人教版高中數(shù)學必修⑤2.2《等差數(shù)列》教學設計

1、課題：必修 2.2 等差數(shù)列三維目標：1學問與技能（ 1）通過實例，懂得等差數(shù)列、公差的概念，明確一個數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件；（ 2）明白等差數(shù)列的各種表示法，能敏捷運用通項公式求等差數(shù)列的首項、公差、項數(shù)、指定的項；（ 3）體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系； 2過程與方法（1）讓同學對日常生活中實際問題分析，經(jīng)受等差數(shù)列的簡潔產(chǎn) 生過程和應用等差數(shù)列的基本學問解決問題的過程；并引導同學通過觀看，推導，歸納抽象出等差數(shù)列的概念；（ 2）引導同學建立等差數(shù)列模型用相關學問解決一些簡潔的實際問題，在合作探究的過程中，通過類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達式得到對等差數(shù)列相應問題的討論；（3）培育同學的觀看才能

2、，進一步提高同學的推理歸納才能；（ 4）培育同學分析問題、解決問題的才能及鉆研精神，培育同學的運算才能、嚴謹?shù)乃季S習慣以及解題的規(guī)范性；3情態(tài)與價值觀（1）通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培育同學的觀看、分析資料的才能，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識；（2）借助函數(shù)的背景和討論方法來討論有關數(shù)列的問題，可以進一步讓同學體會數(shù)學學問間的聯(lián)系，培育用已知去討論未知 的才能；形成學數(shù)學、用數(shù)學的思維和意識，培育學好數(shù)學的信心，為遠大的志向而不懈奮斗；（3）通過對數(shù)列學問的學習及探究，不斷培育自主學習、主動探索、善于反思、 勤于總結的科學態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，并提高參加意識和合作精神，并進一步培育同學討

3、論和發(fā)覺才能，讓同學在探究中體驗愉悅的勝利體驗；教學重點：1懂得等差數(shù)列的概念及其性質(zhì)，探究并把握等差數(shù)列的通項公式；2會用公式解決一些簡潔的問題，體會等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的聯(lián)系；教學難點：1概括通項公式推導過程中表達出的數(shù)學思想方法；2等差數(shù)列通項公式及性質(zhì)的敏捷運用教具： 多媒體、實物投影儀教學方法： 合作探究、分層推動教學法教學過程：一、雙基回眸科學導入：同學們，上兩節(jié)課我們學習了數(shù)列的定義及相關的性質(zhì)，下面，請同學們簡潔地回憶一下：什么是數(shù)列？什么是數(shù)列的項？數(shù)列有幾種分類方法？ 什么是數(shù)列的通項公式？ 什么是數(shù)列的遞推公式？在日常生活中，我們常常會遇到一類特別的數(shù)列；如：由同學觀看

4、分析并得出答案： 在現(xiàn)實生活中， 我們常常這樣數(shù)數(shù)， 從 0 開頭，每隔 5 數(shù)一次， 可以得到數(shù)列：0，5， , , , , 2000 年，在澳大利亞悉尼舉辦的奧運會上，女子舉重被正式列為競賽項目； 該項目共設置了7 個級別；其中較輕的4 個級別體重組成數(shù)列（單位：kg）：48，53，58， 63； 水庫的治理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚；假如一個水庫的水位為18cm，自然放水每天 水位降低2.5m，最低降至5m；那么從開頭放水算起，到可以進行清 理工作的那天， 水庫每天的水位組成數(shù)列（單位： m）：18，15.5 ，13， 10.5 ， 8，5.5 我國現(xiàn)

5、行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金運算下一期的利息；依據(jù)單利運算本利和的公式是： 本利和 =本金×（ 1+利率×寸期） . 例如，按活期存入10 000元錢，年利率是0.72%；那么依據(jù)單利，5 年內(nèi)各年末的本利和分別是：時間年初本金（元）年末本利和（元）第 1 年10 00010 072第 2 年10 00010 144第 3 年10 00010 216第 4 年10 00010 288第 5 年10 00010 360各年末的本利和（單位：元）組成了數(shù)列：10 072，10 144，10 216， 10 288 ，10 360 ；摸索：同學們

6、觀看一下上面的這四個數(shù)列：0，5，10，15，20，48，53，58， 6318，15.5 ，13，10.5 ，8，5.510 072，10 144，10 216，10 288 ，10 360看這些數(shù)列有什么共同特點呢？今日，我們就來探究這類數(shù)列：二、創(chuàng)設情境合作探究：通過上面的四個實例，同學們觀看相鄰兩項間的關系回答、探究以下問題： 對 于 數(shù) 列 ， 從第2項 起， 每 一項 與 前 一 項 的 差都 等于；對 于 數(shù) 列 ， 從 第2項 起 ， 每 一 項 與 前 一 項 的 差 都 等于；對 于 數(shù) 列 ， 從 第2項 起 ， 每 一 項 與 前 一 項 的 差 都 等于；對于數(shù)列，

7、從第 2 項起，每一項與前一項的差都等于； 總結歸納得到等差數(shù)列的概念：一般地，如果一個數(shù)列，那么這個數(shù)列就叫做 等差數(shù)列 ；叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示；那么對于以上四組等差數(shù)列，它們的公差依次是，；假如在 a 與 b 中間插入一個數(shù)a ，使 a ， a ， b 成等差數(shù)列數(shù)列，那么 a 應滿意什么條件？ 等差中項概念：由三個數(shù)a，a， b 組成的等差數(shù)列可以看成最簡潔的等差數(shù)列，這時， a 叫做 a 與 b 的； 等差數(shù)列的通項公式（ 1）對于以上的等差數(shù)列，它們的通項公式存在嗎？假如存在，分別是什么？（ 2）假如任意給了一個等差數(shù)列的首項a1 和公差d，它的通項公式是什么呢？

8、依據(jù)等差數(shù)列的定義進行歸納：a2a1d , a3a2d , a4a3d,所以a2a3a1a2d,d（ a1d） da12d,a4a3d（ a12d） da13d,由此我們可以得出：以a1 為首項， d為公差的等差數(shù)列 an 的通項公式為：等差數(shù)列的通項公式的其他推導方法：1、（迭加法）： an 是等差數(shù)列，所以anan 1d ,an 1an 2d ,an 2an 3d,a2a1d,兩邊分別相加得ana1n1d ,所以ana1n1d2、（迭代法）： an 是等差數(shù)列，就有anan 1dan 2ddan 22dan 33da1n1d所以a na1n1d【小試牛刀 】1、判定以下數(shù)列是否可能是等差數(shù)

9、列？假如是，寫出通項公式（ 1）9，8， 7，6，5， 4，；（ 2）1， 1， 1，1，；（ 3）1， 0， 1，0， 1，；（ 4）1 ， 2， 3，2， 3， 4，；（ 5）a,a,a,a,；（ 6）0 ， 0， 0，0， 0， 0，.2、在等差數(shù)列an中，1）已知 a1=2,d=3,n=10,求 an2）已知 a1=3,an=21,d=2,求 n3）已知 a1=12,a6=27,求 d74）已知 d=1 ,a =8,求 a13三、互動達標鞏固所學：問題.1求等差數(shù)列8，5， 2，的第20 項.-401 是不是等差數(shù)列-5 ， -9 ，-13 ，的項？假如是，是第幾項？【分析】要求出第2

10、0 項，可以利用通項公式求出來；首項知道了，仍需要知道的是該等差數(shù)列的公差，由公差的定義可以求出公差；這個問題可以看成是上面那個問題的一個逆問題；要判定這個數(shù)是不是數(shù)列中的項，就是要看它是否滿意該數(shù)列的通項公式，并且需要留意的是，項數(shù)是否有意義；【解析 】由a1 =8， d=5-8=-3 ， n=20，得a208211349由 a1 =-5 ， d=-9- （ -5 ） =-4 ，得這個數(shù)列的通項公式為an54n14n1, 由題意知，此題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立；解這個關于n 的方程，得 n=100，即-401 是這個數(shù)列的第100 項；【點評】從該例題中可以看出

11、，等差數(shù)列的通項公式其實就是一個關于 an 、 a1 、d、n（獨立的量有3 個）的方程；另外，要懂得利用通項公式來判定所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項， 當判定是第幾項的項數(shù)時仍應看求出的項數(shù)是否為正整數(shù)， 假如不是正整數(shù)， 那么它就不是數(shù)列中的項；問題.2 某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10 元，即最初的 4km（ 不含4 千米）計費10 元；假如某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費？【分析】此題是一個實際問題，第一搞清題意，然后提取數(shù)學信息進行分析，建立相應的數(shù)學模型，此題明顯是一個等差數(shù)列的模型【解析 】解：依據(jù)題意，當該市出租

12、車的行程大于或等于4km時，每增加 1km，乘客需要支付1.2 元. 所以，我們可以建立一個等差數(shù)列 an 來運算車費 .令 a1 =11.2 ，表示 4km處的車費，公差d=1.2 ；那么當出租車行至 14km處時，n=11，此時需要支付車費a1111.21111.223.2元答：需要支付車費23.2元；【點評】這是等差數(shù)列用于解決實際問題的一個簡潔應用，要學會從實際問題中抽象出等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列的學問解決實際問題；問題.3 已知數(shù)列 an 的通項公式為anpnq, 其中 p、q 為常數(shù)，且p 0，那么這個數(shù)列肯定是等差數(shù)列嗎？【分析】 判定 an 是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定

13、義，也就是看 anan 1 （ n 1）是不是一個與n 無關的常數(shù)；【解析 】取數(shù)列 an 中的任意相鄰兩項an 與an1 （n1），求差得anan 1 pnq p n1qpnq pnpqp它是一個與n 無關的數(shù) . 所以 an 是等差數(shù)列；摸索：這個等差數(shù)列的首項與公差分別是多少？這個數(shù)列的首項a1pq,公差dp ；由此我們可以知道對于通項公式是形如 anpnq 的數(shù)列，肯定是等差數(shù)列，一次項系數(shù)p就是這個等差數(shù)列的公差，首項是p+q.【點評】 通過這個例題我們知道判定一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法：假如一個數(shù)列的通項公式是關于正整數(shù)n 的一次型函數(shù)， 那么這個數(shù)列必定是等差數(shù)列；【探究】引導

14、同學動手畫圖討論完成以下探究：在直角坐標系中， 畫出通項公式為an3n5 的數(shù)列的圖象； 這個圖象有什么特點？在同一個直角坐標系中， 畫出函數(shù)y=3x-5 的圖象，你發(fā)覺了什么？據(jù)此說一說等差數(shù)列anpnq 與一次函數(shù)y=px+q 的圖象之間有什么關系；【分析】 n 為正整數(shù)，當n 取 1，2， 3，時，對應的an 可以利用通項公式求出；經(jīng)過描點知道該圖象是勻稱分布的一群孤立點；畫出函數(shù)y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)覺數(shù)列的圖象（點）在直線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當x 在正整數(shù)范疇內(nèi)取值時相應的點的集合；于是可以得出結論：等差數(shù)列anpnq 的圖象是一次函數(shù)y=px+q 的圖象的一個子集，是

15、y=px+q 定義在正整數(shù)集上對應的點的集合；該處仍可以引導同學從等差數(shù)列anpnq 中的p 的幾何意義去探究；四、思悟小結：學問線：（1）等差數(shù)列的概念；（ 2）等差數(shù)列的通項公式；（3）等差中項的概念；思想方法線：（ 1）公式法或定義法；（ 2）建模思想方法；（ 3）函數(shù)的思想方法；題目線：（ 1）依據(jù)等差數(shù)列的通項公式，解決相關的基本問題；（ 2）判定一個數(shù)列是否為等差數(shù)列；（ 3）關于等差數(shù)列的實際問題；五、針對訓練鞏固提高：1、等差數(shù)列的相鄰四項是a+1,a+3,b,a+b,那么a,b的值分別是a.2,7b.1,6c.0,5d.無法確定x2、如 log 3 2 ，log3 21) ，

16、log 2x11 成等差數(shù)列， 就 x 得值為（）3a7 或-3b.log3 7c.log 2 7d.43、（1）求等差數(shù)列3， 7，11，的第 4 項與第 10 項（2）101 是不是等差數(shù)列2，9，16，的項？假如是， 是第幾項？4、（1）在等差數(shù)列an中，已知a5=10,a12=31,求首項 a1 與公差 d.（2）.在等差數(shù)列 an中，已知a3=9,a9=3,求 a125、一個首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，假如前六項均為正數(shù)，第七項起為負數(shù)，就它的公差是多少？6、已知無窮 an 中, 首項為 a1，公差為d, 其中m， n， p， qz（1）數(shù)列中，第n 項與第 m項有什么關系？（2）如 m+n=p+q，就數(shù)列中的第m，n，p， q 項有什么關系？7、已知一個無窮等差數(shù)列的首項為a1，公差為d：（1）將數(shù)列中的前m 項去掉，其余各項組成一個新的數(shù)列，這個新