八下壓軸題一次函數(shù)與幾何動點問題教師版

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載1. 等腰三角形存在性八年級下數(shù)學(xué)期末壓軸題精選（ 2021 廣西柳州） 23（10 分）如圖， 在四邊形 oabc中，oabc，oab=9°0 ，o為原點，點 c 的坐標(biāo)為（ 2， 8），點 b 的坐標(biāo)為（ 24，8），點 d 從點 b 動身，以每秒 1 個單位長度的速度沿bc向點 c 運動，點 e 同時從點 o動身，以每秒3 個單位長度的速度沿oa向 a 運動，當(dāng)點 e 達(dá)到點 a 時，點 d也停止運動，從運動開頭，設(shè) d（e）點運動的時間為t 秒（ 1）連接 ad，記 ade得面積為 s，求 s 與 t 的函數(shù)關(guān)系式，寫出t的取值范疇；（ 2）當(dāng) t 為何值時，

2、四邊形abde是矩形；（ 3）在（ 2）的條件下，當(dāng)四邊形abde是矩形，在 x 軸上找一點 p，使得 adp為等腰三角形，直接寫出全部滿意要求的p 點的坐標(biāo)【分析】（1）依據(jù)三角形面積公式運算即可；（ 2）當(dāng) bd=ae時，四邊形 abde是矩形，由此構(gòu)建方程即可解決問題；（ 3）分三種情形：當(dāng)ad=ap時，當(dāng) da=dp時，當(dāng) pd=pa時，分別求解即可；【解答】解：（1）如圖 1 中， s=×（ 243t ）× 8= 12t+96（ 0 t 8）（ 2） oa bd，當(dāng) bd=ae時，四邊形 bdea是平行四邊形，學(xué)習(xí)必備歡迎下載 oab=9°0 ，四邊形

3、abde是矩形， t=24 3t ， t=6s ，當(dāng) t=6s 時，四邊形 abde是矩形（ 3）分三種情形爭論：由（ 2）可知 d（ 18，8），a（24， 0）， ad=10，當(dāng) ad=ap時，可得 p1（ 14，0），p2（34，0），當(dāng) da=dp時，可得 p3（ 12，0），當(dāng) pd=pa時，設(shè) pd=pa=，x4在 rt dpe 中， x2 =82+（x6）2 ， 解得 x=， p4（，0），綜上所述，滿意條件的點p 坐標(biāo)為（ 14，0）或（ 34，0）或（ 12， 0）或（，0）；【點評】此題考查四邊形的綜合題、 矩形的判定和性質(zhì)、 等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等學(xué)問， 解題

4、的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想摸索問題， 學(xué)會用分類爭論的思想解決問題，屬于中考壓軸題學(xué)習(xí)必備歡迎下載2. 直角三角形存在性（ 2021 深圳新華）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，o是坐標(biāo)原點，平行四邊形的頂點 c 的坐標(biāo)為（ 8，8），頂點 a 的坐標(biāo)為（ 6，0），邊 ab在 x 軸上，點 e 為線段 ad的中點，點 f 在線段 dc上，且橫坐標(biāo)為 3，直線 ef 與 y 軸交于點 g，有一動點 p 以每秒 1 個單位長度的速度，從點a 沿折線 abcf 運動，當(dāng)點 p 到達(dá)點 f 時停止運動，設(shè)點p 運動時間為 t 秒（ 1）求直線 ef 的表達(dá)式及點 g的坐標(biāo)；（ 2）點 p 在運動的過程中，設(shè)

5、efp的面積為 s（p 不與 f 重合），試求 s 與 t的函數(shù)關(guān)系式；（ 3）在運動的過程中，是否存在點p，使得 pgf為直角三角形？如存在，請直接寫出全部符合條件的點p 的坐標(biāo)；如不存在，請說明理由【分析】（ 1）依據(jù)點 c的坐標(biāo)可求出點 f 的縱坐標(biāo)，結(jié)合題意可得出點 f 的坐標(biāo)，過點 e 作 ehx 軸于點 h，利用 ahe aod，可求出點 e 的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法可確定直線 ef 的解析式，令 x=0，可得出點 g的坐標(biāo)（ 2）延長 he交 cd的延長線于點 m，爭論點 p 的位置，當(dāng)點 p 在 ab上運動時，當(dāng)點 p 在 bc邊上運動時， 當(dāng)點 p 在 cf上運動時， 分別

6、利用面積相減法可求出答案（ 3）很明顯在 bc上存在兩個點使 pgf為直角三角形，這兩點是通過過點g作 gp ef，過點 f 作 fp ef得出來的【解答】解：（1） c（8，8）， dcx 軸，點 f 的橫坐標(biāo)為 3， od=cd=8學(xué)習(xí)必備歡迎下載點 f 的坐標(biāo)為（ 3， 8）， a（ 6，0）， oa=6， ad=10，過點 e 作 ehx 軸于點 h， 就 ahe aod又 e 為 ad的中點，= ah=3， eh=4 oh=3點 e 的坐標(biāo)為（ 3，4），設(shè)過 e、f 的直線為 y=kx+b，直線 ef為 y=x+6，令 x=0，就 y=6，即點 g的坐標(biāo)為（ 0， 6）（ 2）延長

7、 he交 cd的延長線于點 m， 就 em=eh=4 df=3， s def=×3×4=6，且 s 平行四邊形 abcd=cd.od=×8 8=64當(dāng)點 p 在 ab上運動時，如圖 3，s=s平行四邊形 abcd s defs apes 四邊形 pbcf ap=t， eh=4， s ape=×4t=2t ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載s 四邊形 pbcf=（5+8t ）× 8=524t s=64 6 2t （ 524t ），即： s=2t+6當(dāng)點 p 在 bc邊上運動時，s=s平行四邊形 abcd s defs pcfs 四邊形 abpe過點 p 作 pn

8、cd于點 n c= a， sin a=， sin c= pc=18t ，pn=pc.sin c=（ 18t ） cf=5， s pcf=×5×（18t ）=362t 過點 b 作 bkad于點 k ab=cd=，8bk=ab.sin a=8×= pb=t 8， s 四邊形 abpe=（t 8+5）×=t s=64 6（ 362t ）（t ），即s=t+（8 分）當(dāng)點 p 在 cf上運動時， pc=t 18， pf=5（ t 18）=23 t em=4， s pef=×4×（ 23t ）=462t 學(xué)習(xí)必備歡迎下載綜上： s=（ 3）存

9、在p1（，）p2（，）3. 一次函數(shù)與平行四邊形：（ 2021 山西晉中）（1）在直角坐標(biāo)系中， a（1，2），b（4，0），在圖 1 中，四邊形 abcd為平行四邊形，請寫出圖中的頂點c 的坐標(biāo)（5，2）學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）平面內(nèi)是否存在不同于圖1 的點 c，使得以 o、a、b、c為頂點的四邊形為平行四邊形，請在圖2 中畫出滿意情形的平行四邊形，并在圖中直接標(biāo)出點c 的坐標(biāo)（ 3）如圖 3，在直角坐標(biāo)系中， a（ 1，2），p 是 x 軸上一動點，在直線y=x 上是否存在點 q，使以 o、a、p、q 為頂點的四邊形為平行四邊形？如存在，畫出全部滿意情形的平行四邊形，并求出對應(yīng)的q的坐標(biāo)；

10、如不存在，請說明理由【分析】（1）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對邊相等，即可解決問題（ 2）存在留意有兩種情形點c 坐標(biāo)依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解決（ 3）存在如圖 3 中所示，平行四邊形aq1p1o，平行四邊形 aoq2p2，平行四邊形 aq1op2 點 q的坐標(biāo)依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解決【解答】解：（1）如圖 1 中，四邊形 abcd是平行四邊形， ob=a，c obac，學(xué)習(xí)必備歡迎下載 a（ 1， 2），b（4，0）， ac=4，點 c 坐標(biāo)（ 5，2） 故點 c 坐標(biāo)為（ 5，2）（ 2）存在點 c 坐標(biāo)如圖 2 中所示，（ 3）存在如圖 3 中所示，平行四邊形aq1p1o，平行四邊形 a

11、oq2p2，平行四邊形 aq1op2 點 q1（2，2），點 q2（ 2， 2）【點評】此題考查四邊形綜合題、 點與坐標(biāo)的關(guān)系等學(xué)問， 解題的關(guān)鍵是學(xué)會正確畫出圖形，學(xué)會分類爭論，不能漏解，屬于中考?？碱}型（ 2021 襄陽） 25（11 分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線l ：y=x+分別交 x 軸， y 軸于 a， b 兩點，點 c在 x 軸負(fù)半軸上，且 acb=3°0 （ 1）求 a，c 兩點的坐標(biāo)（ 2）如點 m從點 c 動身，以每秒 1 個單位長度的速度沿射線cb運動，連接 am，設(shè) abm的面積為 s，點 m的運動時間為t ，求出 s 關(guān)于 t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取

12、值范疇（ 3）點 p 是 y 軸上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點q，使以 a，b，p，q為頂點學(xué)習(xí)必備歡迎下載的四邊形是菱形？如存在，請直接寫出q點的坐標(biāo)；如不存在，說明理由【分析】（1）由直線方程易得點a 的坐標(biāo)在直角 boc中，利用 30 度所對的直角邊等于斜邊的一半求出bc的長，利用勾股定理求出oc的長，確定出 c的坐標(biāo)即可；（ 2）先求出 abc=9°0，分兩種情形考慮：當(dāng)m在線段 bc上；當(dāng) m在線段 bc延長線上；表示出bm，利用三角形面積公式分別表示出s 與 t 的函數(shù)關(guān)系式即可；（ 3）點 p 是 y 軸上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點q，使以 a、b、p、q為頂點的四邊形是

13、菱形，分兩種情形，如下列圖，利用菱形的性質(zhì)求出aq 的長，依據(jù)aq 與 y 軸平行得到 q與 a 橫坐標(biāo)相同，求出滿意題意q得坐標(biāo)即可【解答】解：（1）當(dāng) x=0 時， y=；當(dāng) y=0 時， x=1點 a 坐標(biāo)為（ 1，0），點 b 坐標(biāo)為（ 0，），在 rt boc中， ocb=3°0 bc=2， ob=， oc=3點 c 坐標(biāo)為（ 3， 0）（ 2）如圖 1 所示： oa=1， ob=， ab=2， abo=3°0 ，同理： bc=2， ocb=3°0 ， obc=6°0 ， abc=9°0 ，分兩種情形考慮：如m在線段 bc上時， bc

14、=2，cm=，t t ，可得 bm=bccm=2學(xué)習(xí)必備歡迎下載此時 s abm=bm.ab= ×（ 2 t ）× 2=2t （ 0 t 2）；如 m在 bc延長線上時， bc=2， cm=，t可得 bm=cmbc=t2，此時 s abm=bm.ab= ×（ t 2）× 2=t 2（ t 2）；綜上所述， s=；（ 3）p 是 y 軸上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點q，使以 a 、b、p、q為頂點的四邊形是菱形，如 2 圖所示，當(dāng) p 在 y 軸正半軸上，四邊形abpq為菱形，可得aq=ab=，2 且 q 與 a 的橫坐標(biāo)相同，此時 q坐標(biāo)為（1，2）， ap

15、=aq=，q與 a 的橫坐標(biāo)相同， 此時 q坐標(biāo)為（ 1，），當(dāng) p 在 y 軸負(fù)半軸上，四邊形abpq為菱形，可得aq=ab=，2 且 q 與 a 橫坐標(biāo)相同，此時 q坐標(biāo)為（ 1， 2）， bp垂直平分 aq，此時 q坐標(biāo)為（ 1，0），綜上，滿意題意q坐標(biāo)為（ 1，2）、（1， 2）、（1，）、（ 1，0）【點評】此題屬于一次函數(shù)綜合題， 涉及的學(xué)問有： 含 30 度直角三角形的性質(zhì)， 勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)，利用 了分類爭論的思想，嫻熟把握待定系數(shù)法是解此題其次問的關(guān)鍵學(xué)習(xí)必備歡迎下載4. 一次函數(shù)與矩形 :（ 2021 重慶江津） 26（ 1

16、2 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=mx+n（ m 0）的圖象與 x 軸交于點 a（ 3，0），與 y 軸交于點 b，且與正比例函數(shù)y=2x 的圖象交于點 c（3，6）（ 1）求一次函數(shù) y=mx+n的解析式；（ 2）點 p 在 x 軸上，當(dāng) pb+pc最小時，求出點 p 的坐標(biāo)；（ 3）如點 e 是直線 ac上一點，點 f 是平面內(nèi)一點，以o、c、e、f 四點為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出點f 的坐標(biāo)【分析】（1）由 a、c 坐標(biāo)，可求得答案；（ 2）由一次函數(shù)解析式可求得b 點坐標(biāo)，可求得b 點關(guān)于 x 軸的對稱點 b的坐標(biāo)，連接 bc與 x 軸的交點即為所求的p 點，由 b、

17、c坐標(biāo)可求得直線bc 的解析式，就可求得p 點坐標(biāo)；（ 3）分兩種情形分別爭論即可當(dāng)oc為邊時，四邊形 ocfe是矩形，此時 eo oc，當(dāng) oc為對角線時，四邊形oecf是矩形，此時oe ac；【解答】解：（1）一次函數(shù)y=mx+n（m0）的圖象經(jīng)過點a（ 3， 0），點 c（ 3， 6），解得，一次函數(shù)的解析式為y=x+3學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）如圖 1 中，作點 p 關(guān)于 x 軸的對稱點 b，連接 cb交 x 軸于 p，此時 pb+pc的值最小 b（ 0， 3），c（3，6）b（ 3，0），直線 cb的解析式為 y=3x3， 令 y=0，得到 x=1， p（ 1， 0）（ 3）如圖，當(dāng)

18、oc為邊時，四邊形 ocfe是矩形，此時 eooc，直線 oc的解析式為 y=2x，直線 oe的解析式為 y=x， 由，解得， e（ 2，1）， eo=c，f oecf，學(xué)習(xí)必備歡迎下載 f（ 1， 7）當(dāng) oc為對角線時，四邊形oecf是矩形，此時oe ac，直線 oe的解析式為 y= x， 由，解得，e（，），oe=cf， oe cf，f（，），綜上所述，滿意條件的點f 的坐標(biāo)為（ 1.7 ）或（，）【點評】此題考查一次函數(shù)綜合題、 軸對稱最短問題、矩形的判定和性質(zhì)等學(xué)問， 解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱解決最短問題，學(xué)會用分類爭論的思想摸索問題，屬于中考壓軸題5. 一次函數(shù)與正方形如圖（ 1）

19、，四邊形 aobc是正方形，點 c 的坐標(biāo)是（， 0），（ 1）求點 a 的坐標(biāo)點和正方形aobc的面積；（ 2）將正方形繞點 o順時針旋轉(zhuǎn) 45°，求旋轉(zhuǎn)后的正方形與原正方形的重疊部分的面積；（ 3）如圖（ 2），動點 p 從點 o動身，沿折線 oacb 方向以 1 個單位 / 每秒勻速運動； 另一動點 q從點 c 動身，沿折線 cboa 方向以 2 個單位 / 每秒勻速運動 p、q兩點同時動身，當(dāng)q運動到點 a 時 p、q同時停止運動設(shè)運動時間為 t 秒，是否存在這樣的t 值，使 opq成為等腰三角形？如存在，直接寫出學(xué)習(xí)必備歡迎下載t 的值；如不存在，請說明理由【分析】（1）連

20、接 ab，依據(jù) oca為等腰三角形可得ad=od的長，從而得出點a的坐標(biāo)，就得出正方形aobc的面積；（ 2）依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得oa的長，從而得出ac，ae，再求出面積即可；（ 3）存在，從 q點在不同的線段上運動情形，可分為三種：當(dāng) q點在 bc上時，使 oq=q，p 就有 op=2bq，而 op=t， bq=4 2t ，列式可得出 t ；當(dāng) q點在 ob上時，使 oq=o，p 而 op=t， oq=8當(dāng) q點在 oa上時，使 oq=p，q 列式可得出 t 2t ，列式可得出 t ；【解答】解：（1）如圖 1，連接 ab，與 oc交于點 d， 由 oca為等腰 rt，得 ad=od= oc=

21、2，故點 a 的坐標(biāo)為（ 2，2），故正方形 aobc的面積為：× 4×4=16；（ 2）如圖 1，旋轉(zhuǎn)后可得 oa=ob=4，就 ac=44，而可知 cae=90°， ocb=4°5 ，故 aec是等腰直角三角形，就 ae=ac=44，故 s 四邊形 oaeb=s obcsaec=1616（ 3）存在，從 q點在不同的線段上運動情形，可分為三種：如圖 2，學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng) q點在 bc上時，使 oq=q，p qm為 op的垂直平分線，就有 op=2om=2b，q而 op=t， bq=4 2t ，就 t=2 （42t ），解得： t=如圖 3，當(dāng) q點

22、在 ob上時，使 oq=o，p而 op=t，oq=82t ，就 t=8 2t ，解得： t=當(dāng) q點在 oa上時，如圖 4，使 oq=p，q t 2 24t+96=0，解得： t=12+4（舍去）， t=12 4學(xué)習(xí)必備歡迎下載【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是中考壓軸題，綜合性較強(qiáng)，難度較大6. 四邊形綜合（ 1）（2021 武漢新洲）如圖，正方形abcd中， p 為 ab 邊上任意一點， aedp于 e，點 f 在 dp的延長線上，且ef=de，連接 af、bf， baf的平分線交 df于 g，連接 gc（ 1）求證： aeg是等腰直角三角形；（ 2）求證：

23、 ag+cg= dg【分析】（1）依據(jù)線段垂直平分線的定義得到af=ad，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義證明即可；（ 2）作 chdp，交 dp于 h 點，證明 ade dc（haas），得到 ch=d，edh=ae=e，g證明 cg=gh， ag=dh，運算即可【解答】（1）證明： de=ef，ae dp， af=ad， afd=adf， adf+dae=pae+dae=9°0 ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載 afd=pae， ag平分 baf， fag=gap afd+fae=90°， afd+pae+fap=90° 2 gap+2即 gae=4°5pae

24、=90°， age為等腰直角三角形；（ 2）證明：作 ch dp，交 dp于 h點， dhc=9°0 aedp， aed=9°0 ， aed=dhc ade+cdh=9°0 ade=dch， cdh+dch=9°0 ，在 ade和 dch中， ade dch（aas）， ch=d，e dh=ae=eg eh+eg=eh+，hd即 gh=e，d gh=ch cg=gh ag=eg， ag=dh， cg+ag= gh+hd， cg+ag= （gh+h）d，即 cg+ag= dg學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）（2021 天津） 24（8 分）如圖（ 1），

25、正方形 abcd的對角線 ac，bd相交于點 o，e 是 ac上一點，連結(jié) eb，過點 a 作 ambe，垂足為 m，am與 bd相交于點 f（ 1）求證： oe=o；f（ 2）如圖（ 2）如點 e 在 ac的延長線上， ambe 于點 m，am交 db的延長線于點 f，其他條件不變，結(jié)論“oe=o”f 仍成立嗎？假如成立，請給出證明；假如 不成立，請說明理由【分析】（ 1）依據(jù)正方形的性質(zhì)對角線垂直且平分，得到 ob=o，a又由于 ambe，所以 mea+mae=9°0 oe=of= afo+ mae，從而求證出rt boe rt aof，得到（ 2）依據(jù)第一步得到的結(jié)果以及正方形

26、的性質(zhì)得到ob=o，a 再依據(jù)已知條件求證出 rt boert aof，得到 oe=of【解答】解：（1）四邊形 abcd是正方形 boe=aof=9°0又 am be， mea+mae=9°0 mea=afo， ob=oa= afo+mae，在 boe和 aof中，學(xué)習(xí)必備歡迎下載 boe aof oe=of（ 2） oe=of成立四邊形 abcd是正方形， boe=aof=9°0又 am be， ob=oa f+mbf=9°0 ， e+obe=9°0 ，又 mbf=obe， f= e在 boe和 aof中， boe aof oe=of【點評

27、】此題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，將待求線段放到兩個三角形中，通過證明三角形全等得到對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵7. 動點問題：（ 1）（2021 黃石大冶）如圖 1，正方形 abcd的邊長為 6cm，點 f 從點 b 動身，沿射線 ab方向以 1cm/秒的速度移動， 點 e 從點 d 動身，向點 a 以 1cm/秒的速度移動（不到點 a）設(shè)點 e，f 同時動身移動 t 秒（ 1）在點 e， f 移動過程中，連接ce，cf， ef，就 cef的外形是，始終保持不變；（ 2）如圖 2，連接 ef，設(shè) ef交 bd于點 m，當(dāng) t=2 時，求 am的長；（ 3）如圖 3，點 g，h 分

28、別在邊 ab，cd上，且 gh=3 cm，連接 ef，當(dāng) ef與 gh的夾角為 45°，求 t 的值學(xué)習(xí)必備歡迎下載【解答】解：（1）等腰直角三角形理由如下：如圖 1，在正方形 abcd中， dc=bc， d=abc=9°0 依題意得： de=bf=t在 cde與 cbf中， cde cbf（sas）， cf=ce， dce=bcf， ecf=bcf+bce= dce+ bce=bcd=9°0 ， cef是等腰直角三角形 故答案是：等腰直角三角形（ 2）如圖 2，過點 e 作 en ab，交 bd于點 n，就 nem= bfm end=abd=edn=4°

29、;5 ， en=ed=bf在 emn與 fmb中， emn fmb（aas）， em=fm rtaef中， ae=4，af=8，=ef=4， am= ef=2；學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 3）如圖 3，連接 ce，cf， ef與 gh交于 p由（ 1）得 cfe=45°，又 epq=4°5 ， ghcf， 又 af dc，四邊形 gfch是平行四邊形， cf=gh=3 ，在 rt cbf中，得 bf=3， t=3 【點評】此題考查了四邊形綜合題解題過程中， 涉及到了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用解答該類題目時， 要奇妙的作出幫助線， 構(gòu)建幾何模型， 利用特別的四邊形的性質(zhì) （或者全等三角形的性學(xué)習(xí)必備歡迎下載質(zhì)）得到相關(guān)線段間的數(shù)量關(guān)系，從而解決問題（ 2）（2021 成都金堂） 28（12 分）如圖，邊長為a 正方形 oabc的邊 oa、oc在坐標(biāo)軸上在x 軸上線段 pq=a（q在 a 的右邊），p 從 a 動身，以每秒1 個單位的速度向 o運動，當(dāng)點 p 到達(dá)點 o時停止運動，運動時間為t 連接 pb，過 p作 pb的垂線，過