求二元表達(dá)式范圍三種基本策略

1、求二元表達(dá)式范圍三種基本策略二元表達(dá)式是指含有兩個(gè)變量的表達(dá)式，通常記為f（x, y）,有關(guān)二元表達(dá)式的值域、最值問題是常考題型，由于此 類問題蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維，強(qiáng) 化解題能力是非常有利的此類題通常有三種方法：一是直 接利用基本不等式求解；二是把二元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元函 數(shù)問題求解；三是利用二元表達(dá)式的幾何意義并數(shù)形結(jié)合求 解下面通過具體例子說明.一、利用基本不等式例1（2010年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題）若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+6二xy,則xy的最小值是分析由已知可以發(fā)現(xiàn)，這里的x, y是不確定的，盡管 它們相互制約，但是仍然可以看成是一個(gè)雙變量問題.xy本 身在

2、已知中存在，而在已知中還有變量2x, y,如何尋求它 們之間的關(guān)系就成了解決本題最關(guān)鍵的地方聯(lián)想到基本不 等式：2x+y222xy,因此 xy-6=2x+y±22xy.令 xy二t,得 t 222t_60解得t$32,從而xy的最小值為18.評(píng)注這是求二元表示范圍的重要方法，使用時(shí)要注意“一正、二定、三等” 二、把二元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題1. 反解減元例 2 已知函數(shù) f (x) =|2x-3|,若 0<2a<b+l,且 f (2a) 二f (b+3),則t二3a2 +b的取值范圍為.分析 由f (x) = 12x-31得圖像知，函數(shù)在區(qū)間32 上單調(diào)遞減，在區(qū)間3

3、2, +8上單調(diào)遞增.由 f (2a) =f (b+3)知，|4a-3| = |2b+3| ,即 2a+b=0. 于是t=3a 2 +b=3a2 -2a,這樣原二元問題就轉(zhuǎn)化一元表達(dá)式的最大值.v0<2a<b+l, 0<2a<l-2a.0 評(píng)注 一般地，題目中有所求二元變量的等量關(guān)系，且能用其中一 個(gè)表示另外一個(gè)，通?？梢杂梅唇鉁p元將二元問題轉(zhuǎn)化為一 元問題，同時(shí)要注意對(duì)變量隱含條件的挖掘.2. 整體換元例3 (2012蘇州高三二模)設(shè)實(shí)數(shù)nw6,若不等式2xm+(2_x) n-8$0 對(duì)任意 xw -4, 2都成立，則m 4-n 4m 3n的最小值為.分析考慮到一元一

4、次不等式的特點(diǎn)，把端點(diǎn)代入滿足, 得到 2wmw34nt，所以 4wnw6，又 m22,所以 0nmw3, 又 m 4n 4m 3n=mn- nm 3, 設(shè) nm二t, y二lt-t 3, 則 y =-3t 2-lt 2 恒小于 0,所以y=lt-t 3在0tw3上是減函數(shù)，即在t=3時(shí)取 得最小值為-803.3. 三角換元例4若不等式x+ywk2x+y對(duì)任意正實(shí)數(shù)x、y恒成立， 求實(shí)數(shù)k的取值范圍.分析 此題很容易在分離參數(shù)以后，求(x+y) 2x+y的最 大值時(shí)會(huì)遇到困難，但考慮到x、y是正實(shí)數(shù)，且 2x2x+y+y2x+y二 1 ,所以設(shè) 2x2x+y= sin2 a ,y2x+y= c

5、os 2 a,其中0q n 2,則已知式化 為 (x+y) 2x+y二22sin a + cos a =62 sin ( a +)(tan e二2),因?yàn)?62 sin (a+e)的最大值是 62, 所以 k£62, +°°.評(píng)注一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似 的代數(shù)式時(shí)，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問題時(shí)， 經(jīng)常使用三角換元法.例5已知實(shí)數(shù)x, y滿足2x 22xy+y 2+4xw12，求 2x-y的最值.分析 由 2x 22xy+y 2+4xw12,可得(x-y)216+(x+2)216w1.設(shè) x-y二4r cos 0 , x+2-4r si

6、n 0 ,其中owrwl,0< e<2ji,則2x-y二4r cos 0 +4r sin 0 二42sin9 +n 4-2.由三角函數(shù)性質(zhì)，可得當(dāng)且僅當(dāng)r=l,9 =ji4 時(shí)，2xy取最大值42-2,當(dāng)且僅當(dāng)1, 0=5ji4時(shí),2x-y取最小值-42-2.評(píng)注 已知 ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f二0 (wo),求目標(biāo) 函數(shù)z=f (x, y)的取值范圍或最值，這類問題在高考中頻 繁出現(xiàn)此類問題一般也通過三角換元處理比較方便，我們 可以把約束條件轉(zhuǎn)化為(ax+by+c) 2m+ (dx+ey+f)2n=1 (wl)的形式，然后通過三角換元，用三角函數(shù)表示出x, y.

7、這樣, 就把目標(biāo)函數(shù)z=f (x, y)轉(zhuǎn)化成了三角函數(shù)求取值范圍或 最值問題，大大簡(jiǎn)化了解題過程.三、利用表達(dá)式的幾何意義1. 利用直線的截距例6(2012山東)已知變量x, y滿足約束條件x+2y$2 2x+yw4 4x-y$t，則目標(biāo)函數(shù) z=3xy 的取值 范圍是.分析 做出不等式所表示的區(qū)域，平移直線y=3x,當(dāng)直 線經(jīng)過點(diǎn)(2，0)時(shí)，直線y二3x-z的截距最小，此時(shí)z最大為 z二6,由 4x-y二t2x+y二4,解得 x=12y=3,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)12,3時(shí)，直線截距最大，此時(shí)z最小，此時(shí)z二3x-y二-32, 所以z=3xy的取值范圍是-32, 6.2. 利用兩點(diǎn)的斜率例7已知實(shí)

8、數(shù)x, y滿足 (x-6)2+y 2=9,則u=yx-l的最大值是.分析點(diǎn)(x, y)滿足圓的方程，而yx-1正好看作是圓上的點(diǎn)與(1, 0)連線的斜率如果把(x, y)視為動(dòng)點(diǎn)， 則yx-l的最大值和最小值正是由(1, 0)向圓所引的兩條 切線的斜率.由已知得 (x-6)2+y 2=9,圓心(6, 0),半徑為3,設(shè)y=k (xt),即kx-y-k=0,由直線與圓相切, #|5k|l+k 2=3,解得 k=±34, au=yx-1 的最大值為 34.3. 利用兩點(diǎn)的距離例8已知對(duì)于一切x , ywr,不等式 x 2+81x2-2xy+18x2-y2-a0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

9、分析 x 2+81x22xy+18x2-y2a0 恒成立ac (x 2+81x2-2xy+18x2-y2)min .因?yàn)閤 2+8 lx 2-2xy+18x2-y2=x22xy+y2+9x2+18x2-y 2+2-y 2-2- (x-y)2+ 9x+2-y 2 2-2,可視為曲線c 1: xy二9上任意一點(diǎn)mx, 9x到曲線c 2: x 2 +y 2=2 (ywo)上任意一點(diǎn) n (y,-2-y 2)的距離的平方減去2,結(jié)合兩者的位置關(guān)系，mn|min =22所以x 2+81x2-2xy+18x2y2a的最小值是6,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-°°, 6.評(píng)注以上三題都是數(shù)形結(jié)合思想中的“形”中覓 “數(shù)”,