連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算71623

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則 第九節(jié)二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、四則運(yùn)算的連續(xù)性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則則處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在xx.csc,sec,cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)故故xxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)也連續(xù)單調(diào)遞增.

2、例如例如,xysin在,22上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)xyarcsin(遞減)(證明略)在1, 1上也連續(xù)單調(diào)(遞減)11xoy22遞增.xsinxarcsin二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xye在),(上連續(xù)其反函數(shù)xyln在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增.又如又如, xyoxylnexy 11單調(diào) 遞增,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3 3).(lim)()(lim)(lim,)(,)(lim0000000 xgfufufxgfuufuxgxxuuxxxx則有連續(xù)在點(diǎn)函數(shù)若證證,)(0連續(xù)在點(diǎn)uuuf.)()(, 0, 000成立恒有時使當(dāng)ufufuu,)(li

3、m0axgxx又,0, 0, 00時時使當(dāng)使當(dāng)對于對于 xx請同學(xué)們思考：為什么在此定理中沒有條件請同學(xué)們思考：為什么在此定理中沒有條件0000)(,),(, 0uxgxux 有有時時當(dāng)當(dāng)存在存在 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .)(00成立恒有uuuxg將上兩步合起來將上兩步合起來:,0, 0, 00時時使當(dāng)使當(dāng) xx)()()()(00ufxgfufuf.成立成立 )()(lim00ufxgfxx).(lim0 xgfxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 意義意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;.)(. 2的理論依據(jù)變量代換xgu ).(lim)(lim00 xgfx

4、gfxxxx)(lim)(lim00ufxgfuuxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2 266解解.93lim23xxx求可看作932xxyuy 由932xxu與復(fù)合而成的6193lim23xxx連續(xù)在點(diǎn)61uuy93lim23xxx93lim23xxx61目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0elogaaln1例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat則, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 由此可見當(dāng)0e,xa時, 有)1ln(x1e xxx目錄 上頁 下

5、頁 返回 結(jié)束 .)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情況的特殊情況.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *rx因此xy1sin在*rx上連續(xù) .復(fù)合而成 ,xy1sinxyo目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1 . 設(shè))()(xgxf與均在,ba上連續(xù), 證明函數(shù))(, )(max)(xgxfx 也在,ba上連續(xù).證證:21)(x)()(xgxf)()(

6、xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則 , 可知)(, )(xx也在,ba上連續(xù) .)(, )(min)(xgxfx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如例如,21xy的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為znnn, ) 12( ,2(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如例如, 1cos

7、xy,4,2, 0: xd這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.,)1(32 xxy, 1, 0: xxd及及在在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.), 1上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間注意注意注意注意2. 初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法.)()()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 目錄

8、上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式elim0 x)21ln(sin3xxelim0 xx36e說明說明: 若,0)(lim0 xuxx則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(lim)(lim,)(lim)4(xvxuxvxu) 1)(0)()()(xuxuxuyxv且bxvaxubxvaxu)()(lim)(lim, 0)(lim) 1 ()()(lim)(lim, 1)(lim)2(xvxuxvaxu0)(lim

9、)(lim),10()(lim) 3()(xvxuxvaaxu四、冪指函數(shù)形如的函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1,41,)(xxxxx例例5. 設(shè),1,21,)(2xxxxxf解解:討論復(fù)合函數(shù))(xf的連續(xù)性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時連續(xù); 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1為第一類間斷點(diǎn) .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數(shù)時xfx在點(diǎn) x = 1 不連續(xù) , 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)在其定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算四則運(yùn)算結(jié)果仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)連續(xù) 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說明說明: 分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí),)(0連續(xù)在點(diǎn)若xxf