第十一章第3節(jié)冪級數(shù)46100

1、2第三節(jié)第三節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)一一. 函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù)的概念設),2, 1()(nxun稱121)()()()(nnnxuxuxuxu為定義在區(qū)間 i 上的函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù) .對,i0 x若常數(shù)項級數(shù)10)(nnxu稱 為函數(shù)0 x項級數(shù)的收斂點收斂點 , 所有收斂點的全體稱為函數(shù)項級數(shù)的收斂域收斂域 ;若常數(shù)項級數(shù)10)(nnxu稱 為函數(shù)項級數(shù)的0 x發(fā)散點發(fā)散點 ,為定義在區(qū)間 i 上的函數(shù)列, 收斂,發(fā)散 ,所有發(fā)散點的全體稱為函數(shù)項級數(shù)的發(fā)散域發(fā)散域 .3在收斂域上 , 函數(shù)項級數(shù)的和是 x 的函數(shù),)(xs稱它為級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù) , 并寫成)()(1xuxsnn若用)

2、(xsn)()(1xuxsnkkn令余項)()()(xsxsxrnn則在收斂域上有, )()(limxsxsnn0)(limxrnn表示函數(shù)項級數(shù)前 n 項的和, 即4例如例如 , 等比級數(shù)它的收斂域是,)1,1(當 時 , 有和函數(shù))1,1(x,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的發(fā)散域是或寫作.1x又如又如 , 級數(shù), )0(02xnxxnnn但當 時 ,10 x,)(limxunn級數(shù)發(fā)散 ;當 時 收斂 , 1x所以級數(shù)的收斂域僅為1x5二二. 冪級數(shù)及其收斂性質冪級數(shù)及其收斂性質形如00)(nnnxxannxxaxxaxxaa)()()(0202010的函數(shù)項級數(shù)稱為

3、冪級數(shù)冪級數(shù) , 其中數(shù)列), 1,0(nan稱下面著重討論 的情形 , 即00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如 , 冪級數(shù)1,110 xxxnn為冪級數(shù)的系數(shù)系數(shù) .即是此種情形.6ox0 x收 斂發(fā) 散發(fā) 散收斂發(fā)散定理定理 1 ( abel定理 ) 若冪級數(shù)0nnnxa0 xx 則對滿足不等式0 xx 的一切 x ,冪級數(shù)都絕對收斂 ;在時收斂 , 反之 , 若當0 xx 0 xx 的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散 . 時該冪級數(shù)發(fā)散 , 則對滿足不等式證證: 設00nnnxa,0lim0nnnxa于是存,),2, 1(0nmxann收斂 ,在常數(shù) m 0 , 使則必有nnn

4、nnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxm0當 時 , 0 xx 00nnxxm收斂 ,0nnnxa也收斂 ,故原冪級數(shù)絕對收斂 .7ox假設有一點1x01xx0 x反之 , 若當 時該冪級數(shù)發(fā)散 , 0 xx 這與所設矛盾,故 滿足不等式0 xx 下面用反證法進行證明 .所以若當 時冪級數(shù)發(fā)散 , 則對一切0 xx 0 x收 斂發(fā) 散發(fā) 散由abel 定理可以看出 , 0nnnxa中心的區(qū)間 . 用r 表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點收斂發(fā)散的收斂域是以原點為滿足且使級數(shù)收斂 ,前面的證明 ,根據(jù)級數(shù)在點也應收斂 ,假設不真 . 的 x , 原冪級數(shù)也發(fā)散 . 8r = 0 時 , 冪級數(shù)

5、0nnnxa僅在 x = 0 收斂 ;r = 時 , 冪級數(shù)0nnnxa在 收斂 ;),(,0 r冪級數(shù)0nnnxa在 收斂 ;),(rr在 外發(fā)散 ;,rr在 可能收斂也可能發(fā)散 .rx),(rr加上收斂的端點稱為收斂區(qū)間收斂區(qū)間 .稱為收斂半徑收斂半徑 r9定理定理2. 若冪級數(shù)0nnnxa的系數(shù)滿足nnnaa1lim則: 1) 當 時 , 0;1r2) 當 時 ,0;r3) 當 時 ,.0r證證: 對級數(shù),0nnnxaxaaxaxannnnnnnn111limlim1) 若,0則根據(jù)比值審斂法可知當,1x即 時,1x原級數(shù)收斂 ;當,1x即 時 ,1x原級數(shù)發(fā)散 .因此級數(shù)的收斂半徑.1

6、rx102) 若, 0 xaaxaxannnnnnnn111limlimx則根據(jù)比值審斂法可知,;r數(shù)絕對收斂 ,3) 若,則對除 x = 0 以外的一切 x 原級數(shù)都.0r發(fā)散 ,對任意 x 原級因此因此 定理定理20nnnxa1limnnnaar的收斂半徑為說明說明: : 據(jù)此定理11nxxxxnn 132) 1(32的收斂半徑及收斂區(qū)間 .解解:1limnnnaar11nn11對端點 x = 1 , 級數(shù)為交錯級數(shù),1) 1(11nnn收斂 級數(shù)為,1x,11nn發(fā)散 1, 1(故收斂區(qū)間為對端點 limn例例1.1.求冪級數(shù)12例例2. 求下列冪級數(shù)的收斂域 :nnnnxnxn00!)

7、2(;!1) 1 (解解: (1) limlim1nnnnaar!1n! ) 1(1n) 1(limnn所以收斂區(qū)間為. ),(2) limlim1nnnnaar!n!) 1( n11limnn0所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂 .規(guī)定: 0 ! = 113例例3. 求冪級數(shù)12) 1(nnnnx的收斂區(qū)間 .解解: 令 ,1 xt級數(shù)變?yōu)閚nntn121 limlim1nnnnaarnn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12當 t = 2 時, 級數(shù)成為,11nn此級數(shù)發(fā)散 ;當 t = 2 時, 級數(shù)成為,) 1(1nnn此級數(shù)條件收斂 ;因此級數(shù)的收斂域為,22t故原級數(shù)

8、的收斂域為,212x即.31x14例例 4 4 求求冪冪級級數(shù)數(shù) 1122nnnx的的收收斂斂區(qū)區(qū)間間. 解解 3523222xxx級數(shù)為級數(shù)為缺少偶次冪的項缺少偶次冪的項應應用用達達朗朗貝貝爾爾判判別別法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 級數(shù)收斂級數(shù)收斂, 1212 x當當,2時時即即 x15, 1212 x當當,2時時即即 x級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,2時時當當 x,211 n級數(shù)為級數(shù)為,2時時當當 x,211 n級數(shù)為級數(shù)為級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂區(qū)間為原級數(shù)的收斂區(qū)間為).2, 2( 16例例5. 求冪級數(shù)nnxnn20

9、2) !(! )2(的收斂半徑 .解解: 由于級數(shù)缺少奇次冪項 , 不能直接應用定理 2 .可直接根據(jù)比值審斂法求收斂半徑 . 方法如下: lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x當142x時級數(shù)收斂當時級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 .21r即21x142x即21x) 1(2nxnx217例例 6 6 求求級級數(shù)數(shù)nnnxn)11()1(1 的的收收斂斂域域. 解解由達朗貝爾判別法由達朗貝爾判別法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1( x當當,20時時或或即即 xx原級數(shù)絕對收斂原

10、級數(shù)絕對收斂., 11 x18, 111)2( x當當, 11 x,02時時即即 x原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.,0時時當當 x 1)1(nnn級數(shù)級數(shù)收斂收斂;,2時時當當 x 11nn級數(shù)級數(shù)發(fā)散發(fā)散;)., 0)2,( 故級數(shù)的收斂域為故級數(shù)的收斂域為, 1|1|)3( x當當, 20 xx或或19三三. 冪級數(shù)的運算冪級數(shù)的運算定理定理3 設冪級數(shù)nnnxa0nnnxb0及的收斂半徑分別為,21rr令nnnxa0(0nnnxa1rx ,min21rrr nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbarx nnnnnnxbxa00,0nnnxcrx 其中knnkknbac0以上結論可用部分和的

11、極限證明 .為常數(shù) ) ,則有 :20定理定理4 若冪級數(shù)nnnxa0的收斂半徑,0r則其)(xs(證明略)nnnxaxs0)(,11nnnxan),(rrxxdxaxdxsnxnnx000)(,110nnnxna),(rrx和函數(shù)在收斂區(qū)間上收斂區(qū)間上連續(xù)連續(xù) , 且在收斂區(qū)間內(nèi)收斂區(qū)間內(nèi)可逐逐項求導項求導與逐項求積分逐項求積分:說明說明.,則上等式仍成立則上等式仍成立處收斂處收斂或或若在若在數(shù)數(shù)經(jīng)求導或積分后的新級經(jīng)求導或積分后的新級rxrx21.:的和函數(shù)的和函數(shù)利用冪級數(shù)可求冪級數(shù)利用冪級數(shù)可求冪級數(shù)說明說明記住等比級數(shù)的和函數(shù)記住等比級數(shù)的和函數(shù)內(nèi)內(nèi)在收斂域在收斂域),(11xxnn

12、110 xxnnn1110)(xxxnn11xxxnnn111)(20211xxnn22例例7. 求級數(shù)1nnxn的和函數(shù)解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , 故當)1,1(x1)(nnxnxs1)(nnxxxxx12)1 (xx.)(xs時11nnxnx1nnxx)1,1(x23例例 8 8 求求級級數(shù)數(shù) 11)1(nnnnx的的和和函函數(shù)數(shù). 解解,)()(111nnnnxxs令令, 0)0( s顯然顯然兩邊積分得兩邊積分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x,(11易知收斂區(qū)間為易知收斂區(qū)間為時時當當),(11x24,1時時又又 x.1)1(11收斂

13、收斂 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即25例例9. 求級數(shù)222) 1(1nnn的和 .解：解：設,1)(22nnnxxs則, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0(x)2(212xxx1)212(nnnxxx12nnnxxnnxnnxs111121)(2321nnnxx26例例9 求級數(shù)222) 1(1nnn的和.1nnnx101nxnxdx而xdxxnn 011xxxd01)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxs故222) 1(1nnn)0(x1)212()(nnnxxxxs)2(212xxx21s2ln4385)0(x27例例10. 冪級數(shù)0!nnnx在),(解解: 設0!)(nnnxxs)(x則11! ) 1()(nnnxxs0!kkkx)(xs)(x故0)(xsexxcexs)(由1)0(s得,)(xexs即有xnnenx0!收斂 , 試求其和 .0)()(xsxs28內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 求冪級數(shù)收斂區(qū)間的方法求冪級數(shù)收斂區(qū)間的方法1) 對標準型冪級數(shù)先