奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

1、1第四節(jié) 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)2一、輻角定理：對于一個復(fù)變函數(shù))()()()()(2121nmpspspszszszsKsF式中-zi(i=1,2,m)為F(s)的零點(diǎn)， -pj(j=1,2,n)為F(s)的極點(diǎn)。柯西輻角原理：S平面上不通過F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線CS包圍S平面上F(s)的Z個零點(diǎn)和P個極點(diǎn)。當(dāng)s以順時針方向沿封閉曲線CS移動一周時，在F(s)平面上映射的封閉曲線CF將以順時針方向繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。N，Z，P的關(guān)系為：N=ZP。順時針FC平面)(sF示意圖平面s順時針sC3若N為正，表示CF順時針運(yùn)動，包圍原點(diǎn)；若N為0，表示CF順時針運(yùn)動，不包圍原點(diǎn)；若N為負(fù)，表示CF逆時針

2、運(yùn)動，包圍原點(diǎn)。函數(shù)F(s)是復(fù)變量s的單值函數(shù)，s可以在整個S平面上變化，對于其上的每一點(diǎn)，除有限(n)個極點(diǎn)外，函數(shù)F(s)都有唯一的一個值與之對應(yīng)。對于一個復(fù)變函數(shù))()()()()(2121nmpspspszszszsKsF例設(shè)： sssF2)() 1, 1(jds) 1, 0(jdf平面s平面)(sF124 F(s)的值域構(gòu)成的復(fù)平面稱為F(s)平面。其中S平面上的全部零點(diǎn)都映射到F(s)平面上的原點(diǎn)；S平面上的極點(diǎn)映射到F(s)平面上時都變成了無限遠(yuǎn)點(diǎn)。除了S平面上的零、極點(diǎn)之外的普通點(diǎn)，映射到F(s)平面上是除原點(diǎn)之外的有限點(diǎn)。注意，雖然函數(shù)F(s)從S平面到F(s)平面的映射是

3、一一對應(yīng)的，然而逆過程往往并非如此。例如已知 )2)(1()(sssKsF)()2)(1(sFKsss這個函數(shù)在有限的S平面上除S=0,1, 2以外均解析，除此三點(diǎn)外，S平面上的每一個S值在F(s)平面只有一個對應(yīng)點(diǎn)，但是F(s)平面上的每一個點(diǎn)在S平面上卻有三個映射點(diǎn)。最簡單的說明方式就是將方程改寫成)()()()()(2121nmpspspszszszsKsF5現(xiàn)考慮S平面上一點(diǎn)s1映射到F(s)平面上的點(diǎn)F(s1)可以用一個向量來表示，即當(dāng)njpsjjmizsjisFjjiepsezsKesFsF1)(11)(1)(11111)()(向量的幅值為njjmiipszssF11111)()(

4、)(njjmiipszsjnjjmiiepszsK1111)()(1111njjmiipszsKsF11111)()()(njjmiipszsKsF11111)(向量的相角為6ReImReImS平面F(s)平面)(s)(sF7當(dāng)S平面上動點(diǎn)s從s1經(jīng)過某曲線CS到達(dá)s2，映射到F(s)平面上也將是一段曲線CF ，該曲線完全由F(s)表達(dá)式和s平面上的曲線CS決定。若只考慮動點(diǎn)s從s1到達(dá)s2相角的變化量，則有21221111112121111111( )()( )()()()()()()()()()()mnmnijijijijmmnniijjiijjmnijijF sF sF sszspszs

5、pszszspspszsp sssF2)(例 2122112121( )()( )(2)(0)(2)(0)(2)(2)(0)(0)F sF sF sssssssss 8例設(shè)： ，當(dāng)s平面上的動點(diǎn)沿平行于虛軸的直線，從(-1，j1)到(-1，j0) ，映射到F(s)平面上的點(diǎn)將沿某曲線從(0，-j1)到(-1，-j0) ，相角的變化為：sssF2)(平面)(sF平面s12) 1, 1(jds) 1, 0(jdf2100000( )()( )0180(45135 )90F sF sF s 9現(xiàn)考慮S平面上既不經(jīng)過零點(diǎn)也不經(jīng)過極點(diǎn)的一條封閉曲線CS 。當(dāng)變點(diǎn)s沿CS順時針方向繞行一周，連續(xù)取值時，則

6、在F(s)平面上也映射出一條封閉曲線CF 。在S平面上，用陰影線表示的區(qū)域，稱為CS的內(nèi)域。由于我們規(guī)定沿順時針方向繞行，所以內(nèi)域始終處于行進(jìn)方向的右側(cè)。在F(s)平面上，由于CS映射而得到的封閉曲線CF的形狀及位置，嚴(yán)格地決定于CS 。順時針FC平面)(sF示意圖平面s順時針sC10 在這種映射關(guān)系中，有一點(diǎn)是十分重要的，即：不需知道圍線CS的確切形狀和位置，只要知道它的內(nèi)域所包含的零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)目，就可以預(yù)知圍線CF是否包圍坐標(biāo)原點(diǎn)和包圍原點(diǎn)多少次；反過來，根據(jù)已給的圍線CF是否包圍原點(diǎn)和包圍原點(diǎn)的次數(shù)，也可以推測出圍線CS的內(nèi)域中有關(guān)零、極點(diǎn)數(shù)的信息。111. 圍線CS既不包圍零點(diǎn)也不包

7、圍極點(diǎn)如圖所示，在S平面上當(dāng)變點(diǎn)s沿圍線CS按順時針方向運(yùn)動一周時，我們來考察F(S)中各因子項的輻角的變化規(guī)律。ABCDEFGH12平面s順時針SC123現(xiàn)以圖中未被包圍的零點(diǎn)-2為例。當(dāng)變點(diǎn)s沿CS繞行一周后，因子(s+2)的輻角a的變化為0。同理，對未被包圍的極點(diǎn)也是一樣，因子項(s+0) 的輻角b在變點(diǎn)s沿CS繞行一周后的變化也等于0。于是，映射到F(S)平面上，當(dāng)變點(diǎn)F(s)沿CF繞行一周后的輻角變化也應(yīng)等于0。這表明，圍線CF此時不包圍原點(diǎn)。ab122. 圍線CS只包圍零點(diǎn)不包圍極點(diǎn)如圖所示圍線CS包圍一個零點(diǎn)z=-2，先考察因子(s+2)輻角a，當(dāng)變點(diǎn)s沿CS順時針繞行一周時，a

8、的變化為-360。映射到F(S)平面上對應(yīng)變點(diǎn)F(S)沿CF繞行一周后的輻角變化也應(yīng)等于-360。同理，當(dāng)圍線CS的內(nèi)域包含Z個零點(diǎn)時(但不包含極點(diǎn))， CF應(yīng)順時針包圍原點(diǎn)Z次。ABCDEFGH12平面s順時針SCa13 圍線CS只包圍極點(diǎn)不包圍零點(diǎn)這種情況如圖所示，如果圍線CS包圍一個極點(diǎn) ，則當(dāng)變點(diǎn)s沿CS順時針繞行一周時，因子(s+0)-1的輻角-b將變化360。映射到 F(S)平面上，圍線CF應(yīng)逆時針包圍原點(diǎn)一次。同理，當(dāng)圍線CS的內(nèi)域只包含P個極點(diǎn)時， CF應(yīng)逆時針包圍原點(diǎn)P次，或者說， CF順時針包圍原點(diǎn)P次。ABCDEFGH12平面s順時針SCb14 圍線CS包圍Z個零點(diǎn)和P個

9、極點(diǎn)由上述討論顯然可知，當(dāng)變點(diǎn)s沿CS順時針繞行一周時，CF應(yīng)順時針包圍原點(diǎn)ZP次。亦即CF順時針包圍原點(diǎn)次數(shù)N=ZP。這就是所謂輻角原理。ABCDEFGH12平面s順時針SC15柯西輻角原理：S平面上不通過F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線CS包圍S平面上F(s)的Z個零點(diǎn)和P個極點(diǎn)。當(dāng)s以順時針方向沿封閉曲線CS移動一周時，在F(s)平面上映射的封閉曲線CF將以順時針方向繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。N，Z，P的關(guān)系為：N=ZP。若N為正，表示CF順時針運(yùn)動，包圍原點(diǎn)；若N為0，表示CF順時針運(yùn)動，不包圍原點(diǎn)；若N為負(fù)，表示CF逆時針運(yùn)動，包圍原點(diǎn)。16二、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)： 奈奎斯特當(dāng)年就是巧妙地應(yīng)用了輻角

10、原理得到了奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示)()()(sHsGsGk)()(1)()(sHsGsGs)(sR)(sC)(sG)(sH令：)()()(,)()()(2211sNsMsHsNsMsG則開環(huán)傳遞函數(shù)為：)()()()()(2121sNsNsMsMsGk (a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：212121)(NNMMNMs (b)17 顯然，令復(fù)變函數(shù)等于零即是閉環(huán)特征方程。復(fù)變函數(shù)的階數(shù)為n階，且分子分母同階。則復(fù)變函數(shù)可寫成以下形式：njjniipszssF11)()()(。式中， 為F(s)的零、極點(diǎn)。jipz ,由上頁(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的極點(diǎn)為F(s)的零點(diǎn)為將閉

11、環(huán)特征式與開環(huán)特征式之比構(gòu)成一個復(fù)變函數(shù)，得：kGGHNMNMNNNNMMsF111)(2211212121.(c)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；18 奈奎斯特為了應(yīng)用柯西輻角原理研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此設(shè)想： 如果有一個s平面的封閉曲線能包圍整個s右半平面，則根據(jù)柯西輻角原理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點(diǎn)的次數(shù)應(yīng)為： N=F(s)的右半零點(diǎn)數(shù)F(s)的右半極點(diǎn)數(shù) =閉環(huán)系統(tǒng)右半極點(diǎn)數(shù)開環(huán)系統(tǒng)右半極點(diǎn)數(shù)當(dāng)已知開環(huán)右半極點(diǎn)數(shù)時，便可由N判斷閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。19這里需要解決兩個問題：1、如何構(gòu)造一個能夠包圍整個s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西輻角條件的？2、如何確定相

12、應(yīng)的映射F(s)對原點(diǎn)的包圍次數(shù)N，并將它和開環(huán)頻率特性Gk(jw)相聯(lián)系？ 正虛軸：0wwjs第1個問題：先假設(shè)F(s)在虛軸上沒有零、極點(diǎn)。按順時針方向做一條曲線CS包圍整個s右半平面，這條封閉曲線稱為奈奎斯特路徑。如下圖所示。它可分為三部分：wjew0sC22從，ReRsj 右半平面上半徑為無窮大的半圓：0wwjs 負(fù)虛軸：20F(s)平面上的映射是這樣得到的： 以 s=Rej 代入F(s)，令R， : ，得第二部分的映射；22 得到映射曲線后，就可由柯西輻角定理計算 N = ZP，式中Z、P是F(s)在s右半平面的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)。 若已知P，并能確定N，可求出Z = N + P 。當(dāng)Z

13、 = 0時，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。 以 s = jw 代入F(s)，令w 從0變化，得第一部分的映射； 以 s = jw 代入F(s)，令w從0 ，得第三部分的映射。21F(s)對原點(diǎn)的包圍，相當(dāng)于Gk(s)對(-1,j0)的包圍；即映射曲線F(s)對原點(diǎn)的包圍次數(shù)N與Gk(s)對(-1,j0)點(diǎn)的包圍的次數(shù)一樣。 第部分的映射是Gk(jw)曲線向右移1；F(s)的極點(diǎn)就是Gk(s)的極點(diǎn)，因此F(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)就是Gk(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。由Gk(jw)可求得F(jw) ，而Gk(jw)是開環(huán)頻率特性。第2個問題：如何確定相應(yīng)的映射F(s)對原點(diǎn)的包圍次數(shù)N，并將它和開環(huán)頻率特性

14、Gk(jw)相聯(lián)系？ 奈奎斯特所構(gòu)造的的F(s)1Gk(s)，Gk(s)為開環(huán)傳遞函數(shù)。第部分的映射，一般在Gk(s)中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當(dāng)s=ej 時， Gk(s)0，即F(s)=1。若分母階數(shù)=分子階數(shù)，則Gk(s)K(零極點(diǎn)形式的開環(huán)增益)，即F(s)=1+K。第部分的映射是第部分的映射關(guān)于實軸的對稱。2223奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有P個極點(diǎn)，且開環(huán)頻率特性曲線對(1，j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)為N，（N 0順時針，N 0 逆時針），則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：Z = N + P。若Z = 0 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。奈奎斯特穩(wěn)定判

15、據(jù)的另一種描述： 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)Gk(s)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：在 Gk(s)平面上的開環(huán)頻率特性曲線及其鏡象當(dāng)w從變化到+時，將以逆時針的方向圍繞(1，j0)點(diǎn)P圈。 對于開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的情況，P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是開環(huán)頻率特性曲線及其鏡象不包圍(1，j0)點(diǎn)。 不穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：Z = N + P。24例5-6開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。) 1)(1()(21sTsTKsGk解：22222111)(wwwTTKA)1)(1 ()1 ()(222221221wwwwTTTTKPwww211

16、1)(TtgTtg)1)(1 ()()(22222121wwwwTTTTKQ0)()(0)()(0wwwwwQKPKA，時當(dāng)212121)(10)(TTTTKQTTPwww，此時，解得令0)(0)()(0)(wwwwwQPA，時當(dāng)25 當(dāng)參數(shù)K，T1和T2為任何正值時， P = 0 。 開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右。在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為0，繞(1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)N = 0，則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個數(shù)： Z = N + P = 0 。故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 另外，作為對比可求出閉環(huán)傳遞函數(shù)01)(21221KsTTsTT 由勞思赫爾維茨判據(jù)知閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。26例5-7設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： ，試用

17、奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。)52)(2()(2sssKsGk22224)5(4)(wwwwKA222222)9()410()410()(wwwwwKP211522)(wwwwtgtg0)(10)(0)(10)(0wwwwwQKPKA，時當(dāng)5 . 65 . 2)5 . 2(5 . 20)(KQP，此時，解得令ww0)(0)(270)(0)(wwwwwQPA，時當(dāng)解：222222)9()410()9()(wwwwwwKQ26) 3(300)(KPQ，此時和，解得令www27當(dāng)K=52時，開環(huán)極點(diǎn)為1，1j2，都在s左半平面，所以P = 0。奈氏圖如右。從圖中可以看出：奈氏圖順時針圍繞 (1，j

18、0)點(diǎn)2圈。所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點(diǎn)數(shù)為： Z = N + P = 2 ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。若要系統(tǒng)穩(wěn)定，則126) 3(KP即K 26時，奈氏圖不圍繞 (1，j0)點(diǎn)。當(dāng)K 1，則要求K 10。于是系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為10 K 26。28 上述結(jié)論同樣可由勞思赫爾維茨判據(jù)得到。0109423Ksss勞斯陣：KKKssss100426104910123 要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則第一列都大于0于是得： 10 K 1時,奈氏曲線逆時針包圍 (1，j0)點(diǎn)一圈，N=1，而P = 1，則Z = N + P = 0閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 顯然，K 1時，包圍 (1，j0)點(diǎn)，K 1時不包圍(1，j0)點(diǎn)。 K=1時穿

19、過(1，j0)點(diǎn)。當(dāng)K=1時，奈氏曲線通過(1，j0)點(diǎn)，屬臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)K0時，由題知P=1，圖知N=1，Z=N+P=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)K0時，由題知P=1，圖知N=0，Z=N+P=1，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。38例已知非最小相位系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。不穩(wěn)定時求出閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。2)(1)(wwwTKA1)(22wwTKTP)()(90)()(0wwwwwQKTPA，時當(dāng)0)(0)(0)(0)(wwwwwQPA，時當(dāng)解：) 1)(22wwwTKQ（)1 ()(TssKGkwwwwTtgTtg1190)90)(（39當(dāng)K0時，由題知P=1，圖知N=0，Z=N+P=1，閉環(huán)系

20、統(tǒng)不穩(wěn)定。40奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用步驟確定開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)P；畫出開環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖（包括正負(fù)頻率及s平面中特定路徑在Gk(s)平面的映射）；確定N；計算Z=N+P，當(dāng)Z=0時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)Z0時閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，當(dāng)Z0時計算有誤。41例已知非最小相位系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。不穩(wěn)定時求出閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。)4)(2() 1()(sssKsGk1641)(222wwwwKA)16)(4()58()(222wwwwKP0)(8)(180)(8)(0wwwwwQKPKA，時當(dāng)0)(0)(90)(0)(wwwwwQPA，時當(dāng)解：)4180()2180()180()(111wwwwtgt

21、gtg11118024tgtgtgwww )16)(4()2()(222wwwwwKQ6)2(8)0(200)(KPKPQ和，對應(yīng)和，解得令www42 當(dāng)K6時，奈氏曲線不包圍(1，j0)點(diǎn)，N=0，Z=N+P=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。(1，j0) (1，j0)(1，j0) 開環(huán)系統(tǒng)有2個右極點(diǎn)，P=2。 當(dāng)6K8時，奈氏曲線逆時針包圍(1，j0)點(diǎn)1圈，N=1，Z=N+P=1,系統(tǒng)不穩(wěn)定。 只有當(dāng)開環(huán)增益保持在一定范圍內(nèi)才穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。43例5-9設(shè)型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：顯然這是型系統(tǒng)。先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的

22、映射曲線。w 0w1w 0w從圖上看出：映射曲線順時針包圍(1，j0)一圈，逆時針包圍(1，j0)一圈，所以N=11=0，而P=0，故Z=N+P=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。條件穩(wěn)定系統(tǒng)例能否只畫出正頻率部分的極坐標(biāo)圖來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性44通常，只畫出w從0+的開環(huán)奈氏圖，這時閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點(diǎn)數(shù)為：Z = 2N + P = 0。式中，N 為w從0+變化時，開環(huán)奈氏圖順時針包圍(1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)。111不包圍(1，j0)點(diǎn)， N =00型系統(tǒng)包圍(1，j0)點(diǎn)， N =1型系統(tǒng)和型系統(tǒng)對應(yīng)的奈奎斯特路徑分別為：0ww 0ww45這時奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可以描述為：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)Gk(

23、s)在右半平面的極點(diǎn)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)w 從+時，頻率特性曲線在實軸(，1)段的正負(fù)穿越次數(shù)差為P。若只畫正頻率特性曲線，則正負(fù)穿越次數(shù)差為P/2。 頻率特性曲線對(1，j0)點(diǎn)的包圍情況可用頻率特性的正負(fù)穿越情況來表示。當(dāng)w 增加時，頻率特性從上半 s 平面穿過負(fù)實軸的(，1)段到下半 s 平面，稱為頻率特性對負(fù)實軸的(，1)段的正穿越（這時隨著w 的增加，頻率特性的相角也是增加的）；意味著逆時針包圍(1，j0)點(diǎn)。反之稱為負(fù)穿越。1正穿越負(fù)穿越NNN)(22NNNN46w 0w111147四、在對數(shù)坐標(biāo)圖上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性： 開環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖（奈氏圖）和對數(shù)坐標(biāo)圖（波德

24、圖）有如下的對應(yīng)關(guān)系：1、 奈氏圖上單位圓對應(yīng)于對數(shù)坐標(biāo)圖上的零分貝線； A(w)=1，20lg A(w)=0 。2、 奈氏圖上的負(fù)實軸對應(yīng)于對數(shù)坐標(biāo)圖上的-180度相位線。 奈氏圖頻率特性曲線在(，1)上的正負(fù)穿越在對數(shù)坐標(biāo)圖上的對應(yīng)關(guān)系：在對數(shù)坐標(biāo)圖上L(w) 0( A(w) 1)的范圍內(nèi)，當(dāng)w 增加時，相頻特性曲線從下向上穿過180度相位線稱為正穿越。因為相角值增加了。反之稱為負(fù)穿越。48對照圖如下：正穿越負(fù)穿越)(w)(wLwwcw1正穿越負(fù)穿越相角方向為正w增加時，相角增大對數(shù)坐標(biāo)圖上奈氏穩(wěn)定判據(jù)如下： 設(shè)開環(huán)頻率特性 在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：對數(shù)坐標(biāo)圖

25、上幅頻特性 的所有頻段內(nèi)，當(dāng)頻率增加時，對數(shù)相頻特性對-180度線的正負(fù)穿越次數(shù)差為P/2。閉環(huán)系統(tǒng)右半s極點(diǎn)數(shù)為： ，式中 為負(fù)、正穿越次數(shù)差。若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若Z0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。)(sGk0)(wLPNZ 2N49五、最小相位系統(tǒng)的奈氏判據(jù)：開環(huán)頻率特性 在s右半平面無零點(diǎn)和極點(diǎn)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件可簡化為：奈氏圖（開環(huán)頻率特性曲線）不包圍(-1,j0)點(diǎn)。因為若N=0，且P=0，所以Z=0。)(sGk1cwgw)(cw奈氏圖幅值和相角關(guān)系為：當(dāng) 時，1)(wA180)(,ccwww當(dāng) 時，180)(w1)(gAw式中， 分別稱為相角、幅值穿越

26、頻率cgww,cwgw)(w)(wLww上述關(guān)系在對數(shù)坐標(biāo)圖上的對應(yīng)關(guān)系:當(dāng) 時，0)(wL180)(cw當(dāng) 時，180)(gw0)(wL50純時延系統(tǒng)的奈氏判據(jù)純時延系統(tǒng)的奈氏判據(jù) 一般來說，系統(tǒng)中帶有純時延環(huán)節(jié)后，系統(tǒng)的穩(wěn)定性要變差。這時，由于純時延環(huán)節(jié)在傳遞函數(shù)關(guān)系式中表示為 ，所以系統(tǒng)的特征方程不再是常系數(shù)了，因此，勞斯判據(jù)不再適用了，但是奈奎斯特判據(jù)可以很容易地用于具有純時延環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的判穩(wěn)中。sTde設(shè)帶有純時間延遲的反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為sTkdesHsGsHsGsG)()()()()(11)()()(11sHsGsGk3 .57)()()(11wdkTsHsGsG 原則上

27、，畫出Gk(s)的奈奎斯特圖，然后觀察該圖與復(fù)平面上的(-1,j0)點(diǎn)的關(guān)系，就可以研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。51 可見延遲環(huán)節(jié)不影響幅頻特性而只影響相頻特性。 原來不含純時延環(huán)節(jié)的頻率特性若是穩(wěn)定的(不包圍(-1,j0)點(diǎn))，當(dāng)含有純時延環(huán)節(jié)后，可能就包圍(-1,j0)點(diǎn)，使系統(tǒng)成為不穩(wěn)定。 在控制系統(tǒng)中，隨著w趨于無窮，Gk(s)的幅值一般趨于零，因此Gk(s)的奈奎斯特圖隨著w趨于無窮總是以螺旋狀趨于原點(diǎn)，并且與Gk(s)平面的負(fù)實軸有無限多交點(diǎn)。因此，若要使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，Gk(jw)圖與實軸的所有交點(diǎn)必須位于(-1,j0)點(diǎn)的右側(cè)。52例： 確定臨界穩(wěn)定時的延遲)2)(1()()()(11ss

28、seesHsGsGssTkd 對于本題增益已定，要尋找臨界穩(wěn)定時的延遲。畫出分別為0，0.8，2，4的奈奎斯特圖 由圖可見，當(dāng)延遲為零時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。隨著的增加穩(wěn)定狀況惡化，當(dāng)=2s時，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定的邊緣，此時奈奎斯特圖在(-1,j0)點(diǎn)附近穿過負(fù)實軸。顯然只要略大于2s系統(tǒng)將不穩(wěn)定。解：53 和有理函數(shù)的情況不同，這時不能用解析法求取極坐標(biāo)圖與負(fù)實軸的交點(diǎn)。此時實頻特性和虛頻特性如下：)4)(1 (sin)2(cos3)(222wwwwwwwwP)4)(1 (sin3cos)2()(222wwwwwwwwQ可見決定交點(diǎn)的方程不再是代數(shù)方程了。而此時幅頻特性和相頻特性如下：22411)

29、(wwwwAwwww22)(11tgtg可見延遲環(huán)節(jié)不影響幅頻特性而只影響相頻特性。54令 得 ，利用牛頓迭代公式1)(wA0145246wwwkkkkkkkkwwwwwwww8206145352461可解得w =0.445747959632，代入 (w)且令 (w)=，可得 =2.0913030665342.09，此時系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。由于延遲環(huán)節(jié)不影響幅頻特性而只影響相頻特性。因此利用采用Bode圖的方法很容易求出交點(diǎn)。5556例： 確定臨界穩(wěn)定時的增益K。解：對于本題延遲已定，要尋找臨界穩(wěn)定時的增益，可根據(jù)增益不影響相頻特性而只影響幅頻特性的特點(diǎn)來求取。)2)(1()()()(11sssKe

30、esHsGsGssTkd2241)(wwwwKAwwww22)(11tgtg令 (w)=，可得wwww22)(11tgtg牛頓迭代公式為142112222111kkkkkkktgtgwwwwwww可解得w =0.6640429384，代入A(w)且令A(yù)(w)=1，可得K=1.679806137423，即當(dāng)K=1.68時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。57非單位反饋系統(tǒng)有零極點(diǎn)對消時的奈氏判據(jù))(sR)(sC)(sG)(sH)(1sH)(sR)(sC)()(sHsG注意：教材p177是針對單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(即前項通道傳遞函數(shù))建立的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。這時，只有當(dāng)由開環(huán)傳遞函數(shù)構(gòu)成的單位反饋系統(tǒng)穩(wěn)定且1

31、/H(s)也穩(wěn)定時，原非單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)才穩(wěn)定。 實際上當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中的前項通道傳遞函數(shù)與反饋傳遞函數(shù)沒有零極點(diǎn)對消時，可直接在開環(huán)傳遞函數(shù)極坐標(biāo)圖上用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中的前項通道傳遞函數(shù)與反饋傳遞函數(shù)有零極點(diǎn)對消時，可將結(jié)構(gòu)圖變換如下：58多回路系統(tǒng)的奈氏判據(jù) 首先應(yīng)判斷其局部反饋部分(即內(nèi)環(huán))的穩(wěn)定性。 然后根據(jù)內(nèi)環(huán)部分在右半 s 平面的極點(diǎn)數(shù)和整個系統(tǒng)其余部分在右半 s 平面的極點(diǎn)數(shù)判別整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。多環(huán)控制系統(tǒng)需要多次利用奈奎斯特判據(jù)才能最后確定整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。59虛軸上有極點(diǎn))2(1100)(22wwwwA020290)(111wwwwt

32、gtgtg2227090)(11wwwwwtgtg 90)0(74.144)2(74.324)2(360)(2)1)(100)(2ssssGk已知開環(huán)傳遞函數(shù) ，用奈氏判據(jù)判穩(wěn)。解：取奈氏路徑如圖)0(A)2(A)2(A0)(A60P=0，奈氏曲線順時針包圍(1，j0)點(diǎn)2圈，N=2，Z=N+P=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。61)()()(sHsGsGk)()(1)()(sHsGsGs)(sR)(sC)(sG)(sH令：)()()()()()(2211sNsMsHsNsMsG，則開環(huán)傳遞函數(shù)為：)()()()()(2121sNsNsMsMsGk閉環(huán)傳遞函數(shù)為：212121)(NNMMNMs將閉環(huán)特征式

33、與開環(huán)零點(diǎn)多項式之比構(gòu)成一個復(fù)變函數(shù)，得：kGHGMNMNMMNNMMsF111111)(2211212121應(yīng)用于逆極坐標(biāo)圖上的奈氏穩(wěn)定判據(jù)：應(yīng)用于逆極坐標(biāo)圖上的奈氏穩(wěn)定判據(jù)：62當(dāng)奈奎斯特路徑同前，可利用開環(huán)右零點(diǎn)數(shù)，1/Gk(s)的極坐標(biāo)圖對(1，j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)，根據(jù)柯西輻角原理，確定閉環(huán)右極點(diǎn)的個數(shù)，從而判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。所畫1/Gk(s)的極坐標(biāo)圖稱為逆極坐標(biāo)圖。此時穩(wěn)定判據(jù)稱為逆奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)逆奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)逆奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有P個零點(diǎn)，且開環(huán)逆極坐標(biāo)圖及其鏡像(w從+)對(1，j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)為N，(N 0順時針，N 0，若選定奈奎

34、斯特路徑如圖所示畫出系統(tǒng)與該奈氏路徑對應(yīng)的奈氏曲線根據(jù)所畫奈氏曲線及奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件；當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時計算閉環(huán)系統(tǒng)在右半S平面的極點(diǎn)數(shù)。解：22516)(wwKP)251 ()51 ()(22wwwwKQ222511)(wwwwKAwww11590)(tgtg90)0(270)(66P=1，要穩(wěn)定則奈氏曲線逆時針包圍(1，j0)點(diǎn)1圈， 1 K 0，即0 K 1時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 。67包圍左半平面奈奎斯特路徑對應(yīng)的奈奎斯特判據(jù)Z = N + P，P 是開環(huán)左極點(diǎn)數(shù)，Z 是閉環(huán)左極點(diǎn)數(shù)，N 是極坐標(biāo)圖逆時針包圍(1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)，若順時針包圍(1，j0)點(diǎn)則 N為負(fù)。結(jié)論是Z = N + P = n （n 為系統(tǒng)的階數(shù)）閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，Z 0時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。69根據(jù)開環(huán)