頂角的角平分線頂角的角平分線“三線合一三線合一”； (2)(2)判定：有兩邊相等、兩角相等或兩線合一的三角形是等腰判定：有兩邊相等、兩角相等或兩線合一的三角形是等腰 三角形三角形2等邊三角形：等邊三角形： (1)(1)性質(zhì)：性質(zhì)： 相等，三內(nèi)角都等于相等，三內(nèi)角都等于 ； (2)(2)判定：三邊相等、三內(nèi)角相等或有一個(gè)角是判定：三邊相等、三內(nèi)角相等或有一個(gè)角是60的等腰三的等腰三 角形是等邊三角形角形是等邊

2、三角形要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理兩腰兩腰兩底角兩底角三邊三邊603直角三角形：在直角三角形：在ABC中，中，C90. (1) (1)性質(zhì)：邊與邊的關(guān)系：性質(zhì)：邊與邊的關(guān)系：(勾股定理勾股定理)a2b2 ； (2)(2)角與角的關(guān)系：角與角的關(guān)系：AB ； (3)(3)邊與角的關(guān)系：邊與角的關(guān)系： 若若A30，則，則ac，bc； 若若ac，則，則A30； 若若A45，則，則abc； 若若ac，則，則A45； 斜邊上的中線斜邊上的中線mcR.其中其中R為三角形外接圓的半徑為三角形外接圓的半徑 (4)(4)判定：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形判定：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形

3、 的三邊長的三邊長a、b、c滿足滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三，那么這個(gè)三角形是直角三 角形；如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么角形；如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么 這個(gè)三角形是直角三角形這個(gè)三角形是直角三角形c290 難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源 1 1等腰三角形的特殊性等腰三角形的特殊性 “ “等邊對等角等邊對等角”是今后我們證明角相等的又一個(gè)重要依是今后我們證明角相等的又一個(gè)重要依據(jù)據(jù)“等等角對等邊角對等邊”可以判定一個(gè)三角形是等腰三角形，同時(shí)也是今后證可以判定一個(gè)三角形是等腰三角形，同時(shí)也是今后證明明兩條線段相等的重要依據(jù)兩條線段相等的重要依據(jù)

4、 等邊三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等邊三角等邊三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等邊三角形，等邊三角形擁有等腰三角形的所有性質(zhì)，但不分頂角、底角、形，等邊三角形擁有等腰三角形的所有性質(zhì)，但不分頂角、底角、腰、底邊因?yàn)榈冗吶切稳魏我粋€(gè)角都為腰、底邊因?yàn)榈冗吶切稳魏我粋€(gè)角都為6060，任何一條邊都，任何一條邊都可看做腰或底邊可看做腰或底邊 解答等腰三角形的有關(guān)問題時(shí)，常作輔助線，構(gòu)造出解答等腰三角形的有關(guān)問題時(shí)，常作輔助線，構(gòu)造出“三線三線合合一一”的基本圖形在添加輔助線時(shí)，要根據(jù)具體情況而定，表達(dá)的基本圖形在添加輔助線時(shí)，要根據(jù)具體情況而定，表達(dá)輔輔助線的語句，不能限制條件

5、過多，如一邊上的高并且要平分這條助線的語句，不能限制條件過多，如一邊上的高并且要平分這條邊；作一邊上的中線并且垂直平分這條邊；作一個(gè)角的平分線并邊；作一邊上的中線并且垂直平分這條邊；作一個(gè)角的平分線并且垂直對邊等等，這些都是不正確的且垂直對邊等等，這些都是不正確的 2 2直角三角形的特殊性直角三角形的特殊性 直角三角形是重要的基本圖形之一，它的特征和識別應(yīng)用非直角三角形是重要的基本圖形之一，它的特征和識別應(yīng)用非常廣泛，把勾股定理運(yùn)用到實(shí)際生活中解決實(shí)際問題，常常滲透常廣泛，把勾股定理運(yùn)用到實(shí)際生活中解決實(shí)際問題，常常滲透著數(shù)形結(jié)合、方程思想著數(shù)形結(jié)合、方程思想 在利用勾股定理時(shí)，一定要看清題中

6、所給的條件是不是直角在利用勾股定理時(shí)，一定要看清題中所給的條件是不是直角三角形，所給的邊是直角邊還是斜邊，如果題目無法確定是直角三角形，所給的邊是直角邊還是斜邊，如果題目無法確定是直角邊還是斜邊，則需要分類討論勾股定理的逆定理是把數(shù)轉(zhuǎn)化為邊還是斜邊，則需要分類討論勾股定理的逆定理是把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，是通過計(jì)算判定一個(gè)三角形是否為直角三角形形，是通過計(jì)算判定一個(gè)三角形是否為直角三角形 實(shí)際問題可根據(jù)實(shí)際情況轉(zhuǎn)化為直角三角形去解，圖中無直實(shí)際問題可根據(jù)實(shí)際情況轉(zhuǎn)化為直角三角形去解，圖中無直角時(shí)，可通過添加輔助線來構(gòu)造直角三角形若圖形中有特殊角時(shí)，可通過添加輔助線來構(gòu)造直角三角形若圖形中有特殊角，如角，

7、如3030、4545、6060的角，在作輔助線時(shí)，要注意保留其完的角，在作輔助線時(shí)，要注意保留其完整性，以便應(yīng)用特殊三角形的性質(zhì)整性，以便應(yīng)用特殊三角形的性質(zhì)基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1(2011濟(jì)寧濟(jì)寧)如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是5 cm和和6 cm，那么此三角形的周長是那么此三角形的周長是() A15 cm B16 cm C17 cm D16 cm或或17 cm 答案答案D 解析這個(gè)三角形的周長是解析這個(gè)三角形的周長是55616或或66517.2(2011銅仁銅仁)下列關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)敘述錯(cuò)誤的是下列關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)敘述錯(cuò)誤的是() A等腰三角形兩底角相

8、等等腰三角形兩底角相等 B等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互 相重合相重合 C等腰三角形是中心對稱圖形等腰三角形是中心對稱圖形 D等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形是軸對稱圖形 答案答案C 解析等腰三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形解析等腰三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形3(2011蕪湖蕪湖)如圖，已知如圖，已知ABC中，中，ABC45， F是高是高AD和和BE的交點(diǎn)，的交點(diǎn)，CD4，則線段，則線段DF的長度為的長度為() A2 B4 C3 D4 答案答案B 解析在解析在RtABD中，中，ABD45，可得，可得ADBD，易證

9、，易證BDF ADC，所以，所以DFCD4.5( (2011雞西雞西) )如圖，在如圖，在RtABC中，中，ABCB，BOAC，把，把ABC折疊，使折疊，使AB落在落在AC上，點(diǎn)上，點(diǎn)B與與AC上的點(diǎn)上的點(diǎn)E重合，展開后，重合，展開后，折痕折痕AD交交BO于點(diǎn)于點(diǎn)F，連結(jié)，連結(jié)DE、EF.下列結(jié)論：下列結(jié)論： tanADB2； 圖中有圖中有4對全等三角形；對全等三角形； 若將若將DEF沿沿EF折疊，折疊， 則點(diǎn)則點(diǎn)D不一定落在不一定落在AC上；上； BDBF； S四邊形四邊形DFOESAOF， 上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是() A1個(gè)個(gè) B2個(gè)個(gè) C3個(gè)個(gè) D4個(gè)個(gè)答案答案C題

10、型分類題型分類 深度剖析深度剖析【例【例 1】(1)(1)方程方程x29x180的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)三角形的周長為三角形的周長為() A12 B12或或15 C15 D不能確定不能確定 答案答案C 解析解方程解析解方程x29x180，得，得x13，x26，周長為，周長為36615，應(yīng)，應(yīng)選選C.(2)(2)如果等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是如果等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是80，那么頂角是，那么頂角是_度度 答案答案80或或20 解析頂角是解析頂角是80，或當(dāng)?shù)捉鞘?，或?dāng)?shù)捉鞘?0時(shí)，頂角是時(shí)，頂角是18028020.探究提高探究提高在等腰三角形中，如果沒有

11、明確底邊和腰，某一邊可以是底，在等腰三角形中，如果沒有明確底邊和腰，某一邊可以是底， 也可以是腰同樣，某一角可以是底角也可以是頂角，必須仔細(xì)分類討也可以是腰同樣，某一角可以是底角也可以是頂角，必須仔細(xì)分類討 論論題型一等腰三角形有關(guān)邊角的討論題型一等腰三角形有關(guān)邊角的討論 知能遷移知能遷移1(1)(2011株洲株洲)如圖，如圖， ABC中，中，ABAC，A36，AC的垂直平分線交的垂直平分線交AB于于E，D為垂足，連接為垂足，連接EC. 求求ECD的度數(shù)；的度數(shù)； 若若CE5，求，求BC長長解解解法一：解法一： DE垂直平分垂直平分AC， CEAE，ECDA36. 解法二：解法二： DE垂直平

12、分垂直平分AC， ADCD，ADECDE90. 又又DEDE，ADE CDE，ECDA36. 解法一：解法一： ABAC，A36，BACB72. ECDA36， BCEACBECD36， BEC180367272B， BCEC5. 解法二：解法二： ABAC，A36， BACB72， BECAECD72， BECB， BCEC5.(2)(2)(2011煙臺煙臺) )等腰三角形的周長為等腰三角形的周長為14，其一邊長為，其一邊長為4，那么，它，那么，它的底邊為的底邊為_ 答案答案4或或6 解析解析等腰三角形的底邊為等腰三角形的底邊為4；等腰三角形的兩腰為等腰三角形的兩腰為4時(shí)，時(shí)，則底邊等于則底

13、邊等于14446.題型二等腰三角形的性質(zhì)題型二等腰三角形的性質(zhì)【例【例 2】如圖，在等腰】如圖，在等腰RtABC中，中，BAC90，點(diǎn)，點(diǎn)D是是BC的中點(diǎn)，且的中點(diǎn)，且AEBF，試判斷，試判斷DEF的形狀的形狀解題示范解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：連接解：連接AD，在等腰，在等腰RtABC中，中， AD是中線，是中線， ADBC，DAEBAC45，ADBD. 又又BC45， BDAE.2.2分分 在在BDF和和ADE中，中， BDF ADE(SAS)44分分 DFDE，12. 又又3190， 2390，即，即EDF90. DEF也是等腰直角三角形也是等

14、腰直角三角形66分分 探究提高探究提高作等腰三角形的底邊中線，構(gòu)造等腰三角形作等腰三角形的底邊中線，構(gòu)造等腰三角形“三三線合一線合一”的基本圖形，是常見的輔助線的作法之一的基本圖形，是常見的輔助線的作法之一知能遷移知能遷移2 已知：如圖，已知：如圖，D是等腰是等腰ABC底邊底邊BC上一點(diǎn)，它到上一點(diǎn)，它到兩腰兩腰AB、AC的距離分別為的距離分別為DE、DF.當(dāng)當(dāng)D點(diǎn)在什么位置時(shí)，點(diǎn)在什么位置時(shí)，DEDF？并加以證明？并加以證明解當(dāng)點(diǎn)解當(dāng)點(diǎn)D在在BC的中點(diǎn)時(shí)，的中點(diǎn)時(shí)，DEDF. ABAC，BC. DEAB，DFAC， DEBDFC90. 點(diǎn)點(diǎn)D是是BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， BDCD， BDE CD

15、F(AAS)， DEDF.題型三等邊三角形題型三等邊三角形【例【例 3】(1)已知：如圖，已知：如圖，P、Q是是ABC邊邊BC上兩點(diǎn)，且上兩點(diǎn)，且BPPQQCAPAQ，求，求BAC的度數(shù)的度數(shù)解解APPQAQ，APQ是等邊三角形是等邊三角形 PAQ60，APQ60. APBP，BBAP6030. 同理：同理：CCAQ30， BAC306030120.(2)(2)(2010大興安嶺大興安嶺) )如圖所示，已知如圖所示，已知ABC和和DCE均是等邊均是等邊 三角形，點(diǎn)三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，在同一條直線上，AE與與BD交于點(diǎn)交于點(diǎn) O，AE與與CD交于點(diǎn)交于點(diǎn)G，AC與與BD交于點(diǎn)交于

16、點(diǎn)F，連接，連接OC、FG， 則下列結(jié)論：則下列結(jié)論： AEBD； AGBF； FGBE； BOCEOC. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)() A1個(gè)個(gè) B2個(gè)個(gè) C3個(gè)個(gè) D4個(gè)個(gè) 答案答案D解析由解析由BCD ACE， 可得可得AEBD成立；成立； 由由ACG BCF， 可得可得AGBF成立；成立； ACG BCF， CGCF， 又又ACD60， FCG是等邊三角形，是等邊三角形， CFG60ACB， FGBE成立；成立； 過過C畫畫CMBD，CNAE，垂足分別是，垂足分別是M、N， BCD ACE， CMCN， 點(diǎn)點(diǎn)C在在BOE的角平分線上，的角平分線上，OC平分平分BOE， 即即

17、BOCEOC成立成立探究提高探究提高在解題的過程中要充分利用等邊三角形特有的性在解題的過程中要充分利用等邊三角形特有的性質(zhì)，每個(gè)角都相等，每條邊都相等，這可以讓我們輕松找質(zhì)，每個(gè)角都相等，每條邊都相等，這可以讓我們輕松找到證明全等所需的條件到證明全等所需的條件知能遷移知能遷移3如圖，在等邊如圖，在等邊ABC中，點(diǎn)中，點(diǎn)D、E分別在邊分別在邊BC、AB上，且上，且BDAE，AD與與CE交于點(diǎn)交于點(diǎn)F. (1)(1)求證：求證：ADCE； (2)(2)求求DFC的度數(shù)的度數(shù)解解(1)(1)在等邊在等邊ABC中，中， ABAC，BACCBA60， 又又BDAE， ABD CAE， ADCE. (2)

18、(2)ABD CAE， BADECA. DFC是是AFC的外角，的外角， DFCECADAC BADDAC BAC60.題型四直角三角形、勾股定理題型四直角三角形、勾股定理【例【例 4】(1)如圖，已知如圖，已知ABC中，中，ABC90，ABBC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1、l2、l3上，且上，且l1、l2之間的距離為之間的距離為2，l2、l3之間的距離為之間的距離為3，則，則AC的長是的長是() A2 B2 C4 D7 答案答案A(2)(2)如圖，在鈍角三角形如圖，在鈍角三角形ABC中，中，BC9，AB17， AC10，ADBC，交，交BC的延長線

19、于的延長線于D，求，求AD 的長的長探究提高探究提高 在線段的長無法直接求出時(shí)，可利用另一線段把這一在線段的長無法直接求出時(shí)，可利用另一線段把這一線段表示出來，然后利用勾股定理得到一個(gè)方程，最后得解，線段表示出來，然后利用勾股定理得到一個(gè)方程，最后得解，這是利用勾股定理解決線段長的常用方法這是利用勾股定理解決線段長的常用方法知能遷移知能遷移4(1)如圖，直線如圖，直線l上有三個(gè)正方形上有三個(gè)正方形a、b、c，若，若a、c的面積分別為的面積分別為5和和11，則，則b的面積為的面積為() A4 B6 C16 D55 答案答案C(2)(2)(2011雞西雞西) )已知三角形相鄰兩邊長分別為已知三角形

20、相鄰兩邊長分別為20 cm和和 30 cm，第三邊上的高為，第三邊上的高為10 cm，則此三角形的面積，則此三角形的面積 為為_cm2.答題規(guī)范答題規(guī)范考題再現(xiàn)考題再現(xiàn)在在ABC中，高中，高AD和高和高BE相交于相交于H，且，且BHAC，求求ABC的度數(shù)的度數(shù)學(xué)生作答學(xué)生作答 解：如圖解：如圖1， 在在RtBHD和和RtACD中，中， CCAD90， CHBD90， HBDCAD. 又又BHAC，BHD ACD， BDAD. ADB90，ABC45. 9三角形的高可能在形外 圖1規(guī)范解答規(guī)范解答 解：這里的解：這里的ABC有兩種情況，有兩種情況，ABC是銳角是銳角( (圖圖1) )或或 ABC

21、是鈍角是鈍角( (圖圖2) ) 如圖如圖2，在，在RtBHD和和RtACD中，中， 易得易得DCADHB. 又又ACBH， DHB DCA， ADDB， DBA45， ABC135. 綜上：綜上：ABC45或或ABC135.圖2老師忠告老師忠告1同學(xué)們都知道，三角形的高有可能在形外，但在實(shí)際解同學(xué)們都知道，三角形的高有可能在形外，但在實(shí)際解題中，常因忽略這一點(diǎn)而造成錯(cuò)誤為什么常常會忽略三題中，常因忽略這一點(diǎn)而造成錯(cuò)誤為什么常常會忽略三角形的高可能在形外呢？一個(gè)主要原因就是同學(xué)們頭腦中角形的高可能在形外呢？一個(gè)主要原因就是同學(xué)們頭腦中已形成思維定勢，一畫三角形就不由自主地畫成銳角三角已形成思維定

22、勢，一畫三角形就不由自主地畫成銳角三角形，從而造成漏解的失誤形，從而造成漏解的失誤2在解答幾何問題時(shí)，如果沒有給出具體的圖形，都應(yīng)該在解答幾何問題時(shí)，如果沒有給出具體的圖形，都應(yīng)該先考慮是否有多種情況，有些命題在一種情況下成立是真先考慮是否有多種情況，有些命題在一種情況下成立是真命題，而在另一種情況下就可能不成立，是假命題命題，而在另一種情況下就可能不成立，是假命題1010易出錯(cuò)的等腰三角形問題易出錯(cuò)的等腰三角形問題 考題再現(xiàn)考題再現(xiàn)已知已知ABC是等腰三角形，由是等腰三角形，由A所引所引BC邊上的高邊上的高恰好等于恰好等于BC邊長的一半，試求邊長的一半，試求BAC的度數(shù)的度數(shù)學(xué)生作答學(xué)生作答

23、 圖3規(guī)范解答規(guī)范解答 解：題目中并沒有指明解：題目中并沒有指明BC是等腰是等腰ABC的底或腰的底或腰 當(dāng)當(dāng)BC為底時(shí)，可求得為底時(shí)，可求得BAC90； 當(dāng)當(dāng)BC為腰時(shí)，還應(yīng)對為腰時(shí)，還應(yīng)對B的大小進(jìn)行討論：的大小進(jìn)行討論：圖4 圖5 老師忠告老師忠告1對于等腰三角形問題，當(dāng)給出的條件對于等腰三角形問題，當(dāng)給出的條件(如邊、角情況如邊、角情況)不明不明時(shí)，一般要分情況逐一考察，否則，容易出現(xiàn)錯(cuò)解或漏解時(shí)，一般要分情況逐一考察，否則，容易出現(xiàn)錯(cuò)解或漏解的錯(cuò)誤的錯(cuò)誤2當(dāng)頂角是銳角時(shí)，腰上的高在三角形內(nèi)；當(dāng)頂角為直角當(dāng)頂角是銳角時(shí)，腰上的高在三角形內(nèi)；當(dāng)頂角為直角時(shí)，腰上的高與另一腰重合；當(dāng)頂角為鈍

24、角時(shí)，腰上的高時(shí)，腰上的高與另一腰重合；當(dāng)頂角為鈍角時(shí)，腰上的高在三角形外這是在解與等腰三角形腰上的高有關(guān)的問題在三角形外這是在解與等腰三角形腰上的高有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)考慮的幾個(gè)方面時(shí)，應(yīng)考慮的幾個(gè)方面. 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高方法與技巧方法與技巧 1. 1. 掌握分類的思想和方法，可深入理解，有效記憶，便于應(yīng)掌握分類的思想和方法，可深入理解，有效記憶，便于應(yīng)用例如：從三角形三邊長的比較，可把三角形分為不等邊三角用例如：從三角形三邊長的比較，可把三角形分為不等邊三角形和等腰三角形，等腰三角形又分為等邊三角形和其它等腰三角形和等腰三角形，等腰三角形又分為等邊三角形和其它等腰三角形；而從

25、最大內(nèi)角的大小出發(fā)，又可以把三角形分為銳角三角形、形；而從最大內(nèi)角的大小出發(fā)，又可以把三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形直角三角形和鈍角三角形 由于兩種分類的標(biāo)準(zhǔn)不同，所以一個(gè)具體的三角形，在兩種由于兩種分類的標(biāo)準(zhǔn)不同，所以一個(gè)具體的三角形，在兩種分類中，必各屬于其中的一類如等腰直角三角形，在第一種分分類中，必各屬于其中的一類如等腰直角三角形，在第一種分類中，屬于其它等腰三角形；在第二種分類中，屬于直角三角形類中，屬于其它等腰三角形；在第二種分類中，屬于直角三角形 2. 2. 在一個(gè)三角形中在一個(gè)三角形中“等邊對等角，等角對等邊等邊對等角，等角對等邊”，當(dāng)所要求，當(dāng)所要求證證的兩邊、兩角位于同一個(gè)三角形中，利用等腰三角形來論證它們的的兩邊、兩角位于同一個(gè)三角形中，利用等腰三角形來論證它們的相等關(guān)系是常用的方法相等關(guān)系是常用的方法 3. 3. 等腰三角形等腰三角形“三線合一三線合一”的性質(zhì)，運(yùn)用廣泛而又靈活，在的性質(zhì)，運(yùn)用廣泛而又靈活，在于于三線中只要有任兩線重合，則可判定三角形等腰，即第三線也重三線中只要有任兩線重合，則可判定三角形等腰，即第三線也重合合 4. 4. 證明等邊三角形的方法一般有兩種：一是直接論證三邊或證明等邊三角形的方法一般有兩種：一是直接論證三邊或三角相等；二是先證明是等腰三角形，再證明其中一角為三角相