八年級數(shù)學上冊第二章實數(shù)知識點總結+練習2

1、有德訓練其次章：實數(shù)【無理數(shù) 】1. 定義： 無限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)叫做無理數(shù)；注：它必需滿意“無限”以及“不循環(huán)”這兩個條件；2. 常見無理數(shù)的幾種類型：（1）特殊意義的數(shù)，如：圓周率以及含有的一些數(shù)，如： 2-，3等；（ 2）特殊結構的數(shù)（看似循環(huán)而實就不循環(huán)）：如： 2.010 010 001 000 01（兩個 1 之間依次多 1 個 0）等；（3）無理數(shù)與有理數(shù)的和差結果都是無理數(shù)；如：2-是無理數(shù)（4）無理數(shù)乘或除以一個不為 0 的有理數(shù)結果是無理數(shù)；如2,（5）開方開不盡的數(shù)， 如:2 ,5 , 3 9等；應當要留意的是： 帶根號的數(shù)不肯定是無理數(shù)，如：9 等；無理數(shù)也不肯定帶根號

2、，如：）3. 有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)分：（1）有理數(shù)指的是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)；（2）全部的有理數(shù)都能寫成分數(shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1 的分數(shù)），而無理數(shù)就不能寫成分數(shù)形式；例 ：（ 1 ） 下 列各 數(shù)： 3.141 、 0.33333、57 、 、 2.25 、 2 、30.3030003000003（相鄰兩個 3 之間 0 的個數(shù)逐次增加2）、其中是有理數(shù)的有；是無理數(shù)的有；（填序號）（2）有五個數(shù) :0.125125,0.1010010001,-,4 , 3 2 其中無理數(shù)有 個【算術平方根】：1. 定義： 假如一個正數(shù) x 的平方等于 a，即 x2a

3、，那么，這個正數(shù)x 就叫做 a 的算術平方根，記為：“a ”，讀作，“根號 a”，其中， a 稱為被開方數(shù)；例如32=9，那么 9 的算術平方根是3，即93；特殊規(guī)地， 0 的算術平方根是0，即00 ，負數(shù)沒有算術平方根2. 算術平方根具有雙重非負性：（1）如a有意義，就被開方數(shù)a 是非負數(shù)；（2）算術平方根本身是非負數(shù)；3. 算術平方根與平方根的關系：算術平方根是平方根中正的一個值，它與它的相反數(shù)共同構成了 平方根；因此，算術平方根只有一個值，并且是非負數(shù)，它只表示為：a ；而平方根具有兩個1 / 9互為相反數(shù)的值，表示為：a ；例：（1）以下說法正確選項（）有德訓練a 1 的立方根是1；b

4、42 ；（c）、81 的平方根是3 ；（ d）、0 沒有平方根；（ 2）以下各式正確選項（）a、819b、3.143.14c 、2793d、532（ 3）3 2的算術平方根是；（ 4）如xx 有意義，就x1 ；（ 5）已知 abc的三邊分別是a, b,c, 且 a, b 滿意a3b4 20 ，求 c 的取值范疇；（6）（提高題）假如x、y 分別是 43 的整數(shù)部分和小數(shù)部分；求x y 的值.平方根：1. 定義： 假如一個數(shù) x 的平方等于 a，即 x2a ，那么這個數(shù) x 就叫做 a 的平方根；，我們稱 x是 a 的平方（也叫二次方根） ，記做： xa a02. 性質：（1）一個正數(shù)有兩個平方

5、根，且它們互為相反數(shù)；（2）0 只有一個平方根，它是0 本身；（ 3）負數(shù)沒有平方根例（ 1）如x 的平方根是± 2，就 x=； 16 的平方根是（ 2）當 x時，32 x有意義；（ 3）一個正數(shù)的平方根分別是m和 m-4，就 m的值是多少？這個正數(shù)是多少？3.a 2 a0與a2 的性質（ 1）（a 2aa0如： 7）27 （2）a2| a |中， a 可以取任意實數(shù)；如52| 5|52（ - 3）| -3 |3例： 1. 求以下各式的值2（ 1）7（2）（ - 7（3）（ -49）222. 已 知 （a1 2a）1 ， 那 么a的 取 值 范 圍 是； 3. 已 知2 x 3, 化

6、 簡2（2 - x| x3 |；【立方根】31. 定義： 一般地，假如以個數(shù)x 的立方等于 a，即 x =a, 那么這個數(shù) x 就叫做 a 的立方根（也2 / 9有德訓練叫做三次方根）記為3 a ，讀作， 3 次根號 a；如 23=8，就 2 是 8 的立方根， 0 的立方根是 0；2. 性質： 正數(shù)的立方根的正數(shù)； 0 的立方根是 0；負數(shù)的立方根是負數(shù)；立方根是它本身的數(shù)有0,1 ，-1.例 ：（ 1 ） 64的 立 方 根 是（ 2 ） 如 3 a2.89, 3 ab28.9， 就b等于（ 3）以下說法中：3 都是 27 的立方根， 3 y 3y ，64 的立方根是 2， 38 24 ；

7、其中正確的有（）a、1 個b、2 個c、3 個d、4 個比較兩個數(shù)的大?。悍椒ㄒ唬汗浪惴?；如310 4方法二：作差法；如a b 就 a-b 0.方法三：乘方法 . 如比較 26與33 的大??；例：比較以下兩數(shù)的大小（ 1）【實數(shù)】10 - 3 與 122（2） 52與35定義：（ 1）有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)；在實數(shù)中，沒有最大的實數(shù)，也沒有最小的實數(shù)；肯定值最小的實數(shù)是 0，最大的負整數(shù)是 -1 ；（ 2）實數(shù)也可以分為正實數(shù)、0 負實數(shù)；實數(shù)的性質： 實數(shù) a 的相反數(shù)是 -a ；實數(shù) a 的倒數(shù)是1 （ a 0）；實數(shù) a 的肯定值 |a|=aa a0，aa0它的幾何意義是：在數(shù)軸上的點

8、到原點的距離；實數(shù)的大小比較法就：實數(shù)的大小比較的法就跟有理數(shù)的大小比較法就相同：即正數(shù)大于0， 0 大于負數(shù)；正數(shù)大于負數(shù)；兩個正數(shù)，肯定值大的就大，兩個負數(shù)，肯定值大的反而小；（在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)） ；對于一些帶根號的無理數(shù)， 我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小；實數(shù)的運算： 在實數(shù)范疇內，可以進行加、減、乘、除、乘方、開方六種運算；運算法就和運算次序與有理數(shù)的一實數(shù)與數(shù)軸的關系： 每個實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的（ 1）每個實數(shù)可以以用數(shù)軸上的一個點來表示；（ 2）數(shù)軸上的每個點都表示已個實數(shù)；3 / 9例：（1）以下說法正確選項（）；有德訓練a、任何有理數(shù)均可用分

9、數(shù)形式表示；b、數(shù)軸上的點與有理數(shù)一一對應；c、1 和 2 之間的無理數(shù)只有2；d、不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)；（2）a，b 在數(shù)軸上的位置如下列圖，就以下各式有意義的是a0ba、abb、abc、abd、ba（3）比較大小 填“ >”或“ <”.310 ，33 20 ，（4）數(shù)7,2,3的大小關系是 76 67 ，511 ，22a.732b.372c.273d.327（5）將下列各數(shù)：2,38 ,3 ,15，用“”連接起來； ；_（6）如 a3,b2 ，且ab0 ，就： ab =；【二次根式】定義： 形如（a a0）的式子叫做二次根式，a 叫做被開方數(shù)留意：（ 1）從形式上看二次根式必

10、需有二次根號“”，如9 是二次根式，而9 =3,3明顯就不是二次根式；（2）被開方數(shù) a 可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式；如a 是數(shù)，就這個數(shù)必需是非負數(shù)；如a 是代數(shù)式，就這個代數(shù)式的取值必需是非負數(shù)，否就沒有意義；例： 以下根式是否為二次根式（1）- 3（ 2）- 3（ 3）- a（4）23二次根式的性質：性質 1：aba .b a0,b0積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積，運用這個性質也可以對二次根式進行化簡；性質 2： aba . a b0, b0商的算術平方根等于被除數(shù)的算術平方根除以除數(shù)的算術平方根；4 / 9有德訓練最簡二次根式： 被開方數(shù)中不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)或

11、因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式；例： 1. 化簡：（1）1215（2）27a4 b2 b0（3）49 x2. 運算：10.5 243 11 8273 0.12523 1311683. 已知：x7 2121, y1 30.064 ，求代數(shù)式x2x10 y3 245y 的值；6. （提高題）觀看以下等式：回答疑題：1112112 2111111121112232111112216113 21114 2311 1 ，3112（1）依據上面三個等式的信息，請猜想111的結果；4252（2）請依據上式反應的規(guī)律，試寫出用n 表示的等式，并加以驗證；課后練習一、重點考查題型：1. 1 的相反數(shù)的倒

12、數(shù)是2. 已知 a+3|+b+1 0，就實數(shù)（ a+b）的相反數(shù)3. 數(shù) 314 與的大小關系是4. 和數(shù)軸上的點成一一對應關系的是5. 和數(shù)軸上表示數(shù) 3 的點 a 距離等于 25 的 b 所表示的數(shù)是26. 在實數(shù)中 , 5 ,0,3 , 314,4 無理數(shù)有個7一個數(shù)的肯定值等于這個數(shù)的相反數(shù)，這樣的數(shù)是（）（ a）非負數(shù)（ b）非正數(shù)（c）負數(shù)（ d）正數(shù)8如 x 3，就 x 3 =；5 / 99以下說法正確是（）有德訓練（a） 有理數(shù)都是實數(shù)（b）實數(shù)都是有理數(shù)（b） 帶根號的數(shù)都是無理數(shù)（ d）無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù)10實數(shù)在數(shù)軸上的對應點的位置如圖，比較以下每組數(shù)的大?。海?）

13、 c-b和 d-a（2） bc和 ad二、考點訓練：*1 判定題：（ 1）假如 a 為實數(shù)，那么 a 肯定是負數(shù)；（）（2）對于任何實數(shù)a 與 b,|a b|=|b a| 恒成立；（）（3）兩個無理數(shù)之和肯定是無理數(shù)； （）（4）兩個無理數(shù)之積不肯定是無理數(shù)； （）（5）任何有理數(shù)都有倒數(shù)； （）（6）最小的負數(shù)是 1；（）（7）a 的相反數(shù)的肯定值是它本身； （）（8）如|a|=2,|b|=3且 ab>0，就 ab=1；（）2把以下各數(shù)分別填入相應的集合里22310 2 | 3| ，21 3， 1 234，ctg45 ° ,1.2121121112 中7 ,0，9 , 8,2

14、 ,8 , 2 3 ， 3，無理數(shù)集合負分數(shù)集合整數(shù)集合非負數(shù)集合2*3 已知 1<x<2，就|x 3|+1-x=；4以下各數(shù)中，哪些互為相反數(shù)？哪些互為倒數(shù)？哪些互為負倒數(shù)？ 3,2 1， 3 ， 0 3， 3 1， 1 +2 ， 3 13互為相反數(shù)：互為倒數(shù)：互為負倒數(shù)：*5 已知、是實數(shù)，且（x2 ） 2 和 2互為相反數(shù)，求， y 的值6 / 9有德訓練6. ,b 互為相反數(shù)， c,d 互為倒數(shù)， m的肯定值是 2，|a+b|求 2m2+1 +4m-3cd=；*7 已知（ 3） 2 24a+20，求 =；三、解題指導：1以下語句正確選項（a、無盡小數(shù)都是無理數(shù)）b、無理數(shù)都

15、是無盡小數(shù)c、帶拫號的數(shù)都是無理數(shù)d、不帶拫號的數(shù)肯定不是無理數(shù)；2和數(shù)軸上的點一一對應的數(shù)是（）a、整數(shù)b 、有理數(shù)c 、無理數(shù)d、實數(shù) 2零是（）a、最小的有理數(shù)b、肯定值最小的實數(shù)c、最小的自然數(shù)d、最小的整數(shù)4. 假如 a 是實數(shù)，以下四種說法：2（1） 和都是正數(shù)， （ 2），那么肯定是負數(shù)，（3）的倒數(shù)是1a ，（4）和的兩個分別在原點的兩側，幾個是正確的有個*5 比較以下各組數(shù)的大小：311123122a<b<0時,ab2|4-a|+a+b2a+3b6如 a,b 滿意a+2=0, 就a的值是*7 實數(shù) a,b,c在數(shù)軸上的對應點如圖， 其中o是原點，且|a|=|c|（

16、1） 判定 a+b,a+c,c-b的符號（2） 化簡|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8 數(shù)軸上點 a 表示數(shù) 1，如 ab 3，就點 b 所表示的數(shù)為9已知 x<0,y>0 ，且 y<|x|，用"<" 連結 x， x， |y|，y；10最大負整數(shù)、最小的正整數(shù)、最小的自然數(shù)、肯定值最小的實數(shù)各是什么？7 / 9有德訓練11肯定值、相反數(shù)、倒數(shù)、平方數(shù)、算術平方根、立方根是它本身的數(shù)各是什么？12把以下語句譯成式子：（ 1） a 是負數(shù)；（2） a、b 兩數(shù)異號；（3）a、b 互為相反數(shù)；（ 4） a、b 互為倒數(shù)；5x與 y 的平方和是非

17、負數(shù)；（ 6） c、d 兩數(shù)中至少有一個為零；（7） a、b 兩數(shù)均不為 0；*13. 數(shù)軸上作出表示2 ，3 ，5 的點；四獨立訓練：310 的相反數(shù)是，3的相反數(shù)是，0的肯定值是，2 3 的倒數(shù)是8的相反數(shù)是；的肯定值是，2數(shù)軸上表示 32 的點它離開原點的距離是；11a 表示的數(shù)是2 ，且 ab3 ，就點 b 表示的數(shù)是；3 3 3 , ,1 2 o, 22 ,0 1313,2cos60 o,3 1 ,1 1010010007 兩 1之間依次多一個0, 其中無理數(shù)有，整數(shù)有，負數(shù)有；4.如 a 的相反數(shù)是 27，就 a| ； 5如|a| 2 ，就 a=25如實數(shù) x，y 滿意等式（ x 3） 4 y 0，就 x y 的值是6實數(shù)可分為（） a 、正數(shù)和零b、有理數(shù)和無理數(shù)c、負數(shù)和零d 、正數(shù)和負數(shù)*7