高中數(shù)學(xué)新教材高一下期末復(fù)習(xí)第二講復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)與檢測(解析版)

1、復(fù)數(shù)單元復(fù)習(xí)一 知識結(jié)構(gòu)圖內(nèi)容考點關(guān)注點復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的概念純虛數(shù)復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)對應(yīng)的點、向量復(fù)數(shù)的運算復(fù)數(shù)的加、減、乘、除二.學(xué)法指導(dǎo)1.處理復(fù)數(shù)概念問題的兩個注意點(1)當(dāng)復(fù)數(shù)不是abi(a，br)的形式時，要通過變形化為abi 的形式，以便確定其實部和虛部(2)求解時，要注意實部和虛部本身對變量的要求，否則容易產(chǎn)生增根2. 復(fù)數(shù)的乘法運算與多項式的乘法運算類似3復(fù)數(shù)的除法運算，將分子、分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，最后整理成a bi(a， br)的結(jié)構(gòu)形式 . 4利用復(fù)數(shù)相等，可實現(xiàn)復(fù)數(shù)問題的實數(shù)化5.一般設(shè)出復(fù)數(shù)z 的代數(shù)形式， 即 zxyi(x，yr)，則涉及復(fù)數(shù)的分類、幾何意義、 模的

2、運算、 四則運算、共軛復(fù)數(shù)等問題， 都可以轉(zhuǎn)化為實數(shù)x， y 應(yīng)滿足的條件， 即復(fù)數(shù)問題實數(shù)化的思想是本章的主要思想方法三.知識點貫通知識點 1 復(fù)數(shù)的概念1.復(fù)數(shù)的概念：zabi(a，br)全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合cabi|a， br，叫做復(fù)數(shù)集2.復(fù)數(shù) zabi(a，br)，則 z 為實數(shù) ? b0，z 為虛數(shù) ? b0 ， z 為純虛數(shù) ? a0，b0 ，z0? a 0，且 b 0.3.復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè) a，b， c，d 都是實數(shù)，那么abicdi? a c 且 bd.例題 1.(1)復(fù)數(shù)12 i112i的虛部是 ()a.15ib.15c15i d15(2)若復(fù)數(shù) (a23a2)(a1)

3、i 是純虛數(shù)，則實數(shù)a 的值為 ()a 1 b2c 1 或 2 d 1(1)【答案】 b【解析】12i112i 2i2i 2i12i12i1 2i2i512i51515i，故 虛部為15.故選 b。(2)【答案】 b【解析】由純虛數(shù)的定義，可得a23a20，a10 ，解得 a2， 故選 b。知識點二復(fù)數(shù)的四則運算1.復(fù)數(shù) zxyi(x，yr)，則|z|x2y2，2.復(fù)數(shù)加法與減法的運算法則(1)設(shè) z1abi，z2cdi 是任意兩個復(fù)數(shù)，則z1z2(ac)(bd)i；z1z2(ac)(bd)i.(2)對任意 z1，z2，z3c，有z1z2z2z1；(z1z2)z3 z1(z2z3)3.復(fù)數(shù)代數(shù)

4、形式的乘法法則已知 z1abi，z2c di， a，b，c，dr，則 z1 z2(abi)(cdi)(ac bd)(adbc)i.4.復(fù)數(shù)乘法的運算律對于任意z1，z2，z3c，有： （1）交換律： z1 z2z2 z1（2） 結(jié)合律： (z1 z2) z3z1(z2 z3) （3） 乘法對加法的分配律：z1(z2z3)z1 z2z1 z35.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則(abi) (cdi)acbdc2d2bcadc2d2i(a，b，c，d r，且 c di 0)例題 2：(1) 已知 z 是 z 的共軛復(fù)數(shù)，若z z i22z，則 z()a 1i b1 ic 1i d 1i(2)已知復(fù)數(shù)z12

5、3i， z23 2i2i2，則z1z2()a 43i b3 4ic 34i d43i（1） 【答案】 a【解析】 設(shè) zabi(a，br)，則 z abi，代入 zz i22z 中得， (abi)(abi)i 22(abi)，2(a2b2)i2a2bi，由復(fù)數(shù)相等的條件得，2a2，a2b22b，a1，b1.z1i，故選 a.(2)【答案】 d【解析】z1z223i2i232i23i32i2i23 2i 32i13i 34i1343i.知識點三復(fù)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用1.復(fù)數(shù)的幾何意義2.復(fù)數(shù) zxyi(x，yr)，則|z|x2y2，例題 3.已知 z 是復(fù)數(shù)， z2i，z2i均為實數(shù)，且(zai

6、)2的對應(yīng)點在第一象限，求實數(shù)a 的取值范圍【解析】設(shè) zxyi(x，y r)，則 z2ix(y2)i 為實數(shù)， y 2.又z2ix 2i2i15(x2i)(2 i)15(2x2)15(x4)i 為實數(shù)，x4.z42i，又 (zai)2(42iai)2(12 4aa2)8(a2)i 在第一象限，12 4aa20，8 a2 0，解得 2a6.實數(shù) a 的取值范圍是(2,6)五 易錯點分析易錯一復(fù)數(shù)的虛部例題 4.若復(fù)數(shù) z1i(i 為虛數(shù)單位 )， z 是 z 的共軛復(fù)數(shù)，則z2 z2的虛部為 ()a 0b 1c 1d 2【答案】 a【解析】因為z1i，所以 z 1i，所以 z2 z2(1i)2

7、(1i)22i(2i)0.故選 a.誤區(qū)警示對于復(fù)數(shù)za bi(a， br)，虛部為b，而不是bi。核心素養(yǎng)聚焦考點一邏輯推理 -復(fù)數(shù)、向量、點的對應(yīng)關(guān)系例題 5.已知復(fù)數(shù)z1 23i，z2abi，z314i，它們在復(fù)平面上所對應(yīng)的點分別為a，b，c.若oc 2oaob，則 a，b.【答案】 310【解析】 oc2oaob，1 4i2(23i)(abi)，即14a，46 b，a 3，b 10.考點二數(shù)學(xué)運算 -復(fù)數(shù)運算例題 6、若復(fù)數(shù) z1i(i 為虛數(shù)單位 )， z 是 z 的共軛復(fù)數(shù)，則z2 z2的虛部為 ()a 0b 1c 1d 2【答案】 a【解析】因為z1i，所以 z 1i，所以 z

8、2 z2(1i)2(1i)22i(2i)0.故選 a.考點三直觀想象 -復(fù)數(shù)的幾何意義例題 7.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)23i34i(i 是虛數(shù)單位 )所對應(yīng)的點位于()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【答案】 b【解析】23i34i23i34i2518i251825125i，復(fù)數(shù)23i3 4i對應(yīng)的點位于第二象限學(xué)業(yè)質(zhì)量測評一、選擇題1設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)1zii，則 z=a1122ib112ic112id1122i【答案】 a【解析】由題得1izi=i(1)111+(1)(1)222iiiii.故答案為： a2設(shè)1i2i1iz，則|za 0b12c1d2【答案】 c【解析】1i1i1i2

9、i2i1i1i1izi2ii，則1z，故選 c.3設(shè)3izi，i是虛數(shù)單位，則z 的虛部為（）a1b -1c3d-3【答案】 d【解析】因為z=3ii1 3iz 的虛部為 -3，選 d.4已知i為虛數(shù)單位，則12izi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【答案】 b【解析】12221121212555iiiiziiii，故12izi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，選 b5已知復(fù)數(shù)121zi，2zai ar，若1z，2z在復(fù)平面中對應(yīng)的向量分別為1oz，2oz（o為坐標(biāo)原點），且122ozoz，則a（）a1b1c3d1或3【答案】 d【解析】由題意知11, 1oz，

10、2,1oza，因此121,0ozoza，故214a，解得1a或3，故選 d.6復(fù)數(shù)z滿足113zii，則復(fù)數(shù) z 等于（）a 1ib1 ic2d-2【答案】 b【解析】復(fù)數(shù)z 滿足1132zii，2 121111iziiii，故選 b.7若26(2)zmmmi為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為（）a-2b 2c-3d3【答案】 c【解析】因為262 izmmm為純虛數(shù)，所以23020mmm，解得3m，故選 c8已知i為虛數(shù)單位，41iz，則復(fù)數(shù) z的虛部為 ().a2ib2ic2d2【答案】 d【解析】4 14 14221112iiziiii,故虛部即為i 的系數(shù)，為 -2，故選 d9如果復(fù)數(shù)12aii

11、（ar，i為虛數(shù)單位）的實部與虛部相等，則a的值為（）a1b -1c3d-3【答案】 d【解析】1221212225aiiaa iaiiii，由題意知：21255aa，解得3a.故選 d.10已知i是虛數(shù)單位，若2(1)izi，則z的共軛復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在復(fù)平面的()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【答案】 d【解析】由2+iz（ 1i） ，得 z1221311122iiiiiii，1322zi，則 z 的共軛復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（1322，） ，在復(fù)平面的第四象限故選d11歐拉公式eix cos xisin x(i 為虛數(shù)單位 )是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大

12、到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為 “ 數(shù)學(xué)中的天橋” 根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點位于()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【答案】 b【解析】由題意得，e2icos 2isin 2，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(cos 2，sin 2)2， cos 2(1， 0)，sin 2(0，1)， e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點位于第二象限，故選 b.12 （多選題）若復(fù)數(shù)21iz，其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論不正確的是（）az的虛部為ib2zc z 的共軛復(fù)數(shù)為1id2z為純虛數(shù)【答案】 abc【解析】2 121111iziiii

13、z的虛部為1，a錯誤；1 12z，b錯誤；1zi，c錯誤；2212zii，為純虛數(shù)，d正確本題正確選項：abc二、填空題13已知,x yr，i為虛數(shù)單位，且(2)1xiyi，則xy=_.【答案】 4【解析】利用復(fù)數(shù)相等，可知由21,1xy有4xy14復(fù)數(shù)121izi的實部為 _【答案】12【解析】復(fù)數(shù)121121313111222iiiiziiii，則復(fù)數(shù)z 的實部為12故答案為121520191i1i=_【答案】i【解析】解法一：2019321 i1i1i(1i)2ii1i1i1i(1i)(1i)2解法二：3221i(1i)(1ii )1iii1i1i16設(shè)復(fù)數(shù) ?+ ?(?,?) 的模為

14、3，則 (?+ ?)(?-?)= _.【答案】 3【解析】由 |?+ ?|= 3得，即 ?2+ ?2= 3，所以 (?+ ?)(?- ?) = ?2+ ?2= 3.三、解答題17已知復(fù)數(shù)2(1)3(1)2iizi（i為虛數(shù)單位）（1）求 z；（2）若21zazbi，求實數(shù),a b的值【答案】（1）1zi （2）3,4ab【解析】（1）2(1)3(1)233551225iiiiiziii.（2）復(fù)數(shù)21,1zi zazbi，2(1)(1)1iaibi，(2)1aba ii，1ab，21a，3,4ab.18已知復(fù)數(shù)2(4)(2) ,zaai ar（1）若z為實數(shù)，求實數(shù)a的值；（2）若 z為純虛數(shù)

15、，求實數(shù)a的值；（3）若 z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在直線210 xy上，求實數(shù)a的值【答案】（1）2a（2）a=2（3）1a【解析】（1）若 z為實數(shù)，則20a，2a；（2）若 z為純虛數(shù)，則24020aa， 解得實數(shù)a 的值為 2；（3） z 在復(fù)平面上對應(yīng)的點242aa，在直線210 xy上，則242210aa，即2210aa解得1a19已知復(fù)數(shù)23(1)3(1)2iizii（1）求復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)z；（2）若212zazbi，求實數(shù),a b的值【答案】（1）12zi （2）3,1ab【解析】（1）2313 1233(3)(2)55122255iiiiiiiziiiiiii，復(fù)數(shù) z 的共

16、軛復(fù)數(shù)12zi（2）212zazbi，2121212iaibi34212aba ii313,1422ababa.20若復(fù)數(shù)12imi為純虛數(shù)，其中i 為虛數(shù)單位，mr（1）求實數(shù)m 的值；（2）若用 mi 為實系數(shù)方程2220 xaxa的根，求實數(shù)a 的值【答案】（1）2； （ 2）2.【解析】（1）(1)(2)2(2)imimm i為純虛數(shù)，2020mm，解得2m實數(shù)m的值是 2；（2）mi為實系數(shù)方程22(2)0 xaxa的根，實系數(shù)方程虛根成對，由韋達定理可知，2220aii，且2(2 ) ( 2 )iia，即2a實數(shù)a的值是 221已知 i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)11zi，21zi，121zzz（1）判斷 z 是否為純虛數(shù)，并說明理由；（2）求12233100100100100100100czczczcz的值【答案】（1）不為純虛數(shù)，理由詳見解析；（2）0.【解析】（1）1111izii，不為純虛數(shù)；（2）12233100100100100100100czczczcz1001001110zi22已知復(fù)數(shù)23zxxx i(xr)的實部與虛部的差為( )fx （1）若(